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1. 下列命题是真命题的是 （
A.有两个角互余的三角形是直角三角形
B.三根小棒的长度分别是1 cm,6 cm,7 cm,它们可以拼成一个三角形
C.一个三角形的三个内角的度数比是1:2:2，这个三角形是直角三角形
D.三角形的三条高线的交点在三角形的内部
A
）A.有两个角互余的三角形是直角三角形
B.三根小棒的长度分别是1 cm,6 cm,7 cm,它们可以拼成一个三角形
C.一个三角形的三个内角的度数比是1:2:2，这个三角形是直角三角形
D.三角形的三条高线的交点在三角形的内部
答案
A
解析
【分析】
拿到这道题首先明确题目要求是选出真命题（即描述正确的命题），我们需要结合三角形的基础性质逐个验证选项：先对应每个选项的考点回忆相关知识点，A对应直角三角形判定与内角和定理，B对应三角形三边关系，C对应内角和与按比分配计算，D对应不同三角形高线的交点位置，逐一判断后排除错误选项就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：三角形内角和为180°，若有两个角互余，则这两个角的和为90°，可推出第三个角的度数为180°-90°=90°，有一个角为直角的三角形是直角三角形，因此该命题为真命题。
2. 分析选项B：三角形三边关系要求“任意两边之和大于第三边”，此处1cm+6cm=7cm，不满足三边关系，因此无法拼成三角形，该命题为假命题。
3. 分析选项C：三角形内角和为180°，按1:2:2的比例分配，总份数为1+2+2=5，每份角度为180°÷5=36°，三个内角度数分别为36°、72°、72°，属于等腰锐角三角形，不是直角三角形，该命题为假命题。
4. 分析选项D：不同类型三角形的高线交点位置不同：锐角三角形的三条高线交点在内部，直角三角形的三条高线交点在直角顶点处，钝角三角形的三条高线交点在三角形外部，因此并非所有三角形的高线交点都在内部，该命题为假命题。
综上，只有A是真命题。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；三角形三边关系；三角形的高
【点评】
本题是三角形基础性质的综合考查题，覆盖了三角形边、角、高线三类核心基础考点，需要学生准确记忆不同类型三角形的相关性质，避免混淆特殊结论。
【难度系数】
0.7
拿到这道题首先明确题目要求是选出真命题（即描述正确的命题），我们需要结合三角形的基础性质逐个验证选项：先对应每个选项的考点回忆相关知识点，A对应直角三角形判定与内角和定理，B对应三角形三边关系，C对应内角和与按比分配计算，D对应不同三角形高线的交点位置，逐一判断后排除错误选项就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：三角形内角和为180°，若有两个角互余，则这两个角的和为90°，可推出第三个角的度数为180°-90°=90°，有一个角为直角的三角形是直角三角形，因此该命题为真命题。
2. 分析选项B：三角形三边关系要求“任意两边之和大于第三边”，此处1cm+6cm=7cm，不满足三边关系，因此无法拼成三角形，该命题为假命题。
3. 分析选项C：三角形内角和为180°，按1:2:2的比例分配，总份数为1+2+2=5，每份角度为180°÷5=36°，三个内角度数分别为36°、72°、72°，属于等腰锐角三角形，不是直角三角形，该命题为假命题。
4. 分析选项D：不同类型三角形的高线交点位置不同：锐角三角形的三条高线交点在内部，直角三角形的三条高线交点在直角顶点处，钝角三角形的三条高线交点在三角形外部，因此并非所有三角形的高线交点都在内部，该命题为假命题。
综上，只有A是真命题。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；三角形三边关系；三角形的高
【点评】
本题是三角形基础性质的综合考查题，覆盖了三角形边、角、高线三类核心基础考点，需要学生准确记忆不同类型三角形的相关性质，避免混淆特殊结论。
【难度系数】
0.7
2. 下列语句属于定理的是 （
A.在直线AB上任取一点E
B.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C.有两个角相等的三角形一定是等腰三角形吗
D.三角形的任意两边之和大于第三边
D
）A.在直线AB上任取一点E
B.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C.有两个角相等的三角形一定是等腰三角形吗
D.三角形的任意两边之和大于第三边
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个语句属于定理，首先需明确定理的判定标准：①必须是命题，即能判断真假的陈述句，疑问句、操作类语句都不属于命题；②必须是经过推理证实的真命题。接下来我们按照这两个标准逐一分析选项即可得出答案。
【解析】
首先明确定理的定义：经过推理证实的、可作为证明其他命题依据的真命题叫做定理。
对各选项逐一分析：
A. 该语句是作图操作描述，不能判断真假，不属于命题，因此不是定理，排除；
B. 该语句是命题，但为假命题：相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但不是对顶角，因此不是定理，排除；
C. 该语句是疑问句，没有作出明确的真假判断，不属于命题，因此不是定理，排除；
D. 该语句是经过严谨推理证明的真命题，是几何中常用的定理，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
定理的概念、命题的判断、三角形三边关系
【点评】
本题侧重考查基础概念的辨析，解题的核心是先区分语句是否为命题，再判断命题的真假，只要熟练掌握相关基础概念就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
要判断哪个语句属于定理，首先需明确定理的判定标准：①必须是命题，即能判断真假的陈述句，疑问句、操作类语句都不属于命题；②必须是经过推理证实的真命题。接下来我们按照这两个标准逐一分析选项即可得出答案。
【解析】
首先明确定理的定义：经过推理证实的、可作为证明其他命题依据的真命题叫做定理。
对各选项逐一分析：
A. 该语句是作图操作描述，不能判断真假，不属于命题，因此不是定理，排除；
B. 该语句是命题，但为假命题：相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但不是对顶角，因此不是定理，排除；
C. 该语句是疑问句，没有作出明确的真假判断，不属于命题，因此不是定理，排除；
D. 该语句是经过严谨推理证明的真命题，是几何中常用的定理，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
