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11 把下列各式化成最简二次根式。
(1) $\sqrt{\dfrac{b^3}{3a}}\ (a＞0,\ b＞0)$；
(2) $a^2\sqrt{-\dfrac{1}{a}}$；
(3) $\sqrt{\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{a}{b^2}}\ (a＞0,\ b＞0)$；
(4) $(x^2-y^2)\sqrt{\dfrac{2}{(x-y)^2}}\ (x＜y)$。
(1) $\sqrt{\dfrac{b^3}{3a}}\ (a＞0,\ b＞0)$；
(2) $a^2\sqrt{-\dfrac{1}{a}}$；
(3) $\sqrt{\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{a}{b^2}}\ (a＞0,\ b＞0)$；
(4) $(x^2-y^2)\sqrt{\dfrac{2}{(x-y)^2}}\ (x＜y)$。
答案
(1) $\dfrac{b\sqrt{3ab}}{3a}$ (2) $-a\sqrt{-a}$ (3) $\dfrac{\sqrt{a^3+b^3}}{ab}$ (4) $-(x+y)\sqrt{2}$
解析
【分析】
化简最简二次根式需满足两个核心要求：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，同时要先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，保证开方后结果非负。各小题具体思路：
(1) 已知a＞0、b＞0，先将被开方数分母有理化，分子分母同乘3a，再把能开尽方的因式开出来即可；
(2) 先由根号内代数式非负推出a＜0，再化去根号内的分母，开方时结合a的符号处理绝对值；
(3) 已知a＞0、b＞0，先将被开方数的两个分式通分求和，再把分母中能开尽方的因式开出来；
(4) 由x＜y得x-y＜0，开方后(x-y)²的结果为y-x，再和前面的因式(x²-y²)约分化简。
【解析】
(1)
∵a＞0，b＞0
∴$\sqrt{\dfrac{b^3}{3a}}=\sqrt{\dfrac{b^3·3a}{3a·3a}}=\sqrt{\dfrac{b^2·3ab}{9a^2}}=\dfrac{b\sqrt{3ab}}{3a}$
(2) 要使$\sqrt{-\dfrac{1}{a}}$有意义，则$-\dfrac{1}{a}＞0$，即a＜0
∴$a^2\sqrt{-\dfrac{1}{a}}=a^2·\sqrt{-\dfrac{a}{a^2}}=a^2·\dfrac{\sqrt{-a}}{|a|}=a^2·\dfrac{\sqrt{-a}}{-a}=-a\sqrt{-a}$
(3)
∵a＞0，b＞0
∴$\sqrt{\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{a}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{b^3+a^3}{a^2b^2}}=\dfrac{\sqrt{a^3+b^3}}{\sqrt{a^2b^2}}=\dfrac{\sqrt{a^3+b^3}}{ab}$
(4)
∵x＜y，
∴x-y＜0，即$|x-y|=y-x$
∴$(x^2-y^2)\sqrt{\dfrac{2}{(x-y)^2}}=(x+y)(x-y)·\dfrac{\sqrt{2}}{|x-y|}=(x+y)(x-y)·\dfrac{\sqrt{2}}{y-x}=-(x+y)\sqrt{2}$
【答案】
(1) $\dfrac{b\sqrt{3ab}}{3a}$ (2) $-a\sqrt{-a}$ (3) $\dfrac{\sqrt{a^3+b^3}}{ab}$ (4) $-(x+y)\sqrt{2}$
【知识点】
最简二次根式化简、二次根式的性质、分母有理化
【点评】
本题重点考察最简二次根式的化简方法，解题的关键是先挖掘二次根式有意义的隐含条件，确定字母的符号，再按照“去分母、开尽方”的步骤化简，开方时要注意正确处理绝对值，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
化简最简二次根式需满足两个核心要求：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，同时要先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，保证开方后结果非负。各小题具体思路：
(1) 已知a＞0、b＞0，先将被开方数分母有理化，分子分母同乘3a，再把能开尽方的因式开出来即可；
