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1 下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（
D
）。答案
1.D
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，核心依据是一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。解题时只需逐个计算各选项方程的判别式，找到判别式大于0的选项即可。
【解析】
首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根与判别式$\Delta=b^2-4ac$的关系：
1. $\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；
2. $\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；
3. $\Delta＜0$，方程没有实数根。
对各选项分别计算判别式：
A选项：$x^2+2=0$，$a=1,b=0,c=2$，$\Delta=0^2-4×1×2=-8＜0$，无实数根，不符合要求；
B选项：$x^2+2x+1=0$，$a=1,b=2,c=1$，$\Delta=2^2-4×1×1=0$，有两个相等的实数根，不符合要求；
C选项：$2x^2-x+1=0$，$a=2,b=-1,c=1$，$\Delta=(-1)^2-4×2×1=-7＜0$，无实数根，不符合要求；
D选项：$x^2-3x-1=0$，$a=1,b=-3,c=-1$，$\Delta=(-3)^2-4×1×(-1)=13＞0$，有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根的判定
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题关键是牢记判别式与方程根的三种对应关系，计算时注意系数符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，核心依据是一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。解题时只需逐个计算各选项方程的判别式，找到判别式大于0的选项即可。
【解析】
首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根与判别式$\Delta=b^2-4ac$的关系：
1. $\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；
2. $\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；
3. $\Delta＜0$，方程没有实数根。
对各选项分别计算判别式：
A选项：$x^2+2=0$，$a=1,b=0,c=2$，$\Delta=0^2-4×1×2=-8＜0$，无实数根，不符合要求；
B选项：$x^2+2x+1=0$，$a=1,b=2,c=1$，$\Delta=2^2-4×1×1=0$，有两个相等的实数根，不符合要求；
C选项：$2x^2-x+1=0$，$a=2,b=-1,c=1$，$\Delta=(-1)^2-4×2×1=-7＜0$，无实数根，不符合要求；
D选项：$x^2-3x-1=0$，$a=1,b=-3,c=-1$，$\Delta=(-3)^2-4×1×(-1)=13＞0$，有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根的判定
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题关键是牢记判别式与方程根的三种对应关系，计算时注意系数符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
② 下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是(
A.$x^2 + x + 1 = 0$
B.$x^2 + x - 1 = 0$
C.$3x^2 + 2x + 1 = 0$
D.$4x^2 - 4x + 1 = 0$
B
)。A.$x^2 + x + 1 = 0$
B.$x^2 + x - 1 = 0$
C.$3x^2 + 2x + 1 = 0$
D.$4x^2 - 4x + 1 = 0$
答案
2.B
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，需使用一元二次方程根的判别式Δ=b²-4ac判断：Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，方程有两个相等的实数根；Δ＜0时，方程没有实数根。解题时先分别确定每个选项方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再代入公式计算Δ的值，最终选出Δ＞0的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
选项A：方程$x^2+x+1=0$中，$a=1,b=1,c=1$，$\Delta=1^2-4×1×1=1-4=-3＜0$，无实数根，不符合要求；
选项B：方程$x^2+x-1=0$中，$a=1,b=1,c=-1$，$\Delta=1^2-4×1×(-1)=1+4=5＞0$，有两个不相等的实数根，符合要求；
选项C：方程$3x^2+2x+1=0$中，$a=3,b=2,c=1$，$\Delta=2^2-4×3×1=4-12=-8＜0$，无实数根，不符合要求；
