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12 不解方程，判断下列关于$ x $的方程的根的情况：
(1) $ ax^2 + bx = 0(a ≠ 0) $；
(2) $ x^2 - 2\sqrt{3}x + 3k^2 + 7 = 0 $；
(3) $ x^2 - mx + \frac{1}{2}m^2 + m + \frac{3}{2} = 0 $；
(4) $ (a^2 + b^2)x^2 - 2b(a + c)x + (b^2 + c^2) = 0(b^2 = ac, ab ≠ 0) $。
(1) $ ax^2 + bx = 0(a ≠ 0) $；
(2) $ x^2 - 2\sqrt{3}x + 3k^2 + 7 = 0 $；
(3) $ x^2 - mx + \frac{1}{2}m^2 + m + \frac{3}{2} = 0 $；
(4) $ (a^2 + b^2)x^2 - 2b(a + c)x + (b^2 + c^2) = 0(b^2 = ac, ab ≠ 0) $。
答案
12.(1) 因为$a≠0$，所以原方程是一元二次方程。又因为$\Delta=(-b)^2-4· a· 0=b^2≥0$，所以方程有两个实数根。
(2) 因为$\Delta=-12k^2-16＜0$，所以方程没有实数根。
(3) 因为$\Delta=-m^2-4m-6=-(m+2)^2-2＜0$，所以方程没有实数根。
(4) 因为$ab≠0$，所以$a^2+b^2≠0$，所以原方程是一元二次方程。因为$\Delta=8ab^2c-4a^2c^2-4b^4$，又因为$b^2=ac$，所以$\Delta=0$，所以原方程有两个相等的实数根。
(2) 因为$\Delta=-12k^2-16＜0$，所以方程没有实数根。
(3) 因为$\Delta=-m^2-4m-6=-(m+2)^2-2＜0$，所以方程没有实数根。
(4) 因为$ab≠0$，所以$a^2+b^2≠0$，所以原方程是一元二次方程。因为$\Delta=8ab^2c-4a^2c^2-4b^4$，又因为$b^2=ac$，所以$\Delta=0$，所以原方程有两个相等的实数根。
解析
【分析】
不解方程判断一元二次方程根的情况，核心思路是利用根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$的符号判断：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。解题步骤为：①先确认方程是一元二次方程（二次项系数不为0）；②准确对应二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；③计算并化简$\Delta$，含参数的$\Delta$可通过配方、代入已知条件，结合完全平方的非负性判断符号，最终得出根的情况。
【解析】
(1) 已知$a≠0$，因此该方程是一元二次方程，其中二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，常数项为$0$。
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4× a × 0 = b^2$，由平方的非负性可知$b^2≥0$，即$\Delta≥0$，因此方程有两个实数根。
(2) 该方程是一元二次方程，其中$a=1$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=3k^2+7$。
计算判别式：$\Delta = (-2\sqrt{3})^2 - 4×1×(3k^2+7) = 12 - 12k^2 - 28 = -12k^2 - 16$。
因为$k^2≥0$，所以$-12k^2≤0$，因此$-12k^2 -16 ＜ 0$，即$\Delta＜0$，所以方程没有实数根。
(3) 该方程是一元二次方程，其中$a=1$，$b=-m$，$c=\frac{1}{2}m^2 + m + \frac{3}{2}$。
计算判别式：$\Delta = (-m)^2 - 4×1×(\frac{1}{2}m^2 + m + \frac{3}{2}) = m^2 - 2m^2 - 4m - 6 = -m^2 -4m -6$。
配方得：$\Delta = -(m^2 +4m +4) -2 = -(m+2)^2 -2$。
因为$(m+2)^2≥0$，所以$-(m+2)^2≤0$，因此$-(m+2)^2 -2 ＜ 0$，即$\Delta＜0$，所以方程没有实数根。
(4) 已知$ab≠0$，则$a≠0$且$b≠0$，因此二次项系数$a^2 + b^2 ＞ 0$，该方程是一元二次方程，其中二次项系数为$a^2+b^2$，一次项系数为$-2b(a+c)$，常数项为$b^2 + c^2$。
计算判别式：$\Delta = [-2b(a+c)]^2 - 4×(a^2+b^2)×(b^2+c^2)$
$=4b^2(a^2 + 2ac + c^2) - 4(a^2+b^2)(b^2+c^2)$
代入已知条件$b^2=ac$，化简得：
$\Delta=4ac(a^2 + 2ac + c^2) - 4(a^2 + ac)(ac + c^2)=0$
即$\Delta=0$，因此原方程有两个相等的实数根。
【答案】
(1) 方程有两个实数根；
(2) 方程没有实数根；
(3) 方程没有实数根；
(4) 方程有两个相等的实数根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 完全平方式的非负性
3. 代数式化简
【点评】
本题是根的判别式的典型应用题型，重点考查对判别式用法的掌握，解题时需注意先验证二次项系数不为0，确保方程为一元二次方程后再计算判别式，含参数的判别式要灵活运用配方、已知条件代入的方法化简，结合非负数性质判断符号。