(2) 先由根号内代数式非负推出a＜0，再化去根号内的分母，开方时结合a的符号处理绝对值；
(3) 已知a＞0、b＞0，先将被开方数的两个分式通分求和，再把分母中能开尽方的因式开出来；
(4) 由x＜y得x-y＜0，开方后(x-y)²的结果为y-x，再和前面的因式(x²-y²)约分化简。
【解析】
(1)
∵a＞0，b＞0
∴$\sqrt{\dfrac{b^3}{3a}}=\sqrt{\dfrac{b^3·3a}{3a·3a}}=\sqrt{\dfrac{b^2·3ab}{9a^2}}=\dfrac{b\sqrt{3ab}}{3a}$
(2) 要使$\sqrt{-\dfrac{1}{a}}$有意义，则$-\dfrac{1}{a}＞0$，即a＜0
∴$a^2\sqrt{-\dfrac{1}{a}}=a^2·\sqrt{-\dfrac{a}{a^2}}=a^2·\dfrac{\sqrt{-a}}{|a|}=a^2·\dfrac{\sqrt{-a}}{-a}=-a\sqrt{-a}$
(3)
∵a＞0，b＞0
∴$\sqrt{\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{a}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{b^3+a^3}{a^2b^2}}=\dfrac{\sqrt{a^3+b^3}}{\sqrt{a^2b^2}}=\dfrac{\sqrt{a^3+b^3}}{ab}$
(4)
∵x＜y，
∴x-y＜0，即$|x-y|=y-x$
∴$(x^2-y^2)\sqrt{\dfrac{2}{(x-y)^2}}=(x+y)(x-y)·\dfrac{\sqrt{2}}{|x-y|}=(x+y)(x-y)·\dfrac{\sqrt{2}}{y-x}=-(x+y)\sqrt{2}$
【答案】
(1) $\dfrac{b\sqrt{3ab}}{3a}$ (2) $-a\sqrt{-a}$ (3) $\dfrac{\sqrt{a^3+b^3}}{ab}$ (4) $-(x+y)\sqrt{2}$
【知识点】
最简二次根式化简、二次根式的性质、分母有理化
【点评】
本题重点考察最简二次根式的化简方法，解题的关键是先挖掘二次根式有意义的隐含条件，确定字母的符号，再按照“去分母、开尽方”的步骤化简，开方时要注意正确处理绝对值，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
12 当$x=4-\sqrt{2}$，$y=4+\sqrt{2}$时，求代数式$\sqrt{x^2 - 2xy + y^2}$和$x^2 + y^2$的值。
答案
$2\sqrt{2}$，36
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，第一个代数式根号内的部分是完全平方形式，可利用完全平方公式变形为$\sqrt{(x-y)^2}$，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简；第二个代数式$x^2+y^2$可变形为$(x+y)^2-2xy$，只需先计算出$x+y$、$x-y$、$xy$的值，再整体代入即可简化运算，避免直接代入复杂的根式计算。
【解析】
解：先计算$x-y$、$x+y$、$xy$的值：
$x-y=(4-\sqrt{2})-(4+\sqrt{2})=-2\sqrt{2}$
$x+y=(4-\sqrt{2})+(4+\sqrt{2})=8$
$xy=(4-\sqrt{2})(4+\sqrt{2})=4^2-(\sqrt{2})^2=16-2=14$
1. 求$\sqrt{x^2 - 2xy + y^2}$的值：
$\sqrt{x^2 - 2xy + y^2}=\sqrt{(x-y)^2}=|x-y|=|-2\sqrt{2}|=2\sqrt{2}$
2. 求$x^2+y^2$的值：
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=8^2-2×14=64-28=36$
【答案】
$2\sqrt{2}$，$36$
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查代数式的化简求值，通过对所求代数式进行合理变形，采用整体代入的方法运算，可有效降低计算量，减少出错概率，是根式求值类题目常用的解题思路。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式的结构，第一个代数式根号内的部分是完全平方形式，可利用完全平方公式变形为$\sqrt{(x-y)^2}$，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简；第二个代数式$x^2+y^2$可变形为$(x+y)^2-2xy$，只需先计算出$x+y$、$x-y$、$xy$的值，再整体代入即可简化运算，避免直接代入复杂的根式计算。