定理的概念、命题的判断、三角形三边关系
【点评】
本题侧重考查基础概念的辨析，解题的核心是先区分语句是否为命题，再判断命题的真假，只要熟练掌握相关基础概念就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
3. 将含$60°$角的直角三角板按如图方式摆放，已知$m// n$，$∠1=20°$，则$∠2=$（
A.$40°$
B.$30°$
C.$20°$
D.$15°$
A
）A.$40°$
B.$30°$
C.$20°$
D.$15°$
答案
A
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：直线$ m // n $，摆放的是含$ 60° $角的直角三角板，$ ∠1=20° $，要求$ ∠2 $的度数。我们可以利用平行线的性质建立已知角和未知角的联系，通过作平行于$ m、n $的辅助线，把三角板的$ 60° $角拆成两个分别和$ ∠1、∠2 $相等的内错角，再通过角的和差计算出$ ∠2 $的度数。
【解析】
过三角板$ 60° $角的顶点作直线$ l // m $，
因为$ m // n $，根据平行公理的推论，可得$ l // n $。
根据“两直线平行，内错角相等”：
直线$ l $与$ n $平行，所以$ ∠1 $等于$ l $下方与三角板边形成的角；
直线$ l $与$ m $平行，所以$ ∠2 $等于$ l $上方与三角板边形成的角。
这两个角的和恰好是三角板的$ 60° $角，因此$ ∠1 + ∠2 = 60° $。
已知$ ∠1=20° $，代入得$ ∠2 = 60° - 20° = 40° $。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，角的和差计算
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题核心是通过作辅助线将未知角和已知角转化为内错角，建立二者的和差关系，熟练掌握平行线的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：直线$ m // n $，摆放的是含$ 60° $角的直角三角板，$ ∠1=20° $，要求$ ∠2 $的度数。我们可以利用平行线的性质建立已知角和未知角的联系，通过作平行于$ m、n $的辅助线，把三角板的$ 60° $角拆成两个分别和$ ∠1、∠2 $相等的内错角，再通过角的和差计算出$ ∠2 $的度数。
【解析】
过三角板$ 60° $角的顶点作直线$ l // m $，
因为$ m // n $，根据平行公理的推论，可得$ l // n $。
根据“两直线平行，内错角相等”：
直线$ l $与$ n $平行，所以$ ∠1 $等于$ l $下方与三角板边形成的角；
直线$ l $与$ m $平行，所以$ ∠2 $等于$ l $上方与三角板边形成的角。
这两个角的和恰好是三角板的$ 60° $角，因此$ ∠1 + ∠2 = 60° $。
已知$ ∠1=20° $，代入得$ ∠2 = 60° - 20° = 40° $。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，角的和差计算
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题核心是通过作辅助线将未知角和已知角转化为内错角，建立二者的和差关系，熟练掌握平行线的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=100°$，$∠ A=20°$，D是AB上一点，将$△ ABC$沿CD折叠，使点B落在AC边上的$B'$处，则$∠ ADB'$等于（
A.$25°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$40°$
D
）A.$25°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$40°$
答案
D
解析
【分析】
要求∠ADB'的度数，可按以下思路推导：首先利用三角形内角和定理，结合已知△ABC的两个内角度数，先求出∠B的度数；再根据折叠的性质，得到折叠后对应角∠CB'D与∠B相等；最后观察图形可知∠CB'D是△AB'D的外角，利用三角形外角的性质，建立∠ADB'与已知角的数量关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ B = 180° - ∠ A - ∠ ACB = 180° - 20° - 100° = 60°$
由折叠的性质可知，$△ CDB ≌ △ CDB'$，因此对应角相等：
$∠ CB'D = ∠ B = 60°$
∵$∠ CB'D$是$△ AB'D$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$∠ CB'D = ∠ A + ∠ ADB'$
∴$∠ ADB' = ∠ CB'D - ∠ A = 60° - 20° = 40°$
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础综合题，结合折叠变换考查三角形角度相关性质，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，灵活运用三角形内角和与外角性质推导角度关系，整体解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
要求∠ADB'的度数，可按以下思路推导：首先利用三角形内角和定理，结合已知△ABC的两个内角度数，先求出∠B的度数；再根据折叠的性质，得到折叠后对应角∠CB'D与∠B相等；最后观察图形可知∠CB'D是△AB'D的外角，利用三角形外角的性质，建立∠ADB'与已知角的数量关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ B = 180° - ∠ A - ∠ ACB = 180° - 20° - 100° = 60°$
由折叠的性质可知，$△ CDB ≌ △ CDB'$，因此对应角相等：
$∠ CB'D = ∠ B = 60°$
∵$∠ CB'D$是$△ AB'D$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$∠ CB'D = ∠ A + ∠ ADB'$
∴$∠ ADB' = ∠ CB'D - ∠ A = 60° - 20° = 40°$
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础综合题，结合折叠变换考查三角形角度相关性质，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，灵活运用三角形内角和与外角性质推导角度关系，整体解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
