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11.「2026广东惠州期中，★☆」船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁.如图，A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，$∠ ACB$就是“危险角”.船P与两个灯塔的夹角为$α$，若$∠ ACB=55°$,则船P位于安全区域时，$α$的大小可能为（
A.$75°$
B.$65°$
C.$55°$
D.$45°$
D
）A.$75°$
B.$65°$
C.$55°$
D.$45°$
答案
11.D 如图所示,设 PB 与⊙O 的交点为 D,连接 AD,由题意可知∠ADB=∠ACB=55°,根据外角的性质,∠P ＜ ∠ADB=55°,故选项 D 符合要求.故选 D.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确安全区域为过A、B两点的圆形暗礁区域外侧，接下来我们需要推导安全区域内夹角α的取值范围：第一步利用圆周角定理，找到同弧AB对应的与危险角∠ACB相等的圆周角；第二步借助三角形外角的性质，比较圆外角∠α和圆周角的大小，即可得到α的取值范围，最后匹配选项得到答案。
【解析】
设PB与⊙O的交点为D，连接AD。
1. 根据圆周角定理，同弧AB所对的圆周角相等，可得∠ADB = ∠ACB = 55°；
2. ∠ADB是△PAD的外角，由三角形外角的性质可知，三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角，因此∠P ＜ ∠ADB = 55°，即α ＜ 55°；
3. 观察选项，仅45°满足α ＜ 55°的要求。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；三角形外角性质；点与圆的位置关系
【点评】
本题结合实际航海场景考查几何知识的应用，需要学生将实际问题转化为几何模型，解题关键是利用圆周角定理和三角形外角性质得到安全区域的角度范围，难度较低，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确安全区域为过A、B两点的圆形暗礁区域外侧，接下来我们需要推导安全区域内夹角α的取值范围：第一步利用圆周角定理，找到同弧AB对应的与危险角∠ACB相等的圆周角；第二步借助三角形外角的性质，比较圆外角∠α和圆周角的大小，即可得到α的取值范围，最后匹配选项得到答案。
【解析】
设PB与⊙O的交点为D，连接AD。
1. 根据圆周角定理，同弧AB所对的圆周角相等，可得∠ADB = ∠ACB = 55°；
2. ∠ADB是△PAD的外角，由三角形外角的性质可知，三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角，因此∠P ＜ ∠ADB = 55°，即α ＜ 55°；
3. 观察选项，仅45°满足α ＜ 55°的要求。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；三角形外角性质；点与圆的位置关系
【点评】
本题结合实际航海场景考查几何知识的应用，需要学生将实际问题转化为几何模型，解题关键是利用圆周角定理和三角形外角性质得到安全区域的角度范围，难度较低，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
12.「2026重庆渝中期中，★☆」如图，在$\odot O$中，AB是直径，C是$\odot O$上一点，连接AC，BC，过点O作$OD ⊥ AC$于点E，交$\odot O$于点D，连接AD，若AB=10，BC=6，则AD的长为（
A.$2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{10}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{10}$
C
）A.$2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{10}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{10}$
答案
12.C
∵ AB 是⊙O 的直径,
∴ ∠ACB=90°,
∵ AB=10,BC=6,
∴ OA=OB=OD=$\frac{1}{2}$AB=5,AC=$\sqrt{AB^2-BC^2}$=8,
∵ OD⊥AC,
∴ AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=4,
∴ OE=$\sqrt{OA^2-AE^2}$=3,
∴ DE=OD-OE=2,
∴ AD=$\sqrt{AE^2+DE^2}$=2$\sqrt{5}$.故选 C.
