12. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，D是边BC的中点，连结AD，点E在AD上，连结CE、BE，且$∠ EBD=∠ BAD$。
（1）求证：$CD^2=AD· DE$；
（2）若$DE=3$，$AE=4$，求CE的长。

(1)
∵∠BDE=∠ADB，∠EBD=∠BAD,
∴△BDE ∽△ADB.
∴$\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{ED}{BD}$.
∵D 是边 BC 的中点,
∴BD=CD.
∴$\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{ED}{CD}$.
∴$CD^2=AD·DE$
(2)
∵AE=4，DE=3，由(1)知，$CD^2=AD·DE$,
∴$CD^2=(DE+AE)DE=21$.
∵$\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{ED}{CD}$, ∠CDE=∠CDA,
∴△CDE ∽△ADC.
∴∠CED=∠ACD=90°.
∴$CE=\sqrt{CD^2-DE^2}=\sqrt{21-3^2}=2\sqrt{3}$

13. 如图,在四边形ABCD中, $AD // BC$,点F、E分别在线段BC、AC上,且$∠ AFC = ∠ DEA$, $AC = AD$.
(1) 求证: $DE = AF$;
(2) 若$∠ B = ∠ CDE$,求证: $AF^2 = BF · CE$.

(1)
∵AD // BC,
∴∠ACF = ∠DAC.
∵∠AFC = ∠DEA, AC = AD,
∴△ACF ≅△DAE(AAS).
∴AF = DE
(2) ∠AFC=∠DEA.
∴∠AFB=∠DEC.
∵∠ABC=∠CDE,
∴△ABF ∽△CDE.
∴$\dfrac{AF}{CE}=\dfrac{BF}{DE}$.
∴AF·DE=BF·CE.
∵AF=DE,
∴$AF^2=BF·CE$

14. 如图,在△ABC中,AD是边BC上的中线,点E在AD上(不与点A、D重合),连结BE、CE,并延长CE交AB于点F,∠DCE=∠DAC.
(1) 求证:△DBE∽△DAB;
(2) 当∠BED=∠ACF时,求证:AC²=AB·AE.

(1)
∵AD 是边 BC 上的中线，
∴BD = CD.
∵∠DCE=∠DAC, ∠CDE=∠ADC,
∴△CDE ∽△ADC.
∴$\dfrac{ED}{CD}=\dfrac{CD}{DA}$.
∴$\dfrac{ED}{BD}=\dfrac{BD}{AD}$.
∵∠BDE=∠ADB,
∴△DBE ∽△DAB
(2)
∵△DBE ∽△DAB,
∴∠BED=∠ABD.
∵∠BED=∠ACF,
∴∠ABD=∠ACF,即∠ABC=∠ACF.
∵∠BAC=∠CAF,
∴△BAC ∽△CAF.
∴$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AC}{AF}$.
∵∠ABC=∠ACF, ∠DCE=∠DAC,
∴∠AFE=∠ABC+∠DCE=∠ACF+∠DAC=∠AEF.
∴AF=AE.
∴$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AC}{AE}$,即$AC^2=AB·AE$