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1.「2025甘肃中考」如图, 四边形ABCD内接于$\odot O$, $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$, 连接BD, 若$∠ ABC=70°$, 则$∠ BDC$的度数为 (
A.$20°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$70°$
C
)A.$20°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$70°$
答案
1.C 由圆内接四边形的性质可知, $∠ ADC = 180°-∠ ABC = 180° - 70° = 110°, \because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}, \therefore ∠ ADB = ∠ BDC = \frac{1}{2}∠ ADC = 55°$.故选 C.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先看到四边形ABCD内接于⊙O，可优先运用圆内接四边形对角互补的性质，先求出∠ADC的度数；再结合$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$的条件，根据同圆中相等的弧所对的圆周角相等，可得到∠ADB=∠BDC，即BD平分∠ADC，最后通过角平分线的性质计算∠BDC的度数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形对角互补），
已知∠ABC=70°，
∴∠ADC = 180° - 70° = 110°，
又
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠ADB = ∠BDC（同圆中，等弧所对的圆周角相等），即BD平分∠ADC，
∴∠BDC = $\frac{1}{2}$∠ADC = $\frac{1}{2}$×110° = 55°。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理推论
【点评】
本题属于基础题型，重点考察圆内接四边形性质和圆周角相关推论的应用，解题的核心是结合等弧的条件判断出BD为∠ADC的角平分线，熟练掌握相关基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，首先看到四边形ABCD内接于⊙O，可优先运用圆内接四边形对角互补的性质，先求出∠ADC的度数；再结合$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$的条件，根据同圆中相等的弧所对的圆周角相等，可得到∠ADB=∠BDC，即BD平分∠ADC，最后通过角平分线的性质计算∠BDC的度数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形对角互补），
已知∠ABC=70°，
∴∠ADC = 180° - 70° = 110°，
又
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠ADB = ∠BDC（同圆中，等弧所对的圆周角相等），即BD平分∠ADC，
∴∠BDC = $\frac{1}{2}$∠ADC = $\frac{1}{2}$×110° = 55°。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理推论
【点评】
本题属于基础题型，重点考察圆内接四边形性质和圆周角相关推论的应用，解题的核心是结合等弧的条件判断出BD为∠ADC的角平分线，熟练掌握相关基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2.如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,BC是$\odot O$的直径,BC = 2CD,则∠BAD的度数是
120
°。答案
2.答案 120
解析 如图,连接OD,$\because$ BC是$\odot O$的直径,BC=2CD,$\therefore$ OC=OD=CD,$\therefore △ COD$为等边三角形,$\therefore ∠ C=60°$.$\because$ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形, $\therefore ∠ BAD + ∠ C = 180°$, $\therefore ∠ BAD=120°$.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：BC是$\odot O$的直径，且$BC=2CD$，首先连接半径OD，利用同圆半径相等的性质，可推出三条边OC、OD、CD相等，得到等边三角形，求出$∠ C$的度数；再结合圆内接四边形对角互补的性质，即可计算出$∠ BAD$的度数。
【解析】
解：如图，连接OD，
$\because$ BC是$\odot O$的直径，$BC=2CD$，OC、OD均为$\odot O$的半径，即$OC=OD=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore OC=OD=CD$，
$\therefore △ COD$为等边三角形，
$\therefore ∠ C=60°$。
$\because$ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，圆内接四边形对角互补，
$\therefore ∠ BAD + ∠ C = 180°$，
$\therefore ∠ BAD=180°-60°=120°$。
【答案】
120
【知识点】
圆的基本性质；等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，解题关键是合理连接辅助线构造等边三角形，结合圆内接四边形的性质即可求解，是基础类常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：BC是$\odot O$的直径，且$BC=2CD$，首先连接半径OD，利用同圆半径相等的性质，可推出三条边OC、OD、CD相等，得到等边三角形，求出$∠ C$的度数；再结合圆内接四边形对角互补的性质，即可计算出$∠ BAD$的度数。
【解析】
解：如图，连接OD，
$\because$ BC是$\odot O$的直径，$BC=2CD$，OC、OD均为$\odot O$的半径，即$OC=OD=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore OC=OD=CD$，
$\therefore △ COD$为等边三角形，
$\therefore ∠ C=60°$。
$\because$ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，圆内接四边形对角互补，
$\therefore ∠ BAD + ∠ C = 180°$，
$\therefore ∠ BAD=180°-60°=120°$。
【答案】
120
【知识点】
圆的基本性质；等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，解题关键是合理连接辅助线构造等边三角形，结合圆内接四边形的性质即可求解，是基础类常考题型。
【难度系数】
0.8
3.「2026陕西延安期中」如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，AB是$\odot O$的直径，$∠ ADC=110°$，点E在$\odot O$上，连接BE，CE，则$∠ BEC$的度数为
20°
。答案
3.答案 20°
解析 如图,连接AC,$\because$ 四边形ABCD内接于$\odot O$,$\therefore ∠ ABC=180°-∠ ADC=180°-110°=70°$.$\because$ AB是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ACB=90°$,$\therefore ∠ BAC=90°-∠ ABC=20°$,$\therefore ∠ BEC=∠ BAC=20°$.