选项D：方程$4x^2-4x+1=0$中，$a=4,b=-4,c=1$，$\Delta=(-4)^2-4×4×1=16-16=0$，有两个相等的实数根，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题，只要牢记判别式与根的对应关系，准确代入计算即可解题。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，需使用一元二次方程根的判别式Δ=b²-4ac判断：Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，方程有两个相等的实数根；Δ＜0时，方程没有实数根。解题时先分别确定每个选项方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再代入公式计算Δ的值，最终选出Δ＞0的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
选项A：方程$x^2+x+1=0$中，$a=1,b=1,c=1$，$\Delta=1^2-4×1×1=1-4=-3＜0$，无实数根，不符合要求；
选项B：方程$x^2+x-1=0$中，$a=1,b=1,c=-1$，$\Delta=1^2-4×1×(-1)=1+4=5＞0$，有两个不相等的实数根，符合要求；
选项C：方程$3x^2+2x+1=0$中，$a=3,b=2,c=1$，$\Delta=2^2-4×3×1=4-12=-8＜0$，无实数根，不符合要求；
选项D：方程$4x^2-4x+1=0$中，$a=4,b=-4,c=1$，$\Delta=(-4)^2-4×4×1=16-16=0$，有两个相等的实数根，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题，只要牢记判别式与根的对应关系，准确代入计算即可解题。
【难度系数】
0.8
3 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，下列说法：①若$a+b+c=0$，则$b^2-4ac≥0$；②若方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根，则方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实根；③若$c$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，则一定有$ac+b+1=0$成立；④若$x_0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，则$b^2-4ac=(2ax_0+b)^2$，其中正确的有(
A.②③④
B.①②④
C.①②③④
D.①②③
B
)。A.②③④
B.①②④
C.①②③④
D.①②③
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的意义与根的判别式的应用，解题时需逐个分析4个说法，结合相关知识点判断正误：①先由a+b+c=0确定x=1是方程的根，再根据方程有实根可推出判别式的范围；②先由方程$ax^2+c=0$有两个不等实根得出$-4ac＞0$，再代入原方程的判别式判断符号；③将x=c代入方程后因式分解，分析两种情况判断是否一定成立；④利用根的意义得到$ax_0^2+bx_0=-c$，再对等式右边展开变形，验证是否等于判别式。
【解析】
我们逐个判断4个说法的正确性：
1. 对于说法①：
若$a+b+c=0$，将$x=1$代入方程$ax^2+bx+c=0$，左边$=a×1^2 +b×1 +c =a+b+c=0$，即$x=1$是方程的实根，因此方程必有实根，故判别式$b^2-4ac≥0$，①正确。
2. 对于说法②：
方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根，它的判别式$\Delta_1=0^2-4ac=-4ac＞0$。对于方程$ax^2+bx+c=0$，其判别式$\Delta=b^2-4ac$，因为$b^2≥0$，$-4ac＞0$，所以$\Delta=b^2+(-4ac)＞0$，因此方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实根，②正确。
3. 对于说法③：
若c是方程$ax^2+bx+c=0$的根，将$x=c$代入方程得：$a·c^2 +b·c +c=0$，提取公因式c得$c(ac +b +1)=0$，因此有$c=0$或$ac+b+1=0$两种情况，当$c=0$时$ac+b+1=0$不一定成立，故③错误。
4. 对于说法④：
若$x_0$是方程的根，则$ax_0^2 +bx_0 +c=0$，即$ax_0^2 +bx_0=-c$。
将右边$(2ax_0+b)^2$展开得：$4a^2x_0^2 +4abx_0 +b^2=4a(ax_0^2 +bx_0)+b^2$，把$ax_0^2 +bx_0=-c$代入得：$4a×(-c)+b^2 =b^2-4ac$，与左边相等，故④正确。
综上，①②④正确。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的意义，根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程判别式的综合应用题型，需要熟练掌握根的意义（方程的根代入方程等式成立）和判别式与根的个数的对应关系，解题时注意不要忽略③中c=0的特殊情况，避免判断错误。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根的意义与根的判别式的应用，解题时需逐个分析4个说法，结合相关知识点判断正误：①先由a+b+c=0确定x=1是方程的根，再根据方程有实根可推出判别式的范围；②先由方程$ax^2+c=0$有两个不等实根得出$-4ac＞0$，再代入原方程的判别式判断符号；③将x=c代入方程后因式分解，分析两种情况判断是否一定成立；④利用根的意义得到$ax_0^2+bx_0=-c$，再对等式右边展开变形，验证是否等于判别式。
【解析】
我们逐个判断4个说法的正确性：
1. 对于说法①：