5. [2025 福建] 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A,E,C,F在同一条直线上，$∠ BAC=∠ EDF=90°$，$∠ B=45°$，$∠ DEF=60°$. 当 $AD // BC$ 时，$∠ ADE$ 的大小为 （
A.$5°$
B.$15°$
C.$25°$
D.$35°$
B
）A.$5°$
B.$15°$
C.$25°$
D.$35°$
答案
B
解析
【分析】
解题首先要明确三角板的固定角度，第一步先根据△ABC的已知角度求出∠ACB的度数，再利用AD//BC的平行线性质，得到内错角∠DAC=∠ACB，求出∠DAC的度数；第二步结合三角板DEF的已知角∠DEF=60°，利用三角形外角的性质，即可求出∠ADE的大小。
【解析】
在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠B=180°-90°-45°=45°，
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB=45°（两直线平行，内错角相等），
在△ADE中，∠DEF是它的一个外角，
根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠DEF=∠DAC + ∠ADE，
已知∠DEF=60°，代入得：
∠ADE=∠DEF - ∠DAC=60°-45°=15°。
【答案】
B
【知识点】
1.平行线的性质
2.三角形外角的性质
3.三角板角度特征
【点评】
本题结合常见的三角板摆放场景，考查平行线性质与三角形角度计算的综合应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质和三角形角度的相关定理，准确找到角度之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确三角板的固定角度，第一步先根据△ABC的已知角度求出∠ACB的度数，再利用AD//BC的平行线性质，得到内错角∠DAC=∠ACB，求出∠DAC的度数；第二步结合三角板DEF的已知角∠DEF=60°，利用三角形外角的性质，即可求出∠ADE的大小。
【解析】
在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠B=180°-90°-45°=45°，
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB=45°（两直线平行，内错角相等），
在△ADE中，∠DEF是它的一个外角，
根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠DEF=∠DAC + ∠ADE，
已知∠DEF=60°，代入得：
∠ADE=∠DEF - ∠DAC=60°-45°=15°。
【答案】
B
【知识点】
1.平行线的性质
2.三角形外角的性质
3.三角板角度特征
【点评】
本题结合常见的三角板摆放场景，考查平行线性质与三角形角度计算的综合应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质和三角形角度的相关定理，准确找到角度之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
6. [2026 南充嘉陵区期中]如图，$∠ ABC = ∠ ACB$，$AD$，$BD$，$CD$ 分别平分 $∠ EAC$，$∠ ABC$，$∠ ACF$.以下结论：① $AD // BC$；② $∠ ACB = 2∠ ADB$；③ $∠ ADC + ∠ ABD = 90°$；④ $∠ BDC = ∠ BAC$；⑤ $∠ ADB = 45° - \frac{1}{2}∠ BDC$.其中结论错误的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
A
【点拨】①
∵AD平分∠EAC,
∴∠EAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠EAC.
∵∠EAC=∠ACB+∠ABC,且∠ABC=∠ACB,
∴∠EAD=∠ABC.
∴AD//BC. 故①正确；
②
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵AD // BC,
∴∠ADB = ∠DBC = $\frac{1}{2}$ ∠ABC.
∴∠ABC= 2∠ADB.
∵∠ABC=∠ACB,
∴∠ACB=2∠ADB.故②正确；③
∵CD平分∠ACF,
∴∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACF.
∵AD//BC,
∴∠ADC=∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACF.
∵∠ACB=∠ABC=2∠ABD,
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∴∠ADC+ ∠ABD = $\frac{1}{2}$ ∠ACF + $\frac{1}{2}$ ∠ACB =$\frac{1}{2}(∠ACF+∠ACB)=90°$.故③正确；④
∵∠ABC+∠BAC=∠ACF,
∴$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ACF.
∵∠BDC+∠DBC=∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACF,
∴$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC=∠BDC+∠DBC.
∵∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∴∠BDC= $\frac{1}{2}$∠BAC. 故④错误；⑤易知∠DCF =$\frac{1}{2}(180°-∠ACB)=90°- \frac{1}{2}$∠ABC=90°-∠DBC=∠DBC+∠BDC,
∴∠DBC=$\frac{1}{2}(90°-∠BDC)=45°-\frac{1}{2}$∠BDC.
∵AD// BC,
∴∠ADB = ∠DBC = 45° -$\frac{1}{2}$∠BDC.故⑤正确.综上所述,结论错误的有1个,故选A.
【点拨】①
∵AD平分∠EAC,
∴∠EAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠EAC.
∵∠EAC=∠ACB+∠ABC,且∠ABC=∠ACB,
∴∠EAD=∠ABC.
