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1 若$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$有意义，则$a$、$b$应满足的条件是(
A.$a$、$b$均为非负数
B.$a$、$b$同号
C.$a ≥ 0$，$b ＞ 0$
D.$\dfrac{a}{b} ≥ 0$
D
)。A.$a$、$b$均为非负数
B.$a$、$b$同号
C.$a ≥ 0$，$b ＞ 0$
D.$\dfrac{a}{b} ≥ 0$
答案
D
解析
【分析】
要判断$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$有意义时$a$、$b$满足的条件，首先回忆二次根式的成立规则：二次根号下的被开方数必须是非负数（即大于等于0），另外被开方数是分式$\dfrac{a}{b}$，分式本身有意义要求分母不能为0，而$\dfrac{a}{b}≥ 0$这个条件已经隐含了分母$b≠0$的要求。接下来只需逐一验证每个选项是否符合核心要求，排除错误选项就能得到正确答案。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$有意义，需满足被开方数为非负数，即：
$\dfrac{a}{b} ≥ 0$，该式同时隐含了分母$b≠ 0$的要求。
对各选项逐一分析：
选项A：若$a$、$b$均为非负数，当$b=0$时分式无意义；且当$a＜0$、$b＜0$时$\dfrac{a}{b}＞0$，式子也有意义，因此A错误。
选项B：$a$、$b$同号没有包含$a=0$的情况，当$a=0$且$b≠ 0$时$\dfrac{a}{b}=0$，式子仍有意义，因此B错误。
选项C：$a≥ 0,b＞0$没有考虑$a＜0$、$b＜0$的情况，此时$\dfrac{a}{b}＞0$，式子也有意义，因此C错误。
选项D：$\dfrac{a}{b}≥ 0$刚好满足被开方数非负，且隐含分母不为0的要求，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式成立条件的基础考查题，易错点是容易忽略$a$、$b$同为负数的情况，或者漏记$a=0$也满足要求，做题时要抓住被开方数非负这一核心，同时注意分式分母不能为0的隐含要求。
【难度系数】
0.8
要判断$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$有意义时$a$、$b$满足的条件，首先回忆二次根式的成立规则：二次根号下的被开方数必须是非负数（即大于等于0），另外被开方数是分式$\dfrac{a}{b}$，分式本身有意义要求分母不能为0，而$\dfrac{a}{b}≥ 0$这个条件已经隐含了分母$b≠0$的要求。接下来只需逐一验证每个选项是否符合核心要求，排除错误选项就能得到正确答案。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$有意义，需满足被开方数为非负数，即：
$\dfrac{a}{b} ≥ 0$，该式同时隐含了分母$b≠ 0$的要求。
对各选项逐一分析：
选项A：若$a$、$b$均为非负数，当$b=0$时分式无意义；且当$a＜0$、$b＜0$时$\dfrac{a}{b}＞0$，式子也有意义，因此A错误。
选项B：$a$、$b$同号没有包含$a=0$的情况，当$a=0$且$b≠ 0$时$\dfrac{a}{b}=0$，式子仍有意义，因此B错误。
选项C：$a≥ 0,b＞0$没有考虑$a＜0$、$b＜0$的情况，此时$\dfrac{a}{b}＞0$，式子也有意义，因此C错误。
选项D：$\dfrac{a}{b}≥ 0$刚好满足被开方数非负，且隐含分母不为0的要求，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式成立条件的基础考查题，易错点是容易忽略$a$、$b$同为负数的情况，或者漏记$a=0$也满足要求，做题时要抓住被开方数非负这一核心，同时注意分式分母不能为0的隐含要求。
【难度系数】
0.8
2 已知二次根式$\sqrt{x^2}$的值为3，那么x的值是（
A.3
B.9
D.3或－3
D
）。A.3
B.9
D.3或－3
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的相关性质，已知$\sqrt{x^2}=3$，我们可以先利用二次根式的性质将$\sqrt{x^2}$化简为绝对值形式，得到关于x的绝对值方程，再根据绝对值的定义求出x的所有可能取值即可，注意不要遗漏负数的情况。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{x^2}=|x|$
已知$\sqrt{x^2}=3$，因此$|x|=3$
根据绝对值的定义：绝对值为3的数有两个，分别是3和-3，即$x=3$或$x=-3$
因此本题选D
【答案】
D