∵ AB 是⊙O 的直径,
∴ ∠ACB=90°,
∵ AB=10,BC=6,
∴ OA=OB=OD=$\frac{1}{2}$AB=5,AC=$\sqrt{AB^2-BC^2}$=8,
∵ OD⊥AC,
∴ AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=4,
∴ OE=$\sqrt{OA^2-AE^2}$=3,
∴ DE=OD-OE=2,
∴ AD=$\sqrt{AE^2+DE^2}$=2$\sqrt{5}$.故选 C.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先AB是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论可得到△ACB是直角三角形，结合AB、BC的长度用勾股定理算出AC的长；再根据OD⊥AC，利用垂径定理得到E是AC中点，求出AE的长度；接着在Rt△AEO中用勾股定理算出OE的长，进而得到DE的长度；最后在Rt△AED中用勾股定理即可求出AD的长度。
【解析】
∵ AB 是⊙O 的直径，
∴ ∠ACB=90°，
∵ AB=10，BC=6，
∴ OA=OB=OD=$\frac{1}{2}$AB=5，AC=$\sqrt{AB^2-BC^2}$=$\sqrt{10^2-6^2}$=8，
∵ OD⊥AC，
∴ AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=4，
在Rt△AEO中，OE=$\sqrt{OA^2-AE^2}$=$\sqrt{5^2-4^2}$=3，
∴ DE=OD-OE=5-3=2，
在Rt△AED中，AD=$\sqrt{AE^2+DE^2}$=$\sqrt{4^2+2^2}$=2$\sqrt{5}$。
故选C。
【答案】C
【知识点】
圆周角定理推论、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题属于圆相关性质的基础综合题，解题核心是灵活运用圆的性质得到直角三角形与线段的等量关系，再结合勾股定理计算线段长度，是圆章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先AB是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论可得到△ACB是直角三角形，结合AB、BC的长度用勾股定理算出AC的长；再根据OD⊥AC，利用垂径定理得到E是AC中点，求出AE的长度；接着在Rt△AEO中用勾股定理算出OE的长，进而得到DE的长度；最后在Rt△AED中用勾股定理即可求出AD的长度。
【解析】
∵ AB 是⊙O 的直径，
∴ ∠ACB=90°，
∵ AB=10，BC=6，
∴ OA=OB=OD=$\frac{1}{2}$AB=5，AC=$\sqrt{AB^2-BC^2}$=$\sqrt{10^2-6^2}$=8，
∵ OD⊥AC，
∴ AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=4，
在Rt△AEO中，OE=$\sqrt{OA^2-AE^2}$=$\sqrt{5^2-4^2}$=3，
∴ DE=OD-OE=5-3=2，
在Rt△AED中，AD=$\sqrt{AE^2+DE^2}$=$\sqrt{4^2+2^2}$=2$\sqrt{5}$。
故选C。
【答案】C
【知识点】
圆周角定理推论、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题属于圆相关性质的基础综合题，解题核心是灵活运用圆的性质得到直角三角形与线段的等量关系，再结合勾股定理计算线段长度，是圆章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.7
13.「2024江苏连云港中考，★☆」如图，AB是圆的直径，∠1,∠2,∠3,∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1,∠4的一边分别经过点A,B，则∠1+∠2+∠3+∠4=
90
°.答案
13.答案 90
解析
∵ AB 是圆的直径,
∴ AB 所对的弧是半圆,所对圆心角的度数为 180°,
∵ ∠1,∠2,∠3,∠4 所对的弧的和为半圆,
∴ ∠1+∠2+∠3+∠4=$\frac{1}{2}$×180°=90°.
解析
∵ AB 是圆的直径,
∴ AB 所对的弧是半圆,所对圆心角的度数为 180°,
∵ ∠1,∠2,∠3,∠4 所对的弧的和为半圆,
∴ ∠1+∠2+∠3+∠4=$\frac{1}{2}$×180°=90°.
