1 (2026·安徽六安金安区期中)如图,一次函数$y=ax+b$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一象限内交于点$A,B$,与$x$轴交于点$C$,$AB=BC$.若$△ OAC$的面积为$4$,则$k$的值为().

A.$2$
B.$\frac{8}{3}$
C.$\frac{16}{3}$
D.$4$

1.B

2（2026·四川成都青白江区期末）如图，直线AB在第一象限交双曲线$y=\frac{8}{x}$于A，B两点，交x轴于点C，已知$AB=BC$，连接OA，则$△ OAC$的面积为。

2.12

3(2025·苏州张家港梁丰高级中学期中)如图,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的图象与矩形ABCO的边相交于D,E(-5,1)两点,且$AD:BD=2:3$,一次函数经过D,E两点.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)求$△ BDE$的面积.

3.(1)由条件可得反比例函数的表达式为$y=-\frac{5}{x}$.
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的图象与矩形的边相交于点$D,E(-5,1),\therefore AB=5$.
∵$AD:BD=2:3,\therefore AD=2,BD=3,\therefore$点$D$的横坐标为$-2$.
设点$D$的纵坐标为$m$,
把点$D(-2,m)$代入$y=-\frac{5}{x}$,得$m=\frac{5}{2},\therefore D(-2,\frac{5}{2})$.
设直线$DE$的函数表达式为$y=ax+b(a≠0)$.
把点$E(-5,1)$和点$D(-2,\frac{5}{2})$代入$y=ax+b(a≠0)$,得
$\begin{cases}-5a+b=1,\\-2a+b=\frac{5}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2},\\b=\frac{7}{2},\end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$.
(2)由(1),得$BC=\frac{5}{2}$,
由条件可知$CE=1,\therefore BE=BC-CE=\frac{3}{2}$.
∵四边形$ABCO$是矩形,$\therefore ∠ DBE=90°$,
$\therefore S_{△ BDE}=\frac{1}{2}BD· BE=\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$.

4 (2026·南通期末)正比例函数$y＝kx$与反比例函数$y＝\frac{m}{x}$的图象如图所示.若$kx＜\frac{m}{x}$,则x的值可能是().

A.－3
B.－2
C.1
D.3

4.D

5 正比例函数$y=mx$与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象经过$A,B$两点，$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，若$(x_1-x_2)(y_2-y_1)=2025$，点$C(a^2+1,y_c)$，$D(a^2+5,y_d)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$上，比较大小：$y_c\_\_\_\_\_\_y_d$.（填“＞”“＜”或“=”）

5.＜

6（2025·白城洮南模拟）如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）与正比例函数$y=mx$（$m≠0$）的图象交于点$A(-2,4)$和点$B$，$C$是点$A$关于$y$轴的对称点，连接$AC$，$BC$。
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)求$△ ABC$的面积；
(3)请结合函数图象，直接写出不等式$\frac{k}{x}＞mx$的解集。

6.(1)把$A(-2,4)$代入$y=\frac{k}{x}(k≠0)$,得$4=\frac{k}{-2}$,
解得$k=-8$,$\therefore$反比例函数的表达式为$y=-\frac{8}{x}$.
(2)$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$与正比例函数$y=mx(m≠0)$的图象交于点$A(-2,4)$和点$B$,
$\therefore A,B$关于原点对称,$\therefore B(2,-4)$.
$\because C$是点$A$关于$y$轴的对称点,$\therefore C(2,4)$,
$\therefore AC=4,BC=8,∠ C=90°$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×8×4=16$.
(3)根据图象,得不等式$\frac{k}{x}＞mx$的解集为$-2＜x＜0$或$x＞2$.