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9. 学科特色 多解法 「2026江苏宿迁期中」如图，AB为圆O的一条弦，圆周角∠ACB=45°，若⊙O的直径为10，则AB=
5√2
。答案
9.答案 $5\sqrt{2}$
解析 【解法一】如图,连接$OA$,$OB$,$\because ∠ ACB = 45°$,$\therefore ∠ AOB = 2∠ ACB = 90°$.$\because \odot O$的直径为10,$\therefore OA = OB = 5$.在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = 5\sqrt{2}$.
【解法二】如图,连接$AO$并延长,交$\odot O$于$D$,连接$BD$,$\because AD$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ABD = 90°$.$\because ∠ ACB = 45°$,$\therefore ∠ D = ∠ ACB = 45°$,$\therefore AB = BD$.$\because \odot O$的直径为10,$\therefore AD = 10$.在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$\because AB^2 + BD^2 = AD^2$,$\therefore AB = 5\sqrt{2}$.
解析
【分析】
要求弦AB的长度，需结合已知的圆周角∠ACB=45°和圆的直径条件，将已知条件转化到含AB的三角形中求解：
思路1：利用圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，连接OA、OB构造圆心角，得到等腰直角△AOB，结合半径长度用勾股定理求AB；
思路2：利用直径所对的圆周角为直角，构造含AB的直角三角形，作直径AD，连接BD，由同弧所对圆周角相等得∠D=∠ACB=45°，在Rt△ABD中用勾股定理求AB。
【解析】
【解法一】如图，连接$OA$,$OB$，
$\because ∠ ACB = 45°$，根据圆周角定理，同弧AB所对的圆心角是圆周角的2倍，$\therefore ∠ AOB = 2∠ ACB = 90°$。
$\because \odot O$的直径为10，$\therefore$半径$OA = OB = 5$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$。
【解法二】如图，连接$AO$并延长，交$\odot O$于$D$，连接$BD$，
$\because AD$是$\odot O$的直径，$\therefore$直径所对的圆周角为直角，即$∠ ABD = 90°$。
$\because ∠ ACB$和$∠D$都是弧AB所对的圆周角，$\therefore ∠ D = ∠ ACB = 45°$，$\therefore △ABD$为等腰直角三角形，$AB = BD$。
$\because \odot O$的直径为10，$\therefore AD = 10$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得$AB^2 + BD^2 = AD^2$，即$2AB^2=10^2$，解得$AB = 5\sqrt{2}$。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆性质应用的基础题，两种解题思路对应的辅助线都是圆中常用的辅助线作法，解题的关键是灵活运用圆周角相关性质，将已知条件转化到直角三角形中求解。
【难度系数】
0.7
要求弦AB的长度，需结合已知的圆周角∠ACB=45°和圆的直径条件，将已知条件转化到含AB的三角形中求解：
思路1：利用圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，连接OA、OB构造圆心角，得到等腰直角△AOB，结合半径长度用勾股定理求AB；
思路2：利用直径所对的圆周角为直角，构造含AB的直角三角形，作直径AD，连接BD，由同弧所对圆周角相等得∠D=∠ACB=45°，在Rt△ABD中用勾股定理求AB。
【解析】
【解法一】如图，连接$OA$,$OB$，
$\because ∠ ACB = 45°$，根据圆周角定理，同弧AB所对的圆心角是圆周角的2倍，$\therefore ∠ AOB = 2∠ ACB = 90°$。
$\because \odot O$的直径为10，$\therefore$半径$OA = OB = 5$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$。
【解法二】如图，连接$AO$并延长，交$\odot O$于$D$，连接$BD$，
$\because AD$是$\odot O$的直径，$\therefore$直径所对的圆周角为直角，即$∠ ABD = 90°$。
