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12 已知a为正整数，二次根式$\sqrt{5a+3}$是最简二次根式。
（1）求二次根式$\sqrt{5a+3}$的最小值；
（2）若二次根式$\sqrt{14-3a}$是最简二次根式，求$\dfrac{\sqrt{5a+3}}{\sqrt{14-3a}}$的值。
（1）求二次根式$\sqrt{5a+3}$的最小值；
（2）若二次根式$\sqrt{14-3a}$是最简二次根式，求$\dfrac{\sqrt{5a+3}}{\sqrt{14-3a}}$的值。
答案
(1) 因为$a$是正整数,所以当$a=1$时,$\sqrt{5a+3}=\sqrt{8}$,不是最简二次根式;当$a=2$时,$\sqrt{5a+3}=\sqrt{13}$,是最简二次根式。所以$\sqrt{5a+3}$的最小值为$\sqrt{13}$。
(2) 由$14-3a ≥ 0$,$5a+3 ≥ 0$,解得$-\dfrac{3}{5} ≤ a ≤ \dfrac{14}{3}$。所以$a$可能的取值为1、2、3、4。当且仅当$a=4$时,$\sqrt{5a+3}=\sqrt{23}$,$\sqrt{14-3a}=\sqrt{2}$都是最简二次根式,所以原式$=\dfrac{\sqrt{23}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{46}}{2}$。
(2) 由$14-3a ≥ 0$,$5a+3 ≥ 0$,解得$-\dfrac{3}{5} ≤ a ≤ \dfrac{14}{3}$。所以$a$可能的取值为1、2、3、4。当且仅当$a=4$时,$\sqrt{5a+3}=\sqrt{23}$,$\sqrt{14-3a}=\sqrt{2}$都是最简二次根式,所以原式$=\dfrac{\sqrt{23}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{46}}{2}$。
解析
【分析】
（1）要找二次根式$\sqrt{5a+3}$的最小值，由于被开方数$5a+3$随正整数$a$的增大而增大，因此只需找到最小的正整数$a$，使得$\sqrt{5a+3}$是最简二次根式即可。我们可以从最小的正整数$a=1$开始依次验证，直到找到符合条件的$a$。
（2）首先根据二次根式有意义的条件（被开方数非负），列出关于$a$的不等式组，求出$a$的取值范围，再结合$a$是正整数，列举出范围内所有可能的$a$值，逐一验证是否同时满足$\sqrt{5a+3}$和$\sqrt{14-3a}$都是最简二次根式，最后将符合条件的$a$代入分式，通过分母有理化得到最终结果。
【解析】
（1）已知$a$为正整数，从最小的正整数开始验证：
当$a=1$时，$\sqrt{5a+3}=\sqrt{5×1+3}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不是最简二次根式；
当$a=2$时，$\sqrt{5a+3}=\sqrt{5×2+3}=\sqrt{13}$，$\sqrt{13}$是最简二次根式，因此$\sqrt{5a+3}$的最小值为$\sqrt{13}$。
（2）要使两个二次根式都有意义，需满足被开方数非负，即：
$\begin{cases}5a+3≥0 \\14-3a≥0 \end{cases}$
解不等式$5a+3≥0$得$a≥-\dfrac{3}{5}$，解不等式$14-3a≥0$得$a≤\dfrac{14}{3}$，因此$a$的取值范围是$-\dfrac{3}{5}≤ a≤\dfrac{14}{3}$。
结合$a$是正整数，可得$a$的可能取值为1、2、3、4，逐一验证：
$a=1$时，$\sqrt{5a+3}=\sqrt{8}$不是最简二次根式，排除；
$a=2$时，$\sqrt{14-3a}=\sqrt{14-6}=\sqrt{8}$不是最简二次根式，排除；
$a=3$时，$\sqrt{5a+3}=\sqrt{15+3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$不是最简二次根式，排除；
$a=4$时，$\sqrt{5a+3}=\sqrt{20+3}=\sqrt{23}$，$\sqrt{14-3a}=\sqrt{14-12}=\sqrt{2}$，两者都是最简二次根式，符合条件。
将$a=4$代入分式得：
$\dfrac{\sqrt{5a+3}}{\sqrt{14-3a}}=\dfrac{\sqrt{23}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{23}×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{46}}{2}$
