1 (2025·广州四十一中二模)如图,已知平行四边形OABC的顶点A,C都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,点C的坐标为(2,3),点B的纵坐标为4.
(1)求点A的坐标;
(2)连接AC,求平行四边形OABC的面积.

(1)
∵点$C(2,3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上,
∴$k=2×3=6$,
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$.
设点$A$的坐标为$(a,\frac{6}{a})$.
∵平行四边形的对角线互相平分,且点$B$的纵坐标为4,
∴$\frac{0+4}{2}=\frac{3+\frac{6}{a}}{2}$,
∴$a=6$.故点$A$的坐标为$(6,1)$.
(2)如图,分别过点$A,C$作$AE⊥x$轴于点$E$,作$CF⊥x$轴于点$F$.

∵四边形$OABC$是平行四边形,
∴$S_{□ OABC}=2S_{△ AOC}$.
由反比例函数的性质,得$S_{△ AOC}=S_{梯形AEFC}$.
∵$A(6,1),C(2,3)$,
∴$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×(1+3)×(6-2)=8$,
∴$S_{□ OABC}=16$.故平行四边形$OABC$的面积为16.

2 (2025·六盘水模拟)如图,在平面直角坐标系中,$AB⊥x$轴于点$B,∠AOB=60°,OB=2$,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象经过点$A$.
(1)求$k$的值;
(2)延长$OA$到点$C$,使得$AC=OA$,过点$C$作$CD⊥x$轴于点$D$,交反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象于点$E$,连接$OE$,求$△ COE$的面积.

(1)由条件,可得$AB=\sqrt{3}OB=2\sqrt{3}$,
∴$A(2,2\sqrt{3})$,
∴$k=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$.
(2)
∵$AC=OA$,
∴$A$为$OC$的中点.
∵$A(2,2\sqrt{3})$,
∴$C(4,4\sqrt{3})$.
由条件,可得$OD=4$,$CD=4\sqrt{3}$,$S_{△ ODE}=\frac{|k|}{2}=2\sqrt{3}$,
∴$S_{△ COD}=\frac{1}{2}OD·CD=8\sqrt{3}$,
∴$△ COE$的面积$=S_{△ COD}-S_{△ ODE}=8\sqrt{3}-2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$.

3 (2025·武威凉州区二模)如图,过点$(2,0)$且与$y$轴平行的直线与反比例函数$y=\frac{2}{x}$和$y=-\frac{1}{x}$的图象分别交于$A,B$两点,若$P$是$y$轴上任意一点,求$△ PAB$的面积.

如图,连接$AO,BO$,$AB$与$x$轴交于点$C$.

∵$AB// y$轴,
∴$△ AOB$与$△ APB$的面积相等.
又反比例函数$y=\frac{2}{x}$和$y=-\frac{1}{x}$的图象分别过$A,B$两点,
∴$S_{△ AOC}=1$,$S_{△ BOC}=0.5$,
∴$S_{△ AOB}=1.5$.
故$△ PAB$的面积为1.5.

4（2025·湛江吴川金沙实验学校模拟）如图，已知点P是反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$图象上一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线分别交反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象于点A、点B，连接OA，OB.
（1）若点P的横坐标为1，则△PAB的面积为，△OAB的面积为.
（2）随着点P在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上运动时，△OAB的面积是否会发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，请计算出△OAB的面积.

(1)4 8 [解析]延长$AP$交$x$轴于点$C$,过点$B$作$BD⊥x$轴于点$D$,如图所示:

∵点$P$的横坐标为1,且点$P$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上,
∴点$P$的坐标为$(1,2)$.
∵$PA$平行$y$轴,$PB$平行$x$轴,
∴$PA⊥PB$,$AC⊥x$轴,点$A$的横坐标为1,点$B$的纵坐标为2,
∴四边形$CDBP$是矩形,四边形$ABDC$是梯形.又点$A,B$在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上,
∴$A(1,6),B(3,2)$,
∴$AC=6$,$OC=1$,$BD=PC=2$,$OD=3$,
∴$BP=CD=OD-OC=2$,$PA=AC-PC=4$,
∴$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}PA·PB=\frac{1}{2}×4×2=4$.
根据反比例函数比例系数$k$的几何意义,得$S_{△ AOC}=S_{△ BOD}=\frac{1}{2}×6=3$,$S_{梯形ABDC}=\frac{1}{2}(AC+BD)·CD=\frac{1}{2}×(6+2)×2=8$,
∴$S_{△ OAB}=S_{△ AOC}+S_{梯形ABDC}-S_{△ BOD}=8$.
(2)$△ OAB$的面积不发生变化,始终等于8.理由如下:
设点$P$的坐标为$(a,\frac{2}{a})$,
则点$A$的横坐标为$a$,点$B$的纵坐标为$\frac{2}{a}$.
∵点$A,B$在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上,
∴点$A(a,\frac{6}{a})$,点$B(3a,\frac{2}{a})$.
同理,可得四边形$CDBP$是矩形,四边形$ABDC$是梯形,
则$OC=a$,$AC=\frac{6}{a}$,$BD=PC=\frac{2}{a}$,$OD=3a$,
∴$CD=BP=OD-OC=2a$,
∴$S_{梯形ABDC}=\frac{1}{2}(AC+BD)·CD=\frac{1}{2}(\frac{6}{a}+\frac{2}{a})·2a=8$,
由(1)可知,$S_{△ OAB}=S_{梯形ABDC}=8$.