∴AD//BC. 故①正确；
②
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵AD // BC,
∴∠ADB = ∠DBC = $\frac{1}{2}$ ∠ABC.
∴∠ABC= 2∠ADB.
∵∠ABC=∠ACB,
∴∠ACB=2∠ADB.故②正确；③
∵CD平分∠ACF,
∴∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACF.
∵AD//BC,
∴∠ADC=∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACF.
∵∠ACB=∠ABC=2∠ABD,
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∴∠ADC+ ∠ABD = $\frac{1}{2}$ ∠ACF + $\frac{1}{2}$ ∠ACB =$\frac{1}{2}(∠ACF+∠ACB)=90°$.故③正确；④
∵∠ABC+∠BAC=∠ACF,
∴$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ACF.
∵∠BDC+∠DBC=∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACF,
∴$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC=∠BDC+∠DBC.
∵∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∴∠BDC= $\frac{1}{2}$∠BAC. 故④错误；⑤易知∠DCF =$\frac{1}{2}(180°-∠ACB)=90°- \frac{1}{2}$∠ABC=90°-∠DBC=∠DBC+∠BDC,
∴∠DBC=$\frac{1}{2}(90°-∠BDC)=45°-\frac{1}{2}$∠BDC.
∵AD// BC,
∴∠ADB = ∠DBC = 45° -$\frac{1}{2}$∠BDC.故⑤正确.综上所述,结论错误的有1个,故选A.
解析
【分析】
解题时结合已知的角平分线条件、三角形内外角性质、平行线的判定与性质，逐个对5个结论进行推导验证即可：1. 要证AD//BC，可通过证明同位角相等实现，利用三角形外角∠EAC等于两底角和，结合角平分线性质推导∠EAD与∠ABC相等即可；2. 结合平行线的内错角相等和角平分线性质，即可推导∠ACB与∠ADB的数量关系；3. 利用邻补角和为180°，结合角平分线、平行线的性质，即可推导∠ADC与∠ABD的和；4. 利用三角形外角性质分别表示∠ACF和∠DCF，代入角平分线关系即可推导∠BDC与∠BAC的数量关系；5. 结合∠DCF的邻补角性质、外角性质和平行线的内错角相等，即可推导∠ADB与∠BDC的关系，最后统计错误结论的个数即可。
【解析】
①
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠EAC。
∵∠EAC是△ABC的外角，
∴∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD//BC，故①正确；
②
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC。
∵AD // BC，
∴∠ADB = ∠DBC = $\frac{1}{2}$ ∠ABC，
∴∠ABC= 2∠ADB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=2∠ADB，故②正确；
③
∵CD平分∠ACF，
∴∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACF。
∵AD//BC，
∴∠ADC=∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACF。
∵∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠ADC+ ∠ABD = $\frac{1}{2}$ ∠ACF + $\frac{1}{2}$ ∠ACB =$\frac{1}{2}(∠ACF+∠ACB)=\frac{1}{2}×180°=90°$，故③正确；
④
∵∠ABC+∠BAC=∠ACF，
∴$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ACF。
∵∠BDC+∠DBC=∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACF，
∴$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC=∠BDC+∠DBC，
∵∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠BDC= $\frac{1}{2}$∠BAC，并非∠BDC=∠BAC，故④错误；
⑤
∵∠DCF =$\frac{1}{2}(180°-∠ACB)=90°- \frac{1}{2}$∠ABC=90°-∠DBC，且∠DCF=∠DBC+∠BDC，
∴90°-∠DBC=∠DBC+∠BDC，整理得∠DBC=45°-$\frac{1}{2}$∠BDC，
∵AD// BC，
∴∠ADB = ∠DBC = 45° -$\frac{1}{2}$∠BDC，故⑤正确。