【答案】
（1）$\sqrt{13}$；（2）$\dfrac{\sqrt{46}}{2}$
【知识点】
最简二次根式的定义，二次根式有意义的条件，分母有理化
【点评】
本题重点考查对最简二次根式概念的掌握，解题时需结合正整数的取值范围逐一验证，不可忽略二次根式有意义的前提，最终计算结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
（1）要找二次根式$\sqrt{5a+3}$的最小值，由于被开方数$5a+3$随正整数$a$的增大而增大，因此只需找到最小的正整数$a$，使得$\sqrt{5a+3}$是最简二次根式即可。我们可以从最小的正整数$a=1$开始依次验证，直到找到符合条件的$a$。
（2）首先根据二次根式有意义的条件（被开方数非负），列出关于$a$的不等式组，求出$a$的取值范围，再结合$a$是正整数，列举出范围内所有可能的$a$值，逐一验证是否同时满足$\sqrt{5a+3}$和$\sqrt{14-3a}$都是最简二次根式，最后将符合条件的$a$代入分式，通过分母有理化得到最终结果。
【解析】
（1）已知$a$为正整数，从最小的正整数开始验证：
当$a=1$时，$\sqrt{5a+3}=\sqrt{5×1+3}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不是最简二次根式；
当$a=2$时，$\sqrt{5a+3}=\sqrt{5×2+3}=\sqrt{13}$，$\sqrt{13}$是最简二次根式，因此$\sqrt{5a+3}$的最小值为$\sqrt{13}$。
（2）要使两个二次根式都有意义，需满足被开方数非负，即：
$\begin{cases}5a+3≥0 \\14-3a≥0 \end{cases}$
解不等式$5a+3≥0$得$a≥-\dfrac{3}{5}$，解不等式$14-3a≥0$得$a≤\dfrac{14}{3}$，因此$a$的取值范围是$-\dfrac{3}{5}≤ a≤\dfrac{14}{3}$。
结合$a$是正整数，可得$a$的可能取值为1、2、3、4，逐一验证：
$a=1$时，$\sqrt{5a+3}=\sqrt{8}$不是最简二次根式，排除；
$a=2$时，$\sqrt{14-3a}=\sqrt{14-6}=\sqrt{8}$不是最简二次根式，排除；
$a=3$时，$\sqrt{5a+3}=\sqrt{15+3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$不是最简二次根式，排除；
$a=4$时，$\sqrt{5a+3}=\sqrt{20+3}=\sqrt{23}$，$\sqrt{14-3a}=\sqrt{14-12}=\sqrt{2}$，两者都是最简二次根式，符合条件。
将$a=4$代入分式得：
$\dfrac{\sqrt{5a+3}}{\sqrt{14-3a}}=\dfrac{\sqrt{23}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{23}×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{46}}{2}$
【答案】
（1）$\sqrt{13}$；（2）$\dfrac{\sqrt{46}}{2}$
【知识点】
最简二次根式的定义，二次根式有意义的条件，分母有理化
【点评】
本题重点考查对最简二次根式概念的掌握，解题时需结合正整数的取值范围逐一验证，不可忽略二次根式有意义的前提，最终计算结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
13 把$\sqrt{63}$化成最简二次根式后，被开方数与最简二次根式$\sqrt{3a+1}$的被开方数相同，b是27的立方根。
（1）求a、b的值；
（2）求$3a + b$的平方根；
（3）若$x = \sqrt{b} - a$，求$x^2 + 4x +7$的值。
（1）求a、b的值；
（2）求$3a + b$的平方根；
（3）若$x = \sqrt{b} - a$，求$x^2 + 4x +7$的值。
答案
(1) $\sqrt{63}=3\sqrt{7}$,由题意可得$3a+1=7$,所以$a=2$。$b=\sqrt[3]{27}=3$。
(2) 当$a=2$,$b=3$时,$3a+b=3×2+3=9$,所以$3a+b$的平方根为$\pm3$。
(3) $x^2+4x+7=(x+2)^2+3=(\sqrt{3}-2+2)^2+3=3+3=6$。
(2) 当$a=2$,$b=3$时,$3a+b=3×2+3=9$,所以$3a+b$的平方根为$\pm3$。
(3) $x^2+4x+7=(x+2)^2+3=(\sqrt{3}-2+2)^2+3=3+3=6$。
