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1. 已知$△ ABC ∽ △ DEF$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，$DE=12\ \mathrm{cm}$，则$△ ABC$与$△ DEF$的相似比是（
A.$2:3$
B.$3:2$
C.$4:9$
D.$9:4$
A
）A.$2:3$
B.$3:2$
C.$4:9$
D.$9:4$
答案
1.A
2. [2026合肥期末] 如图，在平面直角坐标系中，$△ ABC ∽ △ ODC$，且$AB=3OD$，若点A的坐标为$(-2,0)$，则点C的坐标为
(1,0)
。答案
2.(1,0) 【点拨】
∵△ABC∽△ODC,且 AB=3OD,
∴AC=3OC.
∵点 A 的坐标为(-2,0),
∴OA=2,
∴AC=OA+OC=2+OC,
∴2+OC=3OC,
∴OC=1,
∴点 C 的坐标为(1,0).
∵△ABC∽△ODC,且 AB=3OD,
∴AC=3OC.
∵点 A 的坐标为(-2,0),
∴OA=2,
∴AC=OA+OC=2+OC,
∴2+OC=3OC,
∴OC=1,
∴点 C 的坐标为(1,0).
3. 如图，在$□ ABCD$中，过点B的直线与对角线AC，边AD分别交于点E和点F，过点E作$EG// BC$，交AB于点G，则图中相似三角形有（
A.4对
B.5对
C.6对
D.7对
B
）A.4对
B.5对
C.6对
D.7对
答案
3.B 【点拨】题图中相似三角形有△ABC∽△CDA,△AGE∽△ABC,△AFE∽△CBE,△BGE∽△BAF,△AGE∽△CDA,共5对.
4. 如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB=6，CE=2，则DH的长为（
A.2
B.3
C.$\frac{5}{2}$
D.$\frac{8}{3}$
B
）A.2
B.3
C.$\frac{5}{2}$
D.$\frac{8}{3}$
答案
4.B 【点拨】
∵四边形ABCD为正方形,AB=6,
∴AB=AD=CD=6.
∵四边形CEFG为正方形,CE=2,
∴CE=GF=CG=2.
∴DG=CD-CG=4.由题意得 AD//GF,
∴△ADH∽△FGH.
∴$\frac{AD}{GF}=\frac{DH}{GH}$,即$\frac{6}{2}=\frac{DH}{4-DH}$,
∴DH=3.
∵四边形ABCD为正方形,AB=6,
∴AB=AD=CD=6.
∵四边形CEFG为正方形,CE=2,
∴CE=GF=CG=2.
∴DG=CD-CG=4.由题意得 AD//GF,
∴△ADH∽△FGH.
∴$\frac{AD}{GF}=\frac{DH}{GH}$,即$\frac{6}{2}=\frac{DH}{4-DH}$,
∴DH=3.
5. 2025·无锡 新趋势·学科内综合 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,$Rt△OBA$的直角边OB在x轴上,AO,AB分别与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象相交于点C,D,且C为AO的中点,过点C作x轴的垂线,垂足为E,连接DE.若$△BDE$的面积为$\frac{5}{4}$,则k的值为（
A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{5}{2}$
C.5
D.10
C
）A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{5}{2}$
C.5
D.10
答案
5.C 【点拨】设 $C(a,\frac{k}{a})$,
∴OE=a. 由题意得∠CEO=∠ABO=90°,
∴CE//AB,
∴△OCE∽△OAB. 又
∵C为AO的中点,
∴$\frac{CE}{AB}=\frac{OE}{OB}=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{a}{OB}=\frac{1}{2}$,
∴OB=2a,
∴BE=a,
∴$D(2a,\frac{k}{2a})$,
∴$S_{△ BDE}=\frac{1}{2} BE×BD=\frac{1}{2}a×\frac{k}{2a}=\frac{k}{4}=\frac{5}{4}$,
∴k=5.