综上所述，结论错误的只有1个。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；平行线的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查了三角形中角的相关运算，需要对多个结论逐一推导验证，解题的关键是熟练运用角平分线、平行线、三角形内外角的相关性质，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时结合已知的角平分线条件、三角形内外角性质、平行线的判定与性质，逐个对5个结论进行推导验证即可：1. 要证AD//BC，可通过证明同位角相等实现，利用三角形外角∠EAC等于两底角和，结合角平分线性质推导∠EAD与∠ABC相等即可；2. 结合平行线的内错角相等和角平分线性质，即可推导∠ACB与∠ADB的数量关系；3. 利用邻补角和为180°，结合角平分线、平行线的性质，即可推导∠ADC与∠ABD的和；4. 利用三角形外角性质分别表示∠ACF和∠DCF，代入角平分线关系即可推导∠BDC与∠BAC的数量关系；5. 结合∠DCF的邻补角性质、外角性质和平行线的内错角相等，即可推导∠ADB与∠BDC的关系，最后统计错误结论的个数即可。
【解析】
①
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠EAC。
∵∠EAC是△ABC的外角，
∴∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD//BC，故①正确；
②
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC。
∵AD // BC，
∴∠ADB = ∠DBC = $\frac{1}{2}$ ∠ABC，
∴∠ABC= 2∠ADB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=2∠ADB，故②正确；
③
∵CD平分∠ACF，
∴∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACF。
∵AD//BC，
∴∠ADC=∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACF。
∵∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠ADC+ ∠ABD = $\frac{1}{2}$ ∠ACF + $\frac{1}{2}$ ∠ACB =$\frac{1}{2}(∠ACF+∠ACB)=\frac{1}{2}×180°=90°$，故③正确；
④
∵∠ABC+∠BAC=∠ACF，
∴$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ACF。
∵∠BDC+∠DBC=∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACF，
∴$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC=∠BDC+∠DBC，
∵∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠BDC= $\frac{1}{2}$∠BAC，并非∠BDC=∠BAC，故④错误；
⑤
∵∠DCF =$\frac{1}{2}(180°-∠ACB)=90°- \frac{1}{2}$∠ABC=90°-∠DBC，且∠DCF=∠DBC+∠BDC，
∴90°-∠DBC=∠DBC+∠BDC，整理得∠DBC=45°-$\frac{1}{2}$∠BDC，
∵AD// BC，
∴∠ADB = ∠DBC = 45° -$\frac{1}{2}$∠BDC，故⑤正确。
综上所述，结论错误的只有1个。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；平行线的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查了三角形中角的相关运算，需要对多个结论逐一推导验证，解题的关键是熟练运用角平分线、平行线、三角形内外角的相关性质，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
7. [2025 北京] 能说明命题“若$a^2＞4b^2$，则$a＞2b$”是假命题的一组实数$a,b$的值为$a=$
-3
，$b=$1
。答案
-3(答案不唯一)；1(答案不唯一)
解析
【分析】
要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可，反例需要满足命题的条件“$a^2＞4b^2$”，但不满足命题的结论“$a＞2b$。我们可以利用负数的平方为正、负数小于正数的特点，选取$a$为负数，$b$为正数，且$a$的绝对值大于$2b$的绝对值，即可得到符合要求的反例。
【解析】
我们选取$a=-3$，$b=1$进行验证：
1. 验证命题条件：计算得$a^2=(-3)^2=9$，$4b^2=4×1^2=4$，显然$9＞4$，满足$a^2＞4b^2$的条件；
2. 验证命题结论：计算得$2b=2×1=2$，此时$a=-3＜2$，不满足$a＞2b$的结论。
因此这组数值可证明原命题为假命题，符合要求的$a、b$取值不唯一。
【答案】
-3(答案不唯一)；1(答案不唯一)
【知识点】
假命题的判定；有理数的乘方；不等式的性质
【点评】
本题考查假命题的判断方法，解题核心是明确反例需要同时满足“符合命题题设、不符合命题结论”两个要求，通过选取合适的正负数值即可快速找到反例。
【难度系数】
0.8