$\because ∠ ACB$和$∠D$都是弧AB所对的圆周角，$\therefore ∠ D = ∠ ACB = 45°$，$\therefore △ABD$为等腰直角三角形，$AB = BD$。
$\because \odot O$的直径为10，$\therefore AD = 10$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得$AB^2 + BD^2 = AD^2$，即$2AB^2=10^2$，解得$AB = 5\sqrt{2}$。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆性质应用的基础题，两种解题思路对应的辅助线都是圆中常用的辅助线作法，解题的关键是灵活运用圆周角相关性质，将已知条件转化到直角三角形中求解。
【难度系数】
0.7
10.「2025北京大兴一模」如图，AB是$\odot O$的弦，且$AB=6$，点C是弧AB的中点，点D是优弧AB上的一点，$∠ ADC=30°$，则圆心O到弦AB的距离为
√3
。答案
10.答案 $\sqrt{3}$
解析 如图,连接$OA$,$OC$,$OC$交$AB$于点$E$,$\because$ 点$C$是弧$AB$的中点,$AB = 6$,$\therefore OC ⊥ AB$,且$AE = BE = 3$,$\because ∠ ADC = 30°$,$\therefore ∠ AOC = 2∠ ADC = 60°$,$\therefore ∠ OAE = 30°$,$\therefore OA = 2OE$,又$\because OE^2 + AE^2 = OA^2$,$\therefore OE^2 + 3^2 = 4OE^2$,$\therefore OE = \sqrt{3}$,即圆心$O$到弦$AB$的距离为$\sqrt{3}$.
解析
【分析】要求圆心O到弦AB的距离，首先结合圆的性质确定辅助线做法：已知点C是弧AB的中点，根据垂径定理的推论，连接OC、OA，OC与AB交于点E，则OC垂直平分AB，OE即为所求的圆心到AB的距离。再利用圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知∠ADC=30°求出圆心角∠AOC的度数，最后在Rt△OAE中利用勾股定理即可求出OE的长度。
【解析】解：如图，连接$OA$，$OC$，$OC$交$AB$于点$E$。
$\because$ 点$C$是弧$AB$的中点，$AB = 6$，
$\therefore OC ⊥ AB$，且$AE = BE = \frac{1}{2}AB = 3$，即$OE$为圆心$O$到弦$AB$的距离。
$\because ∠ ADC = 30°$，$∠ ADC$是弧$AC$所对的圆周角，$∠ AOC$是弧$AC$所对的圆心角，
$\therefore ∠ AOC = 2∠ ADC = 60°$。
在$Rt△ OAE$中，$∠ OAE = 90° - ∠ AOC = 30°$，
$\therefore OA = 2OE$。
由勾股定理得$OE^2 + AE^2 = OA^2$，代入$AE=3$、$OA=2OE$得：
$OE^2 + 3^2 = (2OE)^2$，
整理得$3OE^2 = 9$，解得$OE = \sqrt{3}$（距离为正，舍去负解）。
【答案】$\sqrt{3}$
【知识点】垂径定理；圆周角定理；勾股定理
【点评】本题是圆的性质应用的典型基础题，解题关键是通过连接圆心与弧中点构造垂直于弦的辅助线，将所求距离转化到直角三角形中，结合圆周角定理得到角度关系后即可求解。
【难度系数】0.7
【解析】解：如图，连接$OA$，$OC$，$OC$交$AB$于点$E$。
$\because$ 点$C$是弧$AB$的中点，$AB = 6$，
$\therefore OC ⊥ AB$，且$AE = BE = \frac{1}{2}AB = 3$，即$OE$为圆心$O$到弦$AB$的距离。
$\because ∠ ADC = 30°$，$∠ ADC$是弧$AC$所对的圆周角，$∠ AOC$是弧$AC$所对的圆心角，
$\therefore ∠ AOC = 2∠ ADC = 60°$。
在$Rt△ OAE$中，$∠ OAE = 90° - ∠ AOC = 30°$，
$\therefore OA = 2OE$。
由勾股定理得$OE^2 + AE^2 = OA^2$，代入$AE=3$、$OA=2OE$得：
$OE^2 + 3^2 = (2OE)^2$，
整理得$3OE^2 = 9$，解得$OE = \sqrt{3}$（距离为正，舍去负解）。
【答案】$\sqrt{3}$
【知识点】垂径定理；圆周角定理；勾股定理
【点评】本题是圆的性质应用的典型基础题，解题关键是通过连接圆心与弧中点构造垂直于弦的辅助线，将所求距离转化到直角三角形中，结合圆周角定理得到角度关系后即可求解。
【难度系数】0.7
11.「2026江苏无锡梁溪期中」如图，$△ BCD$内接于$\odot O$，点B是$\overset{\frown}{CD}$的中点，CD是$\odot O$的直径.若$∠ ABC=30°,AC=5$,则BC的长为
