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1.「2026河南三门峡阶段练习」如图,两个等圆$\odot O_1$和$\odot O_2$相交于$A,B$两点,$O_1B$的延长线交$\odot O_2$于点$C$,若$∠ O_1=35°$,则$∠ O_1O_2C$的度数为(
A.$65°$
B.$70°$
C.$75°$
D.$80°$
C
)A.$65°$
B.$70°$
C.$75°$
D.$80°$
答案
1.C 如图,连接$O_2B$,$\because$ 两个等圆$\odot O_1$和$\odot O_2$相交于A,B两点,$\therefore BO_1 = BO_2$,$\therefore ∠ O_1 = ∠ BO_2O_1 = 35°$,$\therefore ∠ CBO_2 = 70°$.$\because O_2B = O_2C$,$\therefore ∠ BCO_2 = 70°$,$\therefore ∠ O_1O_2C = 180° - ∠ O_1 - ∠ BCO_2 = 180° - 35° - 70° =75°$.故选C.
解析
【分析】
遇到两个等圆相交的角度计算问题，首先利用等圆半径相等的性质，考虑连接两圆交点与圆心构造等腰三角形。本题已知∠O₁的度数，我们可以先连接O₂B，得到两个等腰三角形△O₁BO₂和△O₂BC，再依次利用等腰三角形等角对等边的性质、三角形外角性质、三角形内角和定理逐步推导要求的角度即可。
【解析】
解：如图，连接$O_2B$。
∵$\odot O_1$和$\odot O_2$是等圆，相交于$A,B$两点，
∴两圆半径相等，即$BO_1 = BO_2 = O_2C$。
在$△ O_1BO_2$中，$BO_1=BO_2$，
∴$∠ BO_2O_1 = ∠ O_1 = 35°$。
由三角形外角的性质，$∠ CBO_2 = ∠ O_1 + ∠ BO_2O_1 = 35° + 35° = 70°$。
在$△ O_2BC$中，$BO_2=O_2C$，
∴$∠ BCO_2 = ∠ CBO_2 = 70°$。
在$△ O_1CO_2$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ O_1O_2C = 180° - ∠ O_1 - ∠ BCO_2 = 180° - 35° - 70° = 75°$。
【答案】
C
【知识点】
等圆的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆性质应用的典型题，解题核心是通过连接辅助线构造等腰三角形，将圆的半径相等的特征转化为三角形的边相等，进而推导角度关系，侧重考查辅助线构造能力和角度计算的基础能力。
【难度系数】
0.7
遇到两个等圆相交的角度计算问题，首先利用等圆半径相等的性质，考虑连接两圆交点与圆心构造等腰三角形。本题已知∠O₁的度数，我们可以先连接O₂B，得到两个等腰三角形△O₁BO₂和△O₂BC，再依次利用等腰三角形等角对等边的性质、三角形外角性质、三角形内角和定理逐步推导要求的角度即可。
【解析】
解：如图，连接$O_2B$。
∵$\odot O_1$和$\odot O_2$是等圆，相交于$A,B$两点，
∴两圆半径相等，即$BO_1 = BO_2 = O_2C$。
在$△ O_1BO_2$中，$BO_1=BO_2$，
∴$∠ BO_2O_1 = ∠ O_1 = 35°$。
由三角形外角的性质，$∠ CBO_2 = ∠ O_1 + ∠ BO_2O_1 = 35° + 35° = 70°$。
在$△ O_2BC$中，$BO_2=O_2C$，
∴$∠ BCO_2 = ∠ CBO_2 = 70°$。
在$△ O_1CO_2$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ O_1O_2C = 180° - ∠ O_1 - ∠ BCO_2 = 180° - 35° - 70° = 75°$。
【答案】
C
【知识点】
等圆的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆性质应用的典型题，解题核心是通过连接辅助线构造等腰三角形，将圆的半径相等的特征转化为三角形的边相等，进而推导角度关系，侧重考查辅助线构造能力和角度计算的基础能力。
【难度系数】
0.7
2.「2025山东枣庄薛城三模」如图，过A,C,D三点的圆的圆心为E，过B,F,E三点的圆的圆心为D，如果∠EAC=63°，那么∠DBE的度数为
18°
。答案
2.答案 $18°$
解析 如图,连接$CE,DE$,由题意得$AE = CE = DE = DB$,$\therefore ∠ EAC = ∠ ACE = 63°$,$∠ ECD = ∠ CDE$,$∠ DEB = ∠ DBE$.