解析
【分析】
解题时先结合已知条件定位考点：首先看到四边形ABCD内接于圆，优先使用圆内接四边形对角互补的性质，可算出∠ABC的度数；其次AB是圆的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，可构造直角三角形ACB，进而求出∠BAC的度数；最后观察待求角∠BEC，发现它和∠BAC是同弧BC所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”即可得到∠BEC的度数，求解时需先添加辅助线AC构造直角三角形。
【解析】
解：如图，连接AC。
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，圆内接四边形对角互补，
∴ $∠ ABC=180°-∠ ADC=180°-110°=70°$。
∵ AB是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴ $∠ ACB=90°$。
在$Rt△ ACB$中，$∠ BAC=90°-∠ ABC=90°-70°=20°$。
∵ $∠ BEC$与$∠ BAC$均为弧BC所对的圆周角，同弧所对的圆周角相等，
∴ $∠ BEC=∠ BAC=20°$。
【答案】
20°
【知识点】
圆内接四边形性质；直径所对圆周角的性质；同弧所对圆周角相等
【点评】
本题属于圆性质的基础考察题，核心是熟练掌握圆内接四边形、圆周角的相关性质，通过添加合适的辅助线搭建已知角和待求角的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.75
解题时先结合已知条件定位考点：首先看到四边形ABCD内接于圆，优先使用圆内接四边形对角互补的性质，可算出∠ABC的度数；其次AB是圆的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，可构造直角三角形ACB，进而求出∠BAC的度数；最后观察待求角∠BEC，发现它和∠BAC是同弧BC所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”即可得到∠BEC的度数，求解时需先添加辅助线AC构造直角三角形。
【解析】
解：如图，连接AC。
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，圆内接四边形对角互补，
∴ $∠ ABC=180°-∠ ADC=180°-110°=70°$。
∵ AB是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴ $∠ ACB=90°$。
在$Rt△ ACB$中，$∠ BAC=90°-∠ ABC=90°-70°=20°$。
∵ $∠ BEC$与$∠ BAC$均为弧BC所对的圆周角，同弧所对的圆周角相等，
∴ $∠ BEC=∠ BAC=20°$。
【答案】
20°
【知识点】
圆内接四边形性质；直径所对圆周角的性质；同弧所对圆周角相等
【点评】
本题属于圆性质的基础考察题，核心是熟练掌握圆内接四边形、圆周角的相关性质，通过添加合适的辅助线搭建已知角和待求角的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.75
4.「2026江苏徐州联考」如图,四边形ABCD内接于$\odot O,∠ACB=60°,∠D=110°$,则$∠BOC$的度数为
100°
.答案
4.答案 100°
解析 $\because$ 四边形ABCD内接于$\odot O$, $∠ D = 110°$, $\therefore ∠ ABC = 180°-∠ D = 180°-110°=70°$.$\because ∠ ACB=60°$,$\therefore ∠ CAB=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-70°-60°=50°$,$\therefore ∠ BOC=2∠ CAB=100°$.