∴OE=a. 由题意得∠CEO=∠ABO=90°,
∴CE//AB,
∴△OCE∽△OAB. 又
∵C为AO的中点,
∴$\frac{CE}{AB}=\frac{OE}{OB}=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{a}{OB}=\frac{1}{2}$,
∴OB=2a,
∴BE=a,
∴$D(2a,\frac{k}{2a})$,
∴$S_{△ BDE}=\frac{1}{2} BE×BD=\frac{1}{2}a×\frac{k}{2a}=\frac{k}{4}=\frac{5}{4}$,
∴k=5.
6. 一块三角形材料的形状如图所示，$AC=BC=8$，$∠ C=90°$. 用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中点D，E，F分别在BC，AB，AC上，则可剪出矩形CDEF的最大面积为
16
. 答案
6.16 【点拨】设在矩形 CDEF 中,CD=x(0＜x＜8).
∵AC=BC=8,∠C=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形.
∵四边形CDEF是矩形,
∴EF//BC,EF=CD=x.
∴△AEF∽△ABC.
∴△AEF为等腰直角三角形,
∴AF=EF=x.
∴CF=AC-AF=8-x.
∴$S_{矩形CDEF}=CD×CF=x(8-x)=-x^2+8x$.
∵在二次函数$S_{矩形CDEF}=-x^2+8x$中,a=-1＜0,
∴当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2×(-1)}=4$时,$S_{矩形CDEF}$取最大值,最大值为$-4^2+8×4=-16+32=16$.
∵AC=BC=8,∠C=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形.
∵四边形CDEF是矩形,
∴EF//BC,EF=CD=x.
∴△AEF∽△ABC.
∴△AEF为等腰直角三角形,
∴AF=EF=x.
∴CF=AC-AF=8-x.
∴$S_{矩形CDEF}=CD×CF=x(8-x)=-x^2+8x$.
∵在二次函数$S_{矩形CDEF}=-x^2+8x$中,a=-1＜0,
∴当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2×(-1)}=4$时,$S_{矩形CDEF}$取最大值,最大值为$-4^2+8×4=-16+32=16$.
7. 如图,延长正方形ABCD的一边CB至点E,ED与AB相交于点F,过F作FG//BE交AE于点G,求证:GF=FB.
答案
7.【证明】
∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=CD,BF//CD,
∴△EFB∽△EDC,
∴$\frac{BF}{CD}=\frac{EF}{ED}$.
∵FG//BE,BE//AD,
∴GF//AD,
∴△EGF∽△EAD,
∴$\frac{GF}{AD}=\frac{EF}{ED}$,
∴$\frac{GF}{AD}=\frac{BF}{CD}$.
∴GF=BF.
∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=CD,BF//CD,
∴△EFB∽△EDC,
∴$\frac{BF}{CD}=\frac{EF}{ED}$.
∵FG//BE,BE//AD,
∴GF//AD,
∴△EGF∽△EAD,
∴$\frac{GF}{AD}=\frac{EF}{ED}$,
∴$\frac{GF}{AD}=\frac{BF}{CD}$.
∴GF=BF.
8. 如图，AC//EF//BD.
(1)求证：$\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{EF}$；
(2)若AC=3，EF=2，求BD的长.
(1)求证：$\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{EF}$；
(2)若AC=3，EF=2，求BD的长.
答案
8.(1)【证明】
∵AC//EF,
∴△BEF∽△BCA,
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{BF}{BA}$.
∵EF//BD,
∴△AFE∽△ABD,
∴$\frac{EF}{BD}=\frac{AF}{BA}$,
∴$\frac{EF}{AC}+\frac{EF}{BD}=\frac{BF}{BA}+\frac{AF}{BA}=1$,
∴$\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{EF}$.
(2)【解】由(1)可知$\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{EF}$,
∵AC=3,EF=2,
∴$\frac{1}{3}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{2}$,
∴BD=6.
∵AC//EF,
∴△BEF∽△BCA,
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{BF}{BA}$.
∵EF//BD,
∴△AFE∽△ABD,
∴$\frac{EF}{BD}=\frac{AF}{BA}$,
∴$\frac{EF}{AC}+\frac{EF}{BD}=\frac{BF}{BA}+\frac{AF}{BA}=1$,
∴$\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{EF}$.
(2)【解】由(1)可知$\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{EF}$,
∵AC=3,EF=2,
∴$\frac{1}{3}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{2}$,
∴BD=6.