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 绝对值的意义
【点评】
本题属于基础题，重点考查二次根式的化简和绝对值的性质，易错点是容易忽略x为负数的情况，只选取$x=3$，解题时要牢记二次根式开平方的结果是非负数，对应的被开方数中的底数有正负两种可能。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次根式的相关性质，已知$\sqrt{x^2}=3$，我们可以先利用二次根式的性质将$\sqrt{x^2}$化简为绝对值形式，得到关于x的绝对值方程，再根据绝对值的定义求出x的所有可能取值即可，注意不要遗漏负数的情况。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{x^2}=|x|$
已知$\sqrt{x^2}=3$，因此$|x|=3$
根据绝对值的定义：绝对值为3的数有两个，分别是3和-3，即$x=3$或$x=-3$
因此本题选D
【答案】
D
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 绝对值的意义
【点评】
本题属于基础题，重点考查二次根式的化简和绝对值的性质，易错点是容易忽略x为负数的情况，只选取$x=3$，解题时要牢记二次根式开平方的结果是非负数，对应的被开方数中的底数有正负两种可能。
【难度系数】
0.8
3 若$a ＜ b$($a$、$b$为非零实数)，化简$\sqrt{-a^3b}$的结果为(
A.$-a\sqrt{-ab}$
B.$a\sqrt{-ab}$
C.$a\sqrt{ab}$
D.$\sqrt{-ab}$
A
)。A.$-a\sqrt{-ab}$
B.$a\sqrt{-ab}$
C.$a\sqrt{ab}$
D.$\sqrt{-ab}$
答案
A [提示:因为$\sqrt{-a^3b}$有意义,所以$-a^3b ≥ 0$,所以$a^3b ≤ 0$,又因为$a ＜ b$,所以$a ＜ 0$,$b ＞ 0$,所以$\sqrt{-a^3b}=-a\sqrt{-ab}$。]
解析
【分析】
解决本题首先要明确二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，据此先推导a、b的符号关系，再结合已知条件a＜b确定a、b的正负性，最后根据二次根式的性质化简，注意开方后所得的结果必须是非负数，要结合a的符号处理绝对值。
【解析】
第一步：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于等于0，可得：
$-a^3b ≥ 0$，即$a^3b ≤ 0$。
因为a、b为非零实数，所以a和b异号。
第二步：结合已知$a ＜ b$，可知较小的数a为负数，较大的数b为正数，即$a ＜ 0$，$b ＞ 0$。
第三步：化简二次根式：
$\sqrt{-a^3b} = \sqrt{a^2 · (-ab)}$
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2} = |x|$，可得：
$\sqrt{a^2 · (-ab)} = |a| · \sqrt{-ab}$
因为$a ＜ 0$，所以$|a| = -a$，代入得：
$|a| · \sqrt{-ab} = -a\sqrt{-ab}$
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的化简；绝对值的性质
【点评】
本题的易错点是化简时容易忽略a的符号，直接将$\sqrt{a^2}$化简为a导致符号错误，解题的核心是先准确判断a、b的正负性，再结合二次根式的性质进行化简，保证开方结果的非负性。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，据此先推导a、b的符号关系，再结合已知条件a＜b确定a、b的正负性，最后根据二次根式的性质化简，注意开方后所得的结果必须是非负数，要结合a的符号处理绝对值。
【解析】
第一步：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于等于0，可得：
$-a^3b ≥ 0$，即$a^3b ≤ 0$。
因为a、b为非零实数，所以a和b异号。
第二步：结合已知$a ＜ b$，可知较小的数a为负数，较大的数b为正数，即$a ＜ 0$，$b ＞ 0$。
第三步：化简二次根式：
$\sqrt{-a^3b} = \sqrt{a^2 · (-ab)}$
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2} = |x|$，可得：
$\sqrt{a^2 · (-ab)} = |a| · \sqrt{-ab}$
因为$a ＜ 0$，所以$|a| = -a$，代入得：
$|a| · \sqrt{-ab} = -a\sqrt{-ab}$
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的化简；绝对值的性质
【点评】