若$a+b+c=0$，将$x=1$代入方程$ax^2+bx+c=0$，左边$=a×1^2 +b×1 +c =a+b+c=0$，即$x=1$是方程的实根，因此方程必有实根，故判别式$b^2-4ac≥0$，①正确。
2. 对于说法②：
方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根，它的判别式$\Delta_1=0^2-4ac=-4ac＞0$。对于方程$ax^2+bx+c=0$，其判别式$\Delta=b^2-4ac$，因为$b^2≥0$，$-4ac＞0$，所以$\Delta=b^2+(-4ac)＞0$，因此方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实根，②正确。
3. 对于说法③：
若c是方程$ax^2+bx+c=0$的根，将$x=c$代入方程得：$a·c^2 +b·c +c=0$，提取公因式c得$c(ac +b +1)=0$，因此有$c=0$或$ac+b+1=0$两种情况，当$c=0$时$ac+b+1=0$不一定成立，故③错误。
4. 对于说法④：
若$x_0$是方程的根，则$ax_0^2 +bx_0 +c=0$，即$ax_0^2 +bx_0=-c$。
将右边$(2ax_0+b)^2$展开得：$4a^2x_0^2 +4abx_0 +b^2=4a(ax_0^2 +bx_0)+b^2$，把$ax_0^2 +bx_0=-c$代入得：$4a×(-c)+b^2 =b^2-4ac$，与左边相等，故④正确。
综上，①②④正确。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的意义，根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程判别式的综合应用题型，需要熟练掌握根的意义（方程的根代入方程等式成立）和判别式与根的个数的对应关系，解题时注意不要忽略③中c=0的特殊情况，避免判断错误。
【难度系数】
0.7
4 关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的判别式$\Delta =$
$b^2-4ac$
。当判别式$\Delta$$＞0$
时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta$$=0$
时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta ＜ 0$时，方程没有
实数根；当$\Delta ≥0$时，方程的两个根分别是$x_1 =$$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
，$x_2 =$$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
。答案
4.$b^2-4ac$；$＞0$；$=0$；没有；$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程判别式及根与判别式关系、求根公式的基础概念，解题时先回忆一元二次方程相关基础定义：首先，我们把用来判断一元二次方程根的情况的式子叫做判别式，它是由一元二次方程一般式的系数推导得到的；其次结合平方根的性质理解判别式和根的对应关系：当根号下的数为正，有两个不同的平方根，对应方程有两个不等实根；根号下的数为0，只有一个平方根0，对应两个相等实根；根号下的数为负，实数范围内没有平方根，对应无实根；最后当判别式非负时，直接套用求根公式即可得到两个根的表达式。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$：
1. 判别式的定义为$\Delta = b^2-4ac$；
2. 当$\Delta＞0$时，$\sqrt{b^2-4ac}$是两个不同的实数，因此方程有两个不相等的实数根；
3. 当$\Delta=0$时，$\sqrt{b^2-4ac}=0$，因此方程有两个相等的实数根；
4. 当$\Delta＜0$时，$\sqrt{b^2-4ac}$在实数范围内无意义，因此方程没有实数根；
5. 当$\Delta≥0$时，代入求根公式可得两个根分别为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
【答案】
$b^2-4ac$；$＞0$；$=0$；没有；$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根的情况与判别式的关系；一元二次方程求根公式
【点评】
本题是一元二次方程判别式相关的基础概念考查题，内容属于核心基础知识点，是后续解决一元二次方程根的判定、求解类问题的必备基础，需要熟练记忆并掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程判别式及根与判别式关系、求根公式的基础概念，解题时先回忆一元二次方程相关基础定义：首先，我们把用来判断一元二次方程根的情况的式子叫做判别式，它是由一元二次方程一般式的系数推导得到的；其次结合平方根的性质理解判别式和根的对应关系：当根号下的数为正，有两个不同的平方根，对应方程有两个不等实根；根号下的数为0，只有一个平方根0，对应两个相等实根；根号下的数为负，实数范围内没有平方根，对应无实根；最后当判别式非负时，直接套用求根公式即可得到两个根的表达式。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$：
1. 判别式的定义为$\Delta = b^2-4ac$；
2. 当$\Delta＞0$时，$\sqrt{b^2-4ac}$是两个不同的实数，因此方程有两个不相等的实数根；
3. 当$\Delta=0$时，$\sqrt{b^2-4ac}=0$，因此方程有两个相等的实数根；
4. 当$\Delta＜0$时，$\sqrt{b^2-4ac}$在实数范围内无意义，因此方程没有实数根；
5. 当$\Delta≥0$时，代入求根公式可得两个根分别为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
