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1. 下列命题中是假命题的是 （
A.各有一个角是$45°$的两个等腰三角形是相似三角形
B.各有一个角是$60°$的两个等腰三角形是相似三角形
C.各有一个角是$105°$的两个等腰三角形是相似三角形
D.两个等腰直角三角形是相似三角形
A
）A.各有一个角是$45°$的两个等腰三角形是相似三角形
B.各有一个角是$60°$的两个等腰三角形是相似三角形
C.各有一个角是$105°$的两个等腰三角形是相似三角形
D.两个等腰直角三角形是相似三角形
答案
1.A
2. 如图，点P是等腰三角形ABC的腰AB上的一点，过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有 (
A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
(第2题)
B
)A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
(第2题)答案
2.B 【点拨】
∵BA=BC,
∴∠A=∠C. 如图
,①作 $PE// BC$,可得 $△ APE∽△ ABC$.②作 $PF// AC$,可得 $△ BPF∽△ BAC$. ③作$∠ APG=∠ C$, 又 $\because∠ A=∠ A,\therefore$ 可得$△ AGP∽△ ABC$,故选 B.3. [2025河北] 如图,在五边形ABCDE中,AE//BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点M,N.若添加下列一个条件后,仍无法判定△MAE∽△DCN,则这个条件是（
A.∠B+∠4=180°
B.CD//AB
C.∠1=∠4
D.∠2=∠3
D
）A.∠B+∠4=180°
B.CD//AB
C.∠1=∠4
D.∠2=∠3
答案
3.D 【点拨】$\because AE// BC,\therefore∠1+∠ B=180°.\because∠1=∠4$,$\therefore∠ B+∠4=180°.\therefore CD// BM,\therefore∠ CDN=∠ AME.\because AE//$$BC,\therefore∠ AEM=∠ CND,\therefore△ MAE∽△ DCN$,故 A,B,C 不符合题意;根据$∠2=∠3$ 结合已知条件不能证明$△ MAE∽$$△ DCN$,故 D 符合题意.
点方法 由两角分别相等判定两个三角形相似,其关键是找准对应角.一般地,相等的角是对应角.如:公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)等都是相等的角,解题时要注意挖掘题目中的隐含条件.
点方法 由两角分别相等判定两个三角形相似,其关键是找准对应角.一般地,相等的角是对应角.如:公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)等都是相等的角,解题时要注意挖掘题目中的隐含条件.
4.如图，$△ ABC$为等边三角形，点$D$，$E$分别在边$BC$，$AB$上，$∠ ADE=60°$，若$BD=4DC$，$DE=2.4$，则$AD$的长为（
A.1.8
B.2.4
C.3
D.3.2
C
）A.1.8
B.2.4
C.3
D.3.2
答案
4.C
5. 2026·莆田月考 中华传统文化·赵爽弦图 中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而构造的几何图形，被世人称之为“赵爽弦图”.如图，用四个全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接AC和EG，AC与DF，EG，BH分别相交于点P，O，Q，若BE：EQ=3：2，则$\frac{OP}{OE}$的值是
（第5题）
$\frac{\sqrt{5}}{3}$
.（第5题）答案
5.$\frac{\sqrt{5}}{3}$ 【点拨】设四个全等的直角三角形的两直角边长分别是$a$和$b$,且$a＞b$,$\therefore AH=BE=b,CE=BH=a$,$\therefore EH=a-b$.