解析
【分析】
解题时首先回忆圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。首先看题干给出的条件：AB是圆的直径，由此可推出AB所对的弧是半圆，对应圆心角的度数为180°；再分析∠1、∠2、∠3、∠4这四个角，它们都是圆周角，且所对的弧的和恰好是AB对应的半圆，因此四个角的度数和就是这段弧对应圆心角度数的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ AB是圆的直径，
∴ AB所对的弧是半圆，对应的圆心角度数为180°，
∵ ∠1、∠2、∠3、∠4均为圆周角，它们所对的弧的和恰好是AB对应的半圆，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的圆心角度数的一半，
∴ ∠1+∠2+∠3+∠4 = $\frac{1}{2}$×180° = 90°。
【答案】
90
【知识点】
圆周角定理，圆的直径性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是识别出几个圆周角所对的弧的和为半圆，无需单独计算每个角的度数，结合圆周角定理整体运算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。首先看题干给出的条件：AB是圆的直径，由此可推出AB所对的弧是半圆，对应圆心角的度数为180°；再分析∠1、∠2、∠3、∠4这四个角，它们都是圆周角，且所对的弧的和恰好是AB对应的半圆，因此四个角的度数和就是这段弧对应圆心角度数的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ AB是圆的直径，
∴ AB所对的弧是半圆，对应的圆心角度数为180°，
∵ ∠1、∠2、∠3、∠4均为圆周角，它们所对的弧的和恰好是AB对应的半圆，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的圆心角度数的一半，
∴ ∠1+∠2+∠3+∠4 = $\frac{1}{2}$×180° = 90°。
【答案】
90
【知识点】
圆周角定理，圆的直径性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是识别出几个圆周角所对的弧的和为半圆，无需单独计算每个角的度数，结合圆周角定理整体运算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
14.「2026安徽合肥四十五中月考，★☆」如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，正确的是
①当弦PB最长时，$△ APC$是等腰三角形；
②当$△ APC$是等腰三角形时，$PO ⊥ AC$；
③当$PO ⊥ AC$时，$∠ ACP=30°$；
④当$∠ ACP=30°$时，$△ BPC$是直角三角形。
①②④
.(填序号)①当弦PB最长时，$△ APC$是等腰三角形；
②当$△ APC$是等腰三角形时，$PO ⊥ AC$；
③当$PO ⊥ AC$时，$∠ ACP=30°$；
④当$∠ ACP=30°$时，$△ BPC$是直角三角形。
答案
14.答案 ①②④
解析 ①如图1,当弦 PB 最长时,PB 为⊙O 的直径,
∴ ∠BAP=∠BCP=90°,
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠BAC=∠BCA=60°,
∴ ∠PAC=∠PCA=30°,
∴ AP=CP,
即△APC 是等腰三角形,故①正确.
②如图2,当△APC 是等腰三角形时,分三种情况:
如果 PA=PC,那么点 P 在 AC 的垂直平分线上,则点 P 位于点$P_1$,$P_2$处;
如果 AP=AC,那么点 P 与点 B 重合;
如果 CP=CA,那么点 P 与点 B 重合.
综上所述,PO⊥AC,故②正确.
③如图2,当 PO⊥AC 时,PO 平分 AC,则 PO 是 AC 的垂直平分线,∠ACP₁=30°,∠ACP₂=60°,故③错误.
④如图3,连接 BO 并延长,交⊙O 于点$P_3$,
∵ BA=BC,BP₃ 是直径,
∴ BP₃ 垂直平分 AC,
∴ ∠ACP₃=∠ABP₃=30°,
∴ ∠BCP₃=∠BCA+∠ACP₃=90°,
∴ △BP₃C 是直角三角形,
∵ 在同圆中,等弧所对圆周角相等,
∴ 在 A 左侧取$\overset{\frown}{AP_4}=\overset{\frown}{AP_3}$,则∠ACP₄=30°,
∴ ∠ABP₄=∠ACP₄=30°,
∴ ∠CBP₄=∠ABC+∠ABP₄=60°+30°=90°,
∴ △BP₄C 是直角三角形,故④正确.
综上,正确的是①②④.