【解析】
解：先计算$x-y$、$x+y$、$xy$的值：
$x-y=(4-\sqrt{2})-(4+\sqrt{2})=-2\sqrt{2}$
$x+y=(4-\sqrt{2})+(4+\sqrt{2})=8$
$xy=(4-\sqrt{2})(4+\sqrt{2})=4^2-(\sqrt{2})^2=16-2=14$
1. 求$\sqrt{x^2 - 2xy + y^2}$的值：
$\sqrt{x^2 - 2xy + y^2}=\sqrt{(x-y)^2}=|x-y|=|-2\sqrt{2}|=2\sqrt{2}$
2. 求$x^2+y^2$的值：
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=8^2-2×14=64-28=36$
【答案】
$2\sqrt{2}$，$36$
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查代数式的化简求值，通过对所求代数式进行合理变形，采用整体代入的方法运算，可有效降低计算量，减少出错概率，是根式求值类题目常用的解题思路。
【难度系数】
0.8
13 已知$a^2 - 2\sqrt{2}a + b^2 - 2\sqrt{3}b + 5 = 0$，求$a(b - 1)$的值。
答案
由$a^2-2\sqrt{2}a+b^2-2\sqrt{3}b+5=0$,可得$(a^2-2\sqrt{2}a+2)+(b^2-2\sqrt{3}b+3)=0$,所以$(a-\sqrt{2})^2+(b-\sqrt{3})^2=0$,所以$a=\sqrt{2}$,$b=\sqrt{3}$。所以原式$=\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)=\sqrt{6}-\sqrt{2}$。
解析
【分析】
观察已知等式的结构，含有a、b的二次项、一次项及常数项，可通过配方法将等式转化为两个完全平方式相加的形式。首先将常数5拆分为2和3，分别与含a、含b的项组合构造完全平方，再利用平方数的非负性（若两个非负数的和为0，则这两个数均为0）求出a、b的值，最后代入待求代数式计算结果即可。
【解析】
解：对已知等式变形如下：
$\begin{aligned}a^2 - 2\sqrt{2}a + b^2 - 2\sqrt{3}b + 5 &= 0\\(a^2 - 2\sqrt{2}a + 2) + (b^2 - 2\sqrt{3}b + 3) &= 0\\(a - \sqrt{2})^2 + (b - \sqrt{3})^2 &= 0\end{aligned}$
∵平方数具有非负性，即$(a - \sqrt{2})^2≥0$，$(b - \sqrt{3})^2≥0$
∴要使两个非负数的和为0，需满足$a - \sqrt{2}=0$，$b - \sqrt{3}=0$
解得$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$
将$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$代入$a(b-1)$得：
$\begin{aligned}a(b-1)&=\sqrt{2}×(\sqrt{3}-1)\\&=\sqrt{2}×\sqrt{3}-\sqrt{2}×1\\&=\sqrt{6}-\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，二次根式运算
【点评】
本题是代数运算的基础常考题，解题核心是合理拆分常数项构造完全平方式，同时需要熟练掌握非负数的性质和二次根式的乘法运算规则，计算时注意运算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
观察已知等式的结构，含有a、b的二次项、一次项及常数项，可通过配方法将等式转化为两个完全平方式相加的形式。首先将常数5拆分为2和3，分别与含a、含b的项组合构造完全平方，再利用平方数的非负性（若两个非负数的和为0，则这两个数均为0）求出a、b的值，最后代入待求代数式计算结果即可。
【解析】
解：对已知等式变形如下：
$\begin{aligned}a^2 - 2\sqrt{2}a + b^2 - 2\sqrt{3}b + 5 &= 0\\(a^2 - 2\sqrt{2}a + 2) + (b^2 - 2\sqrt{3}b + 3) &= 0\\(a - \sqrt{2})^2 + (b - \sqrt{3})^2 &= 0\end{aligned}$