本题的易错点是化简时容易忽略a的符号，直接将$\sqrt{a^2}$化简为a导致符号错误，解题的核心是先准确判断a、b的正负性，再结合二次根式的性质进行化简，保证开方结果的非负性。
【难度系数】
0.6
4 要使代数式 $\dfrac{\sqrt{x}}{x-1}$ 有意义，$x$ 的取值范围是
$x ≥ 0$且$x ≠ 1$
。答案
$x ≥ 0$且$x ≠ 1$
解析
【分析】
要确定代数式有意义的x的取值范围，需要分别分析代数式各组成部分的限制条件：首先二次根式的被开方数必须是非负数，才能保证二次根式有意义；其次分式的分母不能为0，才能保证分式有意义，最后取两个条件的公共解集即可得到x的取值范围。
【解析】
解：要使$\dfrac{\sqrt{x}}{x-1}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式$\sqrt{x}$有意义：被开方数非负，即$x≥0$；
2. 分式$\dfrac{\sqrt{x}}{x-1}$有意义：分母不为0，即$x-1≠0$，解得$x≠1$。
综合两个条件，可得$x$的取值范围是$x≥0$且$x≠1$。
【答案】
$x≥0$且$x≠1$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是基础题型，解题时需注意当代数式同时包含二次根式和分式时，要逐一梳理所有限制条件，再取各条件解集的公共部分，避免遗漏分母不为0的要求。
【难度系数】
0.85
要确定代数式有意义的x的取值范围，需要分别分析代数式各组成部分的限制条件：首先二次根式的被开方数必须是非负数，才能保证二次根式有意义；其次分式的分母不能为0，才能保证分式有意义，最后取两个条件的公共解集即可得到x的取值范围。
【解析】
解：要使$\dfrac{\sqrt{x}}{x-1}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式$\sqrt{x}$有意义：被开方数非负，即$x≥0$；
2. 分式$\dfrac{\sqrt{x}}{x-1}$有意义：分母不为0，即$x-1≠0$，解得$x≠1$。
综合两个条件，可得$x$的取值范围是$x≥0$且$x≠1$。
【答案】
$x≥0$且$x≠1$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是基础题型，解题时需注意当代数式同时包含二次根式和分式时，要逐一梳理所有限制条件，再取各条件解集的公共部分，避免遗漏分母不为0的要求。
【难度系数】
0.85
5 给出下列二次根式：①$\sqrt{7a^3}$；②$\sqrt{x^2 - y^2}$；③$\sqrt{35}$；④$\sqrt{\dfrac{m}{3}}$；⑤$\sqrt{18y}$；⑥$\dfrac{\sqrt{ab}}{4}$。其中最简二次根式是
②③⑥
。（填序号）答案
②③⑥
解析
【分析】
要判断哪些是最简二次根式，首先要明确最简二次根式的两个判定标准：第一，被开方数的因数是整数、因式是整式（即被开方数不含分母）；第二，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需逐个对照这两个标准判断每个二次根式即可，不符合任意一个标准的就不是最简二次根式。
【解析】
最简二次根式需同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们逐个判断：
①$\sqrt{7a^3}$：被开方数中$a^3=a^2· a$，$a^2$是能开得尽方的因式，因此不是最简二次根式；
②$\sqrt{x^2 - y^2}$：被开方数是整式，因式分解得$(x+y)(x-y)$，不含能开得尽方的因式，因此是最简二次根式；
③$\sqrt{35}$：被开方数35是整数，分解因数得$5×7$，不含能开得尽方的因数，因此是最简二次根式；
④$\sqrt{\dfrac{m}{3}}$：被开方数含有分母，不符合要求，因此不是最简二次根式；
⑤$\sqrt{18y}$：被开方数中$18=9×2$，9是能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；
⑥$\dfrac{\sqrt{ab}}{4}$：被开方数$ab$是整式，不含能开得尽方的因式，因此是最简二次根式。
综上，最简二次根式为②③⑥。
【答案】
②③⑥
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式部分的基础题型，解题的核心是牢记最简二次根式的两个判定标准，判断时可先对被开方数做因数或因式分解，再逐一验证条件即可避免出错。
【难度系数】
0.8
要判断哪些是最简二次根式，首先要明确最简二次根式的两个判定标准：第一，被开方数的因数是整数、因式是整式（即被开方数不含分母）；第二，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需逐个对照这两个标准判断每个二次根式即可，不符合任意一个标准的就不是最简二次根式。