5√2
. 答案
11.答案 $5\sqrt{2}$
解析 如图,连接$AD$,$\because CD$是$\odot O$的直径,$∠ ABC = 30°$,$\therefore ∠ DBC = ∠ DAC = 90°$,$∠ ADC = ∠ ABC = 30°$,$\therefore CD = 2AC = 10$.$\because$ 点$B$是$\overset{\frown}{CD}$的中点,$\therefore \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BD}$,$\therefore BC = BD = \frac{\sqrt{2}}{2}CD = 5\sqrt{2}$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，CD是⊙O的直径，根据直径的性质，优先构造直径所对的圆周角得到直角三角形，因此连接AD；再利用同弧所对的圆周角相等，得到∠ADC=∠ABC=30°，在Rt△ADC中借助30°角对应的直角边是斜边一半的性质，求出直径CD的长度；最后根据点B是$\overset{\frown}{CD}$的中点，可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，对应弦BC=BD，即△BCD为等腰直角三角形，代入CD的长度即可求出BC的长。
【解析】
如图，连接$AD$。
$\because CD$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ DBC = ∠ DAC = 90°$。
$\because ∠ ABC$和$∠ ADC$均为$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，
$\therefore ∠ ADC = ∠ ABC = 30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC=30°$，$AC=5$，
$\therefore CD=2AC=10$。
$\because$点$B$是$\overset{\frown}{CD}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BD}$，
$\therefore BC=BD$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得$BC^2+BD^2=CD^2$，将$BD=BC$、$CD=10$代入，
得$2BC^2=100$，解得$BC=\frac{\sqrt{2}}{2}CD=5\sqrt{2}$。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理；直角三角形性质；弧弦关系
【点评】
本题属于圆的性质的基础综合题，解题关键是合理构造辅助线得到直角三角形，结合圆周角相关性质、特殊直角三角形的边长关系逐步推导，考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，CD是⊙O的直径，根据直径的性质，优先构造直径所对的圆周角得到直角三角形，因此连接AD；再利用同弧所对的圆周角相等，得到∠ADC=∠ABC=30°，在Rt△ADC中借助30°角对应的直角边是斜边一半的性质，求出直径CD的长度；最后根据点B是$\overset{\frown}{CD}$的中点，可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，对应弦BC=BD，即△BCD为等腰直角三角形，代入CD的长度即可求出BC的长。
【解析】
如图，连接$AD$。
$\because CD$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ DBC = ∠ DAC = 90°$。
$\because ∠ ABC$和$∠ ADC$均为$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，
$\therefore ∠ ADC = ∠ ABC = 30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC=30°$，$AC=5$，
$\therefore CD=2AC=10$。
$\because$点$B$是$\overset{\frown}{CD}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BD}$，
$\therefore BC=BD$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得$BC^2+BD^2=CD^2$，将$BD=BC$、$CD=10$代入，