解析 $\because$ 四边形ABCD内接于$\odot O$, $∠ D = 110°$, $\therefore ∠ ABC = 180°-∠ D = 180°-110°=70°$.$\because ∠ ACB=60°$,$\therefore ∠ CAB=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-70°-60°=50°$,$\therefore ∠ BOC=2∠ CAB=100°$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件圆内接四边形入手，根据圆内接四边形对角互补的性质，可求出∠ABC的度数；再结合△ABC中已知的∠ACB，利用三角形内角和为180°，算出∠CAB的度数；最后根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，$∠ D=110°$，
∴ $∠ ABC = 180°-∠ D = 180°-110°=70°$，
∵ $∠ ACB=60°$，
∴ $∠ CAB=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-70°-60°=50°$，
∵ $∠ BOC$是弧$BC$所对的圆心角，$∠ CAB$是弧$BC$所对的圆周角，
∴ $∠ BOC=2∠ CAB=100°$。
【答案】
$100°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；三角形内角和定理；圆周角定理
【点评】
本题属于圆相关性质的基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形和圆周角的相关性质，结合三角形内角和定理逐步推导即可，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件圆内接四边形入手，根据圆内接四边形对角互补的性质，可求出∠ABC的度数；再结合△ABC中已知的∠ACB，利用三角形内角和为180°，算出∠CAB的度数；最后根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，$∠ D=110°$，
∴ $∠ ABC = 180°-∠ D = 180°-110°=70°$，
∵ $∠ ACB=60°$，
∴ $∠ CAB=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-70°-60°=50°$，
∵ $∠ BOC$是弧$BC$所对的圆心角，$∠ CAB$是弧$BC$所对的圆周角，
∴ $∠ BOC=2∠ CAB=100°$。
【答案】
$100°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；三角形内角和定理；圆周角定理
【点评】
本题属于圆相关性质的基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形和圆周角的相关性质，结合三角形内角和定理逐步推导即可，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
5.如图,点A,B,C,D,E在⊙O上,且∠B+∠D=155°,则$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角为
50
°。答案
5.答案 50
解析 如图,连接BA,OA,OE,$\because$ 点A,B,C,D,E在$\odot O$上,$\therefore$ 四边形ABCD是圆内接四边形,$\therefore ∠ ABC+∠ D=180°$.$\because ∠ EBC+∠ D=155°$,$\therefore ∠ ABE=25°$,$\therefore ∠ AOE=50°$,即$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角为50°.
解析
【分析】
解题时首先利用圆内接四边形的性质推导角度关系：已知点A、B、C、D均在⊙O上，故四边形ABCD为圆内接四边形，其对角互补，即∠ABC+∠D=180°。结合题目给出的∠EBC+∠D=155°，两式作差即可求得弧AE所对的圆周角∠ABE的度数。再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出弧AE对应的圆心角度数。
【解析】
解：如图，连接BA、OA、OE。
$\because$ 点A、B、C、D、E都在$\odot O$上，
$\therefore$ 四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质可得：$∠ ABC + ∠ D = 180°$。
已知$∠ EBC + ∠ D = 155°$，
将两式相减可得：$∠ ABC - ∠ EBC = 180° - 155° = 25°$，即$∠ ABE = 25°$。
$\because ∠ ABE$是$\overset{\frown}{AE}$所对的圆周角，$∠ AOE$是$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于其所对圆周角的2倍，
$\therefore ∠ AOE = 2∠ ABE = 2×25° = 50°$，即$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角为$50°$。