【解析】
最简二次根式需同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们逐个判断：
①$\sqrt{7a^3}$：被开方数中$a^3=a^2· a$，$a^2$是能开得尽方的因式，因此不是最简二次根式；
②$\sqrt{x^2 - y^2}$：被开方数是整式，因式分解得$(x+y)(x-y)$，不含能开得尽方的因式，因此是最简二次根式；
③$\sqrt{35}$：被开方数35是整数，分解因数得$5×7$，不含能开得尽方的因数，因此是最简二次根式；
④$\sqrt{\dfrac{m}{3}}$：被开方数含有分母，不符合要求，因此不是最简二次根式；
⑤$\sqrt{18y}$：被开方数中$18=9×2$，9是能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；
⑥$\dfrac{\sqrt{ab}}{4}$：被开方数$ab$是整式，不含能开得尽方的因式，因此是最简二次根式。
综上，最简二次根式为②③⑥。
【答案】
②③⑥
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式部分的基础题型，解题的核心是牢记最简二次根式的两个判定标准，判断时可先对被开方数做因数或因式分解，再逐一验证条件即可避免出错。
【难度系数】
0.8
⑥若$\sqrt{(a - 3)^2} = 3 - a$，则a的取值范围是
$a ≤ 3$
。答案
$a ≤ 3$
解析
【分析】
要解这道题，首先利用二次根式的化简性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式中的根号去掉转化为绝对值形式；再根据绝对值的性质：当一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数是非正数，据此列出关于$a$的不等式，最后解不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
解：根据二次根式的性质可得：$\sqrt{(a-3)^2}=|a-3|$，
因此原式可变形为：$|a - 3| = 3 - a$，
根据绝对值的性质：若$|x|=-x$，则$x≤0$，其中$3-a=-(a-3)$，因此可得不等式：
$a - 3 ≤ 0$，
移项解得：$a≤3$。
【答案】
$a≤3$
【知识点】
二次根式的化简，绝对值的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的化简规则和绝对值的性质，易错点是容易忽略$a-3=0$的情况而漏掉等号，解题时要注意绝对值等于其相反数的数包含0，需准确判断等号成立的条件。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先利用二次根式的化简性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式中的根号去掉转化为绝对值形式；再根据绝对值的性质：当一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数是非正数，据此列出关于$a$的不等式，最后解不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
解：根据二次根式的性质可得：$\sqrt{(a-3)^2}=|a-3|$，
因此原式可变形为：$|a - 3| = 3 - a$，
根据绝对值的性质：若$|x|=-x$，则$x≤0$，其中$3-a=-(a-3)$，因此可得不等式：
$a - 3 ≤ 0$，
移项解得：$a≤3$。
【答案】
$a≤3$
【知识点】
二次根式的化简，绝对值的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的化简规则和绝对值的性质，易错点是容易忽略$a-3=0$的情况而漏掉等号，解题时要注意绝对值等于其相反数的数包含0，需准确判断等号成立的条件。
【难度系数】
0.8
7 已知$|2024 - a| + \sqrt{a - 2025} = a$，则$a - 2024^2 = \_\_\_\_\_\_$。
答案
2025
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，由此先确定a的取值范围；再根据a的范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后化简原式，最后通过整体变形直接求出目标式子的值，不需要单独计算a的具体数值，简化计算过程。
【解析】
解：要使$\sqrt{a-2025}$有意义，被开方数需满足：
$a-2025≥0$，解得$a≥2025$
∴ $2024-a＜0$，根据绝对值的性质可得$|2024-a|=a-2024$
将其代入原等式得：
$a-2024+\sqrt{a-2025}=a$
两边同时减去$a$，化简得：
$\sqrt{a-2025}=2024$
