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12 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + m -1 =0$有两个实数根。设$p$是方程的一个实数根，且满足$(p^2 -2p +3)(m +4)=7$，求$m$的值。
答案
12. 因为$p$是方程的一个实数根,则$p^2-2p+m-1=0$,则$p^2-2p+3=4-m$。因为$(p^2-2p+3)(m+4)=7$,即$(4-m)(4+m)=7$,解得$m=3$或$-3$。当$m=3$时,一元二次方程为$x^2-2x+2=0$,此方程无实数根,故舍去。所以$m=-3$。
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将实根p代入原方程，得到p²-2p关于m的表达式，再将其代入已知的乘积等式中，即可得到关于m的方程，解出m的可能值；最后结合题目给出的“原方程有两个实数根”的前提条件，通过根的判别式检验m的取值是否符合要求，舍去不符合的解即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵p是方程$x^2 - 2x + m -1 =0$的一个实数根，
∴将$x=p$代入方程得：$p^2 - 2p + m -1 = 0$，
整理得$p^2 - 2p = 1 - m$，
∴$p^2 - 2p + 3 = 1 - m + 3 = 4 - m$。
将$p^2 - 2p + 3 = 4 - m$代入$(p^2 -2p +3)(m +4)=7$，得：
$(4 - m)(m + 4) = 7$，
利用平方差公式展开得$16 - m^2 = 7$，
解得$m^2=9$，即$m=3$或$m=-3$。
∵原一元二次方程有两个实数根，
∴根的判别式$\Delta=(-2)^2 - 4×1×(m - 1) ≥ 0$，
计算得$\Delta=4 - 4m + 4 = 8 - 4m ≥ 0$，解得$m ≤ 2$。
当$m=3$时，$3＞2$，不符合判别式要求，舍去；
当$m=-3$时，$-3≤2$，符合要求。
【答案】
$m=-3$
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根的判别式；平方差公式
【点评】
本题属于一元二次方程的综合应用类题目，解题的关键是灵活运用方程根的定义进行整体代换，需要注意的是不要遗漏题目中“方程有两个实数根”的限制条件，要对求出的参数值进行检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将实根p代入原方程，得到p²-2p关于m的表达式，再将其代入已知的乘积等式中，即可得到关于m的方程，解出m的可能值；最后结合题目给出的“原方程有两个实数根”的前提条件，通过根的判别式检验m的取值是否符合要求，舍去不符合的解即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵p是方程$x^2 - 2x + m -1 =0$的一个实数根，
∴将$x=p$代入方程得：$p^2 - 2p + m -1 = 0$，
整理得$p^2 - 2p = 1 - m$，
∴$p^2 - 2p + 3 = 1 - m + 3 = 4 - m$。
将$p^2 - 2p + 3 = 4 - m$代入$(p^2 -2p +3)(m +4)=7$，得：
$(4 - m)(m + 4) = 7$，
利用平方差公式展开得$16 - m^2 = 7$，
解得$m^2=9$，即$m=3$或$m=-3$。
∵原一元二次方程有两个实数根，
∴根的判别式$\Delta=(-2)^2 - 4×1×(m - 1) ≥ 0$，
计算得$\Delta=4 - 4m + 4 = 8 - 4m ≥ 0$，解得$m ≤ 2$。
当$m=3$时，$3＞2$，不符合判别式要求，舍去；
当$m=-3$时，$-3≤2$，符合要求。
【答案】
$m=-3$
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根的判别式；平方差公式
【点评】
本题属于一元二次方程的综合应用类题目，解题的关键是灵活运用方程根的定义进行整体代换，需要注意的是不要遗漏题目中“方程有两个实数根”的限制条件，要对求出的参数值进行检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
13 已知一元二次方程$x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0$。若$△ ABC$的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长是5，当$△ ABC$是等腰三角形时，求k的值。
答案
13. 一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$可化为$(x-k)[x-(k+1)]=0$,解得$x_1=k,\ x_2=k+1$。因为$k＜k+1$,所以$AB≠AC$。
当$AB=k,\ AC=k+1$,且$AB=BC=5$时,$k=5$;
当$AB=k,\ AC=k+1$,且$AC=BC=5$时,$k+1=5$,解得$k=4$。
所以$k$的值为5或4。
当$AB=k,\ AC=k+1$,且$AB=BC=5$时,$k=5$;
当$AB=k,\ AC=k+1$,且$AC=BC=5$时,$k+1=5$,解得$k=4$。
所以$k$的值为5或4。
解析
【分析】
解题时首先需先求出一元二次方程的两个实数根，结合两根的大小关系判断AB与AC不可能相等，因此△ABC为等腰三角形时，只能是方程的其中一个根等于第三边BC的长5，分两种情况讨论计算k的值，最后验证所得三边是否满足三角形三边关系即可。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
将方程$x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0$因式分解，可得$(x-k)[x-(k+1)]=0$，解得方程的两个根为$x_1=k$，$x_2=k+1$。
2. 分析等腰三角形的情况：
因为$k ＜ k+1$，所以AB、AC的长度不相等，即$AB ≠ AC$，因此等腰三角形的相等边为其中一边与BC=5相等，分两种情况讨论：
① 当$AB=k$，且$AB=BC=5$时，可得$k=5$，此时另一边长为$k+1=6$，三边长为5、5、6，满足三角形三边关系，符合题意；
② 当$AC=k+1$，且$AC=BC=5$时，可得$k+1=5$，解得$k=4$，此时另一边长为$k=4$，三边长为4、5、5，满足三角形三边关系，符合题意。