得$2BC^2=100$，解得$BC=\frac{\sqrt{2}}{2}CD=5\sqrt{2}$。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理；直角三角形性质；弧弦关系
【点评】
本题属于圆的性质的基础综合题，解题关键是合理构造辅助线得到直角三角形，结合圆周角相关性质、特殊直角三角形的边长关系逐步推导，考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
12.「2025陕西中考A卷」如图，AB为$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，$∠ CDB=24°$，则$∠ ACD$的度数为
66°
。答案
12.答案 $66°$
解析 如图,连接$BC$,$\because \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BD}$,$\therefore ∠ BCD = ∠ CDB = 24°$,$\because AB$为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ACB = 90°$,$\therefore ∠ ACD = 90° - 24° = 66°$.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：题目给出等弧和直径两个核心条件，我们可以通过构造辅助线BC转化条件：①等弧所对的圆周角相等，可由已知的∠CDB的度数求出∠BCD的度数；②直径所对的圆周角为直角，可得到∠ACB的度数，最后用∠ACB减去∠BCD即可求得∠ACD的度数。
【解析】
解：如图，连接BC
$\because \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BD}$，
$\therefore ∠ BCD = ∠ CDB = 24°$（等弧所对的圆周角相等）。
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB = 90°$（直径所对的圆周角是直角）。
$\therefore ∠ ACD = ∠ ACB - ∠ BCD = 90° - 24° = 66°$。
【答案】
$66°$
【知识点】
圆周角定理，直径的性质，等弧的性质
【点评】
本题是圆性质的基础考察题，解题关键是掌握圆中常用辅助线的构造思路，结合等弧、直径对应的圆周角性质即可快速求解，是圆相关性质的典型基础考法。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：题目给出等弧和直径两个核心条件，我们可以通过构造辅助线BC转化条件：①等弧所对的圆周角相等，可由已知的∠CDB的度数求出∠BCD的度数；②直径所对的圆周角为直角，可得到∠ACB的度数，最后用∠ACB减去∠BCD即可求得∠ACD的度数。
【解析】
解：如图，连接BC
$\because \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BD}$，
$\therefore ∠ BCD = ∠ CDB = 24°$（等弧所对的圆周角相等）。
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB = 90°$（直径所对的圆周角是直角）。
$\therefore ∠ ACD = ∠ ACB - ∠ BCD = 90° - 24° = 66°$。
【答案】
$66°$
【知识点】
圆周角定理，直径的性质，等弧的性质
【点评】
本题是圆性质的基础考察题，解题关键是掌握圆中常用辅助线的构造思路，结合等弧、直径对应的圆周角性质即可快速求解，是圆相关性质的典型基础考法。
【难度系数】
0.8
13.如图，AB是$\odot O$的一条弦，将劣弧AB沿弦AB翻折，连接AO并延长，交翻折后的弧于点C，连接BC。若$\odot O$的半径为2，$BC=1$，则$AB=$
√15
。答案
13.答案 $\sqrt{15}$
解析 如图,延长$AC$交$\odot O$于点$D$,连接$BD$,$\because$ 劣弧$AB$沿弦$AB$翻折,$AD$交翻折后的弧于点$C$,且$\overset{\frown}{BC}$和$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角都是$∠ BAD$,$\therefore \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BD}$,$\therefore BC = BD = 1$,$\because AD$为$\odot O$的直径,$\odot O$的半径为2,$\therefore ∠ ABD = 90°$,$AD = 4$,$\therefore AB = \sqrt{AD^2 - BD^2} = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15}$.