等式两边同时平方得：
$a-2025=2024^2$
移项整理可得：
$a-2024^2=2025$
【答案】
2025
【知识点】
二次根式有意义的条件、绝对值的化简、等式的性质
【点评】
本题是二次根式与绝对值结合的典型题型，解题的突破口是先利用二次根式的隐含取值范围确定绝对值的化简方式，避免无效分类讨论，通过整体变形直接得到所求式子的值，无需计算a的具体数值，考验学生对基础概念的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要回忆二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，由此先确定a的取值范围；再根据a的范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后化简原式，最后通过整体变形直接求出目标式子的值，不需要单独计算a的具体数值，简化计算过程。
【解析】
解：要使$\sqrt{a-2025}$有意义，被开方数需满足：
$a-2025≥0$，解得$a≥2025$
∴ $2024-a＜0$，根据绝对值的性质可得$|2024-a|=a-2024$
将其代入原等式得：
$a-2024+\sqrt{a-2025}=a$
两边同时减去$a$，化简得：
$\sqrt{a-2025}=2024$
等式两边同时平方得：
$a-2025=2024^2$
移项整理可得：
$a-2024^2=2025$
【答案】
2025
【知识点】
二次根式有意义的条件、绝对值的化简、等式的性质
【点评】
本题是二次根式与绝对值结合的典型题型，解题的突破口是先利用二次根式的隐含取值范围确定绝对值的化简方式，避免无效分类讨论，通过整体变形直接得到所求式子的值，无需计算a的具体数值，考验学生对基础概念的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
8 已知$x$、$y$为实数，且满足$y=\frac{\sqrt{x^2 -4}+\sqrt{4 -x^2}+1}{x -2}$，则$3x +4y=$
$-7$
。答案
$-7$
解析
【分析】
解题时首先要考虑代数式有意义的隐含条件：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0。首先根据这两个条件列出关于x的不等式组，求出x的取值，再将x的值代入原式求出y的值，最后代入3x+4y计算即可得到结果。
【解析】
要使$y=\frac{\sqrt{x^2 -4}+\sqrt{4 -x^2}+1}{x -2}$有意义，需同时满足以下条件：
1. 二次根式被开方数非负：$\begin{cases}x^2-4≥0 \\4-x^2≥0 \end{cases}$
2. 分式分母不为0：$x-2≠0$
由$\begin{cases}x^2-4≥0 \\4-x^2≥0 \end{cases}$可得$x^2-4=0$，即$x^2=4$，解得$x=\pm2$。
结合$x-2≠0$即$x≠2$，因此$x=-2$。
将$x=-2$代入$y$的表达式：
$y=\frac{\sqrt{(-2)^2-4}+\sqrt{4-(-2)^2}+1}{-2-2}=\frac{0+0+1}{-4}=-\frac{1}{4}$
计算$3x+4y$：
$3x+4y=3×(-2)+4×(-\frac{1}{4})=-6-1=-7$
【答案】
$-7$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；代数式求值
【点评】
本题是典型的根据代数式有意义的隐含条件求参数的题型，解题的关键是不要忽略分母不为0的限制，排除不符合要求的x的取值，再代入计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先要考虑代数式有意义的隐含条件：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0。首先根据这两个条件列出关于x的不等式组，求出x的取值，再将x的值代入原式求出y的值，最后代入3x+4y计算即可得到结果。
【解析】
要使$y=\frac{\sqrt{x^2 -4}+\sqrt{4 -x^2}+1}{x -2}$有意义，需同时满足以下条件：
1. 二次根式被开方数非负：$\begin{cases}x^2-4≥0 \\4-x^2≥0 \end{cases}$
2. 分式分母不为0：$x-2≠0$
由$\begin{cases}x^2-4≥0 \\4-x^2≥0 \end{cases}$可得$x^2-4=0$，即$x^2=4$，解得$x=\pm2$。
结合$x-2≠0$即$x≠2$，因此$x=-2$。
将$x=-2$代入$y$的表达式：
$y=\frac{\sqrt{(-2)^2-4}+\sqrt{4-(-2)^2}+1}{-2-2}=\frac{0+0+1}{-4}=-\frac{1}{4}$
计算$3x+4y$：
$3x+4y=3×(-2)+4×(-\frac{1}{4})=-6-1=-7$
