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1.「2026吉林长春期中」下列图中是圆周角的是（
B
）答案
1.B 选项A,C中的角的顶点不在圆上,不是圆周角;选项D中的角的其中一边不与圆相交,不是圆周角;只有选项B中的角是圆周角.故选B.
解析
【分析】
要判断哪个图形中的角是圆周角，首先要明确圆周角的两个核心判定条件：一是角的顶点必须在圆上，二是角的两条边都要与圆相交（除顶点外，两边各和圆有一个交点）。解题时依次对照这两个条件对四个选项逐一验证，只要不满足其中任意一个条件就可以排除，最终同时满足两个条件的选项就是正确答案。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，逐一分析选项：
选项A：角的顶点在圆外，不满足“顶点在圆上”的要求，不是圆周角；
选项B：角的顶点在圆上，且两条边都与圆相交，同时符合圆周角的两个判定条件，是圆周角；
选项C：角的顶点在圆内（圆心处），不满足“顶点在圆上”的要求，不是圆周角；
选项D：角的顶点虽然在圆上，但其中一条边和圆仅存在顶点这一个交点，不满足“两边都与圆相交”的要求，不是圆周角。
综上只有B选项的角是圆周角。
【答案】
B
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是对圆周角定义的理解和识别，只要牢记圆周角的两个判定要素，不漏查顶点位置和边与圆的相交情况就能顺利得分。
【难度系数】
0.9
要判断哪个图形中的角是圆周角，首先要明确圆周角的两个核心判定条件：一是角的顶点必须在圆上，二是角的两条边都要与圆相交（除顶点外，两边各和圆有一个交点）。解题时依次对照这两个条件对四个选项逐一验证，只要不满足其中任意一个条件就可以排除，最终同时满足两个条件的选项就是正确答案。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，逐一分析选项：
选项A：角的顶点在圆外，不满足“顶点在圆上”的要求，不是圆周角；
选项B：角的顶点在圆上，且两条边都与圆相交，同时符合圆周角的两个判定条件，是圆周角；
选项C：角的顶点在圆内（圆心处），不满足“顶点在圆上”的要求，不是圆周角；
选项D：角的顶点虽然在圆上，但其中一条边和圆仅存在顶点这一个交点，不满足“两边都与圆相交”的要求，不是圆周角。
综上只有B选项的角是圆周角。
【答案】
B
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是对圆周角定义的理解和识别，只要牢记圆周角的两个判定要素，不漏查顶点位置和边与圆的相交情况就能顺利得分。
【难度系数】
0.9
2.「2025重庆中考」如图，点A,B,C在⊙O上，∠AOB=100°,∠C的度数是 (
A.40°
B.50°
C.80°
D.100°
B
)A.40°
B.50°
C.80°
D.100°
答案
2.B
∵ ∠AOB 是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角,∠C 是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角,
∴ ∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×100°=50°.故选 B.
∵ ∠AOB 是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角,∠C 是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角,
∴ ∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×100°=50°.故选 B.
解析
【分析】
解题时首先观察角的顶点位置判断角的类型：顶点在圆心O的∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，顶点在圆上的∠C是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角；再回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，最后代入已知角度计算即可得到∠C的度数。
【解析】
∵ ∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，∠C是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×100°=50°，故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；圆心角与圆周角识别
【点评】
本题属于基础题型，重点考查圆周角定理的直接应用，解题的关键是准确找到同弧所对的圆心角和圆周角，熟练掌握定理即可快速得分。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察角的顶点位置判断角的类型：顶点在圆心O的∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，顶点在圆上的∠C是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角；再回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，最后代入已知角度计算即可得到∠C的度数。
【解析】
∵ ∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，∠C是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×100°=50°，故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；圆心角与圆周角识别
【点评】
本题属于基础题型，重点考查圆周角定理的直接应用，解题的关键是准确找到同弧所对的圆心角和圆周角，熟练掌握定理即可快速得分。
【难度系数】
0.85
3.「2026江苏宿迁期中」如图，点A,B,C在⊙O上，AO//BC，∠OAC=25°，则∠AOB的度数是（
A.25°
B.30°
C.40°
D.50°
D
）A.25°
B.30°
C.40°
D.50°
答案
3.D
∵ AO//BC,
∴ ∠C=∠OAC=25°,
∵ ∠AOB 是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角,∠C 是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角,
∴ ∠AOB=2∠C=50°.故选 D.
