12. ★★★ 中华传统文化 赵爽弦图 “赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合思想的典型体现.如图，将弦图放置在以O为原点的平面直角坐标系中，C，A分别是x轴，y轴正半轴上的动点，正方形OABC中有四个全等的$\mathrm{Rt}△ HAO$，$\mathrm{Rt}△ EBA$，$\mathrm{Rt}△ FCB$，$\mathrm{Rt}△ GOC$，若E是AH的中点，连接OE并延长交AB于点D，连接HF并延长交AB于点M，点D是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$图象上的一点.
(1)若$k=1$，则点D的坐标为；
(2)若点M的坐标为$(\frac{2}{3},m)$，则$k=$.

12.(1)$(\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3})$ 【点拨】由题意可知,$AE=OH=CG=BF$,$BE=AH=OG=CF$,$∠ AEB=∠ OHA=∠ CGO=∠ BFC=90°$,$\therefore EH=HG=FG=EF$,$∠ FEH=90°$.$\therefore$ 四边形 $EFGH$ 是正方形. $\because E$ 是 $AH$ 的中点, $\therefore AE=EH$. $\therefore OH=EH=BF=EF$. $\therefore ∠ OEH=∠ EOH=\frac{180°-∠ AHO}{2}=45°$. 又 $\because ∠ EHF=45°$,$\therefore ∠ OEH=∠ EHF$.$\therefore OD// MH$.又 $\because AE=EH,BF=EF$,$\therefore$ 易知 $AD= DM,DM= BM$.$\therefore AD=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}OA$. $\therefore$ 设 $D(a,3a)$. $\because$ 点 $D$ 是反比例函数 $y=\frac{1}{x}(x＞0)$ 图象上的一点, $\therefore a· 3a=1$,解得 $a_1=\frac{\sqrt{3}}{3}$,$a_2=-\frac{\sqrt{3}}{3}$(舍去),$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为 $(\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3})$.
(2)$\frac{1}{3}$ 【点拨】由题意易知,$AD=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}OA$,$AM=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}OA$. $\because$ 点 $M$ 的坐标为 $(\frac{2}{3},m)$,$\therefore \frac{2}{3}=\frac{2}{3}m$,解得$m=1$.$\therefore OA=AB=1$,$\therefore D(\frac{1}{3},1)$.$\because$ 点 $D$ 是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 图象上的一点, $\therefore k=\frac{1}{3}×1=\frac{1}{3}$.

三、解答题(共48分)
13. (14分)已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边，且满足$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}$，$a+b+c=12$，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由.

13.【解】$△ ABC$ 是直角三角形,理由如下:
设 $\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=k$,
则 $a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8$.
$\because a+b+c=12,\therefore 3k-4+2k-3+4k-8=12$.
$\therefore k=3. \therefore a=5,b=3,c=4$.
$\therefore b^2+c^2=a^2. \therefore △ ABC$ 是直角三角形.

14. (14分) 如图,已知 $AD// BE// CF$,它们依次交直线 $l_1,l_2,l_3$ 于点 $A,B,C$ 和点 $D,E,F$ 和点 $Q,H,P$,$l_2$ 与 $l_3$ 相交于 $DE$ 的中点 $G$,$\frac{AB}{AC}=\frac{2}{7}$,$EF=10$.
(1)求 $DE,DF$ 的长;
(2)若 $QG=3$,求 $PH$ 的长.

14.【解】(1)$\because AD// BE// CF,\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}=\frac{2}{7}$.
$\therefore \frac{DE}{DE+10}=\frac{2}{7}. \therefore DE=4$.
$\therefore DF=DE+EF=4+10=14$.
(2)$\because$ 点 $G$ 是 $DE$ 的中点, $AD// BE,\therefore \frac{DG}{DE}=\frac{QG}{QH}=\frac{1}{2}$.
又 $\because QG=3,\therefore QH=6. \because AD// BE// CF,\therefore \frac{QH}{PH}=\frac{DE}{EF}$.
$\therefore \frac{6}{PH}=\frac{4}{10}. \therefore PH=15$.

15. (20分) 【探究与应用】问题:如图①,AD是△ABC的角平分线,求证:$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$.
(1)【解决问题】善于思考的小安发现:过点C作CE//AD,CE交BA的延长线于点E,如图②,通过两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例的推论,可以解决问题.请证明:$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$;
(2)【应用提升】请你利用上述结论,解决下列问题:如图③,在四边形ABCD中,AB=2,BC=4,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,AD//BC,AC与BD相交于点O.求$\frac{OD}{DB}$和OB的值.

15.(1)【证明】$\because CE// AD$,交 $BA$ 的延长线于点 $E$,
$\therefore \frac{BA}{AE}=\frac{BD}{DC},∠ BAD=∠ E,∠ DAC=∠ ACE$.
又 $\because AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线, $\therefore ∠ BAD=∠ DAC$.
$\therefore ∠ E=∠ ACE. \therefore AE=AC. \therefore \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$.
(2)$\because BO$ 平分 $∠ ABC,∠ ABC=60°$,
$\therefore \frac{AO}{CO}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},∠ ABD=∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$.
$\therefore \frac{AO}{AC}=\frac{1}{3}$.
$\because AD// BC,\therefore \frac{OD}{DB}=\frac{AO}{AC}=\frac{1}{3},∠ ADB=∠ DBC=30°$.
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB. \therefore AB=AD$.
如图,过点 $A$ 作 $AE⊥ BD$ 于点 $E$,
$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=1,BE=DE$.
$\therefore BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{3}$.
$\therefore BD=2BE=2\sqrt{3}$.
$\because \frac{DO}{DB}=\frac{1}{3},\therefore \frac{OB}{DB}=\frac{2}{3}. \therefore OB=\frac{4}{3}\sqrt{3}$.