23. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AE⊥BC于点E,CF⊥AB于点F,AE与CF相交于点G,连结GD,已知∠1=∠2,∠3=∠4。
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形。
(2)若AG=3,DG=5,求GE的长。
(3)若F是AB的中点,连结EF,求证:DG⊥EF。

23.(1)证明:因为$∠1=∠AGF$,$∠1=∠2$,所以$∠2=∠AGF$,又因为$∠3=∠4$,所以$∠DCG=∠AFG$,因为$CF⊥AB$,所以$∠AFG=90°$,所以$∠DCG=∠AFG=90°$,所以$CF⊥CD$,所以$AB// CD$,又$AD// BC$,所以四边形ABCD是平行四边形。
(2)如图1,过点C作$CH⊥DG$,因为$∠1=∠2$,$∠AEC=∠CHG=90°$,$CG=CG$,所以$△CGE≌△CGH$,所以$EG=GH$,同理可证$△ABE≌△DCH$,所以$AE=DH$,设$EG=x$,则$EG=GH=x$,$AE=3+x$,$DH=5-x$,由$DH=AE$,得$3+x=5-x$,解得:$x=1$,所以GE的值为1。
(3)如图2,连结EF,AC,由(2)知$△CGE≌△CGH$,所以$EC=CH$,$△ABE≌△DCH$,所以$EB=CH$,$EB=EC$,所以E为BC中点,又F是AB中点,所以EF是$△ABC$的中位线,所以$EF// AC$,因为F是AB中点,$CF⊥AB$,所以CF是AB的垂直平分线,所以$AC=BC$。因为E是BC中点,$AE⊥BC$,所以$AC=AB$,所以$AB=BC=AC$,$△ABC$为等边三角形,因为$AB=CD$,$BC=AD$,$AB=BC=AC$,所以$△ADC$也是等边三角形,所以$∠B=60°$,$∠3=30°$,又四边形ABCD是平行四边形,$∠ADC=∠B=60°$,又因为$∠4=∠3=30°$,$DA=DC$,所以DG平分$∠ADC$,所以$DG⊥AC$,A,H,C在同一条直线上,因为$EF// AC$,所以$DG⊥EF$。

24.如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 为平行四边形,O 为坐标原点,$A(2,2\sqrt{3}),C(-8,0)$,将平行四边形 OABC 绕点 A 逆时针旋转得到平行四边形 ADEF,点 D 在 AO 的延长线上,点 F 落在 x 轴正半轴上。

(1)证明:$△ AOF$ 是等边三角形。
(2)平行四边形 OABC 绕点 A 逆时针旋转 $α$ 度$(0≤α≤180)$。AB 的对应线段为$A'B'$,点 C 的对应点为$C'$。
①直线$A'B'$与 y 轴交于点 P,若$△ AOP$ 为等腰三角形,求点 P的坐标;
②对角线 AC 在旋转过程中设点$C'$坐标为$(m,n)$,当点$C'$到 x轴的距离大于或等于$2\sqrt{3}$时,求 m 的范围。

24.(1)证明:如图1,过点A作$AH⊥x$轴于点H,因为$A(2,2\sqrt{3})$,所以$OH=2$,$AH=2\sqrt{3}$,所以$AO=\sqrt{OH^2+AH^2}=4$,由旋转的性质可得:$AO=AF=4$,所以$OF=2OH=4$,所以$AO=AF=OF$,所以$△AOF$是等边三角形。
(2)①设$P(0,a)$,因为$△AOP$是等腰三角形,当$AP=OP$时,$(2-0)^2+(2\sqrt{3} -a)^2=a^2$,解得:$a=\frac{4\sqrt{3}}{3}$,所以$P(0,\frac{4\sqrt{3}}{3})$;当$AO=OP$时,$OP=AO=4$,所以$P(0,-4)$或$(0,4)$;当$AP=OA$时,根据等腰三角形的性质可得$a=2\sqrt{3} ×2=4\sqrt{3}$,所以$P(0,4\sqrt{3})$。故$△AOP$为等腰三角形时,点P的坐标为$(0,\frac{4\sqrt{3}}{3})$或$(0,-4)$或$(0,4)$或$(0,4\sqrt{3})$。
②旋转过程中点C的对应点为$C'$,$C(-8,0)$,当点$C'$开始旋转,至$C'$在第三象限内到x轴的距离等于$2\sqrt{3}$时,如图2,作$AH⊥x$轴于点H,$C'G⊥x$轴于点G,交AB于点E,因为$AH=2\sqrt{3}$,$HO=2$,$C'G=GE=2\sqrt{3}$,所以$CH=2+8=10$,$AC'=AC=\sqrt{10^2+(2\sqrt{3})^2}=4\sqrt{7}$,$C'E=4\sqrt{3}$,所以$AE=\sqrt{AC'^2-C'E^2}=\sqrt{(4\sqrt{7})^2-(4\sqrt{3})^2}=8$,所以$OG=8-2=6$,此时$m=-6$;当点$C'$旋转到第四象限,$C'$到x轴的距离等于$2\sqrt{3}$时,如图3,同理可得:$AE=8$,所以$m=OG=2+8=10$;所以满足条件的m的取值范围是$-6≤m≤10$;当点$C'$旋转到第一象限,$C'$到x轴的距离等于$2\sqrt{3}$时,如图4,此时$AC'=AC=4\sqrt{7}$,所以$m=OG=2+4\sqrt{7}$;当点$C'$旋转$180°$时,因为C,$C'$关于点A对称,$\begin{cases}\frac{m-8}{2}=2,\\\frac{n+0}{2}=2\sqrt{3},\end{cases}$解得$\begin{cases}m=12,\\n=4\sqrt{3},\end{cases}$所以$C'(12,4\sqrt{3})$,故此时满足条件的m的取值范围是$12≤m≤2+4\sqrt{7}$;综上所述,当点$C'$到x轴的距离大于或等于$2\sqrt{3}$时,m的取值范围是$-6≤m≤10$或$12≤m≤2+4\sqrt{7}$。