解析
【分析】
解决本题需结合圆的基本性质、等边三角形的性质逐个分析4个结论：
1. 分析结论①：圆中最长的弦是直径，因此PB最长时PB是⊙O的直径，结合直径所对圆周角为直角、等边三角形内角为60°，计算∠PAC和∠PCA的度数，判断△APC是否为等腰三角形；
2. 分析结论②：△APC为等腰三角形时，分PA=PC、AP=AC、CP=CA三种情况讨论点P的位置，结合垂直平分线的性质判断PO是否垂直AC；
3. 分析结论③：当PO⊥AC时，由垂径定理可知PO是AC的垂直平分线，此时点P有两种位置，分别计算∠ACP的度数，判断结论是否正确；
4. 分析结论④：当∠ACP=30°时，分点P在优弧AC、劣弧AC两种情况，结合圆周角定理计算△BPC的内角，判断是否为直角三角形。
【解析】
①如图1，当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，
∴∠BAP=∠BCP=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°，
∴∠PAC=∠BAP-∠BAC=30°，∠PCA=∠BCP-∠BCA=30°，
∴∠PAC=∠PCA，
∴AP=CP，即△APC是等腰三角形，故①正确。
②当△APC是等腰三角形时，分三种情况：
如果PA=PC，那么点P在AC的垂直平分线上，圆心O也在AC的垂直平分线上，因此PO所在直线是AC的垂直平分线，即PO⊥AC；
如果AP=AC，那么点P与点B重合，此时BO是等边△ABC外接圆的半径，也是AC边上的高，因此PO⊥AC；
如果CP=CA，那么点P与点B重合，同理可得PO⊥AC；
综上所述，PO⊥AC，故②正确。
③如图2，当PO⊥AC时，PO是AC的垂直平分线，点P可以在优弧AC上（P₁位置），也可以在劣弧AC上（P₂即点B的位置）：当P在P₁位置时∠ACP₁=30°，当P在P₂位置时∠ACP₂=∠ACB=60°，因此∠ACP不一定是30°，故③错误。
④如图3，连接BO并延长交⊙O于点P₃：
∵BA=BC，BP₃是直径，
∴BP₃垂直平分AC，
∴∠ACP₃=∠ABP₃=30°，此时∠BCP₃=∠BCA+∠ACP₃=60°+30°=90°，△BP₃C是直角三角形；
在同圆中，等弧所对的圆周角相等，在点A左侧取$\overset{\frown}{AP_4}=\overset{\frown}{AP_3}$，则∠ACP₄=30°，此时∠ABP₄=∠ACP₄=30°，
∴∠CBP₄=∠ABC+∠ABP₄=60°+30°=90°，△BP₄C是直角三角形；
因此当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形，故④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
圆周角定理，等边三角形的性质，垂径定理
【点评】
本题是圆与等边三角形的综合题，解题时需要注意分类讨论点P的不同位置，避免因漏解判断错误，重点考查对圆的基本性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题需结合圆的基本性质、等边三角形的性质逐个分析4个结论：
1. 分析结论①：圆中最长的弦是直径，因此PB最长时PB是⊙O的直径，结合直径所对圆周角为直角、等边三角形内角为60°，计算∠PAC和∠PCA的度数，判断△APC是否为等腰三角形；
2. 分析结论②：△APC为等腰三角形时，分PA=PC、AP=AC、CP=CA三种情况讨论点P的位置，结合垂直平分线的性质判断PO是否垂直AC；
3. 分析结论③：当PO⊥AC时，由垂径定理可知PO是AC的垂直平分线，此时点P有两种位置，分别计算∠ACP的度数，判断结论是否正确；
4. 分析结论④：当∠ACP=30°时，分点P在优弧AC、劣弧AC两种情况，结合圆周角定理计算△BPC的内角，判断是否为直角三角形。
【解析】
①如图1，当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，