∵ AO//BC,
∴ ∠C=∠OAC=25°,
∵ ∠AOB 是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角,∠C 是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角,
∴ ∠AOB=2∠C=50°.故选 D.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先看到有平行线关系，可利用平行线的性质推导相等的角，先求出∠ACB的度数；再观察角的位置，识别出∠AOB是弧AB对应的圆心角，∠ACB是弧AB对应的圆周角，结合圆周角定理即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵ AO//BC，
∴ ∠C=∠OAC=25°（两直线平行，内错角相等），
∵ ∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，∠C是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，
∴ 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得
∠AOB=2∠C=2×25°=50°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础类考题，考查平行线性质与圆周角定理的综合应用，解题的关键是准确识别同弧所对的圆心角和圆周角，熟练掌握相关基础定理就能快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，首先看到有平行线关系，可利用平行线的性质推导相等的角，先求出∠ACB的度数；再观察角的位置，识别出∠AOB是弧AB对应的圆心角，∠ACB是弧AB对应的圆周角，结合圆周角定理即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵ AO//BC，
∴ ∠C=∠OAC=25°（两直线平行，内错角相等），
∵ ∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，∠C是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，
∴ 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得
∠AOB=2∠C=2×25°=50°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础类考题，考查平行线性质与圆周角定理的综合应用，解题的关键是准确识别同弧所对的圆心角和圆周角，熟练掌握相关基础定理就能快速解答。
【难度系数】
0.8
4.「2025四川宜宾中考」如图,已知∠BAC是⊙O的圆周角,∠BAC=40°,则∠OBC=
50
°.答案
4.答案 50
解析 由圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC=80°,
∵ OB=OC,
∴ ∠OBC=∠OCB=$\frac{180°-80°}{2}$=50°.
解析 由圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC=80°,
∵ OB=OC,
∴ ∠OBC=∠OCB=$\frac{180°-80°}{2}$=50°.
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件是圆周角∠BAC=40°，目标是求∠OBC的度数。第一步先找关联角：同弧BC所对的圆心角∠BOC，根据圆周角定理可求出∠BOC的度数；第二步观察△OBC，OB和OC都是圆的半径，长度相等，因此△OBC是等腰三角形，两个底角相等，最后结合三角形内角和为180°即可计算出∠OBC的度数。
【解析】
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
∠BOC = 2∠BAC = 2×40° = 80°
∵ OB、OC均为⊙O的半径
∴ OB = OC，即△OBC为等腰三角形，∠OBC = ∠OCB
结合三角形内角和为180°，计算得：
∠OBC = $\frac{180° - ∠BOC}{2}$ = $\frac{180° - 80°}{2}$ = 50°
【答案】
50
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础角度计算题，考查圆周角定理与等腰三角形性质的综合应用，解题核心是先通过圆周角定理求出圆心角度数，再结合等腰三角形底角相等的性质计算待求角，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确已知条件是圆周角∠BAC=40°，目标是求∠OBC的度数。第一步先找关联角：同弧BC所对的圆心角∠BOC，根据圆周角定理可求出∠BOC的度数；第二步观察△OBC，OB和OC都是圆的半径，长度相等，因此△OBC是等腰三角形，两个底角相等，最后结合三角形内角和为180°即可计算出∠OBC的度数。
【解析】
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
∠BOC = 2∠BAC = 2×40° = 80°
∵ OB、OC均为⊙O的半径
∴ OB = OC，即△OBC为等腰三角形，∠OBC = ∠OCB
结合三角形内角和为180°，计算得：
∠OBC = $\frac{180° - ∠BOC}{2}$ = $\frac{180° - 80°}{2}$ = 50°
【答案】
50
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础角度计算题，考查圆周角定理与等腰三角形性质的综合应用，解题核心是先通过圆周角定理求出圆心角度数，再结合等腰三角形底角相等的性质计算待求角，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
5.「2025广西中考」如图,已知AB是$\odot O$的直径,点C,D在$\odot O$上,$∠ ABC=65°,\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$.