∵平方数具有非负性，即$(a - \sqrt{2})^2≥0$，$(b - \sqrt{3})^2≥0$
∴要使两个非负数的和为0，需满足$a - \sqrt{2}=0$，$b - \sqrt{3}=0$
解得$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$
将$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$代入$a(b-1)$得：
$\begin{aligned}a(b-1)&=\sqrt{2}×(\sqrt{3}-1)\\&=\sqrt{2}×\sqrt{3}-\sqrt{2}×1\\&=\sqrt{6}-\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，二次根式运算
【点评】
本题是代数运算的基础常考题，解题核心是合理拆分常数项构造完全平方式，同时需要熟练掌握非负数的性质和二次根式的乘法运算规则，计算时注意运算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
14 已知a为实数，求代数式$\sqrt{a+2} - \sqrt{8-4a} + \sqrt{-a^2}$的值。
答案
由$\sqrt{-a^2}$有意义,可得$-a^2\ge0$,所以$a=0$。此时原式$=\sqrt{2}-\sqrt{8}+0=-\sqrt{2}$。
解析
【分析】
要解决这个代数式求值问题，首先需明确二次根式有意义的前提是被开方数为非负数。观察代数式中的三个二次根式，其中$\sqrt{-a^2}$的被开方数是$-a^2$，结合平方数的非负性（任意实数的平方大于等于0），可先确定a的唯一取值，再将a的值代入原式化简计算即可得到结果。
【解析】
解：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，
对于$\sqrt{-a^2}$，可得$-a^2\ge0$，
又因为对任意实数a，都有$a^2\ge0$，
因此只有$a^2=0$，即$a=0$。
将$a=0$代入原代数式，得：
$\sqrt{0+2} - \sqrt{8-4×0} + \sqrt{-0^2}$
$=\sqrt{2} - \sqrt{8} + 0$
化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
则原式$=\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2}$。
【答案】
$-\sqrt{2}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 平方数的非负性
3. 二次根式化简
【点评】
本题的核心突破口是挖掘出$\sqrt{-a^2}$隐含的取值限制，结合平方数的非负性快速确定a的取值，无需复杂运算，重点考查对二次根式定义的理解和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个代数式求值问题，首先需明确二次根式有意义的前提是被开方数为非负数。观察代数式中的三个二次根式，其中$\sqrt{-a^2}$的被开方数是$-a^2$，结合平方数的非负性（任意实数的平方大于等于0），可先确定a的唯一取值，再将a的值代入原式化简计算即可得到结果。
【解析】
解：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，
对于$\sqrt{-a^2}$，可得$-a^2\ge0$，
又因为对任意实数a，都有$a^2\ge0$，
因此只有$a^2=0$，即$a=0$。
将$a=0$代入原代数式，得：
$\sqrt{0+2} - \sqrt{8-4×0} + \sqrt{-0^2}$
$=\sqrt{2} - \sqrt{8} + 0$
化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
则原式$=\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2}$。
【答案】
$-\sqrt{2}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 平方数的非负性
3. 二次根式化简
【点评】
本题的核心突破口是挖掘出$\sqrt{-a^2}$隐含的取值限制，结合平方数的非负性快速确定a的取值，无需复杂运算，重点考查对二次根式定义的理解和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
