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2. 加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分率称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率$y$与加工时间$x$（单位：min）满足函数解析式$y=-0.2x^2 +1.4x -2$，则最佳加工时间为(
A.2
B.5
C.2或5
D.3.5
D
)min.A.2
B.5
C.2或5
D.3.5
答案
2. D
解析
【分析】
要找到最佳加工时间，本质是求可食用率$y$取最大值时对应的加工时间$x$的值。已知$y$是关于$x$的二次函数，且二次项系数为$-0.2＜0$，抛物线开口向下，顶点处函数取得最大值，因此只需计算二次函数顶点的横坐标即可得到答案，可利用二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$求解。
【解析】
已知可食用率与加工时间的函数关系为$y=-0.2x^2 +1.4x -2$，其中二次项系数$a=-0.2＜0$，因此该抛物线开口向下，当$x$取顶点横坐标时，$y$取得最大值，对应可食用率最高，即此时为最佳加工时间。
根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-0.2$，$b=1.4$得：
$x=-\frac{1.4}{2×(-0.2)}=\frac{1.4}{0.4}=3.5$
因此最佳加工时间为3.5min，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数最值的应用，解题的核心是理解“最佳加工时间”对应的数学含义，即二次函数取最大值时的自变量取值，熟练掌握二次函数求最值的公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要找到最佳加工时间，本质是求可食用率$y$取最大值时对应的加工时间$x$的值。已知$y$是关于$x$的二次函数，且二次项系数为$-0.2＜0$，抛物线开口向下，顶点处函数取得最大值，因此只需计算二次函数顶点的横坐标即可得到答案，可利用二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$求解。
【解析】
已知可食用率与加工时间的函数关系为$y=-0.2x^2 +1.4x -2$，其中二次项系数$a=-0.2＜0$，因此该抛物线开口向下，当$x$取顶点横坐标时，$y$取得最大值，对应可食用率最高，即此时为最佳加工时间。
根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-0.2$，$b=1.4$得：
$x=-\frac{1.4}{2×(-0.2)}=\frac{1.4}{0.4}=3.5$
因此最佳加工时间为3.5min，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数最值的应用，解题的核心是理解“最佳加工时间”对应的数学含义，即二次函数取最大值时的自变量取值，熟练掌握二次函数求最值的公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
3. 从底面竖直向上抛出一小球，小球的高度$h$(单位:m)关于小球运动时间$t$(单位:s)的函数解析式是$h=30t-5t^2$，这个函数图象如图26.4-3所示，则小球从第3 s到第5 s下降的高度为(
A.15 m
B.20 m
C.25 m
D.30 m
B
).A.15 m
B.20 m
C.25 m
D.30 m
答案
3. B
解析
【分析】
要计算小球从第3s到第5s下降的高度，首先需要分别求出t=3s和t=5s时小球对应的高度，再用t=3s的高度减去t=5s的高度，所得差值就是这段时间下降的高度，我们可以直接将t的值代入给出的二次函数解析式计算对应的h值。
【解析】
首先计算t=3s时小球的高度：
将t=3代入$h=30t-5t^2$，得
$h_1=30×3 - 5×3^2=90 - 45=45(\mathrm{m})$
再计算t=5s时小球的高度：
将t=5代入$h=30t-5t^2$，得
$h_2=30×5 -5×5^2=150 - 125=25(\mathrm{m})$
则小球从第3s到第5s下降的高度为$h_1 - h_2=45 -25=20(\mathrm{m})$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用；求二次函数的函数值
【点评】
本题结合抛球运动的实际场景考查二次函数的应用，解题时只需将对应时间代入解析式求出高度再作差即可，解题思路清晰直接，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