设$∠ DBE = ∠ DEB = x$,则$∠ ECD = ∠ CDE = 2x$,$\therefore ∠ CEA = ∠ ECD + ∠ DBE = 3x$,
在$△ ACE$中,$3x + 63° + 63° = 180°$,解得$x = 18°$,$\therefore ∠ DBE = 18°$.
解析
【分析】
解决本题的核心是利用圆的半径相等的性质，通过连接半径构造等腰三角形，再结合等腰三角形的性质、三角形外角与内角和定理求解。首先观察到两个圆的圆心分别为E、D，优先连接CE、DE，即可得到多组相等的线段，进而推导出多组等角；再设∠DBE为未知数，利用三角形外角性质表示出其他相关角，最后在△ACE中利用内角和定理列方程求解即可。
【解析】
如图，连接$CE$、$DE$。
∵过A、C、D三点的圆的圆心为E，
∴$AE=CE=DE$（同圆的半径相等）；
∵过B、F、E三点的圆的圆心为D，
∴$DE=DB$（同圆的半径相等）；
∴$AE = CE = DE = DB$。
∴$∠EAC = ∠ACE = 63°$，$∠ECD = ∠CDE$，$∠DEB = ∠DBE$。
设$∠DBE = ∠DEB = x$，
∵$∠CDE$是$△ DEB$的外角，
∴$∠CDE = ∠DEB + ∠DBE = 2x$，
∴$∠ECD = ∠CDE = 2x$。
∵$∠CEA$是$△ CEB$的外角，
∴$∠CEA = ∠ECD + ∠DBE = 2x + x = 3x$。
在$△ ACE$中，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠CEA + ∠EAC + ∠ACE = 180°$，即$3x + 63° + 63° = 180°$，
解得$x=18°$，即$∠DBE=18°$。
【答案】
$18°$
【知识点】
1. 圆的半径相等 2. 等腰三角形性质 3. 三角形内角和与外角定理
【点评】
本题是与圆有关的角度计算的典型题型，解题的关键是熟练掌握圆的基本性质，通过连接半径构造等腰三角形，结合方程思想求解角度，能够较好地考查学生对几何基本性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.65
解决本题的核心是利用圆的半径相等的性质，通过连接半径构造等腰三角形，再结合等腰三角形的性质、三角形外角与内角和定理求解。首先观察到两个圆的圆心分别为E、D，优先连接CE、DE，即可得到多组相等的线段，进而推导出多组等角；再设∠DBE为未知数，利用三角形外角性质表示出其他相关角，最后在△ACE中利用内角和定理列方程求解即可。
【解析】
如图，连接$CE$、$DE$
。∵过A、C、D三点的圆的圆心为E，
∴$AE=CE=DE$（同圆的半径相等）；
∵过B、F、E三点的圆的圆心为D，
∴$DE=DB$（同圆的半径相等）；
∴$AE = CE = DE = DB$。
∴$∠EAC = ∠ACE = 63°$，$∠ECD = ∠CDE$，$∠DEB = ∠DBE$。
设$∠DBE = ∠DEB = x$，
∵$∠CDE$是$△ DEB$的外角，
∴$∠CDE = ∠DEB + ∠DBE = 2x$，
∴$∠ECD = ∠CDE = 2x$。
∵$∠CEA$是$△ CEB$的外角，
∴$∠CEA = ∠ECD + ∠DBE = 2x + x = 3x$。
在$△ ACE$中，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠CEA + ∠EAC + ∠ACE = 180°$，即$3x + 63° + 63° = 180°$，
解得$x=18°$，即$∠DBE=18°$。
【答案】
$18°$
【知识点】
1. 圆的半径相等 2. 等腰三角形性质 3. 三角形内角和与外角定理
【点评】
本题是与圆有关的角度计算的典型题型，解题的关键是熟练掌握圆的基本性质，通过连接半径构造等腰三角形，结合方程思想求解角度，能够较好地考查学生对几何基本性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.65
3.如图,$\odot O$的半径为10,弦$AB=16$,点M是弦AB上的动点且点M不与点A,B重合,若OM的长为整数,则这样的点M有 (
第3题图
C
) A.4个 B.5个 C.7个 D.9个 第3题图答案