∴∠BAP=∠BCP=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°，
∴∠PAC=∠BAP-∠BAC=30°，∠PCA=∠BCP-∠BCA=30°，
∴∠PAC=∠PCA，
∴AP=CP，即△APC是等腰三角形，故①正确。
②当△APC是等腰三角形时，分三种情况：
如果PA=PC，那么点P在AC的垂直平分线上，圆心O也在AC的垂直平分线上，因此PO所在直线是AC的垂直平分线，即PO⊥AC；
如果AP=AC，那么点P与点B重合，此时BO是等边△ABC外接圆的半径，也是AC边上的高，因此PO⊥AC；
如果CP=CA，那么点P与点B重合，同理可得PO⊥AC；
综上所述，PO⊥AC，故②正确。
③如图2，当PO⊥AC时，PO是AC的垂直平分线，点P可以在优弧AC上（P₁位置），也可以在劣弧AC上（P₂即点B的位置）：当P在P₁位置时∠ACP₁=30°，当P在P₂位置时∠ACP₂=∠ACB=60°，因此∠ACP不一定是30°，故③错误。
④如图3，连接BO并延长交⊙O于点P₃：
∵BA=BC，BP₃是直径，
∴BP₃垂直平分AC，
∴∠ACP₃=∠ABP₃=30°，此时∠BCP₃=∠BCA+∠ACP₃=60°+30°=90°，△BP₃C是直角三角形；
在同圆中，等弧所对的圆周角相等，在点A左侧取$\overset{\frown}{AP_4}=\overset{\frown}{AP_3}$，则∠ACP₄=30°，此时∠ABP₄=∠ACP₄=30°，
∴∠CBP₄=∠ABC+∠ABP₄=60°+30°=90°，△BP₄C是直角三角形；
因此当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形，故④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
圆周角定理，等边三角形的性质，垂径定理
【点评】
本题是圆与等边三角形的综合题，解题时需要注意分类讨论点P的不同位置，避免因漏解判断错误，重点考查对圆的基本性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
15.「2026辽宁盘锦兴隆台期中，★☆」如图，已知AB为$\odot O$的直径，CD是弦，且$AB ⊥ CD$于点E.连接AC,OC,BC.
(1)若$∠ ACO=25°$,求$∠ BCD$的度数.
(2)若$EB=4,AB=20$,求CD的长度.
(1)若$∠ ACO=25°$,求$∠ BCD$的度数.
(2)若$EB=4,AB=20$,求CD的长度.
答案
15.解析 (1)
∵ OA,OC 均为⊙O 的半径,
∴ OA=OC,
∴ ∠OAC=∠ACO=25°.
∵ AB 为⊙O 的直径,
∴ ∠ACB=90°,
∴ ∠OAC+∠ABC=90°.
∵ AB⊥CD 于点 E,
∴ ∠BCD+∠ABC=90°.
∴ ∠BCD=∠OAC=25°.
(2)
∵ AB=20,
∴ OC=OB=10.
∵ EB=4,
∴ OE=OB-EB=10-4=6.
∵ AB⊥CD 于点 E,
∴ CE=DE,
在Rt△OEC 中,$EC^2+OE^2=OC^2$,
即$EC^2+6^2=10^2$,
∴ EC=8,
∴ CD=2EC=2×8=16.
∵ OA,OC 均为⊙O 的半径,
∴ OA=OC,
∴ ∠OAC=∠ACO=25°.
∵ AB 为⊙O 的直径,
∴ ∠ACB=90°,
∴ ∠OAC+∠ABC=90°.
∵ AB⊥CD 于点 E,
∴ ∠BCD+∠ABC=90°.
∴ ∠BCD=∠OAC=25°.
(2)
∵ AB=20,
∴ OC=OB=10.
∵ EB=4,
∴ OE=OB-EB=10-4=6.
∵ AB⊥CD 于点 E,
∴ CE=DE,
在Rt△OEC 中,$EC^2+OE^2=OC^2$,
即$EC^2+6^2=10^2$,
∴ EC=8,
∴ CD=2EC=2×8=16.