要计算小球从第3s到第5s下降的高度，首先需要分别求出t=3s和t=5s时小球对应的高度，再用t=3s的高度减去t=5s的高度，所得差值就是这段时间下降的高度，我们可以直接将t的值代入给出的二次函数解析式计算对应的h值。
【解析】
首先计算t=3s时小球的高度：
将t=3代入$h=30t-5t^2$，得
$h_1=30×3 - 5×3^2=90 - 45=45(\mathrm{m})$
再计算t=5s时小球的高度：
将t=5代入$h=30t-5t^2$，得
$h_2=30×5 -5×5^2=150 - 125=25(\mathrm{m})$
则小球从第3s到第5s下降的高度为$h_1 - h_2=45 -25=20(\mathrm{m})$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用；求二次函数的函数值
【点评】
本题结合抛球运动的实际场景考查二次函数的应用，解题时只需将对应时间代入解析式求出高度再作差即可，解题思路清晰直接，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
4. 如图26.4-4，将一根长2 m的铁丝首尾相接围成一个矩形，则围成的矩形的面积的最大值是(
A.$\frac{1}{4}\ \mathrm{m}^2$
B.$\frac{1}{3}\ \mathrm{m}^2$
C.$\frac{1}{2}\ \mathrm{m}^2$
D.$1\ \mathrm{m}^2$
A
).A.$\frac{1}{4}\ \mathrm{m}^2$
B.$\frac{1}{3}\ \mathrm{m}^2$
C.$\frac{1}{2}\ \mathrm{m}^2$
D.$1\ \mathrm{m}^2$
答案
4. A
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按照以下思路思考：首先明确2m是矩形的周长，先根据周长公式得到矩形相邻两边的长度关系，再设其中一边长为自变量，面积为因变量，建立二次函数关系式，最后利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，计算出面积的最大值即可。
【解析】
设围成的矩形的一边长为$x\ \mathrm{m}$，面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
已知铁丝长2m，即矩形周长为2m，因此矩形的邻边长为$\frac{2}{2}-x=(1-x)\ \mathrm{m}$，其中边长满足$0＜x＜1$。
根据矩形面积公式可得：
$S=x(1-x)=-x^2+x$
这是一个二次函数，其中二次项系数$a=-1＜0$，因此函数有最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2×(-1)}=0.5$时，$S$取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{0-1^2}{4×(-1)}=\frac{1}{4}\ \mathrm{m}^2$
因此围成的矩形面积最大值为$\frac{1}{4}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的实际应用，矩形周长与面积计算，二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在几何最值问题中的典型应用，解题的核心是通过几何图形的边长关系建立面积的二次函数模型，再结合二次函数的性质求解最值，能够考查学生对二次函数最值知识的掌握和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以按照以下思路思考：首先明确2m是矩形的周长，先根据周长公式得到矩形相邻两边的长度关系，再设其中一边长为自变量，面积为因变量，建立二次函数关系式，最后利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，计算出面积的最大值即可。
【解析】
设围成的矩形的一边长为$x\ \mathrm{m}$，面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
已知铁丝长2m，即矩形周长为2m，因此矩形的邻边长为$\frac{2}{2}-x=(1-x)\ \mathrm{m}$，其中边长满足$0＜x＜1$。
根据矩形面积公式可得：
$S=x(1-x)=-x^2+x$
这是一个二次函数，其中二次项系数$a=-1＜0$，因此函数有最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2×(-1)}=0.5$时，$S$取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{0-1^2}{4×(-1)}=\frac{1}{4}\ \mathrm{m}^2$