3.C 如图,过点$O$作$OP ⊥ AB$于点$P$,连接$OA$,$\because AB = 16$,$\therefore AP = \frac{1}{2}AB = 8$,$\because OA = 10$,$\therefore OP = \sqrt{OA^2 - AP^2} = 6$,$\because$ 点$M$是弦$AB$上的动点且点$M$不与点$A$,$B$重合,$\therefore 6 ≤ OM ＜ 10$,$\because OM$的长为整数,$\therefore OM$的长可取6,7,8,9,$\therefore$ 满足条件的点$M$有7个.故选C.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要确定OM的取值范围：①根据垂线段最短，OM的最小值是圆心O到弦AB的垂线段长度，可通过作垂线结合垂径定理、勾股定理计算；②OM的最大值接近圆的半径，因为点M不与A、B重合，所以OM小于半径。再找出范围内的整数OM值，结合对称性统计每个OM值对应的点的个数，求和即可得到总个数。
【解析】
过点$O$作$OP ⊥ AB$于点$P$，连接$OA$。
1. 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，已知$AB = 16$，因此$AP = \frac{1}{2}AB = 8$。
2. 在$Rt△ OAP$中，$OA$是$\odot O$的半径为10，由勾股定理可得：$OP = \sqrt{OA^2 - AP^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$，即OM的最小值为6。
3. 因为点M是弦AB上的动点且不与A、B重合，所以OM的取值范围是$6 ≤ OM ＜ 10$。
4. 若OM的长为整数，则OM可取的值为6、7、8、9：
当$OM=6$时，仅存在垂足P这1个点满足条件；
当$OM=7$、$OM=8$、$OM=9$时，根据对称性，在点P的左右两侧各有1个点满足条件，共$3×2=6$个点。
5. 满足条件的点M总共有$1+6=7$个。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题是圆的性质的典型应用，解题关键是作弦的垂线确定OM的取值范围，结合整数要求和对称性统计点的个数，易错点是忽略“点M不与A、B重合”的限制，误将OM=10纳入取值范围导致计数错误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要确定OM的取值范围：①根据垂线段最短，OM的最小值是圆心O到弦AB的垂线段长度，可通过作垂线结合垂径定理、勾股定理计算；②OM的最大值接近圆的半径，因为点M不与A、B重合，所以OM小于半径。再找出范围内的整数OM值，结合对称性统计每个OM值对应的点的个数，求和即可得到总个数。
【解析】
过点$O$作$OP ⊥ AB$于点$P$，连接$OA$。
1. 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，已知$AB = 16$，因此$AP = \frac{1}{2}AB = 8$。
2. 在$Rt△ OAP$中，$OA$是$\odot O$的半径为10，由勾股定理可得：$OP = \sqrt{OA^2 - AP^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$，即OM的最小值为6。
3. 因为点M是弦AB上的动点且不与A、B重合，所以OM的取值范围是$6 ≤ OM ＜ 10$。
4. 若OM的长为整数，则OM可取的值为6、7、8、9：
当$OM=6$时，仅存在垂足P这1个点满足条件；
当$OM=7$、$OM=8$、$OM=9$时，根据对称性，在点P的左右两侧各有1个点满足条件，共$3×2=6$个点。
5. 满足条件的点M总共有$1+6=7$个。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题是圆的性质的典型应用，解题关键是作弦的垂线确定OM的取值范围，结合整数要求和对称性统计点的个数，易错点是忽略“点M不与A、B重合”的限制，误将OM=10纳入取值范围导致计数错误。
【难度系数】
0.7
4. 情境 中华优秀传统文化 如图,筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明代科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆,已知圆心O在水面上方,且$\odot O$被水面截得的弦AB的长为16米,$\odot O$的半径长为10米.若点C为运行轨道的最低点,则点C到弦AB所在直线的距离是（