【答案】
$-7$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；代数式求值
【点评】
本题是典型的根据代数式有意义的隐含条件求参数的题型，解题的关键是不要忽略分母不为0的限制，排除不符合要求的x的取值，再代入计算即可。
【难度系数】
0.7
9 若$\sqrt{204n}$是整数，则正整数$n$的最小值是
$51$
。答案
51 [提示:因为$204=4×51$,所以$\sqrt{204}=2\sqrt{51}$,所以$\sqrt{204n}=2\sqrt{51n}$,因为$\sqrt{204n}$是整数,且$n$是整数,所以$n$的最小值为51。]
解析
【分析】
要使$\sqrt{204n}$是整数，说明被开方数$204n$必须是完全平方数。解题时首先对204进行质因数分解，再根据完全平方数的所有质因数的指数均为偶数的特征，找出还缺少的质因数，缺少的质因数的乘积就是正整数$n$的最小值。
【解析】
第一步：分解204的质因数：
$204=2×2×3×17=2^2×3×17$
第二步：化简二次根式：
$\sqrt{204n}=\sqrt{2^2×3×17× n}=2\sqrt{51n}$
第三步：根据$\sqrt{204n}$是整数，可知$\sqrt{51n}$必须是整数，即$51n$是完全平方数。
由于$51=3×17$，两个质因数的指数都是1（奇数），要使$51n$为完全平方数，最少需要补充1个3和1个17，因此$n$最小为$3×17=51$。
【答案】
51
【知识点】
二次根式的性质，完全平方数的特征，质因数分解
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解二次根式结果为整数的前提是被开方数为完全平方数，通过质因数分解快速确定需要补充的质因数即可求解，是二次根式章节的常见典型题。
【难度系数】
0.7
要使$\sqrt{204n}$是整数，说明被开方数$204n$必须是完全平方数。解题时首先对204进行质因数分解，再根据完全平方数的所有质因数的指数均为偶数的特征，找出还缺少的质因数，缺少的质因数的乘积就是正整数$n$的最小值。
【解析】
第一步：分解204的质因数：
$204=2×2×3×17=2^2×3×17$
第二步：化简二次根式：
$\sqrt{204n}=\sqrt{2^2×3×17× n}=2\sqrt{51n}$
第三步：根据$\sqrt{204n}$是整数，可知$\sqrt{51n}$必须是整数，即$51n$是完全平方数。
由于$51=3×17$，两个质因数的指数都是1（奇数），要使$51n$为完全平方数，最少需要补充1个3和1个17，因此$n$最小为$3×17=51$。
【答案】
51
【知识点】
二次根式的性质，完全平方数的特征，质因数分解
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解二次根式结果为整数的前提是被开方数为完全平方数，通过质因数分解快速确定需要补充的质因数即可求解，是二次根式章节的常见典型题。
【难度系数】
0.7
⑩ 若b是正整数，$\sqrt{\dfrac{240}{b}}$是大于1的整数，则b的最大值与最小值的差是
$45$
。答案
45 [提示:$240=2^4×3×5$,所以$b$最大为$2^2×3×5=60$,$b$最小为$3×5=15$。]
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确二次根式的值为大于1的整数的条件：一是被开方数必须是大于1的完全平方数，二是被开方数为正（本题b是正整数，该条件自然满足）。第一步先把240分解质因数，再根据完全平方数的质因数指数均为偶数的特征，分析$\frac{240}{b}$中质因数的指数要求，结合b是正整数的条件，分别求出b的最小值和最大值，最后计算两者的差即可。
【解析】
解：先将240分解质因数，得$240=2^4×3×5$。
∵$\sqrt{\dfrac{240}{b}}$是大于1的整数，且b为正整数，
∴$\dfrac{240}{b}$是大于1的完全平方数。
完全平方数的所有质因数的指数均为偶数：
1. 求b的最小值：要使b最小，需$\dfrac{240}{b}$尽可能大。观察240的质因数，$2^4$的指数已是偶数，3和5的指数为1（奇数），要让$\dfrac{240}{b}$为完全平方数，b至少需要包含质因数3和5各1个，此时$\dfrac{240}{b}=2^4=16$，是完全平方数，因此b的最小值为$3×5=15$。
2. 求b的最大值：要使b最大，需$\dfrac{240}{b}$是最小的大于1的完全平方数。大于1的最小完全平方数是4，此时$\dfrac{240}{b}=4$，解得$b=240÷4=60$，验证$\sqrt{\dfrac{240}{60}}=\sqrt{4}=2$，符合要求。
则b的最大值与最小值的差为$60-15=45$。
【答案】
45
【知识点】
二次根式的定义，完全平方数的特征，质因数分解
【点评】