因此围成的矩形面积最大值为$\frac{1}{4}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的实际应用，矩形周长与面积计算，二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在几何最值问题中的典型应用，解题的核心是通过几何图形的边长关系建立面积的二次函数模型，再结合二次函数的性质求解最值，能够考查学生对二次函数最值知识的掌握和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
5. 当$x=$
1
时，二次函数$y=x^2 -2x+3$有最小
值，是2
.答案
5. 1 小 2
解析
【分析】
求解二次函数最值问题的思路如下：首先根据二次项系数的符号判断抛物线的开口方向，确定函数是有最大值还是最小值：当二次项系数a＞0时，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0时，抛物线开口向下，函数有最大值，最值均在顶点处取得。接下来可以通过顶点坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$计算顶点横坐标，或者用配方法将函数转化为顶点式，最后代入横坐标计算出最值即可。
【解析】
方法一：公式法
对于二次函数$y=x^2-2x+3$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=3$。
1. 因为$a=1＞0$，所以抛物线开口向上，函数有最小值。
2. 顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$。
3. 将$x=1$代入函数解析式，得$y=1^2-2×1+3=2$。
方法二：配方法
将二次函数配方转化为顶点式：
$y=x^2-2x+3=(x^2-2x+1)+2=(x-1)^2+2$
因为完全平方式$(x-1)^2≥0$，所以当$(x-1)^2=0$即$x=1$时，$y$取得最小值2。
【答案】
1；小；2
【知识点】
二次函数的性质；二次函数最值计算；配方法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查二次函数开口方向与最值的对应关系、顶点坐标的求解方法，熟练掌握配方法或顶点坐标公式就能快速得到结果。
【难度系数】
0.9
求解二次函数最值问题的思路如下：首先根据二次项系数的符号判断抛物线的开口方向，确定函数是有最大值还是最小值：当二次项系数a＞0时，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0时，抛物线开口向下，函数有最大值，最值均在顶点处取得。接下来可以通过顶点坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$计算顶点横坐标，或者用配方法将函数转化为顶点式，最后代入横坐标计算出最值即可。
【解析】
方法一：公式法
对于二次函数$y=x^2-2x+3$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=3$。
1. 因为$a=1＞0$，所以抛物线开口向上，函数有最小值。
2. 顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$。
3. 将$x=1$代入函数解析式，得$y=1^2-2×1+3=2$。
方法二：配方法
将二次函数配方转化为顶点式：
$y=x^2-2x+3=(x^2-2x+1)+2=(x-1)^2+2$
因为完全平方式$(x-1)^2≥0$，所以当$(x-1)^2=0$即$x=1$时，$y$取得最小值2。
【答案】
1；小；2
【知识点】
二次函数的性质；二次函数最值计算；配方法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查二次函数开口方向与最值的对应关系、顶点坐标的求解方法，熟练掌握配方法或顶点坐标公式就能快速得到结果。
【难度系数】
0.9
6. 已知一个直角三角形的两直角边之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为
50
cm².答案
6. 50
解析
【分析】
要解决这个直角三角形的最大面积问题，我们可以按以下思路思考：首先，已知两直角边之和为20cm，我们可以设其中一条直角边的长度为自变量，用含自变量的式子表示另一条直角边；其次，结合直角三角形的面积公式，写出面积关于自变量的函数关系式；最后，利用二次函数的最值性质，求出面积的最大值即可，注意自变量的取值范围要符合边长为正的要求。
【解析】