A.4米
B.6米
C.8米
D.10米
A
）A.4米
B.6米
C.8米
D.10米
答案
4.A 如图,连接$OA$,$OC$,$OC$交$AB$于点$D$,由题意得$OA = OC = 10$米,$OC ⊥ AB$,$\therefore AD = BD = \frac{1}{2}AB = 8$米,$∠ ADO = 90°$,$\therefore OD = \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$(米),$\therefore CD = OC - OD = 4$米,即点$C$到弦$AB$所在直线的距离是4米.故选A.
解析
【分析】
遇到圆中弦长求距离的问题，首先想到垂径定理。本题中，点C是圆的最低点，因此圆心O与点C的连线OC垂直于水面所在的弦AB，此时OC与AB的交点D平分AB。我们可以先通过垂径定理求出AD的长度，再在直角三角形OAD中利用勾股定理求出OD的长度，最后用半径OC减去OD的长度，就能得到点C到AB的距离。
【解析】
解：连接$OA$，$OC$，$OC$交$AB$于点$D$，
由题意得$OA=OC=10$米，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴$OC⊥AB$，
根据垂径定理可得：$AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$米，$∠ ADO=90°$，
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$（米），
∴$CD=OC - OD=10 - 6=4$（米），即点C到弦AB所在直线的距离是4米。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题以我国古代水利灌溉工具筒车为情境，考查圆相关性质的实际应用，解题关键是结合题意正确作出辅助线，构造直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题，体现了数学与传统文化、实际生活的结合。
【难度系数】
0.8
遇到圆中弦长求距离的问题，首先想到垂径定理。本题中，点C是圆的最低点，因此圆心O与点C的连线OC垂直于水面所在的弦AB，此时OC与AB的交点D平分AB。我们可以先通过垂径定理求出AD的长度，再在直角三角形OAD中利用勾股定理求出OD的长度，最后用半径OC减去OD的长度，就能得到点C到AB的距离。
【解析】
解：连接$OA$，$OC$，$OC$交$AB$于点$D$，
由题意得$OA=OC=10$米，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴$OC⊥AB$，
根据垂径定理可得：$AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$米，$∠ ADO=90°$，
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$（米），
∴$CD=OC - OD=10 - 6=4$（米），即点C到弦AB所在直线的距离是4米。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题以我国古代水利灌溉工具筒车为情境，考查圆相关性质的实际应用，解题关键是结合题意正确作出辅助线，构造直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题，体现了数学与传统文化、实际生活的结合。
【难度系数】
0.8
5.如图,已知六边形ABCDEF内接于⊙O,∠CAE=60°,则∠B+∠F的度数是 (
A.230°
B.240°
C.235°
D.245°
B
)A.230°
B.240°
C.235°
D.245°
答案
5.B 如图,连接$CF$,$\because ∠ CAE$和$∠ CFE$都是$\overset{\frown}{CE}$所对的圆周角,$\therefore ∠ CFE = ∠ CAE = 60°$.
$\because$ 四边形$ABCF$是$\odot O$的内接四边形,$\therefore ∠ B + ∠ AFC = 180°$,$\therefore ∠ B + ∠ AFE = ∠ B + ∠ AFC + ∠ CFE = 180° + 60° = 240°$.故选B.