本题解题的核心是将二次根式为整数的条件转化为被开方数是完全平方数，结合质因数分解分析b的取值，注意不要忽略根式值大于1的限制条件，避免错误求出b的最大值为240。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先明确二次根式的值为大于1的整数的条件：一是被开方数必须是大于1的完全平方数，二是被开方数为正（本题b是正整数，该条件自然满足）。第一步先把240分解质因数，再根据完全平方数的质因数指数均为偶数的特征，分析$\frac{240}{b}$中质因数的指数要求，结合b是正整数的条件，分别求出b的最小值和最大值，最后计算两者的差即可。
【解析】
解：先将240分解质因数，得$240=2^4×3×5$。
∵$\sqrt{\dfrac{240}{b}}$是大于1的整数，且b为正整数，
∴$\dfrac{240}{b}$是大于1的完全平方数。
完全平方数的所有质因数的指数均为偶数：
1. 求b的最小值：要使b最小，需$\dfrac{240}{b}$尽可能大。观察240的质因数，$2^4$的指数已是偶数，3和5的指数为1（奇数），要让$\dfrac{240}{b}$为完全平方数，b至少需要包含质因数3和5各1个，此时$\dfrac{240}{b}=2^4=16$，是完全平方数，因此b的最小值为$3×5=15$。
2. 求b的最大值：要使b最大，需$\dfrac{240}{b}$是最小的大于1的完全平方数。大于1的最小完全平方数是4，此时$\dfrac{240}{b}=4$，解得$b=240÷4=60$，验证$\sqrt{\dfrac{240}{60}}=\sqrt{4}=2$，符合要求。
则b的最大值与最小值的差为$60-15=45$。
【答案】
45
【知识点】
二次根式的定义，完全平方数的特征，质因数分解
【点评】
本题解题的核心是将二次根式为整数的条件转化为被开方数是完全平方数，结合质因数分解分析b的取值，注意不要忽略根式值大于1的限制条件，避免错误求出b的最大值为240。
【难度系数】
0.6
11 把下列二次根式化成最简二次根式。
(1) $-\sqrt{6\dfrac{2}{3}}$；
(2) $a\sqrt{\dfrac{1}{a}}$；
(3) $6\sqrt{\dfrac{3}{8}}$；
(4) $\sqrt{50a^2b}\ (a＞0)$；
(5) $\dfrac{n}{m}\sqrt{\dfrac{m}{n}}\ (n＜0)$。
(1) $-\sqrt{6\dfrac{2}{3}}$；
(2) $a\sqrt{\dfrac{1}{a}}$；
(3) $6\sqrt{\dfrac{3}{8}}$；
(4) $\sqrt{50a^2b}\ (a＞0)$；
(5) $\dfrac{n}{m}\sqrt{\dfrac{m}{n}}\ (n＜0)$。
答案
(1) $-\dfrac{2\sqrt{15}}{3}$
(2) $\sqrt{a}$
(3) $\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$
(4) $5a\sqrt{2b}$
(5) $-\dfrac{\sqrt{mn}}{m}$
(2) $\sqrt{a}$
(3) $\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$
(4) $5a\sqrt{2b}$
(5) $-\dfrac{\sqrt{mn}}{m}$
解析
【分析】
要将二次根式化为最简二次根式，需满足两个核心要求：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题思路如下：第一步先把被开方数中的带分数化为假分数，将分式整理为分子分母互质的形式；第二步利用二次根式的性质对分母有理化，消去被开方数中的分母；第三步把被开方数中能开得尽方的因数、因式开方到根号外，注意结合题目给出的字母正负条件、根号下数的非负性确定开方后的符号，最终得到最简结果。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数：
$-\sqrt{6\dfrac{2}{3}}=-\sqrt{\dfrac{20}{3}}$
对分母有理化，分子分母同乘3：
$=-\sqrt{\dfrac{20×3}{3×3}}=-\sqrt{\dfrac{60}{9}}$
拆分能开方的因数：$\sqrt{60}=\sqrt{4×15}=2\sqrt{15}$，$\sqrt{9}=3$，代入得：
$=-\dfrac{2\sqrt{15}}{3}$
(2) 由被开方数$\dfrac{1}{a}≥0$且分母$a≠0$，可得$a＞0$，先有理化根号内的分式：
$a\sqrt{\dfrac{1}{a}}=a·\dfrac{\sqrt{a}}{a}=\sqrt{a}$
(3) 先化简被开方数的分母：
$6\sqrt{\dfrac{3}{8}}=6\sqrt{\dfrac{3×2}{8×2}}=6\sqrt{\dfrac{6}{16}}$
开方后约分化简：