要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可，反例需要满足命题的条件“$a^2＞4b^2$”，但不满足命题的结论“$a＞2b$。我们可以利用负数的平方为正、负数小于正数的特点，选取$a$为负数，$b$为正数，且$a$的绝对值大于$2b$的绝对值，即可得到符合要求的反例。
【解析】
我们选取$a=-3$，$b=1$进行验证：
1. 验证命题条件：计算得$a^2=(-3)^2=9$，$4b^2=4×1^2=4$，显然$9＞4$，满足$a^2＞4b^2$的条件；
2. 验证命题结论：计算得$2b=2×1=2$，此时$a=-3＜2$，不满足$a＞2b$的结论。
因此这组数值可证明原命题为假命题，符合要求的$a、b$取值不唯一。
【答案】
-3(答案不唯一)；1(答案不唯一)
【知识点】
假命题的判定；有理数的乘方；不等式的性质
【点评】
本题考查假命题的判断方法，解题核心是明确反例需要同时满足“符合命题题设、不符合命题结论”两个要求，通过选取合适的正负数值即可快速找到反例。
【难度系数】
0.8
8. 如图，在△ABC中，高BD，CE交于点G，若∠A=70°，则∠BGC=
110°
。答案
110°
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据BD、CE是△ABC的高，可得∠AEC和∠ADB均为90°；接下来观察四边形AEGD，利用四边形内角和为360°的性质，结合已知∠A的度数，可计算出∠EGD的度数；最后根据对顶角相等的性质，∠BGC和∠EGD是对顶角，二者相等，即可求出∠BGC的度数。也可利用三角形内角和定理，先推导△BGC中两个底角的和，进而计算∠BGC。
【解析】
∵ BD、CE是△ABC的高
∴ CE⊥AB，BD⊥AC，即$∠ AEC=90°$，$∠ ADB=90°$
∵ 四边形的内角和为$360°$
∴ 在四边形AEGD中，$∠ A + ∠ AEC + ∠ ADB + ∠ EGD = 360°$
将$∠ A=70°$代入得：
$70° + 90° + 90° + ∠ EGD = 360°$
解得$∠ EGD=110°$
又
∵ $∠ BGC$与$∠ EGD$是对顶角，对顶角相等
∴ $∠ BGC=∠ EGD=110°$
【答案】
$110°$
【知识点】
三角形高的定义；四边形内角和；对顶角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题关键是结合高的性质，灵活选用内角和定理或对顶角性质梳理角度间的数量关系，是三角形章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先根据BD、CE是△ABC的高，可得∠AEC和∠ADB均为90°；接下来观察四边形AEGD，利用四边形内角和为360°的性质，结合已知∠A的度数，可计算出∠EGD的度数；最后根据对顶角相等的性质，∠BGC和∠EGD是对顶角，二者相等，即可求出∠BGC的度数。也可利用三角形内角和定理，先推导△BGC中两个底角的和，进而计算∠BGC。
【解析】
∵ BD、CE是△ABC的高
∴ CE⊥AB，BD⊥AC，即$∠ AEC=90°$，$∠ ADB=90°$
∵ 四边形的内角和为$360°$
∴ 在四边形AEGD中，$∠ A + ∠ AEC + ∠ ADB + ∠ EGD = 360°$
将$∠ A=70°$代入得：
$70° + 90° + 90° + ∠ EGD = 360°$
解得$∠ EGD=110°$
又
∵ $∠ BGC$与$∠ EGD$是对顶角，对顶角相等
∴ $∠ BGC=∠ EGD=110°$
【答案】
$110°$
【知识点】
三角形高的定义；四边形内角和；对顶角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题关键是结合高的性质，灵活选用内角和定理或对顶角性质梳理角度间的数量关系，是三角形章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
9. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B + ∠ C = α$，按图进行翻折，使$B'D // C'G // BC$，$B'E // FG$，则$∠ C'FE$的度数是
2α - 180°
.(用含$α$的式子表示)答案
$2α - 180°$
【点拨】设$∠ADB' = γ$, $∠AGC' = β$, $∠CEB' = y$, $∠C'FE = x$. 因为 $B'D // C'G // BC$,所以易得$γ+β=∠B+ ∠C= α$. 因为 $EB' // FG$,所以$∠CFG=∠CEB'=y$.所以易得$x+2y=180°$.①
因为$γ+ y=180°-∠BDB'+180°-∠BEB'=360°-∠BDB'-∠BEB',∠B+∠B'=360°-∠BDB'-∠BEB',∠B=∠B'$,所以$γ+ y=2∠B$. 同理$β+ x=2∠C$.
所以$γ+y+β+x=2α$.所以$x+y=α$.②
结合①②可得$x=2α-180°$,所以$∠C'FE=2α-180°$.
【点拨】设$∠ADB' = γ$, $∠AGC' = β$, $∠CEB' = y$, $∠C'FE = x$. 因为 $B'D // C'G // BC$,所以易得$γ+β=∠B+ ∠C= α$. 因为 $EB' // FG$,所以$∠CFG=∠CEB'=y$.所以易得$x+2y=180°$.①
因为$γ+ y=180°-∠BDB'+180°-∠BEB'=360°-∠BDB'-∠BEB',∠B+∠B'=360°-∠BDB'-∠BEB',∠B=∠B'$,所以$γ+ y=2∠B$. 同理$β+ x=2∠C$.