(1)求证:$△ BOC≌△ DOC$.
(2)求$∠ ABD$的度数.
(1)求证:$△ BOC≌△ DOC$.
(2)求$∠ ABD$的度数.
答案
5.解析 (1)证明:
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ ∠BOC=∠DOC,
在△BOC 和△DOC 中,
$\begin{cases}OB=OD, \\∠BOC=∠DOC,∴ △BOC≌△DOC(SAS). \\OC=OC,\end{cases}$
(2)
∵ OC=OB,
∴ ∠ABC=∠OCB=65°,
∴ ∠COB=180°-∠ABC-∠OCB=50°,
∴ ∠DOC=∠BOC=50°,
∴ ∠AOD=180°-∠DOC-∠BOC=80°,
∴ ∠ABD=$\frac{1}{2}$∠AOD=40°.
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ ∠BOC=∠DOC,
在△BOC 和△DOC 中,
$\begin{cases}OB=OD, \\∠BOC=∠DOC,∴ △BOC≌△DOC(SAS). \\OC=OC,\end{cases}$
(2)
∵ OC=OB,
∴ ∠ABC=∠OCB=65°,
∴ ∠COB=180°-∠ABC-∠OCB=50°,
∴ ∠DOC=∠BOC=50°,
∴ ∠AOD=180°-∠DOC-∠BOC=80°,
∴ ∠ABD=$\frac{1}{2}$∠AOD=40°.
解析
【分析】
(1) 要证明△BOC≌△DOC，先从已知条件$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$入手，根据同圆中相等的弧对应相等的圆心角，可得∠BOC=∠DOC；再结合圆的半径都相等，得到OB=OD，且OC为两个三角形的公共边，即可用SAS判定全等。
(2) 求∠ABD的度数，首先∠ABD是圆周角，对应的圆心角为∠AOD，根据圆周角定理，只需求出∠AOD的度数即可。先利用等腰△OBC的内角和求出∠BOC，再结合$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$得到∠DOC=∠BOC，最后利用平角的性质求出∠AOD，即可算出∠ABD的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ ∠BOC=∠DOC，
在△BOC和△DOC中，
$\begin{cases}OB=OD, \\∠BOC=∠DOC, \\OC=OC,\end{cases}$
∴ △BOC≌△DOC(SAS)。
(2) 解：
∵ OC=OB，
∴ ∠ABC=∠OCB=65°，
∴ ∠COB=180°-∠ABC-∠OCB=50°，
∴ ∠DOC=∠BOC=50°，
∴ ∠AOD=180°-∠DOC-∠BOC=80°，
∴ ∠ABD=$\frac{1}{2}$∠AOD=40°。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $40°$
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 全等三角形SAS判定
3. 圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，将全等三角形判定与圆的性质结合考查，解题的核心是熟练掌握同圆中弧、圆心角、圆周角的对应转化规则，属于中考高频基础考点。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△BOC≌△DOC，先从已知条件$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$入手，根据同圆中相等的弧对应相等的圆心角，可得∠BOC=∠DOC；再结合圆的半径都相等，得到OB=OD，且OC为两个三角形的公共边，即可用SAS判定全等。
(2) 求∠ABD的度数，首先∠ABD是圆周角，对应的圆心角为∠AOD，根据圆周角定理，只需求出∠AOD的度数即可。先利用等腰△OBC的内角和求出∠BOC，再结合$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$得到∠DOC=∠BOC，最后利用平角的性质求出∠AOD，即可算出∠ABD的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ ∠BOC=∠DOC，
在△BOC和△DOC中，
$\begin{cases}OB=OD, \\∠BOC=∠DOC, \\OC=OC,\end{cases}$
∴ △BOC≌△DOC(SAS)。
(2) 解：
∵ OC=OB，
∴ ∠ABC=∠OCB=65°，
∴ ∠COB=180°-∠ABC-∠OCB=50°，
∴ ∠DOC=∠BOC=50°，
∴ ∠AOD=180°-∠DOC-∠BOC=80°，
∴ ∠ABD=$\frac{1}{2}$∠AOD=40°。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $40°$
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 全等三角形SAS判定
3. 圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，将全等三角形判定与圆的性质结合考查，解题的核心是熟练掌握同圆中弧、圆心角、圆周角的对应转化规则，属于中考高频基础考点。
【难度系数】
0.7
6.「2025青海中考」如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ CAB=40°$,则$∠ ADC$的度数是 (
A.$80°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$25°$
B
)A.$80°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$25°$
答案
6.B
∵ AB 是⊙O 的直径,
∴ ∠ACB=90°,
∵ ∠CAB=40°,
∴ ∠B=90°-∠CAB=50°,
∴ ∠ADC=∠B=50°.故选 B.