【答案】
50
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧与圆心角的关系
【点评】
本题属于圆性质的基础考察题，解题核心是通过辅助线构造出待求弧对应的圆周角，结合圆内接四边形的角度关系和圆周角定理即可求解，解题逻辑清晰，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用圆内接四边形的性质推导角度关系：已知点A、B、C、D均在⊙O上，故四边形ABCD为圆内接四边形，其对角互补，即∠ABC+∠D=180°。结合题目给出的∠EBC+∠D=155°，两式作差即可求得弧AE所对的圆周角∠ABE的度数。再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出弧AE对应的圆心角度数。
【解析】
解：如图，连接BA、OA、OE。
$\because$ 点A、B、C、D、E都在$\odot O$上，
$\therefore$ 四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质可得：$∠ ABC + ∠ D = 180°$。
已知$∠ EBC + ∠ D = 155°$，
将两式相减可得：$∠ ABC - ∠ EBC = 180° - 155° = 25°$，即$∠ ABE = 25°$。
$\because ∠ ABE$是$\overset{\frown}{AE}$所对的圆周角，$∠ AOE$是$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于其所对圆周角的2倍，
$\therefore ∠ AOE = 2∠ ABE = 2×25° = 50°$，即$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角为$50°$。
【答案】
50
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧与圆心角的关系
【点评】
本题属于圆性质的基础考察题，解题核心是通过辅助线构造出待求弧对应的圆周角，结合圆内接四边形的角度关系和圆周角定理即可求解，解题逻辑清晰，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
6.「2026浙江温州瑞安期中，★☆」如图，点A,B,C,D在$\odot O$上，点O在$∠ D$的内部，若$∠ ABC = \frac{3}{2}∠ AOC$，则$∠ OAD+∠ OCD=$（
A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
C
）A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
答案
6.C 由圆周角定理得$∠ AOC=2∠ D$,
$\therefore ∠ ABC=\frac{3}{2}×2∠ D=3∠ D$,由圆内接四边形的性质得,$∠ ABC+∠ D=180°$,$\therefore 4∠ D=180°$,$\therefore ∠ D=45°$,
$\therefore ∠ ABC=135°$, $∠ AOC = 2 ∠ D = 90°$, $\therefore ∠ OAD + ∠ OCD = 180° - ( ∠ OAB + ∠ OCB ) = 180° - ( 360° - ∠ ABC - ∠ AOC ) = 180°-(360°-135°-90°)=45°$.故选 C.
$\therefore ∠ ABC=\frac{3}{2}×2∠ D=3∠ D$,由圆内接四边形的性质得,$∠ ABC+∠ D=180°$,$\therefore 4∠ D=180°$,$\therefore ∠ D=45°$,
$\therefore ∠ ABC=135°$, $∠ AOC = 2 ∠ D = 90°$, $\therefore ∠ OAD + ∠ OCD = 180° - ( ∠ OAB + ∠ OCB ) = 180° - ( 360° - ∠ ABC - ∠ AOC ) = 180°-(360°-135°-90°)=45°$.故选 C.
解析
【分析】
解题时先结合圆的基本性质梳理已知角的关系：首先，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可将∠AOC用∠D表示，结合已知∠ABC与∠AOC的数量关系，得到∠ABC和∠D的关系；再利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠D的度数，进而得到∠AOC的大小；最后结合角度和的关系，计算出∠OAD+∠OCD的度数。
【解析】
1. 根据圆周角定理，同弧AC所对的圆心角$∠ AOC=2∠ D$。
2. 已知$∠ ABC=\frac{3}{2}∠ AOC$，代入得$∠ ABC=\frac{3}{2}×2∠ D=3∠ D$。
3. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，得$∠ ABC+∠ D=180°$。
将$∠ ABC=3∠ D$代入得：$3∠ D+∠ D=180°$，解得$∠ D=45°$。
4. 由此可得$∠ AOC=2∠ D=90°$，$∠ ABC=3×45°=135°$。