所以$γ+y+β+x=2α$.所以$x+y=α$.②
结合①②可得$x=2α-180°$,所以$∠C'FE=2α-180°$.
解析
【分析】
解决这道题首先要抓住两个核心考点：一是翻折的性质，翻折前后对应角相等；二是平行线的性质，两直线平行可推导同位角、平角相关的等量关系。解题时可先设未知数表示各个相关角，再利用平行线的性质推导角的初步关系，结合翻折前后角相等的性质列出待求角的相关等式，最后联立等式求解即可得到结果。
【解析】
设$∠ADB' = γ$, $∠AGC' = β$, $∠CEB' = y$, $∠C'FE = x$。
1. 利用平行线性质推导等量关系：
因为$B'D // C'G // BC$，根据两直线平行同位角相等，可得$γ=∠B$，$β=∠C$，因此$γ+β=∠B+∠C=α$。
又因为$EB' // FG$，同理可得$∠CFG=∠CEB'=y$，结合平角为$180{°}$，可得$x+2y=180°$ ①。
2. 结合翻折性质推导角的关系：
由翻折性质可知$∠B=∠B'$，在四边形$BD EB'$中内角和为$360{°}$，即$∠B + ∠B' + ∠BDB' + ∠BEB' = 360°$，其中$∠BDB' = 180°-γ$，$∠BEB' = 180°-y$，代入化简可得$γ+ y=2∠B$。
同理可推导得$β+ x=2∠C$。
将上述两式相加得$γ+y+β+x=2(∠B+∠C)=2α$，代入$γ+β=α$，化简可得$x+y=α$ ②。
3. 联立等式求解：
将②变形为$y=α-x$代入①，得$x+2(α-x)=180°$，解得$x=2α-180°$。
【答案】
$2α - 180°$
【知识点】
翻折的性质、平行线的性质、角的运算
【点评】
本题是几何综合题，结合了翻折变换和平行线性质两个考点，解题的关键是合理设元，通过几何性质梳理角之间的等量关系，联立方程求解，能有效锻炼逻辑推理和等量代换能力。
【难度系数】
0.4
解决这道题首先要抓住两个核心考点：一是翻折的性质，翻折前后对应角相等；二是平行线的性质，两直线平行可推导同位角、平角相关的等量关系。解题时可先设未知数表示各个相关角，再利用平行线的性质推导角的初步关系，结合翻折前后角相等的性质列出待求角的相关等式，最后联立等式求解即可得到结果。
【解析】
设$∠ADB' = γ$, $∠AGC' = β$, $∠CEB' = y$, $∠C'FE = x$。
1. 利用平行线性质推导等量关系：
因为$B'D // C'G // BC$，根据两直线平行同位角相等，可得$γ=∠B$，$β=∠C$，因此$γ+β=∠B+∠C=α$。
又因为$EB' // FG$，同理可得$∠CFG=∠CEB'=y$，结合平角为$180{°}$，可得$x+2y=180°$ ①。
2. 结合翻折性质推导角的关系：
由翻折性质可知$∠B=∠B'$，在四边形$BD EB'$中内角和为$360{°}$，即$∠B + ∠B' + ∠BDB' + ∠BEB' = 360°$，其中$∠BDB' = 180°-γ$，$∠BEB' = 180°-y$，代入化简可得$γ+ y=2∠B$。
同理可推导得$β+ x=2∠C$。
将上述两式相加得$γ+y+β+x=2(∠B+∠C)=2α$，代入$γ+β=α$，化简可得$x+y=α$ ②。
3. 联立等式求解：
将②变形为$y=α-x$代入①，得$x+2(α-x)=180°$，解得$x=2α-180°$。
【答案】
$2α - 180°$
【知识点】
翻折的性质、平行线的性质、角的运算
【点评】
本题是几何综合题，结合了翻折变换和平行线性质两个考点，解题的关键是合理设元，通过几何性质梳理角之间的等量关系，联立方程求解，能有效锻炼逻辑推理和等量代换能力。
【难度系数】
0.4
10. ★★ 如图,在$△ ABC$中,$AE_1$,$BE_1$分别是内角$∠ CAB$、外角$∠ CBD$的三等分线,且$∠ E_1AD=\frac{1}{3}∠ CAB$,$∠ E_1BD=\frac{1}{3}∠ CBD$;在$△ ABE_1$中,$AE_2$,$BE_2$分别是内角$∠ E_1AB$、外角$∠ E_1BD$的三等分线,且$∠ E_2AD=\frac{1}{3}∠ E_1AB$,$∠ E_2BD=\frac{1}{3}∠ E_1BD$;…以此规律作下去.若$∠ C=m°$.则$∠ E_n=$
$(\frac{1}{3^n}m)°$
. 答案
$(\frac{1}{3^n}m)°$
【点拨】
∵$∠E_1AD=\frac{1}{3}∠CAB,∠E_1BD=\frac{1}{3}∠CBD$,
∴设$∠E_1AD=α,∠E_1BD=β$,则$∠CAB=3α,∠CBD=3β$. 由三角形的外角的性质得$β=α+∠E_1$,$3β= 3α +∠C$,
∴$∠E_1= \frac{1}{3}∠C$. 同理可求$∠E_2=\frac{1}{3}∠E_1$,
∴$∠E_2= (\frac{1}{3})^2∠C$.…
∴$∠E_n= (\frac{1}{3})^n∠C$,即$∠E_n= (\frac{1}{3^n}m)°$.
【点拨】
∵$∠E_1AD=\frac{1}{3}∠CAB,∠E_1BD=\frac{1}{3}∠CBD$,
∴设$∠E_1AD=α,∠E_1BD=β$,则$∠CAB=3α,∠CBD=3β$. 由三角形的外角的性质得$β=α+∠E_1$,$3β= 3α +∠C$,
∴$∠E_1= \frac{1}{3}∠C$. 同理可求$∠E_2=\frac{1}{3}∠E_1$,
∴$∠E_2= (\frac{1}{3})^2∠C$.…
∴$∠E_n= (\frac{1}{3})^n∠C$,即$∠E_n= (\frac{1}{3^n}m)°$.