【答案】
$b^2-4ac$；$＞0$；$=0$；没有；$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根的情况与判别式的关系；一元二次方程求根公式
【点评】
本题是一元二次方程判别式相关的基础概念考查题，内容属于核心基础知识点，是后续解决一元二次方程根的判定、求解类问题的必备基础，需要熟练记忆并掌握。
【难度系数】
0.9
5 方程$2x^2 + 4x - 1 = 0$的判别式的值是
24
。答案
5.24
解析
【分析】
求解一元二次方程的判别式，首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），对应的判别式公式为$\Delta = b^2-4ac$。解题时第一步先确认方程是否为一般形式，第二步准确对应找出$a$、$b$、$c$的取值（注意要带上各项的符号），第三步将数值代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
已知方程$2x^2+4x-1=0$已经是一般形式，对应可得：
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=4$，常数项$c=-1$。
将$a$、$b$、$c$代入判别式公式：
$\Delta = 4^2 - 4×2×(-1)$
$=16 - (-8)$
$=16+8$
$=24$
【答案】
24
【知识点】
一元二次方程判别式公式，一元二次方程一般形式
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考察对判别式公式的掌握和方程系数的识别，计算时要注意常数项的符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.9
求解一元二次方程的判别式，首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），对应的判别式公式为$\Delta = b^2-4ac$。解题时第一步先确认方程是否为一般形式，第二步准确对应找出$a$、$b$、$c$的取值（注意要带上各项的符号），第三步将数值代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
已知方程$2x^2+4x-1=0$已经是一般形式，对应可得：
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=4$，常数项$c=-1$。
将$a$、$b$、$c$代入判别式公式：
$\Delta = 4^2 - 4×2×(-1)$
$=16 - (-8)$
$=16+8$
$=24$
【答案】
24
【知识点】
一元二次方程判别式公式，一元二次方程一般形式
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考察对判别式公式的掌握和方程系数的识别，计算时要注意常数项的符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.9
⑥一元二次方程$\frac{2}{3}x - x^2 - \frac{1}{3} = 0$的判别式$\Delta$
$＜$
0，所以该方程根的情况是没有实数根
。答案
6.$＜$,没有实数根
解析
【分析】
要解决这个问题，需按照判别式的应用逻辑逐步思考：第一步先把给定的一元二次方程化为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，准确识别二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意各项的符号不能出错；第二步把$a、b、c$代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算结果；第三步根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
对$\frac{2}{3}x - x^2 - \frac{1}{3} = 0$移项整理，得$x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} = 0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-\frac{2}{3}$，常数项$c=\frac{1}{3}$，
代入判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-\frac{2}{3})^2 - 4×1×\frac{1}{3} = \frac{4}{9} - \frac{12}{9} = -\frac{8}{9}$，
可得$\Delta ＜ 0$，因此该方程没有实数根。
【答案】
＜，没有实数根
【知识点】
一元二次方程判别式，判别式与根的关系
【点评】
本题是一元二次方程判别式的基础应用题，解题关键是先将方程化为一般形式，正确确定各项系数的符号和数值，再代入公式计算判断，是巩固判别式概念的典型习题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需按照判别式的应用逻辑逐步思考：第一步先把给定的一元二次方程化为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，准确识别二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意各项的符号不能出错；第二步把$a、b、c$代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算结果；第三步根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