5. 四边形ABCO的内角和为$360°$，因此$∠ OAB+∠ OCB=360°-∠ ABC-∠ AOC=360°-135°-90°=135°$。
6. 又因为圆内接四边形ABCD中$∠ BAD+∠ BCD=180°$，且$∠ BAD=∠ OAB+∠ OAD$，$∠ BCD=∠ OCB+∠ OCD$，所以：
$∠ OAD+∠ OCD=(∠ BAD+∠ BCD)-(∠ OAB+∠ OCB)=180°-135°=45°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，四边形内角和
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，核心是通过圆周角定理和圆内接四边形的性质建立不同角度之间的数量关系，逐步推导求解，解题时注意区分圆心角和对应圆周角的位置关系。
【难度系数】
0.7
解题时先结合圆的基本性质梳理已知角的关系：首先，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可将∠AOC用∠D表示，结合已知∠ABC与∠AOC的数量关系，得到∠ABC和∠D的关系；再利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠D的度数，进而得到∠AOC的大小；最后结合角度和的关系，计算出∠OAD+∠OCD的度数。
【解析】
1. 根据圆周角定理，同弧AC所对的圆心角$∠ AOC=2∠ D$。
2. 已知$∠ ABC=\frac{3}{2}∠ AOC$，代入得$∠ ABC=\frac{3}{2}×2∠ D=3∠ D$。
3. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，得$∠ ABC+∠ D=180°$。
将$∠ ABC=3∠ D$代入得：$3∠ D+∠ D=180°$，解得$∠ D=45°$。
4. 由此可得$∠ AOC=2∠ D=90°$，$∠ ABC=3×45°=135°$。
5. 四边形ABCO的内角和为$360°$，因此$∠ OAB+∠ OCB=360°-∠ ABC-∠ AOC=360°-135°-90°=135°$。
6. 又因为圆内接四边形ABCD中$∠ BAD+∠ BCD=180°$，且$∠ BAD=∠ OAB+∠ OAD$，$∠ BCD=∠ OCB+∠ OCD$，所以：
$∠ OAD+∠ OCD=(∠ BAD+∠ BCD)-(∠ OAB+∠ OCB)=180°-135°=45°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，四边形内角和
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，核心是通过圆周角定理和圆内接四边形的性质建立不同角度之间的数量关系，逐步推导求解，解题时注意区分圆心角和对应圆周角的位置关系。
【难度系数】
0.7
7.「★☆」如图，已知四边形ABCD内接于$\odot O$，连接AC，记$∠ BAC$的度数为$α$，$∠ CAD$的度数为$β$。若$AB=AC$，$AB// CD$，则有（
A.$2α +3β =180°$
B.$3α +4β =360°$
C.$3α +2β =180°$
D.$4α +3β =360°$
C
）A.$2α +3β =180°$
B.$3α +4β =360°$
C.$3α +2β =180°$
D.$4α +3β =360°$
答案
7.C $\because ∠ BAC=α$,$∠ CAD=β$,$\therefore ∠ BAD=α+β$,
$\because AB=AC$,$\therefore ∠ B=∠ ACB$,
$\because ∠ B+∠ ACB+∠ BAC=180°$,
$\therefore 2∠ ACB+α=180°$,$\therefore ∠ ACB=90°-\frac{1}{2}α$.
$\because AB// CD$,$\therefore ∠ ACD=∠ BAC=α$,
$\therefore ∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=90°-\frac{1}{2}α+α=90°+\frac{1}{2}α$.
$\because$ 四边形ABCD内接于$\odot O$,$\therefore ∠ BAD+∠ BCD=180°$,
$\therefore α+β+90°+\frac{1}{2}α=180°$,整理得 $3α+2β=180°$.故选 C.
$\because AB=AC$,$\therefore ∠ B=∠ ACB$,
$\because ∠ B+∠ ACB+∠ BAC=180°$,
$\therefore 2∠ ACB+α=180°$,$\therefore ∠ ACB=90°-\frac{1}{2}α$.
$\because AB// CD$,$\therefore ∠ ACD=∠ BAC=α$,
$\therefore ∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=90°-\frac{1}{2}α+α=90°+\frac{1}{2}α$.
$\because$ 四边形ABCD内接于$\odot O$,$\therefore ∠ BAD+∠ BCD=180°$,
$\therefore α+β+90°+\frac{1}{2}α=180°$,整理得 $3α+2β=180°$.故选 C.