解析
【分析】
本题要求圆内接六边形中∠B与∠F的和，直接分别求解两个角的度数缺少足够条件，因此考虑利用圆的性质进行角度转化。首先可构造辅助线连接CF，一方面能得到圆内接四边形ABCF，利用圆内接四边形对角互补的性质得到∠B与∠AFC的和；另一方面∠CAE和∠CFE都是弧CE所对的圆周角，根据圆周角定理可得到∠CFE的度数，最后将角度合并即可得到∠B+∠F的度数。
【解析】
解：如图，连接$CF$。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，$\because ∠CAE$和$∠CFE$都是$\overset{\frown}{CE}$所对的圆周角，$\therefore ∠CFE = ∠CAE = 60°$。
2. 根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，$\because$ 四边形$ABCF$是$\odot O$的内接四边形，$\therefore ∠B + ∠AFC = 180°$。
3. 角度转化：$∠ AFE = ∠ AFC + ∠ CFE$，因此$∠ B + ∠ AFE = ∠ B + ∠ AFC + ∠ CFE = 180° + 60° = 240°$，即$∠ B + ∠ F = 240°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆性质应用的常规题型，解题核心是通过作辅助线将六边形的角度问题转化为熟悉的圆内接四边形、同弧圆周角的问题，实现未知角度和向已知角度的转化，解题时要熟练掌握圆的相关性质，学会合理构造辅助线。
【难度系数】
0.7
本题要求圆内接六边形中∠B与∠F的和，直接分别求解两个角的度数缺少足够条件，因此考虑利用圆的性质进行角度转化。首先可构造辅助线连接CF，一方面能得到圆内接四边形ABCF，利用圆内接四边形对角互补的性质得到∠B与∠AFC的和；另一方面∠CAE和∠CFE都是弧CE所对的圆周角，根据圆周角定理可得到∠CFE的度数，最后将角度合并即可得到∠B+∠F的度数。
【解析】
解：如图，连接$CF$。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，$\because ∠CAE$和$∠CFE$都是$\overset{\frown}{CE}$所对的圆周角，$\therefore ∠CFE = ∠CAE = 60°$。
2. 根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，$\because$ 四边形$ABCF$是$\odot O$的内接四边形，$\therefore ∠B + ∠AFC = 180°$。
3. 角度转化：$∠ AFE = ∠ AFC + ∠ CFE$，因此$∠ B + ∠ AFE = ∠ B + ∠ AFC + ∠ CFE = 180° + 60° = 240°$，即$∠ B + ∠ F = 240°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆性质应用的常规题型，解题核心是通过作辅助线将六边形的角度问题转化为熟悉的圆内接四边形、同弧圆周角的问题，实现未知角度和向已知角度的转化，解题时要熟练掌握圆的相关性质，学会合理构造辅助线。
【难度系数】
0.7
6.「2026江苏无锡期中」如图，在$\odot O$中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D，连接BC，CD。若点D与圆心O不重合，$∠ ABC=62°$，则$∠ ACD$的度数为（
A.$56°$
B.$45°$
C.$34°$
D.$44°$
C
）A.$56°$
B.$45°$
C.$34°$
D.$44°$
答案
6.C 如图,设点$D$关于$AC$的对称点为$D'$,连接$AD'$,$CD'$,则$∠ ADC = ∠ AD'C$,$\because$ 四边形$ABCD'$是$\odot O$的内接四边形,$∠ ABC = 62°$,$\therefore ∠ ADC = ∠ AD'C = 180° - ∠ ABC = 118°$.$\because ∠ ADC = ∠ ABC + ∠ BCD$,$\therefore ∠ BCD = 118° - 62° = 56°$.$\because AB$为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ACB = 90°$,$\therefore ∠ ACD = ∠ ACB - ∠ BCD = 90° - 56° = 34°$.故选C.