解析
【分析】
遇到圆中弧翻折的问题时，首先要利用翻折前后同弦所对圆周角相等的性质，分析对应弧、弦的等量关系；其次看到AO的延长线，可想到AO延长后为圆的直径，直径所对的圆周角为直角，因此考虑延长AC交圆于D，连接BD构造直角三角形。第一步先根据翻折性质结合圆周角定理得到$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，推出$BD=BC$；第二步利用直径的性质得到$∠ ABD$为直角，再用勾股定理计算AB的长度即可。
【解析】
解：如图，延长$AC$交$\odot O$于点$D$，连接$BD$。
∵ 劣弧$AB$沿弦$AB$翻折，$AD$交翻折后的弧于点$C$，$\overset{\frown}{BC}$和$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角都是$∠ BAD$，
∴ $\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BD}$，
∴ $BC = BD = 1$。
∵ $AD$为$\odot O$的直径，$\odot O$的半径为2，
∴ $∠ ABD = 90°$，$AD = 2×2=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AD^2 - BD^2} = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15}$。
【答案】
$\sqrt{15}$
【知识点】
翻折的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的性质与翻折变换，解题的关键是合理构造辅助线，利用圆周角定理得到等弦，再结合直径所对圆周角为直角的性质，通过勾股定理求解，需熟练掌握这类圆中常见辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.6
遇到圆中弧翻折的问题时，首先要利用翻折前后同弦所对圆周角相等的性质，分析对应弧、弦的等量关系；其次看到AO的延长线，可想到AO延长后为圆的直径，直径所对的圆周角为直角，因此考虑延长AC交圆于D，连接BD构造直角三角形。第一步先根据翻折性质结合圆周角定理得到$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，推出$BD=BC$；第二步利用直径的性质得到$∠ ABD$为直角，再用勾股定理计算AB的长度即可。
【解析】
解：如图，延长$AC$交$\odot O$于点$D$，连接$BD$。
∵ 劣弧$AB$沿弦$AB$翻折，$AD$交翻折后的弧于点$C$，$\overset{\frown}{BC}$和$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角都是$∠ BAD$，
∴ $\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BD}$，
∴ $BC = BD = 1$。
∵ $AD$为$\odot O$的直径，$\odot O$的半径为2，
∴ $∠ ABD = 90°$，$AD = 2×2=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AD^2 - BD^2} = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15}$。
【答案】
$\sqrt{15}$
【知识点】
翻折的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的性质与翻折变换，解题的关键是合理构造辅助线，利用圆周角定理得到等弦，再结合直径所对圆周角为直角的性质，通过勾股定理求解，需熟练掌握这类圆中常见辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.6
14.「2026甘肃平凉期中」如图，$△ ACD$内接于$\odot O$，点B在$\odot O$上，连接BC，$BC ⊥ AC$，若$AC = 6$，$∠ ADC = 30°$，则$\odot O$的直径为（
A.12
B.$6\sqrt{3}$
C.6
D.$3\sqrt{3}$
A
）A.12
B.$6\sqrt{3}$
C.6
D.$3\sqrt{3}$
答案
14.A 如图,连接$AB$,$\because BC ⊥ AC$,$\therefore AB$为$\odot O$的直径,$\because ∠ D = 30°$,$\therefore ∠ B = ∠ D = 30°$.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB = 90°$,$∠ ABC = 30°$,$AC = 6$,$\therefore AB = 2AC = 12$,故选A.
解析
【分析】
首先观察已知条件，BC⊥AC可得∠ACB=90°，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，因此先连接AB，可确定AB是⊙O的直径。其次，∠ADC和∠ABC是同弧AC所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，可推出∠ABC=∠ADC=30°。最后在Rt△ABC中，利用含30°角的直角三角形的性质，即可求出直径AB的长度。
【解析】
如图，连接AB，
∵ BC ⊥ AC，
∴ ∠ACB=90°，
∴ AB为$\odot O$的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）。
∵ ∠ADC与∠ABC都是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠ABC = ∠ADC = 30°。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，∠ACB = 90°，∠ABC = 30°，AC = 6，
∴ AB = 2AC = 12，即$\odot O$的直径为12。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理推论，同弧所对圆周角相等，含30°角直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的性质与特殊直角三角形结合的基础题型，解题关键是正确作出辅助线，将已知角度和边长转化到同一个直角三角形中求解，考察的都是核心基础知识点，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，BC⊥AC可得∠ACB=90°，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，因此先连接AB，可确定AB是⊙O的直径。其次，∠ADC和∠ABC是同弧AC所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，可推出∠ABC=∠ADC=30°。最后在Rt△ABC中，利用含30°角的直角三角形的性质，即可求出直径AB的长度。
【解析】
如图，连接AB，
∵ BC ⊥ AC，
∴ ∠ACB=90°，
∴ AB为$\odot O$的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）。
∵ ∠ADC与∠ABC都是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠ABC = ∠ADC = 30°。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，∠ACB = 90°，∠ABC = 30°，AC = 6，
∴ AB = 2AC = 12，即$\odot O$的直径为12。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理推论，同弧所对圆周角相等，含30°角直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的性质与特殊直角三角形结合的基础题型，解题关键是正确作出辅助线，将已知角度和边长转化到同一个直角三角形中求解，考察的都是核心基础知识点，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
15.如图，$\odot O$的半径为4，将三角尺的$60°$角，$90°$角的顶点$A$，$B$放在圆上，$AC$，$BC$分别与$\odot O$交于点$D$，$E$，连接$DE$，且$BE=DE$，则$△ ABC$的面积为________.