∵ AB 是⊙O 的直径,
∴ ∠ACB=90°,
∵ ∠CAB=40°,
∴ ∠B=90°-∠CAB=50°,
∴ ∠ADC=∠B=50°.故选 B.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先看到AB是⊙O的直径，可联想到“直径所对的圆周角为直角”的推论，得到△ACB是直角三角形；再结合已知的∠CAB=40°，利用直角三角形两锐角互余的性质算出∠B的度数；最后观察∠ADC和∠B的位置，二者均为弧AC所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ACB中，∠CAB=40°，
∴∠B=90°-∠CAB=90°-40°=50°，
又
∵∠ADC和∠B都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ADC=∠B=50°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 直径所对圆周角为直角
2. 同弧所对圆周角相等
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查圆周角定理的相关推论，计算量小，解题关键是熟练掌握直径对应直角、同弧所对圆周角相等的性质，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先看到AB是⊙O的直径，可联想到“直径所对的圆周角为直角”的推论，得到△ACB是直角三角形；再结合已知的∠CAB=40°，利用直角三角形两锐角互余的性质算出∠B的度数；最后观察∠ADC和∠B的位置，二者均为弧AC所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ACB中，∠CAB=40°，
∴∠B=90°-∠CAB=90°-40°=50°，
又
∵∠ADC和∠B都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ADC=∠B=50°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 直径所对圆周角为直角
2. 同弧所对圆周角相等
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查圆周角定理的相关推论，计算量小，解题关键是熟练掌握直径对应直角、同弧所对圆周角相等的性质，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
7.「2024北京中考」如图，$\odot O$的直径AB平分弦CD（不是直径）.若$∠ D=35°$,则$∠ C=$
55
°.答案
7.答案 55
解析 设AB与CD相交于点E(图略),
∵ ⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径),
∴ AB⊥CD,
∴ ∠DEB=90°,
∵ ∠D=35°,
∴ ∠B=90°-∠D=55°,
∴ ∠C=∠B=55°.
解析 设AB与CD相交于点E(图略),
∵ ⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径),
∴ AB⊥CD,
∴ ∠DEB=90°,
∵ ∠D=35°,
∴ ∠B=90°-∠D=55°,
∴ ∠C=∠B=55°.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：AB是⊙O的直径，且AB平分非直径弦CD，已知∠D=35°求∠C。第一步，由“直径平分非直径弦”的条件，结合垂径定理的推论，可得出AB⊥CD，得到直角；第二步，在形成的直角三角形DEB中，利用直角三角形两锐角互余的性质，计算出∠B的度数；第三步，观察到∠C和∠B是同一段弧所对的圆周角，根据圆周角定理的推论，同弧所对圆周角相等，即可得到∠C的度数。
【解析】
设AB与CD相交于点E，
∵⊙O的直径AB平分非直径的弦CD，
∴根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，即∠DEB=90°，
在Rt△DEB中，∠D=35°，
∴∠B=90°-∠D=90°-35°=55°，
又
∵∠C与∠B均为弧AD所对的圆周角，
∴∠C=∠B=55°。
【答案】
55
【知识点】
垂径定理及其推论；直角三角形两锐角互余；同弧所对圆周角相等
【点评】