解析
【分析】
遇到翻折问题首先考虑轴对称的性质，翻折前后对应角相等、对应点关于折痕对称。本题我们可以先作出点D关于AC的对称点D'，根据翻折的性质可知D'在原劣弧AC上，进而得到∠ADC=∠AD'C；再结合圆内接四边形对角互补的性质求出∠ADC的度数；接着利用三角形外角的性质求出∠BCD的度数；最后根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，用∠ACB减去∠BCD即可求出∠ACD的度数。
【解析】
解：设点D关于AC的对称点为D'，连接AD'，CD'。
根据翻折的性质可得：$∠ ADC = ∠ AD'C$。
$\because$ 四边形$ABCD'$是$\odot O$的内接四边形，$∠ ABC=62°$，
$\therefore ∠ AD'C + ∠ ABC = 180°$，
$\therefore ∠ ADC = ∠ AD'C = 180° - 62° = 118°$。
$\because ∠ ADC$是$△ BCD$的外角，
$\therefore ∠ ADC = ∠ ABC + ∠ BCD$，
$\therefore ∠ BCD = ∠ ADC - ∠ ABC = 118° - 62° = 56°$。
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ ACD = ∠ ACB - ∠ BCD = 90° - 56° = 34°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，翻折的性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的性质与图形翻折结合的典型题，解题核心是通过作对称点将翻折后的角转化为圆内接四边形的内角，结合圆周角定理和三角形外角性质逐步推导角度，对辅助线的构造能力有一定要求，能很好地考查综合运用知识解题的能力。
【难度系数】
0.7
遇到翻折问题首先考虑轴对称的性质，翻折前后对应角相等、对应点关于折痕对称。本题我们可以先作出点D关于AC的对称点D'，根据翻折的性质可知D'在原劣弧AC上，进而得到∠ADC=∠AD'C；再结合圆内接四边形对角互补的性质求出∠ADC的度数；接着利用三角形外角的性质求出∠BCD的度数；最后根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，用∠ACB减去∠BCD即可求出∠ACD的度数。
【解析】
解：设点D关于AC的对称点为D'，连接AD'，CD'。
根据翻折的性质可得：$∠ ADC = ∠ AD'C$。
$\because$ 四边形$ABCD'$是$\odot O$的内接四边形，$∠ ABC=62°$，
$\therefore ∠ AD'C + ∠ ABC = 180°$，
$\therefore ∠ ADC = ∠ AD'C = 180° - 62° = 118°$。
$\because ∠ ADC$是$△ BCD$的外角，
$\therefore ∠ ADC = ∠ ABC + ∠ BCD$，
$\therefore ∠ BCD = ∠ ADC - ∠ ABC = 118° - 62° = 56°$。
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ ACD = ∠ ACB - ∠ BCD = 90° - 56° = 34°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，翻折的性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的性质与图形翻折结合的典型题，解题核心是通过作对称点将翻折后的角转化为圆内接四边形的内角，结合圆周角定理和三角形外角性质逐步推导角度，对辅助线的构造能力有一定要求，能很好地考查综合运用知识解题的能力。
【难度系数】
0.7
7.「2025河南周口太康一模」如图,点A,B,C,D,E都在$\odot O$上,BE是直径,$BE// CD$,$∠ E=24°$,则$∠ A$的度数为
66°
.答案
7.答案 $66°$
解析 连接$BC$,图略.$\because BE$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ BCE = 90°$.$\because BE // CD$,$∠ E = 24°$,$\therefore ∠ ECD = ∠ E = 24°$,$\therefore ∠ BCD = 90° + 24° = 114°$.$\because$ 四边形$ABCD$为$\odot O$的内接四边形,$\therefore ∠ A = 180° - ∠ BCD = 66°$.
解析 连接$BC$,图略.$\because BE$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ BCE = 90°$.$\because BE // CD$,$∠ E = 24°$,$\therefore ∠ ECD = ∠ E = 24°$,$\therefore ∠ BCD = 90° + 24° = 114°$.$\because$ 四边形$ABCD$为$\odot O$的内接四边形,$\therefore ∠ A = 180° - ∠ BCD = 66°$.