15 已知$3x - 2\sqrt{xy} - y = 0(x ＞ 0, y ＞ 0)$，求$\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$的值。
答案
由$3x-2\sqrt{xy}-y=0$且$x＞0,y＞0$,可得$3(\sqrt{x})^2-2\sqrt{x}·\sqrt{y}-(\sqrt{y})^2=0$,所以$(3\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})=0$,可得$3\sqrt{x}+\sqrt{y}=0$或$\sqrt{x}=\sqrt{y}$。若$3\sqrt{x}+\sqrt{y}=0$,则$x=0$,$y=0$,不符合题意;若$\sqrt{x}=\sqrt{y}$,即$x=y$,则原式$=\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=1+1=2$。
解析
【分析】
题目给出的等式含有x、y以及$\sqrt{xy}$，且x、y均为正数，我们可以利用二次根式的性质，把x改写为$(\sqrt{x})^2$、y改写为$(\sqrt{y})^2$，将原等式转化为关于$\sqrt{x}$和$\sqrt{y}$的二次三项式，再通过因式分解得到$\sqrt{x}$和$\sqrt{y}$的关系，结合x＞0、y＞0的条件排除不符合题意的情况，得到x与y的等量关系，最后代入待求的代数式计算即可。
【解析】
已知$x＞0,y＞0$，将原等式$3x - 2\sqrt{xy} - y = 0$变形可得：
$3(\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x}·\sqrt{y} - (\sqrt{y})^2 = 0$
对等式左侧因式分解得：
$(3\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})=0$
分两种情况讨论：
1. 若$3\sqrt{x}+\sqrt{y}=0$：因为$x＞0、y＞0$，所以$\sqrt{x}＞0、\sqrt{y}＞0$，$3\sqrt{x}+\sqrt{y}＞0$，该情况不符合题意，舍去；
2. 若$\sqrt{x}-\sqrt{y}=0$，即$\sqrt{x}=\sqrt{y}$，两边平方得$x=y$。
将$x=y$代入$\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$可得：
$\frac{y}{x} + \frac{x}{y}=1+1=2$
【答案】
2
【知识点】
二次根式的性质、因式分解、代数式求值
【点评】
本题解题的核心是利用二次根式的性质对已知等式做合理变形，通过因式分解推导x与y的数量关系，解题时要注意结合x、y的取值范围排除不符合要求的解，再代入计算即可得到结果。
【难度系数】
0.7
题目给出的等式含有x、y以及$\sqrt{xy}$，且x、y均为正数，我们可以利用二次根式的性质，把x改写为$(\sqrt{x})^2$、y改写为$(\sqrt{y})^2$，将原等式转化为关于$\sqrt{x}$和$\sqrt{y}$的二次三项式，再通过因式分解得到$\sqrt{x}$和$\sqrt{y}$的关系，结合x＞0、y＞0的条件排除不符合题意的情况，得到x与y的等量关系，最后代入待求的代数式计算即可。
【解析】
已知$x＞0,y＞0$，将原等式$3x - 2\sqrt{xy} - y = 0$变形可得：
$3(\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x}·\sqrt{y} - (\sqrt{y})^2 = 0$
对等式左侧因式分解得：
$(3\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})=0$
分两种情况讨论：
1. 若$3\sqrt{x}+\sqrt{y}=0$：因为$x＞0、y＞0$，所以$\sqrt{x}＞0、\sqrt{y}＞0$，$3\sqrt{x}+\sqrt{y}＞0$，该情况不符合题意，舍去；
2. 若$\sqrt{x}-\sqrt{y}=0$，即$\sqrt{x}=\sqrt{y}$，两边平方得$x=y$。
将$x=y$代入$\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$可得：
$\frac{y}{x} + \frac{x}{y}=1+1=2$
【答案】
2
【知识点】
二次根式的性质、因式分解、代数式求值
【点评】
本题解题的核心是利用二次根式的性质对已知等式做合理变形，通过因式分解推导x与y的数量关系，解题时要注意结合x、y的取值范围排除不符合要求的解，再代入计算即可得到结果。
【难度系数】
0.7