设该直角三角形的一条直角边长为$ x \, \mathrm{cm} $（$ 0 ＜ x ＜ 20 $），则另一条直角边长为$ (20 - x) \, \mathrm{cm} $。
根据直角三角形面积公式，可得面积$ S $为：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}x(20 - x)\\&=-\frac{1}{2}x^2 + 10x\end{aligned}$
这是一个二次函数，其中二次项系数$ a = -\frac{1}{2} ＜ 0 $，因此函数图象开口向下，存在最大值。
对于二次函数$ y = ax^2 + bx + c $，其顶点横坐标为$ x = -\frac{b}{2a} $，代入$ a=-\frac{1}{2} $，$ b=10 $得：
$x = -\frac{10}{2×(-\frac{1}{2})} = 10$
将$ x=10 $代入面积公式，得最大面积：
$S_{\mathrm{max}} = \frac{1}{2} × 10 × (20 - 10) = 50 \, \mathrm{cm}^2$
也可通过配方法求解：
$S = -\frac{1}{2}(x^2 - 20x) = -\frac{1}{2}(x - 10)^2 + 50$
当$ x=10 $时，$ S $取得最大值50。
【答案】
50
【知识点】
直角三角形面积计算；二次函数的最值应用
【点评】
本题是二次函数在几何最值问题中的基础应用，解题的关键是合理设置自变量，结合几何公式列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的实际取值范围。
【难度系数】
0.7
要解决这个直角三角形的最大面积问题，我们可以按以下思路思考：首先，已知两直角边之和为20cm，我们可以设其中一条直角边的长度为自变量，用含自变量的式子表示另一条直角边；其次，结合直角三角形的面积公式，写出面积关于自变量的函数关系式；最后，利用二次函数的最值性质，求出面积的最大值即可，注意自变量的取值范围要符合边长为正的要求。
【解析】
设该直角三角形的一条直角边长为$ x \, \mathrm{cm} $（$ 0 ＜ x ＜ 20 $），则另一条直角边长为$ (20 - x) \, \mathrm{cm} $。
根据直角三角形面积公式，可得面积$ S $为：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}x(20 - x)\\&=-\frac{1}{2}x^2 + 10x\end{aligned}$
这是一个二次函数，其中二次项系数$ a = -\frac{1}{2} ＜ 0 $，因此函数图象开口向下，存在最大值。
对于二次函数$ y = ax^2 + bx + c $，其顶点横坐标为$ x = -\frac{b}{2a} $，代入$ a=-\frac{1}{2} $，$ b=10 $得：
$x = -\frac{10}{2×(-\frac{1}{2})} = 10$
将$ x=10 $代入面积公式，得最大面积：
$S_{\mathrm{max}} = \frac{1}{2} × 10 × (20 - 10) = 50 \, \mathrm{cm}^2$
也可通过配方法求解：
$S = -\frac{1}{2}(x^2 - 20x) = -\frac{1}{2}(x - 10)^2 + 50$
当$ x=10 $时，$ S $取得最大值50。
【答案】
50
【知识点】
直角三角形面积计算；二次函数的最值应用
【点评】
本题是二次函数在几何最值问题中的基础应用，解题的关键是合理设置自变量，结合几何公式列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的实际取值范围。
【难度系数】
0.7
7. 某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉是长方体形状.其中,抽屉底面周长为180 cm,高为20 cm.请通过计算说明,当底面的宽x为何值时,抽屉的体积y最大?最大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计)
答案
7. 已知抽屉底面宽为x cm，则底面长为180÷2−x=(90−x)cm.
∵90−x≥x,
∴0＜x≤45. 由题意得y=x(90−x)×20=−20(x²−90x)=−20(x−45)²+40 500,
∵0＜x≤45,−20＜0,
∴当x=45时,y有最大值,最大值为40 500.
∴当抽屉底面宽为45 cm时,抽屉的体积最大,最大体积为40 500 cm³
∵90−x≥x,
∴0＜x≤45. 由题意得y=x(90−x)×20=−20(x²−90x)=−20(x−45)²+40 500,
∵0＜x≤45,−20＜0,
∴当x=45时,y有最大值,最大值为40 500.