解析
【分析】
解题思路对应三个小问逐步推导：
1. 求解第（1）问：先按照二次根式化简规则将$\sqrt{63}$化为最简形式，得到其被开方数，因最简二次根式$\sqrt{3a+1}$的被开方数与其相同，列方程即可求出$a$；再根据立方根的定义，计算27的立方根得到$b$的值。
2. 求解第（2）问：将已求出的$a$、$b$代入$3a+b$算出结果，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，求出对应结果即可，注意不要遗漏负的平方根。
3. 求解第（3）问：先对代数式$x^2+4x+7$进行配方变形，转化为含$(x+2)$的完全平方形式，再代入$x$的表达式计算，比直接代入求值更简便，可减少计算错误。
【解析】
（1）先化简$\sqrt{63}$：$\sqrt{63}=\sqrt{9×7}=3\sqrt{7}$，最简形式的被开方数为7。
由题意可得$3a+1=7$，解得$a=2$。
因为$b$是27的立方根，所以$b=\sqrt[3]{27}=3$。
（2）把$a=2$，$b=3$代入$3a+b$，得$3×2+3=9$。
根据平方根的定义，9的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$，即$3a+b$的平方根为$\pm3$。
（3）先对代数式变形：$x^2+4x+7=x^2+4x+4+3=(x+2)^2+3$。
由题意$x=\sqrt{b}-a=\sqrt{3}-2$，代入上式得：
$(\sqrt{3}-2+2)^2+3=(\sqrt{3})^2+3=3+3=6$。
【答案】
(1) $a=2$，$b=3$；
(2) $\pm3$；
(3) $6$
【知识点】
最简二次根式、立方根运算、平方根运算
【点评】
本题属于基础综合题，考查二次根式相关概念和根式运算的核心基础知识，解题时需注意正数的平方根有两个，不要漏解；代数式求值时优先考虑配方变形，可简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
解题思路对应三个小问逐步推导：
1. 求解第（1）问：先按照二次根式化简规则将$\sqrt{63}$化为最简形式，得到其被开方数，因最简二次根式$\sqrt{3a+1}$的被开方数与其相同，列方程即可求出$a$；再根据立方根的定义，计算27的立方根得到$b$的值。
2. 求解第（2）问：将已求出的$a$、$b$代入$3a+b$算出结果，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，求出对应结果即可，注意不要遗漏负的平方根。
3. 求解第（3）问：先对代数式$x^2+4x+7$进行配方变形，转化为含$(x+2)$的完全平方形式，再代入$x$的表达式计算，比直接代入求值更简便，可减少计算错误。
【解析】
（1）先化简$\sqrt{63}$：$\sqrt{63}=\sqrt{9×7}=3\sqrt{7}$，最简形式的被开方数为7。
由题意可得$3a+1=7$，解得$a=2$。
因为$b$是27的立方根，所以$b=\sqrt[3]{27}=3$。
（2）把$a=2$，$b=3$代入$3a+b$，得$3×2+3=9$。
根据平方根的定义，9的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$，即$3a+b$的平方根为$\pm3$。
（3）先对代数式变形：$x^2+4x+7=x^2+4x+4+3=(x+2)^2+3$。
由题意$x=\sqrt{b}-a=\sqrt{3}-2$，代入上式得：
$(\sqrt{3}-2+2)^2+3=(\sqrt{3})^2+3=3+3=6$。
【答案】
(1) $a=2$，$b=3$；
(2) $\pm3$；
(3) $6$
【知识点】
最简二次根式、立方根运算、平方根运算
【点评】
本题属于基础综合题，考查二次根式相关概念和根式运算的核心基础知识，解题时需注意正数的平方根有两个，不要漏解；代数式求值时优先考虑配方变形，可简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
14 某同学作业本上有这么一道题：“当$a = \blacksquare$时，试求$(\sqrt{a})^2 + \sqrt{a^2 - 2a + 1}$的值。”其中$\blacksquare$是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为$\frac{1}{2}$，请你判断该同学的答案是否正确，并说出你的理由。
答案