本题属于圆的基础性质考查题，解题的关键是熟练掌握垂径定理和圆周角的相关推论，这类题型是圆章节的常规基础考题，掌握核心定理即可快速解答。
【难度系数】
0.85
解题时先梳理已知条件：AB是⊙O的直径，且AB平分非直径弦CD，已知∠D=35°求∠C。第一步，由“直径平分非直径弦”的条件，结合垂径定理的推论，可得出AB⊥CD，得到直角；第二步，在形成的直角三角形DEB中，利用直角三角形两锐角互余的性质，计算出∠B的度数；第三步，观察到∠C和∠B是同一段弧所对的圆周角，根据圆周角定理的推论，同弧所对圆周角相等，即可得到∠C的度数。
【解析】
设AB与CD相交于点E，
∵⊙O的直径AB平分非直径的弦CD，
∴根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，即∠DEB=90°，
在Rt△DEB中，∠D=35°，
∴∠B=90°-∠D=90°-35°=55°，
又
∵∠C与∠B均为弧AD所对的圆周角，
∴∠C=∠B=55°。
【答案】
55
【知识点】
垂径定理及其推论；直角三角形两锐角互余；同弧所对圆周角相等
【点评】
本题属于圆的基础性质考查题，解题的关键是熟练掌握垂径定理和圆周角的相关推论，这类题型是圆章节的常规基础考题，掌握核心定理即可快速解答。
【难度系数】
0.85
8.一圆形玻璃镜面损坏了一部分,为得到同样大小的镜面,工人师傅用直角尺进行了如图所示的测量,测得AB=8 cm,BC=6 cm,则圆形镜面的半径为
5 cm
.答案
8.答案 5 cm
解析 如图,连接AC,
∵ ∠ABC=90°,且∠ABC是圆周角,
∴ AC 是圆形镜面的直径,由勾股定理得 AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}$=$\sqrt{8^2+6^2}$=10 cm,
∴ 圆形镜面的半径为$\frac{1}{2}$×10=5 cm.
解析
【分析】
要计算圆形镜面的半径，需先确定圆的直径。由直角尺的特征可知∠ABC=90°，结合圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是圆的直径，因此连接AC即可得到圆的直径。已知Rt△ABC的两条直角边长度，通过勾股定理算出斜边AC的长度后，除以2即可得到半径。
【解析】
如图，连接AC
∵ ∠ABC=90°，且∠ABC是该圆形镜面的圆周角，
∴ AC是圆形镜面的直径。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \mathrm{cm}$，
∴ 圆形镜面的半径为$\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
5 cm
【知识点】
圆周角定理推论；勾股定理
【点评】
本题结合实际测量场景考查几何知识的应用，解题关键是利用直角构造出圆的直径，将实际问题转化为直角三角形边长计算问题，侧重对基础定理的应用能力考查。
【难度系数】
0.8
要计算圆形镜面的半径，需先确定圆的直径。由直角尺的特征可知∠ABC=90°，结合圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是圆的直径，因此连接AC即可得到圆的直径。已知Rt△ABC的两条直角边长度，通过勾股定理算出斜边AC的长度后，除以2即可得到半径。
【解析】
如图，连接AC
∵ ∠ABC=90°，且∠ABC是该圆形镜面的圆周角，
∴ AC是圆形镜面的直径。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \mathrm{cm}$，
∴ 圆形镜面的半径为$\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
5 cm
【知识点】
圆周角定理推论；勾股定理
【点评】
本题结合实际测量场景考查几何知识的应用，解题关键是利用直角构造出圆的直径，将实际问题转化为直角三角形边长计算问题，侧重对基础定理的应用能力考查。
【难度系数】
0.8
9.「2025吉林中考节选」如图所示的是$6×6$的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.$△ ABC$内接于$\odot O$,且点$A,B,C,O$均在格点上.只用无刻度的直尺,在图中找一个格点$D$(点$D$不与点$C$重合),画出$∠ ADB$,使$∠ ADB=∠ ACB$.
答案
9.解析 如图,点 D 及∠ADB 即为所求(答案不唯一).