对$\frac{2}{3}x - x^2 - \frac{1}{3} = 0$移项整理，得$x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} = 0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-\frac{2}{3}$，常数项$c=\frac{1}{3}$，
代入判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-\frac{2}{3})^2 - 4×1×\frac{1}{3} = \frac{4}{9} - \frac{12}{9} = -\frac{8}{9}$，
可得$\Delta ＜ 0$，因此该方程没有实数根。
【答案】
＜，没有实数根
【知识点】
一元二次方程判别式，判别式与根的关系
【点评】
本题是一元二次方程判别式的基础应用题，解题关键是先将方程化为一般形式，正确确定各项系数的符号和数值，再代入公式计算判断，是巩固判别式概念的典型习题。
【难度系数】
0.8
7 一元二次方程$x^2 - x = \frac{1}{2}$的判别式的值是
3
，它的根的情况是有两个不相等的实数根
。答案
7.3,有两个不相等的实数根
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元二次方程根的判别式的使用规则：首先需要把原方程化为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，再准确确定$a$、$b$、$c$三个系数的取值，代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算出结果，最后根据判别式的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。
【解析】
1. 将原方程化为一元二次方程的一般形式：
对$x^2 - x = \frac{1}{2}$移项，得$x^2 - x - \frac{1}{2} = 0$
2. 确定各项系数：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-\frac{1}{2}$
3. 计算判别式的值：
代入公式$\Delta = b^2-4ac$，得
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-\frac{1}{2}) = 1 + 2 = 3$
4. 判断根的情况：
因为$\Delta=3＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
3，有两个不相等的实数根
【知识点】
一元二次方程一般式、根的判别式计算、判别式判断根的情况
【点评】
本题属于基础考点题型，主要考查一元二次方程根的判别式的计算与应用，解题的易错点是未将方程化为一般式就直接确定常数项，或计算时忽略系数的符号，按照规范步骤计算即可顺利得分。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，首先要明确一元二次方程根的判别式的使用规则：首先需要把原方程化为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，再准确确定$a$、$b$、$c$三个系数的取值，代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算出结果，最后根据判别式的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。
【解析】
1. 将原方程化为一元二次方程的一般形式：
对$x^2 - x = \frac{1}{2}$移项，得$x^2 - x - \frac{1}{2} = 0$
2. 确定各项系数：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-\frac{1}{2}$
3. 计算判别式的值：
代入公式$\Delta = b^2-4ac$，得
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-\frac{1}{2}) = 1 + 2 = 3$
4. 判断根的情况：
因为$\Delta=3＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
3，有两个不相等的实数根
【知识点】
一元二次方程一般式、根的判别式计算、判别式判断根的情况
【点评】
本题属于基础考点题型，主要考查一元二次方程根的判别式的计算与应用，解题的易错点是未将方程化为一般式就直接确定常数项，或计算时忽略系数的符号，按照规范步骤计算即可顺利得分。
【难度系数】
0.75
⑧ 若m为不等于0的实数，则关于x的方程$x^2 + mx - m^2 = 0$的根的情况是
有两个不相等的实数根
。。答案
8.有两个不相等的实数根
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$进行判断：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。解题时首先确定方程$x^2 + mx - m^2 = 0$的各项系数$a、b、c$，再代入公式计算$\Delta$，最后结合$m≠0$的条件判断$\Delta$的符号，即可得出根的情况。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + mx - m^2 = 0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=-m^2$。
代入根的判别式公式可得：
$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4×1×(-m^2) = m^2 + 4m^2 = 5m^2$
已知$m$为不等于0的实数，因此$m^2＞0$，则$5m^2＞0$，即$\Delta＞0$。