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先由OA、OC都是圆的半径，利用等腰三角形等边对等角的性质可得∠OAC=∠ACO；再根据直径所对的圆周角为直角，可知∠ACB=90°，即∠OAC与∠ABC互余；结合AB垂直CD的条件，可得∠BCD也与∠ABC互余，根据同角的余角相等即可推出∠BCD=∠OAC，代入已知角度即可求解。
(2) 解题思路：首先根据直径长度算出圆的半径OC、OB的长度，结合EB的长度求出OE的长度；再利用垂径定理可知AB垂直CD时CE=DE，即CD=2CE；最后在Rt△OEC中用勾股定理计算CE的长度，乘2即可得到CD的长度。
【解析】
(1)
∵ OA,OC 均为$\odot O$的半径,
∴ OA=OC,
∴ $∠ OAC=∠ ACO=25°$.
∵ AB 为$\odot O$的直径,
∴ $∠ ACB=90°$,
∴ $∠ OAC+∠ ABC=90°$.
∵ $AB⊥ CD$于点 E,
∴ $∠ BCD+∠ ABC=90°$.
∴ $∠ BCD=∠ OAC=25°$.
(2)
∵ $AB=20$,
∴ $OC=OB=10$.
∵ $EB=4$,
∴ $OE=OB-EB=10-4=6$.
∵ $AB⊥ CD$于点 E,
∴ $CE=DE$,
在$\mathrm{Rt}△ OEC$中,$EC^2+OE^2=OC^2$,
即$EC^2+6^2=10^2$,
∴ $EC=8$,
∴ $CD=2EC=2×8=16$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{25°}$；(2) $\boldsymbol{16}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，将圆的性质和直角三角形的性质结合考察，解题关键是熟练运用直径所对圆周角为直角、垂径定理、同角的余角相等的性质，整体计算难度低，是圆章节的常考基础题型，需牢固掌握。
【难度系数】
0.8
(1) 解题思路：首先由OA、OC都是圆的半径，利用等腰三角形等边对等角的性质可得∠OAC=∠ACO；再根据直径所对的圆周角为直角，可知∠ACB=90°，即∠OAC与∠ABC互余；结合AB垂直CD的条件，可得∠BCD也与∠ABC互余，根据同角的余角相等即可推出∠BCD=∠OAC，代入已知角度即可求解。
(2) 解题思路：首先根据直径长度算出圆的半径OC、OB的长度，结合EB的长度求出OE的长度；再利用垂径定理可知AB垂直CD时CE=DE，即CD=2CE；最后在Rt△OEC中用勾股定理计算CE的长度，乘2即可得到CD的长度。
【解析】
(1)
∵ OA,OC 均为$\odot O$的半径,
∴ OA=OC,
∴ $∠ OAC=∠ ACO=25°$.
∵ AB 为$\odot O$的直径,
∴ $∠ ACB=90°$,
∴ $∠ OAC+∠ ABC=90°$.
∵ $AB⊥ CD$于点 E,
∴ $∠ BCD+∠ ABC=90°$.
∴ $∠ BCD=∠ OAC=25°$.
(2)
∵ $AB=20$,
∴ $OC=OB=10$.
∵ $EB=4$,
∴ $OE=OB-EB=10-4=6$.
∵ $AB⊥ CD$于点 E,
∴ $CE=DE$,
在$\mathrm{Rt}△ OEC$中,$EC^2+OE^2=OC^2$,
即$EC^2+6^2=10^2$,
∴ $EC=8$,
∴ $CD=2EC=2×8=16$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{25°}$；(2) $\boldsymbol{16}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，将圆的性质和直角三角形的性质结合考察，解题关键是熟练运用直径所对圆周角为直角、垂径定理、同角的余角相等的性质，整体计算难度低，是圆章节的常考基础题型，需牢固掌握。
【难度系数】
0.8
16. 核心素养 推理能力「2026浙江杭州西湖期中」如图，AB是$\odot O$的直径，点D是弧AC的中点，DC，AB的延长线相交于点P.若$∠ CAB=α$，$∠ P=β$，则$α$和$β$之间的数量关系为（
A.$α=β$
B.$α+β=45°$
C.$2α+β=60°$
D.$3α+2β=90°$
D
）A.$α=β$
B.$α+β=45°$
C.$2α+β=60°$
D.$3α+2β=90°$
答案
16.D 如图,连接 OC,OD,OD 交 AC 于点 E,
∵ 点 D 是$\overset{\frown}{AC}$的中点,
∴ OD 垂直平分 AC,
∴ ∠AED=90°,AD=CD,
∴ ∠DAC=∠DCA=∠CAB+∠P=α+β,
∵ OD=OA,
∴ ∠ODA=∠OAD=∠CAB+∠DAC=α+α+β=2α+β,
∵ ∠DAC+∠ODA=90°,
∴ (α+β)+(2α+β)=90°,
∴ 3α+2β=90°.故选 D.