答案
15.答案 $24\sqrt{3}$
解析 如图,连接$AE$,$\because ∠ CBA = 90°$,$\therefore AE$为$\odot O$的直径,$\because \odot O$的半径为4,$\therefore AE = 8$.$\because BE = DE$,$\therefore ∠ BAE = ∠ DAE$,$\because ∠ BAC = 60°$,$\therefore ∠ BAE = ∠ DAE = 30°$,$\therefore BE = DE = \frac{1}{2}AE = 4$,$\therefore AB = \sqrt{AE^2 - BE^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = 4\sqrt{3}$.$\because AE$为直径,$\therefore ∠ EDA = 90°$,$\therefore ∠ EDC = 180° - 90° = 90°$,$\because ∠ C = 30°$,$\therefore CE = 2DE = 8$,$\therefore BC = BE + CE = 12$,$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · BC = \frac{1}{2} × 4\sqrt{3} × 12 = 24\sqrt{3}$.
解析
【分析】
解题时首先观察到∠ABC=90°，且A、B均在⊙O上，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可先作辅助线连接AE，确定AE为⊙O的直径，得到AE的长度。再结合BE=DE的条件，由同圆中等弦对应的圆周角相等，推出AE是∠BAC的角平分线，结合已知∠BAC=60°得到两个30°角，后续利用含30°角的直角三角形的性质、勾股定理依次求出AB、CE的长度，进而得到BC的长度，最后代入直角三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
解：如图，连接AE，
∵ ∠CBA = 90°，
∴ AE为⊙O的直径，
∵ ⊙O的半径为4，
∴ AE = 2×4 = 8。
∵ BE = DE，
∴ ∠BAE = ∠DAE，
∵ ∠BAC = 60°，
∴ ∠BAE = ∠DAE = 30°，
在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴ BE = DE = $\frac{1}{2}$AE = 4，
由勾股定理得：$AB = \sqrt{AE^2 - BE^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = 4\sqrt{3}$。
∵ AE为直径，
∴ ∠EDA = 90°，
∴ ∠EDC = 180° - 90° = 90°，
在△ABC中，∠C = 90° - ∠BAC = 30°，
在Rt△CDE中，∠C=30°，
∴ CE = 2DE = 8，
∴ BC = BE + CE = 4 + 8 = 12，
∴ $S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB · BC = \frac{1}{2} × 4\sqrt{3} × 12 = 24\sqrt{3}$。
【答案】
$24\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理；含30°角的直角三角形性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于圆与三角形的综合题型，核心是正确作出直径AE这条辅助线，将圆的性质和直角三角形的边角关系结合求解，能很好地考查学生对基础定理的掌握程度和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察到∠ABC=90°，且A、B均在⊙O上，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可先作辅助线连接AE，确定AE为⊙O的直径，得到AE的长度。再结合BE=DE的条件，由同圆中等弦对应的圆周角相等，推出AE是∠BAC的角平分线，结合已知∠BAC=60°得到两个30°角，后续利用含30°角的直角三角形的性质、勾股定理依次求出AB、CE的长度，进而得到BC的长度，最后代入直角三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
解：如图，连接AE，
∵ ∠CBA = 90°，
∴ AE为⊙O的直径，
∵ ⊙O的半径为4，
∴ AE = 2×4 = 8。
∵ BE = DE，
∴ ∠BAE = ∠DAE，
∵ ∠BAC = 60°，
∴ ∠BAE = ∠DAE = 30°，
在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴ BE = DE = $\frac{1}{2}$AE = 4，
由勾股定理得：$AB = \sqrt{AE^2 - BE^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = 4\sqrt{3}$。
∵ AE为直径，
∴ ∠EDA = 90°，
∴ ∠EDC = 180° - 90° = 90°，
在△ABC中，∠C = 90° - ∠BAC = 30°，
在Rt△CDE中，∠C=30°，
∴ CE = 2DE = 8，
∴ BC = BE + CE = 4 + 8 = 12，
∴ $S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB · BC = \frac{1}{2} × 4\sqrt{3} × 12 = 24\sqrt{3}$。
【答案】
$24\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理；含30°角的直角三角形性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于圆与三角形的综合题型，核心是正确作出直径AE这条辅助线，将圆的性质和直角三角形的边角关系结合求解，能很好地考查学生对基础定理的掌握程度和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
16.如图，AB为$\odot O$的直径，E是弧AD上一点，弦$DE// AB$，且$DE⊥$弦$CD$，AB与CD交于点F，连接BE交CD于点N，点P在CD的延长线上，$PN=PE$.若$OF=6$，$BF=4$，求PN的长. 