解析
【分析】
要求∠A的度数，观察可知∠A是圆内接四边形ABCD的内角，可借助圆内接四边形对角互补的性质求解，因此先求∠BCD的度数即可。已知BE是直径，优先连接BC构造直角，利用直径所对圆周角为直角得到∠BCE=90°；再结合BE//CD的条件，用平行线内错角相等求出∠ECD，即可算出∠BCD，最终求出∠A。
【解析】
连接BC，
∵ BE是$\odot O$的直径，
∴ ∠BCE = 90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵ BE//CD，∠E=24°，
∴ ∠ECD = ∠E = 24°（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠BCD = ∠BCE + ∠ECD = 90° + 24° = 114°。
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ ∠A + ∠BCD = 180°（圆内接四边形的对角互补），
∴ ∠A = 180° - 114° = 66°。
【答案】
$66°$
【知识点】
直径所对圆周角的性质；平行线的性质；圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于圆性质的基础综合题，解题关键是合理添加辅助线BC，将已知条件和待求角度通过直径、平行线、圆内接四边形的性质关联起来，是圆章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
要求∠A的度数，观察可知∠A是圆内接四边形ABCD的内角，可借助圆内接四边形对角互补的性质求解，因此先求∠BCD的度数即可。已知BE是直径，优先连接BC构造直角，利用直径所对圆周角为直角得到∠BCE=90°；再结合BE//CD的条件，用平行线内错角相等求出∠ECD，即可算出∠BCD，最终求出∠A。
【解析】
连接BC，
∵ BE是$\odot O$的直径，
∴ ∠BCE = 90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵ BE//CD，∠E=24°，
∴ ∠ECD = ∠E = 24°（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠BCD = ∠BCE + ∠ECD = 90° + 24° = 114°。
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ ∠A + ∠BCD = 180°（圆内接四边形的对角互补），
∴ ∠A = 180° - 114° = 66°。
【答案】
$66°$
【知识点】
直径所对圆周角的性质；平行线的性质；圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于圆性质的基础综合题，解题关键是合理添加辅助线BC，将已知条件和待求角度通过直径、平行线、圆内接四边形的性质关联起来，是圆章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
8.「2025山西中考」如图，AB为$\odot O$的直径，点C,D是$\odot O$上位于AB异侧的两点，连接AD,CD.若$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，则$∠ D$的度数为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
B
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
8.B 连接$OC$,图略.$\because \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$,$AB$为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ AOC = ∠ BOC = 90°$,$\therefore ∠ D = \frac{1}{2}∠ AOC = 45°$.故选B.
解析
【分析】
要求$∠ D$的度数，$∠ D$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，因此只需先求出$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角$∠ AOC$的度数即可。已知AB是$\odot O$的直径，可得$∠ AOB=180°$，又因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，等弧对应的圆心角相等，因此可推出$∠ AOC$的度数，最后代入圆周角定理计算即可。
【解析】
连接$OC$，
$\because \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$，$AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×180°=90°$，
$\because ∠ D$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
$\therefore$根据圆周角定理，$∠ D = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}×90°=45°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
弧与圆心角的关系、圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是合理添加辅助线构造圆心角，熟练掌握弧、圆心角、圆周角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要求$∠ D$的度数，$∠ D$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，因此只需先求出$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角$∠ AOC$的度数即可。已知AB是$\odot O$的直径，可得$∠ AOB=180°$，又因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，等弧对应的圆心角相等，因此可推出$∠ AOC$的度数，最后代入圆周角定理计算即可。
【解析】
连接$OC$，
$\because \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$，$AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×180°=90°$，
$\because ∠ D$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
$\therefore$根据圆周角定理，$∠ D = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}×90°=45°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
弧与圆心角的关系、圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是合理添加辅助线构造圆心角，熟练掌握弧、圆心角、圆周角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