解析
【分析】
要推导α和β的数量关系，需结合圆的性质转化角度：首先遇到弧的中点，优先运用垂径定理，因此作辅助线连接OC、OD，使OD交AC于点E，利用弧中点的性质得到OD⊥AC，构造出直角三角形；再结合圆周角的性质、三角形外角的性质，表示出直角三角形的两个锐角，最后利用直角三角形两锐角互余列等式化简，即可得到α和β的关系。
【解析】
如图，连接OC，OD，OD交AC于点E，
∵ 点D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴ OD垂直平分AC，
∴ ∠AED=90°，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ ∠DAC=∠DCA，
∵ ∠DCA是△ACP的外角，
∴ ∠DCA=∠CAB+∠P=α+β，即∠DAC=α+β，
∵ OD和OA都是$\odot O$的半径，即OD=OA，
∴ ∠ODA=∠OAD=∠CAB+∠DAC=α+(α+β)=2α+β，
在Rt△AED中，∠DAC+∠ODA=90°，
将角度表达式代入得：$(α+β)+(2α+β)=90°$，
整理后可得$3α+2β=90°$。
故选D。
【答案】
D
如图,连接 OC,OD,OD 交 AC 于点 E,
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质
【点评】
本题是圆中角度关系的典型题型，解题的核心是根据弧中点的性质作辅助线构造直角三角形，再结合等腰三角形、三角形外角的性质完成角度转化，对逻辑推理能力有一定的考查作用。
【难度系数】
0.6
要推导α和β的数量关系，需结合圆的性质转化角度：首先遇到弧的中点，优先运用垂径定理，因此作辅助线连接OC、OD，使OD交AC于点E，利用弧中点的性质得到OD⊥AC，构造出直角三角形；再结合圆周角的性质、三角形外角的性质，表示出直角三角形的两个锐角，最后利用直角三角形两锐角互余列等式化简，即可得到α和β的关系。
【解析】
如图，连接OC，OD，OD交AC于点E，
∵ 点D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴ OD垂直平分AC，
∴ ∠AED=90°，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ ∠DAC=∠DCA，
∵ ∠DCA是△ACP的外角，
∴ ∠DCA=∠CAB+∠P=α+β，即∠DAC=α+β，
∵ OD和OA都是$\odot O$的半径，即OD=OA，
∴ ∠ODA=∠OAD=∠CAB+∠DAC=α+(α+β)=2α+β，
在Rt△AED中，∠DAC+∠ODA=90°，
将角度表达式代入得：$(α+β)+(2α+β)=90°$，
整理后可得$3α+2β=90°$。
故选D。
【答案】
D
如图,连接 OC,OD,OD 交 AC 于点 E,
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质
【点评】
本题是圆中角度关系的典型题型，解题的核心是根据弧中点的性质作辅助线构造直角三角形，再结合等腰三角形、三角形外角的性质完成角度转化，对逻辑推理能力有一定的考查作用。
【难度系数】
0.6
17. 核心 素养推理能力「2026浙江杭州临平期末改编」如图，半圆O的直径AB=10，点C在半圆上，AC=6，点P在$\overset{\frown}{CB}$上，CQ⊥AP于点Q，则BQ的最小值为
$\sqrt{73}-3$
。答案
17.答案 $\sqrt{73}-3$
解析
∵ CQ⊥AP,
∴ ∠AQC=90°,又
∵ AC=6,
∴ 点 Q 在以 AC 为直径的圆上,记该圆圆心为 D,
如图,连接 BC,BD,DQ,则 BQ+DQ≥BD,
∴ 当点 Q 在 BD 上时,BQ 的值最小,
∵ AB 为半圆 O 的直径,
∴ ∠ACB=90°,
∵ AC=6,AB=10,
∴ BC=$\sqrt{AB^2-AC^2}$=8,DQ=CD=$\frac{1}{2}$AC=3,
∴ BD=$\sqrt{CD^2+BC^2}$=$\sqrt{73}$,
∴ BQ 的最小值=BD-DQ=$\sqrt{73}-3$,
故答案为$\sqrt{73}-3$.