∴当抽屉底面宽为45 cm时,抽屉的体积最大,最大体积为40 500 cm³
解析
【分析】
要解决这个问题，可按以下思路逐步推导：首先明确抽屉体积计算公式为体积=底面积×高，已知高为20cm，只需先表示出底面面积；其次根据底面周长和宽$ x $，求出底面的长，再结合边长为正、长不小于宽的实际要求确定$ x $的取值范围；最后根据体积公式列出$ y $关于$ x $的函数关系式，结合二次函数的性质在自变量取值范围内求最大值即可。
【解析】
已知抽屉底面宽为$ x $ cm，则底面长为$ 180÷2 - x = (90 - x) $ cm。
根据实际意义，底面长不小于宽且边长为正，可得$ 90 - x ≥ x ＞ 0 $，解得$ 0 ＜ x ≤ 45 $。
根据长方体体积公式，列体积表达式：
$ y = x(90 - x) × 20 $
整理配方得：
$ y = -20(x^2 - 90x) = -20(x - 45)^2 + 40500 $
$ \because -20 ＜ 0 $，二次函数图象开口向下，且$ 0 ＜ x ≤ 45 $在对称轴$ x=45 $的左侧，$ y $随$ x $的增大而增大
$ \therefore $当$ x = 45 $时，$ y $取得最大值，最大值为40500。
【答案】
当底面的宽为45 cm时，抽屉的体积最大，最大为$ 40500\ \mathrm{cm}^3 $
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数实际应用类基础题，解题核心是准确根据题意列出函数关系式，尤其要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免脱离实际直接套用顶点公式求最值导致出错。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，可按以下思路逐步推导：首先明确抽屉体积计算公式为体积=底面积×高，已知高为20cm，只需先表示出底面面积；其次根据底面周长和宽$ x $，求出底面的长，再结合边长为正、长不小于宽的实际要求确定$ x $的取值范围；最后根据体积公式列出$ y $关于$ x $的函数关系式，结合二次函数的性质在自变量取值范围内求最大值即可。
【解析】
已知抽屉底面宽为$ x $ cm，则底面长为$ 180÷2 - x = (90 - x) $ cm。
根据实际意义，底面长不小于宽且边长为正，可得$ 90 - x ≥ x ＞ 0 $，解得$ 0 ＜ x ≤ 45 $。
根据长方体体积公式，列体积表达式：
$ y = x(90 - x) × 20 $
整理配方得：
$ y = -20(x^2 - 90x) = -20(x - 45)^2 + 40500 $
$ \because -20 ＜ 0 $，二次函数图象开口向下，且$ 0 ＜ x ≤ 45 $在对称轴$ x=45 $的左侧，$ y $随$ x $的增大而增大
$ \therefore $当$ x = 45 $时，$ y $取得最大值，最大值为40500。
【答案】
当底面的宽为45 cm时，抽屉的体积最大，最大为$ 40500\ \mathrm{cm}^3 $
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数实际应用类基础题，解题核心是准确根据题意列出函数关系式，尤其要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免脱离实际直接套用顶点公式求最值导致出错。
【难度系数】
0.7
8. 两段相互垂直的墙AB和AC的长分别为12 m和3 m，用一段长为23 m的篱笆围成一个矩形菜园(篱笆全部使用完)，如图26.4-5所示，矩形菜园的一边AD由墙AC和一节篱笆CD构成，一边AF靠在墙AB上，一边EF上有一个宽2 m的门.假设篱笆CD的长为x m，矩形菜园的面积为S m²(S＞0)，解答下面的问题：
(1)用含x的式子表示篱笆DE的长为
(2)求菜园面积S的最大值.
图26.4-5
(1)用含x的式子表示篱笆DE的长为
(22−2x)
m，x的取值范围是5≤x＜11
；(2)求菜园面积S的最大值.
图26.4-5
答案
8. (1) ①
∵AC=3 m,CD=x m,
∴EF=AC+CD=(3+x)m.
∴DE=23−CD−(EF−2)=23−x−(3+x−2)=(22−2x)m.
∵0＜22−2x≤12,
∴5≤x＜11,故答案为(22−2x),5≤x＜11 (2) 由题意,得S=(3+x)(22−2x)=−2x²+16x+66=−2(x−4)²+98,
∵−2＜0,
∴当x＞4时,S随x的增大而减小.
∵5≤x＜11,
∴当x=5时,S有最大值,最大值为−2×(5−4)²+98=96.
∴菜园面积S的最大值为96
∵AC=3 m,CD=x m,
∴EF=AC+CD=(3+x)m.