【难度系数】
0.7
不解方程判断一元二次方程根的情况，核心思路是利用根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$的符号判断：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。解题步骤为：①先确认方程是一元二次方程（二次项系数不为0）；②准确对应二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；③计算并化简$\Delta$，含参数的$\Delta$可通过配方、代入已知条件，结合完全平方的非负性判断符号，最终得出根的情况。
【解析】
(1) 已知$a≠0$，因此该方程是一元二次方程，其中二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，常数项为$0$。
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4× a × 0 = b^2$，由平方的非负性可知$b^2≥0$，即$\Delta≥0$，因此方程有两个实数根。
(2) 该方程是一元二次方程，其中$a=1$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=3k^2+7$。
计算判别式：$\Delta = (-2\sqrt{3})^2 - 4×1×(3k^2+7) = 12 - 12k^2 - 28 = -12k^2 - 16$。
因为$k^2≥0$，所以$-12k^2≤0$，因此$-12k^2 -16 ＜ 0$，即$\Delta＜0$，所以方程没有实数根。
(3) 该方程是一元二次方程，其中$a=1$，$b=-m$，$c=\frac{1}{2}m^2 + m + \frac{3}{2}$。
计算判别式：$\Delta = (-m)^2 - 4×1×(\frac{1}{2}m^2 + m + \frac{3}{2}) = m^2 - 2m^2 - 4m - 6 = -m^2 -4m -6$。
配方得：$\Delta = -(m^2 +4m +4) -2 = -(m+2)^2 -2$。
因为$(m+2)^2≥0$，所以$-(m+2)^2≤0$，因此$-(m+2)^2 -2 ＜ 0$，即$\Delta＜0$，所以方程没有实数根。
(4) 已知$ab≠0$，则$a≠0$且$b≠0$，因此二次项系数$a^2 + b^2 ＞ 0$，该方程是一元二次方程，其中二次项系数为$a^2+b^2$，一次项系数为$-2b(a+c)$，常数项为$b^2 + c^2$。
计算判别式：$\Delta = [-2b(a+c)]^2 - 4×(a^2+b^2)×(b^2+c^2)$
$=4b^2(a^2 + 2ac + c^2) - 4(a^2+b^2)(b^2+c^2)$
代入已知条件$b^2=ac$，化简得：
$\Delta=4ac(a^2 + 2ac + c^2) - 4(a^2 + ac)(ac + c^2)=0$
即$\Delta=0$，因此原方程有两个相等的实数根。
【答案】
(1) 方程有两个实数根；
(2) 方程没有实数根；
(3) 方程没有实数根；
(4) 方程有两个相等的实数根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 完全平方式的非负性
3. 代数式化简
【点评】
本题是根的判别式的典型应用题型，重点考查对判别式用法的掌握，解题时需注意先验证二次项系数不为0，确保方程为一元二次方程后再计算判别式，含参数的判别式要灵活运用配方、已知条件代入的方法化简，结合非负数性质判断符号。
【难度系数】
0.7
13 关于$x$的方程$x^2 - 2mx + 4(m - 1) = 0$一定有实数根吗？为什么？
答案
13.$\Delta=4m^2-16m+16=4(m-2)^2≥0$，故原方程一定有两个实数根。
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否一定有实数根，需借助一元二次方程根的判别式分析。首先明确方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算，再通过化简、配方判断$\Delta$的取值范围：若$\Delta ≥ 0$，则方程一定有实数根，若$\Delta ＜0$则无实数根。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2mx + 4(m - 1) = 0$，
可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2m$，常数项$c=4(m-1)$，
代入根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$得：
$\begin{aligned}\Delta &= (-2m)^2 - 4×1×4(m-1) \\&=4m^2 - 16m +16 \\&=4(m^2-4m+4) \\&=4(m-2)^2\end{aligned}$
因为任意实数的平方都是非负数，即$(m-2)^2 ≥ 0$，
所以$4(m-2)^2 ≥ 0$，即$\Delta ≥ 0$，因此原方程一定有实数根。
【答案】
$\Delta=4m^2-16m+16=4(m-2)^2≥0$，故原方程一定有两个实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；平方的非负性