解析
【分析】
首先分析动点Q的运动特征：由CQ⊥AP可得∠AQC=90°，根据圆周角定理的推论，可知点Q的轨迹是以AC为直径的圆。要求BQ的最小值，本质是求定点B到该圆上点的最短距离，根据圆的性质，圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去圆的半径，因此后续只需计算圆心到点B的距离和圆的半径，作差即可得结果。
【解析】
∵ CQ⊥AP，
∴ ∠AQC=90°，
又
∵ AC=6，
∴ 点Q在以AC为直径的圆上，记该圆圆心为D（即AC的中点）。
连接BC、BD、DQ，根据两点之间线段最短，可得BQ + DQ ≥ BD，因此当D、Q、B三点共线，即点Q落在线段BD上时，BQ的值最小。
∵ AB是半圆O的直径，
∴ ∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ACB中，AC=6，AB=10，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
圆D的半径$DQ=CD=\frac{1}{2}AC=3$。
在Rt△BCD中，CD=3，BC=8，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{CD^2+BC^2}=\sqrt{3^2+8^2}=\sqrt{73}$，
∴ BQ的最小值为$BD-DQ=\sqrt{73}-3$。
【答案】
$\sqrt{73}-3$
【知识点】
圆周角定理推论、勾股定理、最短路径计算
【点评】
本题是圆与最值结合的典型题型，解题的突破口是通过直角的特征确定动点的运动轨迹，将线段最值问题转化为圆外一点到圆上点的最短距离问题，同时需要熟练运用圆周角相关性质和勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.6
首先分析动点Q的运动特征：由CQ⊥AP可得∠AQC=90°，根据圆周角定理的推论，可知点Q的轨迹是以AC为直径的圆。要求BQ的最小值，本质是求定点B到该圆上点的最短距离，根据圆的性质，圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去圆的半径，因此后续只需计算圆心到点B的距离和圆的半径，作差即可得结果。
【解析】
∵ CQ⊥AP，
∴ ∠AQC=90°，
又
∵ AC=6，
∴ 点Q在以AC为直径的圆上，记该圆圆心为D（即AC的中点）。
连接BC、BD、DQ，根据两点之间线段最短，可得BQ + DQ ≥ BD，因此当D、Q、B三点共线，即点Q落在线段BD上时，BQ的值最小。
∵ AB是半圆O的直径，
∴ ∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ACB中，AC=6，AB=10，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
圆D的半径$DQ=CD=\frac{1}{2}AC=3$。
在Rt△BCD中，CD=3，BC=8，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{CD^2+BC^2}=\sqrt{3^2+8^2}=\sqrt{73}$，
∴ BQ的最小值为$BD-DQ=\sqrt{73}-3$。
【答案】
$\sqrt{73}-3$
【知识点】
圆周角定理推论、勾股定理、最短路径计算
【点评】
本题是圆与最值结合的典型题型，解题的突破口是通过直角的特征确定动点的运动轨迹，将线段最值问题转化为圆外一点到圆上点的最短距离问题，同时需要熟练运用圆周角相关性质和勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.6