∴DE=23−CD−(EF−2)=23−x−(3+x−2)=(22−2x)m.
∵0＜22−2x≤12,
∴5≤x＜11,故答案为(22−2x),5≤x＜11 (2) 由题意,得S=(3+x)(22−2x)=−2x²+16x+66=−2(x−4)²+98,
∵−2＜0,
∴当x＞4时,S随x的增大而减小.
∵5≤x＜11,
∴当x=5时,S有最大值,最大值为−2×(5−4)²+98=96.
∴菜园面积S的最大值为96
解析
【分析】
(1) 首先根据矩形对边相等的性质，可得EF的长度等于AD的长度，AD为墙AC与篱笆CD的长度和，即$(3+x)\mathrm{m}$；由于EF上有2m宽的门，因此EF段实际消耗的篱笆长度为$(EF-2)\mathrm{m}$。结合篱笆总长度为23m，根据“总篱笆长度=CD长度+DE长度+EF段消耗的篱笆长度”变形，即可求出DE的表达式。再结合实际限制：DE的长度不能超过墙AB的长度12m，且DE长度必须大于0，列不等式求解即可得到x的取值范围。
(2) 根据矩形面积公式“面积=长×宽”，代入AD和DE的表达式即可得到S关于x的二次函数，将函数化为顶点式后，结合二次函数的增减性和x的取值范围，就能求出S的最大值。
【解析】
(1) 已知$AC=3\ \mathrm{m}$，$CD=x\ \mathrm{m}$，由矩形对边相等可得：$EF=AD=AC+CD=(3+x)\ \mathrm{m}$。
因为EF上有2m宽的门，所以EF段使用的篱笆长度为$(3+x-2)\ \mathrm{m}$，结合篱笆总长23m，可得：
$DE=23 - CD - (EF-2)=23 - x - (3+x-2)=(22-2x)\ \mathrm{m}$
根据实际意义，DE长度需大于0，且不超过墙AB的长度12m，列不等式组：
$\begin{cases}22-2x＞0 \\ 22-2x≤12 \end{cases}$
解得$5≤ x＜11$。
(2) 由矩形面积公式可得：
$S=AD· DE=(3+x)(22-2x)$
展开并配方得：
$S=-2x^2+16x+66=-2(x-4)^2+98$
由于二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，在对称轴$x=4$的右侧，S随x的增大而减小。
结合x的取值范围$5≤ x＜11$，可知当$x=5$时，S取得最大值：
$S_{\mathrm{最大}}=-2×(5-4)^2+98=96\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{22-2x}$，$\boldsymbol{5≤ x＜11}$；(2) $\boldsymbol{96\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
1. 二次函数实际应用
2. 二次函数的增减性与最值
3. 自变量取值范围确定
【点评】
本题是典型的二次函数实际应用问题，解题的核心是准确梳理各段长度的数量关系，尤其注意门宽部分不需要消耗篱笆；求最值时必须结合自变量的实际取值范围判断，不能直接代入顶点横坐标计算，否则容易出现错误。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据矩形对边相等的性质，可得EF的长度等于AD的长度，AD为墙AC与篱笆CD的长度和，即$(3+x)\mathrm{m}$；由于EF上有2m宽的门，因此EF段实际消耗的篱笆长度为$(EF-2)\mathrm{m}$。结合篱笆总长度为23m，根据“总篱笆长度=CD长度+DE长度+EF段消耗的篱笆长度”变形，即可求出DE的表达式。再结合实际限制：DE的长度不能超过墙AB的长度12m，且DE长度必须大于0，列不等式求解即可得到x的取值范围。
(2) 根据矩形面积公式“面积=长×宽”，代入AD和DE的表达式即可得到S关于x的二次函数，将函数化为顶点式后，结合二次函数的增减性和x的取值范围，就能求出S的最大值。
【解析】
(1) 已知$AC=3\ \mathrm{m}$，$CD=x\ \mathrm{m}$，由矩形对边相等可得：$EF=AD=AC+CD=(3+x)\ \mathrm{m}$。
因为EF上有2m宽的门，所以EF段使用的篱笆长度为$(3+x-2)\ \mathrm{m}$，结合篱笆总长23m，可得：
$DE=23 - CD - (EF-2)=23 - x - (3+x-2)=(22-2x)\ \mathrm{m}$
根据实际意义，DE长度需大于0，且不超过墙AB的长度12m，列不等式组：
$\begin{cases}22-2x＞0 \\ 22-2x≤12 \end{cases}$
解得$5≤ x＜11$。
(2) 由矩形面积公式可得：
$S=AD· DE=(3+x)(22-2x)$
展开并配方得：
$S=-2x^2+16x+66=-2(x-4)^2+98$
由于二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，在对称轴$x=4$的右侧，S随x的增大而减小。
结合x的取值范围$5≤ x＜11$，可知当$x=5$时，S取得最大值：