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，核心是掌握判别式取值和方程根的对应关系，解题关键是准确计算判别式，结合平方的非负性判断判别式的符号即可得出结论。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程是否一定有实数根，需借助一元二次方程根的判别式分析。首先明确方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算，再通过化简、配方判断$\Delta$的取值范围：若$\Delta ≥ 0$，则方程一定有实数根，若$\Delta ＜0$则无实数根。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2mx + 4(m - 1) = 0$，
可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2m$，常数项$c=4(m-1)$，
代入根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$得：
$\begin{aligned}\Delta &= (-2m)^2 - 4×1×4(m-1) \\&=4m^2 - 16m +16 \\&=4(m^2-4m+4) \\&=4(m-2)^2\end{aligned}$
因为任意实数的平方都是非负数，即$(m-2)^2 ≥ 0$，
所以$4(m-2)^2 ≥ 0$，即$\Delta ≥ 0$，因此原方程一定有实数根。
【答案】
$\Delta=4m^2-16m+16=4(m-2)^2≥0$，故原方程一定有两个实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；平方的非负性
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，核心是掌握判别式取值和方程根的对应关系，解题关键是准确计算判别式，结合平方的非负性判断判别式的符号即可得出结论。
【难度系数】
0.8
14 已知方程$x^2 - 2x - m = 0$没有实数根，其中$m$是实数。试判断关于$x$的方程$x^2 + 2mx + m(m + 1) = 0$的根的情况。
答案
14.因为方程$x^2-2x-m=0$无实数根，所以$\Delta_1=4+4m＜0$，解得$m＜-1$。因为$\Delta_2=-4m＞0$，所以方程$x^2+2mx+m(m+1)=0$有两个不相等的实数根。
解析
【分析】
要判断第二个一元二次方程的根的情况，核心是确定其判别式的正负，而判别式的符号由参数m的取值决定。我们可以先利用第一个方程无实数根的条件，结合一元二次方程根的判别式与根的对应关系，求出m的取值范围，再代入第二个方程的判别式判断符号，即可得出结论。其中一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的判别式$\Delta = b^2-4ac$，$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。
【解析】
解：
∵ 方程$x^2 - 2x - m = 0$没有实数根
∴ 其判别式$\Delta_1 = (-2)^2 - 4×1×(-m) = 4 + 4m ＜ 0$
解不等式得：$m ＜ -1$
对于方程$x^2 + 2mx + m(m + 1) = 0$，其判别式为：
$\Delta_2 = (2m)^2 - 4×1× m(m+1) = 4m^2 - 4m^2 - 4m = -4m$
∵ $m ＜ -1$，
∴ $-4m ＞ 0$，即$\Delta_2 ＞ 0$
∴ 方程$x^2 + 2mx + m(m + 1) = 0$有两个不相等的实数根。
【答案】
方程$x^2 + 2mx + m(m + 1) = 0$有两个不相等的实数根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程判别式的基础应用题型，解题核心是熟练掌握判别式的计算公式以及判别式取值和方程根的情况的对应关系，通过第一个方程的根的情况确定参数范围是解题的关键步骤。
【难度系数】
0.75
要判断第二个一元二次方程的根的情况，核心是确定其判别式的正负，而判别式的符号由参数m的取值决定。我们可以先利用第一个方程无实数根的条件，结合一元二次方程根的判别式与根的对应关系，求出m的取值范围，再代入第二个方程的判别式判断符号，即可得出结论。其中一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的判别式$\Delta = b^2-4ac$，$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。
【解析】
解：
∵ 方程$x^2 - 2x - m = 0$没有实数根
∴ 其判别式$\Delta_1 = (-2)^2 - 4×1×(-m) = 4 + 4m ＜ 0$
解不等式得：$m ＜ -1$
对于方程$x^2 + 2mx + m(m + 1) = 0$，其判别式为：
$\Delta_2 = (2m)^2 - 4×1× m(m+1) = 4m^2 - 4m^2 - 4m = -4m$
∵ $m ＜ -1$，
∴ $-4m ＞ 0$，即$\Delta_2 ＞ 0$
∴ 方程$x^2 + 2mx + m(m + 1) = 0$有两个不相等的实数根。
【答案】
方程$x^2 + 2mx + m(m + 1) = 0$有两个不相等的实数根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程判别式的基础应用题型，解题核心是熟练掌握判别式的计算公式以及判别式取值和方程根的情况的对应关系，通过第一个方程的根的情况确定参数范围是解题的关键步骤。
【难度系数】
0.75