因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
有两个不相等的实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式，偶次幂的非负性
【点评】
本题是判断一元二次方程根的情况的基础题，解题的关键是准确识别方程各项系数，正确计算判别式，结合题目给出的参数范围判断判别式的符号即可得出结论。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$进行判断：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。解题时首先确定方程$x^2 + mx - m^2 = 0$的各项系数$a、b、c$，再代入公式计算$\Delta$，最后结合$m≠0$的条件判断$\Delta$的符号，即可得出根的情况。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + mx - m^2 = 0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=-m^2$。
代入根的判别式公式可得：
$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4×1×(-m^2) = m^2 + 4m^2 = 5m^2$
已知$m$为不等于0的实数，因此$m^2＞0$，则$5m^2＞0$，即$\Delta＞0$。
因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
有两个不相等的实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式，偶次幂的非负性
【点评】
本题是判断一元二次方程根的情况的基础题，解题的关键是准确识别方程各项系数，正确计算判别式，结合题目给出的参数范围判断判别式的符号即可得出结论。
【难度系数】
0.8
9 如果$x^2 - 2(m + 1)x + m^2 + 5$是一个完全平方式，则$m=$
2
。答案
9.2
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式。对于二次项系数为1的二次三项式$x^2+px+q$，若它是完全平方式，则满足常数项等于一次项系数一半的平方，即$q=(\frac{p}{2})^2$；也可以利用“完全平方式对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$”来列方程求解，两种方法都符合学段知识要求，可快速求出$m$的值。
【解析】
方法一：利用完全平方式的系数特征求解
因为$x^2 - 2(m + 1)x + m^2 + 5$是完全平方式，二次项系数为1，所以常数项等于一次项系数一半的平方，即：
$m^2 + 5 = [\frac{2(m+1)}{2}]^2$
化简等式右边得$(m+1)^2$，展开得：
$m^2 + 5 = m^2 + 2m + 1$
移项合并同类项：
$2m = 4$
解得$m=2$。
方法二：利用判别式求解
若二次三项式$ax^2+bx+c$是完全平方式，则对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根，即$\Delta=b^2-4ac=0$。
本题中$a=1$，$b=-2(m+1)$，$c=m^2+5$，代入得：
$\Delta = [-2(m+1)]^2 - 4×1×(m^2+5) = 0$
展开计算：
$4(m^2+2m+1) - 4m^2 - 20 = 0$
两边同时除以4得：
$m^2+2m+1 - m^2 - 5 = 0$
化简得$2m-4=0$，解得$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
完全平方式的特征；一元二次方程的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握完全平方式的性质，两种解题方法都属于常规思路，计算时注意展开合并同类项不要出错即可。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式。对于二次项系数为1的二次三项式$x^2+px+q$，若它是完全平方式，则满足常数项等于一次项系数一半的平方，即$q=(\frac{p}{2})^2$；也可以利用“完全平方式对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$”来列方程求解，两种方法都符合学段知识要求，可快速求出$m$的值。
【解析】
方法一：利用完全平方式的系数特征求解
因为$x^2 - 2(m + 1)x + m^2 + 5$是完全平方式，二次项系数为1，所以常数项等于一次项系数一半的平方，即：
$m^2 + 5 = [\frac{2(m+1)}{2}]^2$
化简等式右边得$(m+1)^2$，展开得：
$m^2 + 5 = m^2 + 2m + 1$
移项合并同类项：
$2m = 4$
解得$m=2$。
方法二：利用判别式求解
若二次三项式$ax^2+bx+c$是完全平方式，则对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根，即$\Delta=b^2-4ac=0$。
本题中$a=1$，$b=-2(m+1)$，$c=m^2+5$，代入得：
$\Delta = [-2(m+1)]^2 - 4×1×(m^2+5) = 0$
展开计算：
$4(m^2+2m+1) - 4m^2 - 20 = 0$
两边同时除以4得：
$m^2+2m+1 - m^2 - 5 = 0$
化简得$2m-4=0$，解得$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
完全平方式的特征；一元二次方程的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握完全平方式的性质，两种解题方法都属于常规思路，计算时注意展开合并同类项不要出错即可。