$=6×\dfrac{\sqrt{6}}{4}=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$
(4) 已知$a＞0$，拆分被开方数中能开尽方的因数、因式：
$\sqrt{50a^2b}=\sqrt{25×2× a^2× b}$
分别开方得：
$=\sqrt{25}·\sqrt{a^2}·\sqrt{2b}=5a\sqrt{2b}$
(5) 已知$n＜0$，由被开方数$\dfrac{m}{n}≥0$且$n≠0$，可得$m＜0$，先有理化被开方数：
$\dfrac{n}{m}\sqrt{\dfrac{m}{n}}=\dfrac{n}{m}\sqrt{\dfrac{m· n}{n· n}}=\dfrac{n}{m}·\dfrac{\sqrt{mn}}{|n|}$
因为$n＜0$，所以$|n|=-n$，代入约分得：
$=\dfrac{n}{m}·\dfrac{\sqrt{mn}}{-n}=-\dfrac{\sqrt{mn}}{m}$
【答案】
(1) $-\dfrac{2\sqrt{15}}{3}$
(2) $\sqrt{a}$
(3) $\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$
(4) $5a\sqrt{2b}$
(5) $-\dfrac{\sqrt{mn}}{m}$
【知识点】
最简二次根式、二次根式的性质、二次根式有理化
【点评】
本题重点考查二次根式化为最简形式的运算能力，解题时需要注意挖掘被开方数的隐含取值范围，涉及带字母的运算时，要结合给定的符号条件准确判断开方后结果的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
要将二次根式化为最简二次根式，需满足两个核心要求：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题思路如下：第一步先把被开方数中的带分数化为假分数，将分式整理为分子分母互质的形式；第二步利用二次根式的性质对分母有理化，消去被开方数中的分母；第三步把被开方数中能开得尽方的因数、因式开方到根号外，注意结合题目给出的字母正负条件、根号下数的非负性确定开方后的符号，最终得到最简结果。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数：
$-\sqrt{6\dfrac{2}{3}}=-\sqrt{\dfrac{20}{3}}$
对分母有理化，分子分母同乘3：
$=-\sqrt{\dfrac{20×3}{3×3}}=-\sqrt{\dfrac{60}{9}}$
拆分能开方的因数：$\sqrt{60}=\sqrt{4×15}=2\sqrt{15}$，$\sqrt{9}=3$，代入得：
$=-\dfrac{2\sqrt{15}}{3}$
(2) 由被开方数$\dfrac{1}{a}≥0$且分母$a≠0$，可得$a＞0$，先有理化根号内的分式：
$a\sqrt{\dfrac{1}{a}}=a·\dfrac{\sqrt{a}}{a}=\sqrt{a}$
(3) 先化简被开方数的分母：
$6\sqrt{\dfrac{3}{8}}=6\sqrt{\dfrac{3×2}{8×2}}=6\sqrt{\dfrac{6}{16}}$
开方后约分化简：
$=6×\dfrac{\sqrt{6}}{4}=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$
(4) 已知$a＞0$，拆分被开方数中能开尽方的因数、因式：
$\sqrt{50a^2b}=\sqrt{25×2× a^2× b}$
分别开方得：
$=\sqrt{25}·\sqrt{a^2}·\sqrt{2b}=5a\sqrt{2b}$
(5) 已知$n＜0$，由被开方数$\dfrac{m}{n}≥0$且$n≠0$，可得$m＜0$，先有理化被开方数：
$\dfrac{n}{m}\sqrt{\dfrac{m}{n}}=\dfrac{n}{m}\sqrt{\dfrac{m· n}{n· n}}=\dfrac{n}{m}·\dfrac{\sqrt{mn}}{|n|}$
因为$n＜0$，所以$|n|=-n$，代入约分得：
$=\dfrac{n}{m}·\dfrac{\sqrt{mn}}{-n}=-\dfrac{\sqrt{mn}}{m}$
【答案】
(1) $-\dfrac{2\sqrt{15}}{3}$
(2) $\sqrt{a}$
(3) $\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$
(4) $5a\sqrt{2b}$
(5) $-\dfrac{\sqrt{mn}}{m}$
【知识点】
最简二次根式、二次根式的性质、二次根式有理化
【点评】
本题重点考查二次根式化为最简形式的运算能力，解题时需要注意挖掘被开方数的隐含取值范围，涉及带字母的运算时，要结合给定的符号条件准确判断开方后结果的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