$S_{\mathrm{最大}}=-2×(5-4)^2+98=96\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{22-2x}$，$\boldsymbol{5≤ x＜11}$；(2) $\boldsymbol{96\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
1. 二次函数实际应用
2. 二次函数的增减性与最值
3. 自变量取值范围确定
【点评】
本题是典型的二次函数实际应用问题，解题的核心是准确梳理各段长度的数量关系，尤其注意门宽部分不需要消耗篱笆；求最值时必须结合自变量的实际取值范围判断，不能直接代入顶点横坐标计算，否则容易出现错误。
【难度系数】
0.6
9. 如图26.4-6，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按图中所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度$y$（单位：m）关于水平距离$x$（单位：m）的函数解析式是$y = -x^2 + 2x + \frac{7}{4}(x＞0)$，则水流喷出的最大高度是（
A.3 m
B.2.75 m
C.2 m
D.1.75m
B
）。A.3 m
B.2.75 m
C.2 m
D.1.75m
答案
9. B
解析
【分析】
本题要求水流喷出的最大高度，实质是求给定二次函数的最大值。由于二次函数二次项系数为-1＜0，抛物线开口向下，其顶点的纵坐标即为函数的最大值，也就是水流的最大高度，可通过配方法或顶点纵坐标公式求解。
【解析】
解法1：配方法
对函数解析式配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x)+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x+1-1)+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 + 1 + \frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+\frac{11}{4}\end{aligned}$
因为$-(x-1)^2≤0$，所以当$x=1$时，$y$取得最大值$\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$。
解法2：顶点坐标公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-1$，$b=2$，$c=\frac{7}{4}$，代入得：
$y_{\mathrm{max}}=\frac{4×(-1)×\frac{7}{4} - 2^2}{4×(-1)}=\frac{-7-4}{-4}=\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用；顶点坐标计算
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的性质，解题核心是将实际问题中的“最大高度”转化为二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数顶点坐标的求解方法即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
本题要求水流喷出的最大高度，实质是求给定二次函数的最大值。由于二次函数二次项系数为-1＜0，抛物线开口向下，其顶点的纵坐标即为函数的最大值，也就是水流的最大高度，可通过配方法或顶点纵坐标公式求解。
【解析】
解法1：配方法
对函数解析式配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x)+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x+1-1)+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 + 1 + \frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+\frac{11}{4}\end{aligned}$
因为$-(x-1)^2≤0$，所以当$x=1$时，$y$取得最大值$\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$。
解法2：顶点坐标公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-1$，$b=2$，$c=\frac{7}{4}$，代入得：
$y_{\mathrm{max}}=\frac{4×(-1)×\frac{7}{4} - 2^2}{4×(-1)}=\frac{-7-4}{-4}=\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用；顶点坐标计算
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的性质，解题核心是将实际问题中的“最大高度”转化为二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数顶点坐标的求解方法即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