该同学的答案是不正确的。理由如下:由题意可得$a ≥ 0$,$(\sqrt{a})^2+\sqrt{a^2-2a+1}=a+|a-1|$。当$a ≥ 1$时,原式$=a+a-1=2a-1$,$2a-1 ≥ 1$,不可能为$\dfrac{1}{2}$;当$0 ≤ a ＜ 1$时,原式$=a-a+1=1$,也不可能为$\dfrac{1}{2}$。所以该同学的答案不可能正确。
解析
【分析】
要判断该同学的答案是否正确，首先需确定原式中a的取值范围：由于存在$\sqrt{a}$，根据二次根式有意义的条件，可得$a≥0$；接下来化简原式，$\sqrt{a^2-2a+1}$可变形为$\sqrt{(a-1)^2}$，根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，即可将原式化简为$a+|a-1|$；最后分$a≥1$和$0≤a＜1$两种情况去绝对值，分别计算原式的取值范围，判断是否能等于$\frac{1}{2}$即可。
【解析】
解：由二次根式有意义的条件可知，$\sqrt{a}$的被开方数非负，因此$a≥0$。
对原式化简：
$(\sqrt{a})^2 + \sqrt{a^2 - 2a + 1} = a + \sqrt{(a-1)^2} = a + |a - 1|$
分两种情况讨论：
1. 当$a≥1$时，$a-1≥0$，因此$|a-1|=a-1$，
原式$=a + a - 1 = 2a - 1$，
因为$a≥1$，所以$2a-1≥2×1 - 1 =1$，结果最小为1，不可能为$\frac{1}{2}$；
2. 当$0≤a＜1$时，$a-1＜0$，因此$|a-1|=1 - a$，
原式$=a + 1 - a = 1$，结果恒为1，不可能为$\frac{1}{2}$。
综上，在a的合法取值范围内，原式的结果不可能为$\frac{1}{2}$，因此该同学的答案不正确。
【答案】
该同学的答案是不正确的。理由如下:由题意可得$a ≥ 0$,$(\sqrt{a})^2+\sqrt{a^2-2a+1}=a+|a-1|$。当$a ≥ 1$时,原式$=a+a-1=2a-1$,$2a-1 ≥ 1$,不可能为$\dfrac{1}{2}$;当$0 ≤ a ＜ 1$时,原式$=a-a+1=1$,也不可能为$\dfrac{1}{2}$。所以该同学的答案不可能正确。
【知识点】
二次根式的性质，绝对值化简，分类讨论
【点评】
本题结合二次根式的性质考查绝对值的分段化简，解题时需先明确二次根式有意义的条件确定未知数的取值范围，再根据绝对值内式子的正负性分类讨论去绝对值，计算不同区间内的结果范围即可判断答案是否正确，解题时容易遗漏分类讨论的步骤导致判断错误。
【难度系数】
0.65
要判断该同学的答案是否正确，首先需确定原式中a的取值范围：由于存在$\sqrt{a}$，根据二次根式有意义的条件，可得$a≥0$；接下来化简原式，$\sqrt{a^2-2a+1}$可变形为$\sqrt{(a-1)^2}$，根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，即可将原式化简为$a+|a-1|$；最后分$a≥1$和$0≤a＜1$两种情况去绝对值，分别计算原式的取值范围，判断是否能等于$\frac{1}{2}$即可。
【解析】
解：由二次根式有意义的条件可知，$\sqrt{a}$的被开方数非负，因此$a≥0$。
对原式化简：
$(\sqrt{a})^2 + \sqrt{a^2 - 2a + 1} = a + \sqrt{(a-1)^2} = a + |a - 1|$
分两种情况讨论：
1. 当$a≥1$时，$a-1≥0$，因此$|a-1|=a-1$，
原式$=a + a - 1 = 2a - 1$，
因为$a≥1$，所以$2a-1≥2×1 - 1 =1$，结果最小为1，不可能为$\frac{1}{2}$；
2. 当$0≤a＜1$时，$a-1＜0$，因此$|a-1|=1 - a$，
原式$=a + 1 - a = 1$，结果恒为1，不可能为$\frac{1}{2}$。
综上，在a的合法取值范围内，原式的结果不可能为$\frac{1}{2}$，因此该同学的答案不正确。
【答案】
该同学的答案是不正确的。理由如下:由题意可得$a ≥ 0$,$(\sqrt{a})^2+\sqrt{a^2-2a+1}=a+|a-1|$。当$a ≥ 1$时,原式$=a+a-1=2a-1$,$2a-1 ≥ 1$,不可能为$\dfrac{1}{2}$;当$0 ≤ a ＜ 1$时,原式$=a-a+1=1$,也不可能为$\dfrac{1}{2}$。所以该同学的答案不可能正确。
【知识点】
二次根式的性质，绝对值化简，分类讨论
【点评】
本题结合二次根式的性质考查绝对值的分段化简，解题时需先明确二次根式有意义的条件确定未知数的取值范围，再根据绝对值内式子的正负性分类讨论去绝对值，计算不同区间内的结果范围即可判断答案是否正确，解题时容易遗漏分类讨论的步骤导致判断错误。
【难度系数】
0.65