$\because BE:EQ=3:2$,$\therefore EQ=\frac{2}{3}b$.$\therefore BQ=BE+EQ=b+\frac{2}{3}b=$$\frac{5}{3}b$.$\therefore QH=BH-BQ=a-\frac{5}{3}b$. 易得$AH// EC$,$\therefore△ AHQ∽$$△ CEQ$.$\therefore AH:CE=HQ:EQ$,即$b:a=(a-\frac{5}{3}b):\frac{2}{3}b$,整理,得$3a^2-5ab-2b^2=0$.$\therefore a=2b$或$a=-\frac{b}{3}$(不合题意,舍去).$\because∠ BEC=90°$,$BE=b$,$CE=a=2b$,$\therefore BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=$$\sqrt{5}b$. 易得$∠ QEO=∠ QCB=45°$. 又 $\because∠ EQO=∠ CQB$,$\therefore△ QEO∽△ QCB$.$\therefore\frac{QO}{QB}=\frac{OE}{BC}$.$\therefore\frac{QO}{OE}=\frac{QB}{BC}=\frac{\frac{5}{3}b}{\sqrt{5}b}=\frac{\sqrt{5}}{3}$. 易得$OP=OQ$,$\therefore\frac{OP}{OE}=\frac{OQ}{OE}=\frac{\sqrt{5}}{3}$.
$\because BE:EQ=3:2$,$\therefore EQ=\frac{2}{3}b$.$\therefore BQ=BE+EQ=b+\frac{2}{3}b=$$\frac{5}{3}b$.$\therefore QH=BH-BQ=a-\frac{5}{3}b$. 易得$AH// EC$,$\therefore△ AHQ∽$$△ CEQ$.$\therefore AH:CE=HQ:EQ$,即$b:a=(a-\frac{5}{3}b):\frac{2}{3}b$,整理,得$3a^2-5ab-2b^2=0$.$\therefore a=2b$或$a=-\frac{b}{3}$(不合题意,舍去).$\because∠ BEC=90°$,$BE=b$,$CE=a=2b$,$\therefore BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=$$\sqrt{5}b$. 易得$∠ QEO=∠ QCB=45°$. 又 $\because∠ EQO=∠ CQB$,$\therefore△ QEO∽△ QCB$.$\therefore\frac{QO}{QB}=\frac{OE}{BC}$.$\therefore\frac{QO}{OE}=\frac{QB}{BC}=\frac{\frac{5}{3}b}{\sqrt{5}b}=\frac{\sqrt{5}}{3}$. 易得$OP=OQ$,$\therefore\frac{OP}{OE}=\frac{OQ}{OE}=\frac{\sqrt{5}}{3}$.
6.如图,在$△ ABC$中,$AB=9$,$AC=6$,点$E$在$AB$上且$AE=3$,点$F$在$AC$上,连接$EF$.若$△ AEF$与$△ ABC$相似,则$AF=$
2或4.5
.答案
6.2 或 4.5 【点拨】由题意得$∠ A=∠ A$. 当$∠ AEF=∠ B$时,$△ AEF∽△ ABC$,$\therefore\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}$,即$\frac{3}{AF}=\frac{9}{6}$,$\therefore AF=2$;当$∠ AEF=$$∠ C$时,$△ AEF∽△ ACB$,$\therefore\frac{AE}{AF}=\frac{AC}{AB}$,即$\frac{3}{AF}=\frac{6}{9}$,$\therefore AF=$$4.5$. 综上,$AF=2$ 或 4.5.
点易错 本题未明确相似三角形的对应关系,应分类讨论,不要漏解.
点易错 本题未明确相似三角形的对应关系,应分类讨论,不要漏解.
7. 将两个完全相同的等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE(阴影部分)，那么图中一定相似的三角形是（
A.$△ ABC$与$△ ADE$
B.$△ ABD$与$△ AEC$
C.$△ ABE$与$△ ACD$
D.$△ AEC$与$△ ADC$
C
）A.$△ ABC$与$△ ADE$
B.$△ ABD$与$△ AEC$
C.$△ ABE$与$△ ACD$
D.$△ AEC$与$△ ADC$
答案
7.C 【点拨】A.$△ ABC$是直角三角形,$△ ADE$不是直角三角形,故不能判断$△ ABC$与$△ ADE$相似;B. 只有$∠ C=∠ B$,故不能判断$△ ABD$与$△ AEC$相似;D. 只有$∠ C=∠ C$,故不能判断$△ AEC$与$△ ADC$相似;C.$\because△ ABC$,$△ AFG$都是等腰直角三角形,$\therefore∠ ABE=∠ ACB=∠ DAE=45°$,$∠ BAC=90°$.设$∠ BAD=α$,则$∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD=90°-α$,$∠ EAC=$$90°-∠ DAE-∠ BAD=45°-α$.$\therefore∠ AEB=∠ C+∠ EAC=$$45°+45°-α=90°-α$.$\therefore∠ AEB=∠ DAC$. 又 $\because∠ B=∠ C=$$45°$,$\therefore△ ABE∽△ DCA$. 故选 C.