解析
【分析】
首先梳理题干已知条件：①四边形ABCD内接于$\odot O$，可得对角互补；②$AB=AC$，说明$△ ABC$是等腰三角形，两底角相等；③$AB// CD$，可得内错角相等。解题时先利用等腰三角形内角和关系表示出$∠ ACB$，再结合平行线性质得到$∠ ACD$，进而表示出$∠ BCD$，最后利用圆内接四边形对角互补的性质，将$∠ BAD$和$∠ BCD$用$α、β$表示后相加等于$180°$，整理等式即可得到结果。
【解析】
已知$∠ BAC=α$，$∠ CAD=β$，因此$∠ BAD=∠ BAC+∠ CAD=α+β$。
$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$为等腰三角形，$∠ B=∠ ACB$。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ B+∠ ACB+∠ BAC=180°$，即$2∠ ACB+α=180°$，解得$∠ ACB=90°-\frac{1}{2}α$。
$\because AB// CD$，根据两直线平行，内错角相等，得$∠ ACD=∠ BAC=α$。
因此$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=90°-\frac{1}{2}α+α=90°+\frac{1}{2}α$。
又$\because$四边形$ABCD$内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补，得$∠ BAD+∠ BCD=180°$。
将$∠ BAD$和$∠ BCD$代入得：$α+β+90°+\frac{1}{2}α=180°$，整理后可得$3α+2β=180°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质，平行线的性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是逐步将所求角度用已知的$α、β$表示，再结合圆内接四边形的性质建立等式求解，注重对基础几何性质的理解和运用。
【难度系数】
0.7
首先梳理题干已知条件：①四边形ABCD内接于$\odot O$，可得对角互补；②$AB=AC$，说明$△ ABC$是等腰三角形，两底角相等；③$AB// CD$，可得内错角相等。解题时先利用等腰三角形内角和关系表示出$∠ ACB$，再结合平行线性质得到$∠ ACD$，进而表示出$∠ BCD$，最后利用圆内接四边形对角互补的性质，将$∠ BAD$和$∠ BCD$用$α、β$表示后相加等于$180°$，整理等式即可得到结果。
【解析】
已知$∠ BAC=α$，$∠ CAD=β$，因此$∠ BAD=∠ BAC+∠ CAD=α+β$。
$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$为等腰三角形，$∠ B=∠ ACB$。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ B+∠ ACB+∠ BAC=180°$，即$2∠ ACB+α=180°$，解得$∠ ACB=90°-\frac{1}{2}α$。
$\because AB// CD$，根据两直线平行，内错角相等，得$∠ ACD=∠ BAC=α$。
因此$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=90°-\frac{1}{2}α+α=90°+\frac{1}{2}α$。
又$\because$四边形$ABCD$内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补，得$∠ BAD+∠ BCD=180°$。
将$∠ BAD$和$∠ BCD$代入得：$α+β+90°+\frac{1}{2}α=180°$，整理后可得$3α+2β=180°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质，平行线的性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是逐步将所求角度用已知的$α、β$表示，再结合圆内接四边形的性质建立等式求解，注重对基础几何性质的理解和运用。
【难度系数】
0.7
8.「2026江苏南京江宁月考，★☆」如图，在$\odot O$的内接四边形ABCD中，$AB=AD$，$∠ C=110°$.若点E在$\overset{\frown}{AD}$上，则$∠ E$的度数为
125
°.答案
8.答案 125
解析 $\because$ 四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形,$\therefore ∠ C+∠ BAD=180°$,$\therefore ∠ BAD=180°-110°=70°$.$\because AB=AD$,
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB=\frac{1}{2}×(180°-70°)=55°$,$\because$ 四边形ABDE为$\odot O$的内接四边形,$\therefore ∠ E+∠ ABD=180°$,
$\therefore ∠ E=180°-55°=125°$.
解析 $\because$ 四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形,$\therefore ∠ C+∠ BAD=180°$,$\therefore ∠ BAD=180°-110°=70°$.$\because AB=AD$,
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB=\frac{1}{2}×(180°-70°)=55°$,$\because$ 四边形ABDE为$\odot O$的内接四边形,$\therefore ∠ E+∠ ABD=180°$,
$\therefore ∠ E=180°-55°=125°$.
