1. 真实情境题 摩天轮 周末小颖和同学到晋阳湖欢乐谷游玩.有“晋阳湖之眼”美称的摩天轮如图①所示，图②为其简化示意图，点O是摩天轮的圆心，MN是垂直于地面的摩天轮直径，N点距离地面5米.小颖和同学运用数学知识实地估测该摩天轮的直径，她在距离地面11米高的观测点A处（AP＝11米）测得摩天轮顶端M的仰角∠MAD（即∠1）为54°，小颖的同学从点A正下方的点P处走到摩天轮支架所在的点B，观察到支架经过摩天轮圆心O，并测得支架OB与水平面的夹角∠2为58°，BP为28米.图中各点均在同一竖直平面内，点C，B，P在同一水平直线上.根据他们所测得的数据，计算摩天轮的直径MN约为米.（参考数据：$\sin 54° \approx 0.81$，$\cos 54° \approx 0.59$，$\tan 54° \approx 1.38$，$\sin 58° \approx 0.85$，$\cos 58° \approx 0.53$，$\tan 58° \approx 1.60$，结果精确到1米）

【点拨】 如图,延长 AD 交 MN 于点 H,根据题意得 AH⊥MN,AP⊥BC,HC⊥BC,
∴∠HCP=∠APC=∠AHC=90°,
∴四边形 AHCP 是矩形.
∴AH=CP=CB+BP.CH=AP=11 米. 在 Rt△AHM 中,$\tan∠1=\frac{MH}{AH}$,
∴$MH=AH·\tan 54°$.
设摩天轮的半径为 x 米,即 OM=ON=x 米,
∴MH=MN+NC-CH=2x+5-11=(2x-6)米.
∴$2x-6=AH·\tan 54°$,
∴$AH≈\frac{2x-6}{1.38}$米. 在 Rt△OCB 中,$\tan∠2=\frac{OC}{CB}$,
∴OC=CB·tan 58°.
∵OC=ON+NC=(x+5)米,CB=CP-BP=(AH-28)米,
∴$x+5≈(AH-28)×1.60$,
∴$AH≈(\frac{x+5}{1.60}+28)$米.
∴$\frac{2x-6}{1.38}≈\frac{x+5}{1.60}+28$,解得 x≈43,
∴MN=2x≈86(米).

2. [2025资阳] 如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD. 在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i=1:3，$AB=10\sqrt{10}$米，CD⊥BN. (点A,B,C,D在同一竖直平面内).
(1)求平台BN的高度；

(2)求建筑物的高度(即CD的长).

【解】 (1)如图,过点 B 作 BE⊥AM 于点 E,则∠AEB=90°.
∵斜坡 AB 的坡度 $i=\frac{BE}{AE}=\frac{1}{3}$,
∴AE=3BE.
∵在 Rt△ABE 中,$AE^2+BE^2=AB^2$,
∴$(3BE)^2+BE^2=(10\sqrt{10})^2$,
∴BE=10 米,
∴平台 BN 的高度是 10 米.
(2)如图,延长 CD 交 AM 于点 F,
∵CD⊥BN,BN//AM,
∴CD⊥AM,
∴四边形 BDFE 是矩形,
∴DF=BE=10 米,BD=EF.
设 CD=x 米,则 CF=CD+DF=(x+10)米.
∵在 Rt△ACF 中,∠CAF=30°,
∴$AF=\frac{CF}{\tan∠CAF}=\frac{x+10}{\tan30°}=\sqrt{3}(x+10)$米.
∵在 Rt△BCD 中,∠CBD=60°,
∴$BD=\frac{CD}{\tan∠CBD}=\frac{x}{\tan60°}=\frac{\sqrt{3}}{3}x$(米),
∴$EF=BD=\frac{\sqrt{3}}{3}x$米.
由(1)知 AE=3BE=3×10=30(米),
∵AF=AE+EF,
∴$\sqrt{3}(x+10)=30+\frac{\sqrt{3}}{3}x$,
解得 $x=15\sqrt{3}-15$,
∴$CD=(15\sqrt{3}-15)$米,
即建筑物的高度(即 CD 的长)为$(15\sqrt{3}-15)$米.

3. 无人机在实际生活中应用广泛.如图所示,小明利用无人机测量大楼的高度,无人机在空中P处,测得楼CD楼顶D处的俯角为$45°$,测得楼AB楼顶A处的俯角为$60°$.已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米,楼AB的高度为10米,从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为$30°$(点A,B,C,D,P在同一平面内).
(1)填空:$∠ APD=$,$∠ ADC=$;
(2)求楼CD的高度(结果保留根号);
(3)求此时无人机距离地面BC的高度.

【解】 (1)$75°$;$60°$
(2)如图,过点 A 作 AE⊥CD 于点 E,由题意得 AE=BC=100 米,EC=AB=10 米.
∵在 Rt△AED 中,∠DAE=30°,
∴$DE=AE·\tan 30°=100×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{100}{3}\sqrt{3}$(米),
∴$CD=DE+EC=(\frac{100}{3}\sqrt{3}+10)$米.
∴楼 CD 的高度为$(\frac{100}{3}\sqrt{3}+10)$米.
(3)如图,过点 P 作 PG⊥AE 于点 F,交 BC 于点 G,
则∠PFA=∠AED=90°,FG=AB=10 米.
∵MN//AE,
∴∠PAF=∠MPA=60°.
∵∠ADE=60°,
∴∠PAF=∠ADE.
∵∠DAE=30°,
∴∠PAD=30°.
∵∠APD=75°,
∴∠ADP=75°.
∴∠ADP=∠APD.
∴AP=AD.
∴△APF≌△DAE(AAS).
∴PF=AE=100 米.
∴PG=PF+FG=100+10=110(米).
∴无人机距离地面 BC 的高度为 110 米.