【难度系数】
0.7
⑩ 关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若$ac＜0$，方程的根的情况是
有两个不相等的实数根
。答案
10.有两个不相等的实数根
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需借助根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号来判断。首先回忆判别式与根的对应关系：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。本题已知$ac＜0$，可先推导$-4ac$的符号，再结合$b^2$的非负性，就能确定$\Delta$的符号，进而得到根的情况。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
由已知$ac＜0$，可得$-4ac＞0$；
又因为任意实数的平方均为非负数，因此$b^2≥0$；
由此可得$\Delta = b^2 + (-4ac) ＞0$；
根据根的判别式的意义，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。
【答案】
有两个不相等的实数根
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 平方的非负性
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查一元二次方程根的判别式的使用方法，解题的关键是结合已知条件准确判断判别式的正负，熟练掌握判别式和根的对应关系即可快速作答。
【难度系数】
0.85
要判断一元二次方程的根的情况，需借助根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号来判断。首先回忆判别式与根的对应关系：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。本题已知$ac＜0$，可先推导$-4ac$的符号，再结合$b^2$的非负性，就能确定$\Delta$的符号，进而得到根的情况。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
由已知$ac＜0$，可得$-4ac＞0$；
又因为任意实数的平方均为非负数，因此$b^2≥0$；
由此可得$\Delta = b^2 + (-4ac) ＞0$；
根据根的判别式的意义，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。
【答案】
有两个不相等的实数根
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 平方的非负性
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查一元二次方程根的判别式的使用方法，解题的关键是结合已知条件准确判断判别式的正负，熟练掌握判别式和根的对应关系即可快速作答。
【难度系数】
0.85
11 不解方程，判断下列方程根的情况：
(1) $2x^2 + 3x = 4$；
(2) $3x^2 = 2(2x - 1)$；
(3) $7x^2 + 1 = 2\sqrt{7}x$；
(4) $4p(p - 1) - 3 = 0$；
(5) $\sqrt{3}x^2 + x = \sqrt{2}$；
(6) $(2x - 1)^2 + x(x + 2) = 0$。
(1) $2x^2 + 3x = 4$；
(2) $3x^2 = 2(2x - 1)$；
(3) $7x^2 + 1 = 2\sqrt{7}x$；
(4) $4p(p - 1) - 3 = 0$；
(5) $\sqrt{3}x^2 + x = \sqrt{2}$；
(6) $(2x - 1)^2 + x(x + 2) = 0$。
答案
11.(1) $\Delta=41＞0$，故此方程有两个不相等的实数根。
(2) $\Delta=-8＜0$，故此方程没有实数根。
(3) $\Delta=0$，故此方程有两个相等的实数根。
(4) $\Delta=64＞0$，故此方程有两个不相等的实数根。
(5) $\Delta=1+4\sqrt{6}＞0$，故此方程有两个不相等的实数根。
(6) $\Delta=-16＜0$，故此方程没有实数根。
(2) $\Delta=-8＜0$，故此方程没有实数根。
(3) $\Delta=0$，故此方程有两个相等的实数根。
(4) $\Delta=64＞0$，故此方程有两个不相等的实数根。
(5) $\Delta=1+4\sqrt{6}＞0$，故此方程有两个不相等的实数根。
(6) $\Delta=-16＜0$，故此方程没有实数根。
解析
【分析】
判断一元二次方程根的情况的核心工具是根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，解题思路统一为：①先将各方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定对应系数$a$、$b$、$c$的值；②将$a$、$b$、$c$代入判别式公式计算$\Delta$的结果；③根据$\Delta$的符号判断根的情况：若$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；若$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；若$\Delta＜0$，方程没有实数根。
【解析】
(1) 移项整理为一般形式：$2x^2 + 3x - 4 = 0$
其中$a=2$，$b=3$，$c=-4$
$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×2×(-4) = 9 + 32 = 41＞0$，故此方程有两个不相等的实数根。