答案
16.解析 如图,连接$CE$,$\because DE ⊥ CD$,$\therefore ∠ CDE = 90°$,$\therefore CE$为$\odot O$的直径,$\therefore CE$经过点$O$.
$\because PN = PE$,$\therefore ∠ PEN = ∠ PNE$,
$\because OB = OE$,$\therefore ∠ OEB = ∠ OBE$,由$DE // AB$,$DE ⊥ CD$可得$AB ⊥ CD$,$\therefore ∠ OBE + ∠ BNF = 90°$,$\therefore ∠ OEB + ∠ PEN = 90°$,即$∠ PEC = 90°$,
$\because AB ⊥ CD$,$\therefore CF = DF$,
$\because OC = OE$,$\therefore OF$为$△ CED$的中位线,$\therefore DE = 2OF = 12$,由$OF = 6$,$BF = 4$得$OC = OB = 10$,$\therefore CE = 20$,
$\therefore CD = \sqrt{CE^2 - DE^2} = 16$,设$PD = x$,则$PC = x + 16$.
在$\mathrm{Rt}△ PDE$和$\mathrm{Rt}△ PCE$中,由勾股定理,得$PD^2 + DE^2 = PE^2 = PC^2 - CE^2$,即$x^2 + 12^2 = (x + 16)^2 - 20^2$,解得$x = 9$,$\therefore PD = 9$.
$\therefore PE = \sqrt{PD^2 + DE^2} = 15$,$\therefore PN = PE = 15$.
解析
【分析】
解题时首先从已知条件$DE⊥ CD$入手，根据90°的圆周角所对的弦是直径，作出辅助线连接$CE$，得到$CE$是$\odot O$的直径且过圆心$O$；接下来结合$PN=PE$、$OB=OE$的等腰三角形等角性质，以及$DE// AB$、$DE⊥ CD$推出的$AB⊥ CD$的结论，可证得$PE⊥ CE$，得到直角$△ PCE$；再根据垂径定理得$F$是$CD$中点，结合$O$是$CE$中点，可知$OF$是$△ CDE$的中位线，由此求出$DE$的长度，结合已知线段长度算出圆的半径、$CE$的长度，再用勾股定理求出$CD$的长；最后设$PD$为$x$，利用$\mathrm{Rt}△ PDE$和$\mathrm{Rt}△ PCE$中$PE$为公共边的特点列勾股定理方程，解出$x$后即可求出$PE$，也就是$PN$的长度。
【解析】
如图，连接$CE$，
$\because DE ⊥ CD$，$\therefore ∠ CDE = 90°$，
$\therefore CE$为$\odot O$的直径，$\therefore CE$经过点$O$。
$\because PN = PE$，$\therefore ∠ PEN = ∠ PNE$，
$\because OB = OE$，$\therefore ∠ OEB = ∠ OBE$，
由$DE // AB$，$DE ⊥ CD$可得$AB ⊥ CD$，
$\therefore ∠ OBE + ∠ BNF = 90°$，
又$\because ∠ PNE = ∠ BNF$，
$\therefore ∠ OEB + ∠ PEN = 90°$，即$∠ PEO = 90°$，$PE ⊥ CE$。
$\because AB ⊥ CD$，$\therefore CF = DF$，
$\because OC = OE$，$\therefore OF$为$△ CED$的中位线，
$\therefore DE = 2OF = 2 × 6 = 12$，
由$OF = 6$，$BF = 4$得$OC = OB = OF + BF = 10$，$\therefore CE = 2OB = 20$，
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$CD = \sqrt{CE^2 - DE^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = 16$。
设$PD = x$，则$PC = x + 16$，
在$\mathrm{Rt}△ PDE$和$\mathrm{Rt}△ PCE$中，由勾股定理，得$PD^2 + DE^2 = PE^2 = PC^2 - CE^2$，