解析
【分析】
解决这道题我们可以从特殊情况入手，先推导∠E₁与∠C的关系，再推导∠E₂与∠E₁的关系，以此类推找到普遍规律。首先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。结合题目给出的三等分线的角度关系，通过设未知数表示出相关角的度数，利用外角性质建立等式，消去公共项即可得到相邻两个角的数量关系，最后归纳出∠Eₙ的表达式。
【解析】
解：设∠E₁AD=α，∠E₁BD=β，
根据三等分线的定义可得：∠CAB=3α，∠CBD=3β。
∵∠E₁BD是△ABE₁的外角，根据三角形外角性质：
∴β = α + ∠E₁ ①
∵∠CBD是△ABC的外角，根据三角形外角性质：
∴3β = 3α + ∠C ②
把②式两边同时除以3得：β = α + $\frac{1}{3}$∠C，代入①式可得：
∠E₁ = $\frac{1}{3}$∠C = $\frac{1}{3}$m°。
同理，在△ABE₂中，可得∠E₂ = $\frac{1}{3}$∠E₁ = $(\frac{1}{3})^2$m°。
按照这个规律递推可得：∠Eₙ = $(\frac{1}{3})^n$∠C = $(\frac{1}{3^n}m)°$。
【答案】
$(\dfrac{1}{3^n}m)°$
【知识点】
三角形外角的性质，角的三等分线，规律探究
【点评】
本题属于规律探究类几何题，核心是利用三角形外角的性质建立角的等量关系，推导得到相邻所求角的倍数关系，再归纳出一般结论，考察了从特殊到一般的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解决这道题我们可以从特殊情况入手，先推导∠E₁与∠C的关系，再推导∠E₂与∠E₁的关系，以此类推找到普遍规律。首先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。结合题目给出的三等分线的角度关系，通过设未知数表示出相关角的度数，利用外角性质建立等式，消去公共项即可得到相邻两个角的数量关系，最后归纳出∠Eₙ的表达式。
【解析】
解：设∠E₁AD=α，∠E₁BD=β，
根据三等分线的定义可得：∠CAB=3α，∠CBD=3β。
∵∠E₁BD是△ABE₁的外角，根据三角形外角性质：
∴β = α + ∠E₁ ①
∵∠CBD是△ABC的外角，根据三角形外角性质：
∴3β = 3α + ∠C ②
把②式两边同时除以3得：β = α + $\frac{1}{3}$∠C，代入①式可得：
∠E₁ = $\frac{1}{3}$∠C = $\frac{1}{3}$m°。
同理，在△ABE₂中，可得∠E₂ = $\frac{1}{3}$∠E₁ = $(\frac{1}{3})^2$m°。
按照这个规律递推可得：∠Eₙ = $(\frac{1}{3})^n$∠C = $(\frac{1}{3^n}m)°$。
【答案】
$(\dfrac{1}{3^n}m)°$
【知识点】
三角形外角的性质，角的三等分线，规律探究
【点评】
本题属于规律探究类几何题，核心是利用三角形外角的性质建立角的等量关系，推导得到相邻所求角的倍数关系，再归纳出一般结论，考察了从特殊到一般的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共46分)
11.(12分)如图,在$△ ABC$中,$AB＞AC$,$AD$是角平分线,$AE$是高,$AE=CE$,$∠ DAE=10°$,求$∠ CAE$和$∠ B$的度数.
11.(12分)如图,在$△ ABC$中,$AB＞AC$,$AD$是角平分线,$AE$是高,$AE=CE$,$∠ DAE=10°$,求$∠ CAE$和$∠ B$的度数.
答案
【解】因为 AE 是高,所以$∠AEC=90°$.
因为$AE=CE$,所以$∠C=∠CAE=45°$.
因为$∠DAE=10°$,所以$∠CAD=∠CAE+∠DAE=45°+10°=55°$.
因为 AD 是角平分线,所以$∠BAC=2∠CAD=110°$.
因为$∠BAC+∠B+∠C=180°$,
所以$∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-110°-45°=25°$.
因为$AE=CE$,所以$∠C=∠CAE=45°$.
因为$∠DAE=10°$,所以$∠CAD=∠CAE+∠DAE=45°+10°=55°$.
因为 AD 是角平分线,所以$∠BAC=2∠CAD=110°$.
因为$∠BAC+∠B+∠C=180°$,
所以$∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-110°-45°=25°$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件AE是高且AE=CE入手，首先可判断△AEC是等腰直角三角形，直接得出∠CAE和∠C的度数；接下来结合∠DAE的度数求出∠CAD的度数，再利用AD是角平分线的性质求出△ABC的顶角∠BAC的度数；最后根据三角形内角和为180°，代入已知的∠BAC和∠C的度数，就能计算出∠B的度数。
【解析】
解：
∵AE是高，
∴∠AEC=90°，
又
∵AE=CE，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴∠C=∠CAE=45°。
∵∠DAE=10°，
∴∠CAD=∠CAE + ∠DAE = 45° + 10° = 55°。
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAC=2∠CAD=2×55°=110°。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，
∴∠B=180° - ∠BAC - ∠C = 180° - 110° - 45° = 25°。
【答案】
∠CAE=45°，∠B=25°
【知识点】
等腰直角三角形的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形角度计算的综合基础题，将高、角平分线的性质与等腰三角形、三角形内角和定理结合考查，解题的关键是先通过等腰直角三角形确定∠C和∠CAE的度数，再逐步推导其余角的数值，逻辑链条清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件AE是高且AE=CE入手，首先可判断△AEC是等腰直角三角形，直接得出∠CAE和∠C的度数；接下来结合∠DAE的度数求出∠CAD的度数，再利用AD是角平分线的性质求出△ABC的顶角∠BAC的度数；最后根据三角形内角和为180°，代入已知的∠BAC和∠C的度数，就能计算出∠B的度数。
【解析】
解：
∵AE是高，
∴∠AEC=90°，
又
∵AE=CE，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴∠C=∠CAE=45°。
∵∠DAE=10°，
∴∠CAD=∠CAE + ∠DAE = 45° + 10° = 55°。
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAC=2∠CAD=2×55°=110°。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，
∴∠B=180° - ∠BAC - ∠C = 180° - 110° - 45° = 25°。
【答案】
∠CAE=45°，∠B=25°
【知识点】
等腰直角三角形的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形角度计算的综合基础题，将高、角平分线的性质与等腰三角形、三角形内角和定理结合考查，解题的关键是先通过等腰直角三角形确定∠C和∠CAE的度数，再逐步推导其余角的数值，逻辑链条清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