(2) 去括号移项整理为一般形式：$3x^2 - 4x + 2 = 0$
其中$a=3$，$b=-4$，$c=2$
$\Delta = (-4)^2 - 4×3×2 = 16 - 24 = -8＜0$，故此方程没有实数根。
(3) 移项整理为一般形式：$7x^2 - 2\sqrt{7}x + 1 = 0$
其中$a=7$，$b=-2\sqrt{7}$，$c=1$
$\Delta = (-2\sqrt{7})^2 - 4×7×1 = 28 - 28 = 0$，故此方程有两个相等的实数根。
(4) 去括号整理为一般形式：$4p^2 - 4p - 3 = 0$
其中$a=4$，$b=-4$，$c=-3$
$\Delta = (-4)^2 - 4×4×(-3) = 16 + 48 = 64＞0$，故此方程有两个不相等的实数根。
(5) 移项整理为一般形式：$\sqrt{3}x^2 + x - \sqrt{2} = 0$
其中$a=\sqrt{3}$，$b=1$，$c=-\sqrt{2}$
$\Delta = 1^2 - 4×\sqrt{3}×(-\sqrt{2}) = 1 + 4\sqrt{6}＞0$，故此方程有两个不相等的实数根。
(6) 去括号合并同类项整理为一般形式：$5x^2 - 2x + 1 = 0$
其中$a=5$，$b=-2$，$c=1$
$\Delta = (-2)^2 - 4×5×1 = 4 - 20 = -16＜0$，故此方程没有实数根。
【答案】
(1) $\Delta=41＞0$，故此方程有两个不相等的实数根。
(2) $\Delta=-8＜0$，故此方程没有实数根。
(3) $\Delta=0$，故此方程有两个相等的实数根。
(4) $\Delta=64＞0$，故此方程有两个不相等的实数根。
(5) $\Delta=1+4\sqrt{6}＞0$，故此方程有两个不相等的实数根。
(6) $\Delta=-16＜0$，故此方程没有实数根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的一般形式
3. 整式化简运算
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，主要考察方程化一般式的操作能力、判别式的计算能力以及根的情况的判定规则，解题时需注意整理一般式时的符号问题，计算判别式时避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
判断一元二次方程根的情况的核心工具是根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，解题思路统一为：①先将各方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定对应系数$a$、$b$、$c$的值；②将$a$、$b$、$c$代入判别式公式计算$\Delta$的结果；③根据$\Delta$的符号判断根的情况：若$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；若$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；若$\Delta＜0$，方程没有实数根。
【解析】
(1) 移项整理为一般形式：$2x^2 + 3x - 4 = 0$
其中$a=2$，$b=3$，$c=-4$
$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×2×(-4) = 9 + 32 = 41＞0$，故此方程有两个不相等的实数根。
(2) 去括号移项整理为一般形式：$3x^2 - 4x + 2 = 0$
其中$a=3$，$b=-4$，$c=2$
$\Delta = (-4)^2 - 4×3×2 = 16 - 24 = -8＜0$，故此方程没有实数根。
(3) 移项整理为一般形式：$7x^2 - 2\sqrt{7}x + 1 = 0$
其中$a=7$，$b=-2\sqrt{7}$，$c=1$
$\Delta = (-2\sqrt{7})^2 - 4×7×1 = 28 - 28 = 0$，故此方程有两个相等的实数根。
(4) 去括号整理为一般形式：$4p^2 - 4p - 3 = 0$
其中$a=4$，$b=-4$，$c=-3$
$\Delta = (-4)^2 - 4×4×(-3) = 16 + 48 = 64＞0$，故此方程有两个不相等的实数根。
(5) 移项整理为一般形式：$\sqrt{3}x^2 + x - \sqrt{2} = 0$
其中$a=\sqrt{3}$，$b=1$，$c=-\sqrt{2}$
$\Delta = 1^2 - 4×\sqrt{3}×(-\sqrt{2}) = 1 + 4\sqrt{6}＞0$，故此方程有两个不相等的实数根。
(6) 去括号合并同类项整理为一般形式：$5x^2 - 2x + 1 = 0$
其中$a=5$，$b=-2$，$c=1$
$\Delta = (-2)^2 - 4×5×1 = 4 - 20 = -16＜0$，故此方程没有实数根。
【答案】
(1) $\Delta=41＞0$，故此方程有两个不相等的实数根。
(2) $\Delta=-8＜0$，故此方程没有实数根。
(3) $\Delta=0$，故此方程有两个相等的实数根。
(4) $\Delta=64＞0$，故此方程有两个不相等的实数根。
(5) $\Delta=1+4\sqrt{6}＞0$，故此方程有两个不相等的实数根。
(6) $\Delta=-16＜0$，故此方程没有实数根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的一般形式
3. 整式化简运算
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，主要考察方程化一般式的操作能力、判别式的计算能力以及根的情况的判定规则，解题时需注意整理一般式时的符号问题，计算判别式时避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