即$x^2 + 12^2 = (x + 16)^2 - 20^2$，
解得$x = 9$，$\therefore PD = 9$。
$\therefore PE = \sqrt{PD^2 + DE^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15$，
$\therefore PN = PE = 15$。
【答案】
$PN=15$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质综合题，解题的关键是正确作出辅助线判断出$CE$为直径，灵活运用中位线性质、勾股定理建立方程求解，较好地考查了几何推理能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知条件$DE⊥ CD$入手，根据90°的圆周角所对的弦是直径，作出辅助线连接$CE$，得到$CE$是$\odot O$的直径且过圆心$O$；接下来结合$PN=PE$、$OB=OE$的等腰三角形等角性质，以及$DE// AB$、$DE⊥ CD$推出的$AB⊥ CD$的结论，可证得$PE⊥ CE$，得到直角$△ PCE$；再根据垂径定理得$F$是$CD$中点，结合$O$是$CE$中点，可知$OF$是$△ CDE$的中位线，由此求出$DE$的长度，结合已知线段长度算出圆的半径、$CE$的长度，再用勾股定理求出$CD$的长；最后设$PD$为$x$，利用$\mathrm{Rt}△ PDE$和$\mathrm{Rt}△ PCE$中$PE$为公共边的特点列勾股定理方程，解出$x$后即可求出$PE$，也就是$PN$的长度。
【解析】
如图，连接$CE$，
$\because DE ⊥ CD$，$\therefore ∠ CDE = 90°$，
$\therefore CE$为$\odot O$的直径，$\therefore CE$经过点$O$。
$\because PN = PE$，$\therefore ∠ PEN = ∠ PNE$，
$\because OB = OE$，$\therefore ∠ OEB = ∠ OBE$，
由$DE // AB$，$DE ⊥ CD$可得$AB ⊥ CD$，
$\therefore ∠ OBE + ∠ BNF = 90°$，
又$\because ∠ PNE = ∠ BNF$，
$\therefore ∠ OEB + ∠ PEN = 90°$，即$∠ PEO = 90°$，$PE ⊥ CE$。
$\because AB ⊥ CD$，$\therefore CF = DF$，
$\because OC = OE$，$\therefore OF$为$△ CED$的中位线，
$\therefore DE = 2OF = 2 × 6 = 12$，
由$OF = 6$，$BF = 4$得$OC = OB = OF + BF = 10$，$\therefore CE = 2OB = 20$，
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$CD = \sqrt{CE^2 - DE^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = 16$。
设$PD = x$，则$PC = x + 16$，
在$\mathrm{Rt}△ PDE$和$\mathrm{Rt}△ PCE$中，由勾股定理，得$PD^2 + DE^2 = PE^2 = PC^2 - CE^2$，
即$x^2 + 12^2 = (x + 16)^2 - 20^2$，
解得$x = 9$，$\therefore PD = 9$。
$\therefore PE = \sqrt{PD^2 + DE^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15$，
$\therefore PN = PE = 15$。
【答案】
$PN=15$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质综合题，解题的关键是正确作出辅助线判断出$CE$为直径，灵活运用中位线性质、勾股定理建立方程求解，较好地考查了几何推理能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