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等。已知∠ACB是⊙O中弧AB所对的圆周角，要使∠ADB=∠ACB，只需让∠ADB也是弧AB所对的圆周角即可。因此点D需要满足三个条件：①在⊙O上；②不与点C重合；③与点C在弦AB的同侧，同时是网格中的格点。接下来只需在⊙O上找到符合要求的格点D，连接AD、BD即可完成作图。
【解析】
根据圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等。∠ACB是⊙O中$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，我们只需在⊙O上找到异于点C的格点D，且D与点C在弦AB的同侧，连接AD、BD，此时$∠ ADB$与$∠ ACB$都是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，因此$∠ ADB=∠ ACB$，满足题目要求，作图答案不唯一。
【答案】
【知识点】
1. 同弧所对圆周角相等
2. 无刻度直尺网格作图
【点评】
本题结合网格考查圆周角定理推论的应用，需要学生熟练掌握圆周角的性质，同时能结合网格特征定位符合条件的格点，侧重对基础知识灵活运用能力的考查，题目开放性较强。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等。已知∠ACB是⊙O中弧AB所对的圆周角，要使∠ADB=∠ACB，只需让∠ADB也是弧AB所对的圆周角即可。因此点D需要满足三个条件：①在⊙O上；②不与点C重合；③与点C在弦AB的同侧，同时是网格中的格点。接下来只需在⊙O上找到符合要求的格点D，连接AD、BD即可完成作图。
【解析】
根据圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等。∠ACB是⊙O中$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，我们只需在⊙O上找到异于点C的格点D，且D与点C在弦AB的同侧，连接AD、BD，此时$∠ ADB$与$∠ ACB$都是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，因此$∠ ADB=∠ ACB$，满足题目要求，作图答案不唯一。
【答案】
【知识点】
1. 同弧所对圆周角相等
2. 无刻度直尺网格作图
【点评】
本题结合网格考查圆周角定理推论的应用，需要学生熟练掌握圆周角的性质，同时能结合网格特征定位符合条件的格点，侧重对基础知识灵活运用能力的考查，题目开放性较强。
【难度系数】
0.7
10.「2025湖北中考，★☆」如图，
，△ABC内接于⊙O，∠BAC=30°。分别以点A和点B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并延长交⊙O于点E，连接OA，OE，则∠AOE的度数是（
A.30°
B.50°
C.60°
D.75°
，△ABC内接于⊙O，∠BAC=30°。分别以点A和点B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并延长交⊙O于点E，连接OA，OE，则∠AOE的度数是（C
）A.30°
B.50°
C.60°
D.75°
答案
10.C 由作图可得 MN 是 AB 的垂直平分线,
∴ DA=DB,又
∵ ∠BAC = 30°,
∴ ∠BAD = ∠ABD = 30°,
∴ ∠AOE=2∠ABD=60°.
∴ DA=DB,又
∵ ∠BAC = 30°,
∴ ∠BAD = ∠ABD = 30°,
∴ ∠AOE=2∠ABD=60°.
解析
【分析】
解题时首先识别题目中的尺规作图类型：分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$长为半径作弧，交点连线是AB的垂直平分线。根据垂直平分线的性质可得DA=DB，进而推出$∠ ABD=∠ BAC=30°$；再结合圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出$∠ AOE$的度数。
【解析】
由尺规作图的操作可知，MN是线段AB的垂直平分线。
∵点D在MN上，
∴$DA=DB$，
∴$∠ ABD=∠ BAC=30°$，即$∠ ABE=30°$。
∵$∠ AOE$是$\odot O$中弧AE所对的圆心角，$∠ ABE$是弧AE所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠ AOE=2∠ ABE=2×30°=60°$。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是先准确识别尺规作图的结论，再结合等腰三角形和圆周角的相关性质推导角度，是圆的性质部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先识别题目中的尺规作图类型：分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$长为半径作弧，交点连线是AB的垂直平分线。根据垂直平分线的性质可得DA=DB，进而推出$∠ ABD=∠ BAC=30°$；再结合圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出$∠ AOE$的度数。
【解析】
由尺规作图的操作可知，MN是线段AB的垂直平分线。
∵点D在MN上，
∴$DA=DB$，
∴$∠ ABD=∠ BAC=30°$，即$∠ ABE=30°$。
∵$∠ AOE$是$\odot O$中弧AE所对的圆心角，$∠ ABE$是弧AE所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠ AOE=2∠ ABE=2×30°=60°$。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是先准确识别尺规作图的结论，再结合等腰三角形和圆周角的相关性质推导角度，是圆的性质部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