8. [2025烟台]如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,$AD$是角平分线.点$E$从点$A$出发,沿$AB$方向向点$B$运动,连接$CE$,点$F$在$BC$上,且$∠ CEF=45°$.设$AE=x$,$FD=y$,若$y$关于$x$的函数图象过点$(0,2-\sqrt{2})$,则该图象上最低点的坐标为 (
A.$(\frac{1}{2},\frac{3}{2}-\sqrt{2})$
B.$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3}{2}-\sqrt{2})$
C.$(\frac{1}{2},3-2\sqrt{2})$
D.$(\frac{\sqrt{2}}{2},3-2\sqrt{2})$
(第8题) (第9题)
B
)A.$(\frac{1}{2},\frac{3}{2}-\sqrt{2})$
B.$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3}{2}-\sqrt{2})$
C.$(\frac{1}{2},3-2\sqrt{2})$
D.$(\frac{\sqrt{2}}{2},3-2\sqrt{2})$
(第8题) (第9题)答案
8.B 【点拨】$\because∠ ACB=90°$,$AC=BC$,$\therefore∠ CAB=∠ CBA=$$45°$.$\because AD$是$∠ CAB$的平分线,$∠ CAD=∠ BAD=22.5°$. 设$AC=BC=m$,$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2}m$. 如图
,在$AC$上取点$Q$并连接$DQ$,使$AQ=DQ$,$\therefore∠ QAD=∠ QDA=22.5°$,$\therefore$ 易知$∠ CQD=45°=∠ CDQ$,$\therefore CQ=CD=\frac{\sqrt{2}}{2}QD=\frac{\sqrt{2}}{2}AQ$,$\therefore AQ=\sqrt{2}CQ$.$\therefore\sqrt{2}CQ+CQ=m$,解得$CQ=(\sqrt{2}-1)m$.$\therefore CD=(\sqrt{2}-1)m$.$\because∠ CEF=45°=∠ CAB$,$∠ CEF+$$∠ BEF=∠ ACE+∠ CAE$,$\therefore∠ BEF=$$∠ ACE$,$\therefore△ ACE∽△ BEF$,$\therefore\frac{AC}{BE}=\frac{AE}{BF}$,$\therefore\frac{m}{\sqrt{2}m-x}=\frac{x}{BF}$,$\therefore BF=\frac{(\sqrt{2}m-x)x}{m}$,$\therefore DF=y=m-(\sqrt{2}-1)m-$$\frac{(\sqrt{2}m-x)x}{m}=(2-\sqrt{2})m-\frac{(\sqrt{2}m-x)x}{m}$.$\because y$ 关于 $x$ 的函数图象过点$(0,2-\sqrt{2})$,$\therefore(2-\sqrt{2})m=2-\sqrt{2}$,解得 $m=1$,$\therefore y=2-\sqrt{2}-(\sqrt{2}-x)x=x^2-\sqrt{2}x+2-\sqrt{2}$,$\therefore$ 当 $x=-\frac{-\sqrt{2}}{2}=$$\frac{\sqrt{2}}{2}$时,$y$ 有最小值,最小值为$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$,$\therefore$ 该图象上最低点的坐标为$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3}{2}-\sqrt{2})$.