【答案】
$k$的值为4或5
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合题型，核心考查分类讨论思想，解题时需注意先排除两根相等的情况，再分情况讨论，最后要验证三边是否满足三角形构成条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
解题时首先需先求出一元二次方程的两个实数根，结合两根的大小关系判断AB与AC不可能相等，因此△ABC为等腰三角形时，只能是方程的其中一个根等于第三边BC的长5，分两种情况讨论计算k的值，最后验证所得三边是否满足三角形三边关系即可。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
将方程$x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0$因式分解，可得$(x-k)[x-(k+1)]=0$，解得方程的两个根为$x_1=k$，$x_2=k+1$。
2. 分析等腰三角形的情况：
因为$k ＜ k+1$，所以AB、AC的长度不相等，即$AB ≠ AC$，因此等腰三角形的相等边为其中一边与BC=5相等，分两种情况讨论：
① 当$AB=k$，且$AB=BC=5$时，可得$k=5$，此时另一边长为$k+1=6$，三边长为5、5、6，满足三角形三边关系，符合题意；
② 当$AC=k+1$，且$AC=BC=5$时，可得$k+1=5$，解得$k=4$，此时另一边长为$k=4$，三边长为4、5、5，满足三角形三边关系，符合题意。
【答案】
$k$的值为4或5
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合题型，核心考查分类讨论思想，解题时需注意先排除两根相等的情况，再分情况讨论，最后要验证三边是否满足三角形构成条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
14 阅读下列材料,解答问题。
解方程：$(2x - 5)^2 + (3x + 7)^2 = (5x + 2)^2$。
解:设$m=2x -5$，$n=3x +7$，则$m +n=5x +2$。
则原方程可化为$m^2 +n^2=(m +n)^2$。
所以$mn=0$，即$(2x -5)(3x +7)=0$。
解得$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=-\frac{7}{3}$。
请利用上述方法解方程:
$(4x -5)^2 + (3x -2)^2=(x -3)^2$。
解方程：$(2x - 5)^2 + (3x + 7)^2 = (5x + 2)^2$。
解:设$m=2x -5$，$n=3x +7$，则$m +n=5x +2$。
则原方程可化为$m^2 +n^2=(m +n)^2$。
所以$mn=0$，即$(2x -5)(3x +7)=0$。
解得$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=-\frac{7}{3}$。
请利用上述方法解方程:
$(4x -5)^2 + (3x -2)^2=(x -3)^2$。
答案
14. 设$m=4x-5,\ n=3x-2$,
则$m-n=(4x-5)-(3x-2)=x-3$。
原方程可化为$m^2+n^2=(m-n)^2$,
整理得$mn=0$,即$(4x-5)(3x-2)=0$。
解得$x_1=\frac{5}{4},\ x_2=\frac{2}{3}$。
则$m-n=(4x-5)-(3x-2)=x-3$。
原方程可化为$m^2+n^2=(m-n)^2$,
整理得$mn=0$,即$(4x-5)(3x-2)=0$。
解得$x_1=\frac{5}{4},\ x_2=\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
首先观察待解方程的结构，对比题干给出的示例解题思路，先分析方程左右两边底数的数量关系：计算(4x-5)-(3x-2)可得x-3，恰好等于等号右侧的底数，因此可采用换元法简化方程。设m=4x-5，n=3x-2，则原方程可转化为关于m、n的方程，利用完全平方公式展开化简后即可将二次方程降为一次方程求解，避免直接展开计算的繁琐。
【解析】
解：设$m=4x-5$，$n=3x-2$，
则$m-n=(4x-5)-(3x-2)=x-3$，
原方程可化为$m^2 + n^2=(m-n)^2$，
将等式右边展开得：$m^2 + n^2=m^2 - 2mn + n^2$，
移项、合并同类项得：$2mn=0$，即$mn=0$，
代回原式得$(4x-5)(3x-2)=0$，
∴$4x-5=0$或$3x-2=0$，
解得$x_1=\frac{5}{4}$，$x_2=\frac{2}{3}$。
【答案】
$x_1=\frac{5}{4}$，$x_2=\frac{2}{3}$
【知识点】
换元法解方程；完全平方公式；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题通过给出示例引导学生运用换元法解方程，重点考查学生的观察能力和知识迁移能力，通过换元可简化方程结构，减少计算量，解题的关键是准确找到代数式之间的数量关系，同时要熟练掌握完全平方公式的变形应用。
【难度系数】
0.7
首先观察待解方程的结构，对比题干给出的示例解题思路，先分析方程左右两边底数的数量关系：计算(4x-5)-(3x-2)可得x-3，恰好等于等号右侧的底数，因此可采用换元法简化方程。设m=4x-5，n=3x-2，则原方程可转化为关于m、n的方程，利用完全平方公式展开化简后即可将二次方程降为一次方程求解，避免直接展开计算的繁琐。
【解析】
解：设$m=4x-5$，$n=3x-2$，
则$m-n=(4x-5)-(3x-2)=x-3$，
原方程可化为$m^2 + n^2=(m-n)^2$，
将等式右边展开得：$m^2 + n^2=m^2 - 2mn + n^2$，
移项、合并同类项得：$2mn=0$，即$mn=0$，
代回原式得$(4x-5)(3x-2)=0$，
∴$4x-5=0$或$3x-2=0$，
解得$x_1=\frac{5}{4}$，$x_2=\frac{2}{3}$。
【答案】
$x_1=\frac{5}{4}$，$x_2=\frac{2}{3}$
【知识点】
换元法解方程；完全平方公式；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题通过给出示例引导学生运用换元法解方程，重点考查学生的观察能力和知识迁移能力，通过换元可简化方程结构，减少计算量，解题的关键是准确找到代数式之间的数量关系，同时要熟练掌握完全平方公式的变形应用。
【难度系数】
0.7