解析
【分析】
解题时首先从已知条件出发，看到圆的内接四边形，先回忆圆内接四边形对角互补的性质：第一步，已知内接四边形ABCD中∠C的度数，可先求出其对角∠BAD的度数；第二步，结合AB=AD的条件，可知△ABD是等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，即可求出底角∠ABD的度数；第三步，四边形ABDE同样是圆的内接四边形，再次运用圆内接四边形对角互补的性质，就能求出∠E的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ C + ∠ BAD = 180°$，
∴ $∠ BAD = 180° - 110° = 70°$。
∵ $AB=AD$，
∴ $∠ ABD = ∠ ADB = \frac{1}{2} × (180° - 70°) = 55°$。
∵ 四边形ABDE为$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ E + ∠ ABD = 180°$，
∴ $∠ E = 180° - 55° = 125°$。
【答案】
125
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类几何计算题，核心考查圆内接四边形对角互补性质的应用，解题时需两次调用该性质，结合等腰三角形的角度计算即可得到结果，难点较低，解题关键是准确识别圆内接四边形的对应对角。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件出发，看到圆的内接四边形，先回忆圆内接四边形对角互补的性质：第一步，已知内接四边形ABCD中∠C的度数，可先求出其对角∠BAD的度数；第二步，结合AB=AD的条件，可知△ABD是等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，即可求出底角∠ABD的度数；第三步，四边形ABDE同样是圆的内接四边形，再次运用圆内接四边形对角互补的性质，就能求出∠E的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ C + ∠ BAD = 180°$，
∴ $∠ BAD = 180° - 110° = 70°$。
∵ $AB=AD$，
∴ $∠ ABD = ∠ ADB = \frac{1}{2} × (180° - 70°) = 55°$。
∵ 四边形ABDE为$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ E + ∠ ABD = 180°$，
∴ $∠ E = 180° - 55° = 125°$。
【答案】
125
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类几何计算题，核心考查圆内接四边形对角互补性质的应用，解题时需两次调用该性质，结合等腰三角形的角度计算即可得到结果，难点较低，解题关键是准确识别圆内接四边形的对应对角。
【难度系数】
0.7
9.「2026北京海淀期中，★☆」如图，在圆内接四边形ABCD中，$∠ BCD=135°$，$AB⊥ BD$，若点$A(0,3)$，则圆的直径长为
$3\sqrt{2}$
。答案
9.答案 $3\sqrt{2}$
解析 由题意得$∠ BCD+∠ BAD=180°$,
$\because ∠ BCD=135°$,$\therefore ∠ BAD=45°$,
$\because AB⊥ BD$,$\therefore ∠ ABD=90°$.
$\therefore AD$是圆的直径,$∠ ADB=∠ BAD=45°$.
$\because$ 点$A(0,3)$,$\therefore BD=AB=3$,
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$.
解析 由题意得$∠ BCD+∠ BAD=180°$,
$\because ∠ BCD=135°$,$\therefore ∠ BAD=45°$,
$\because AB⊥ BD$,$\therefore ∠ ABD=90°$.
$\therefore AD$是圆的直径,$∠ ADB=∠ BAD=45°$.
$\because$ 点$A(0,3)$,$\therefore BD=AB=3$,
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$.
解析
【分析】
解决这道题首先从圆内接四边形的性质入手，圆内接四边形对角互补，因此可以由已知的∠BCD求出∠BAD的度数；再结合AB⊥BD的条件，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”可判断AD为圆的直径，同时可知△ABD是直角三角形，结合∠BAD的度数可判断其为等腰直角三角形；最后根据点A的坐标得到AB的长度，利用勾股定理即可求出直径AD的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠BCD + ∠BAD = 180°，
∵ ∠BCD=135°，
∴ ∠BAD = 180° - 135° = 45°，
又
∵ AB⊥BD，
∴ ∠ABD = 90°，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，因此AD是圆的直径，
在Rt△ABD中，∠ADB = 90° - ∠BAD = 45°，
∴ ∠BAD = ∠ADB，即AB = BD，
∵ 点A(0,3)，点B与原点O重合，
∴ AB = 3，即BD = AB = 3，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练运用圆内接四边形的性质和圆周角定理确定直径，结合等腰直角三角形的特征利用勾股定理计算，解题时注意结合图形确定线段的长度。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先从圆内接四边形的性质入手，圆内接四边形对角互补，因此可以由已知的∠BCD求出∠BAD的度数；再结合AB⊥BD的条件，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”可判断AD为圆的直径，同时可知△ABD是直角三角形，结合∠BAD的度数可判断其为等腰直角三角形；最后根据点A的坐标得到AB的长度，利用勾股定理即可求出直径AD的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠BCD + ∠BAD = 180°，
∵ ∠BCD=135°，
∴ ∠BAD = 180° - 135° = 45°，
又
∵ AB⊥BD，
∴ ∠ABD = 90°，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，因此AD是圆的直径，
在Rt△ABD中，∠ADB = 90° - ∠BAD = 45°，
∴ ∠BAD = ∠ADB，即AB = BD，
∵ 点A(0,3)，点B与原点O重合，
∴ AB = 3，即BD = AB = 3，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练运用圆内接四边形的性质和圆周角定理确定直径，结合等腰直角三角形的特征利用勾股定理计算，解题时注意结合图形确定线段的长度。
【难度系数】
0.7
