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4. :: 直线 $ l $ 与 $ △ ABC $ 的边 $ AC, AB $ 分别相交于点 $ D, E $（都不与点 $ A $ 重合）。
(1) 如图①，若 $ ∠ A = 64° $，直线 $ m $ 与边 $ AB, AC $ 相交得到 $ ∠ 3 $ 和 $ ∠ 4 $，则 $ ∠ 1 + ∠ 2 = $
(2) 如图②，$ EO, DO $ 分别平分 $ ∠ BED $ 和 $ ∠ CDE $，写出 $ ∠ EOD $ 和 $ ∠ A $ 的数量关系，并说明理由。
(1) 如图①，若 $ ∠ A = 64° $，直线 $ m $ 与边 $ AB, AC $ 相交得到 $ ∠ 3 $ 和 $ ∠ 4 $，则 $ ∠ 1 + ∠ 2 = $
244°
，$ ∠ 3 + ∠ 4 = $ 244°
；(2) 如图②，$ EO, DO $ 分别平分 $ ∠ BED $ 和 $ ∠ CDE $，写出 $ ∠ EOD $ 和 $ ∠ A $ 的数量关系，并说明理由。
答案
(1) 244°；244° 【点拨】
∵∠1=∠A+∠ADE，∠2=∠A+∠AED，
∴∠1+∠2=∠A+∠ADE+∠AED+∠A.
∵∠A+∠ADE+∠AED=180°,∠A=64°,
∴∠1+∠2=∠A+180°=64°+180°=244°.同理可得∠3+∠4=244°.
(2)$∠EOD=90°-\frac{1}{2}∠A$,理由如下:易得∠BED+∠CDE=180°+∠A.
∵EO, DO分别平分∠BED和∠CDE,
∴$∠OED= \frac{1}{2} ∠BED$, $∠EDO = \frac{1}{2} ∠CDE$,
∴$∠OED+∠EDO=\frac{1}{2}(∠BED+∠CDE)=\frac{1}{2}(180°+∠A)=90°+\frac{1}{2}∠A$,
∴$∠EOD=180°-(∠OED+∠EDO)=180°-(90°+\frac{1}{2}∠A)=90°-\frac{1}{2}∠A$.
∵∠1=∠A+∠ADE，∠2=∠A+∠AED，
∴∠1+∠2=∠A+∠ADE+∠AED+∠A.
∵∠A+∠ADE+∠AED=180°,∠A=64°,
∴∠1+∠2=∠A+180°=64°+180°=244°.同理可得∠3+∠4=244°.
(2)$∠EOD=90°-\frac{1}{2}∠A$,理由如下:易得∠BED+∠CDE=180°+∠A.
∵EO, DO分别平分∠BED和∠CDE,
∴$∠OED= \frac{1}{2} ∠BED$, $∠EDO = \frac{1}{2} ∠CDE$,
∴$∠OED+∠EDO=\frac{1}{2}(∠BED+∠CDE)=\frac{1}{2}(180°+∠A)=90°+\frac{1}{2}∠A$,
∴$∠EOD=180°-(∠OED+∠EDO)=180°-(90°+\frac{1}{2}∠A)=90°-\frac{1}{2}∠A$.
解析
【分析】
(1) 求解∠1+∠2时，可利用三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，将∠1、∠2拆分为含△ADE内角的形式，再结合三角形内角和为180°即可计算结果；∠3+∠4的推导思路与∠1+∠2一致。
(2) 先类比第一问的推导思路，找到∠BED+∠CDE与∠A的数量关系，再结合角平分线的定义得到△EOD中两个底角的和，最后利用三角形内角和定理即可推出∠EOD与∠A的关系。
【解析】
(1)
∵∠1是△ADE的外角，
∴∠1=∠A+∠ADE，同理∠2=∠A+∠AED，
∴∠1+∠2=∠A+∠ADE+∠AED+∠A，
∵在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°，且已知∠A=64°，
∴∠1+∠2=180°+64°=244°。
同理可推导∠3、∠4的和，得∠3+∠4=180°+∠A=244°。
(2) $\boldsymbol{∠EOD=90°-\frac{1}{2}∠A}$，理由如下：
由邻补角性质可得：∠BED=180°-∠AED，∠CDE=180°-∠ADE，
∴∠BED+∠CDE=360°-(∠AED+∠ADE)，
在△ADE中，∠AED+∠ADE=180°-∠A，代入上式得：
∠BED+∠CDE=360°-(180°-∠A)=180°+∠A，
∵EO平分∠BED，DO平分∠CDE，
∴$∠OED=\frac{1}{2}∠BED$，$∠EDO=\frac{1}{2}∠CDE$，
∴$∠OED+∠EDO=\frac{1}{2}(∠BED+∠CDE)=\frac{1}{2}(180°+∠A)=90°+\frac{1}{2}∠A$，
在△EOD中，由内角和定理得：
$∠EOD=180°-(∠OED+∠EDO)=180°-(90°+\frac{1}{2}∠A)=90°-\frac{1}{2}∠A$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{244°}$；$\boldsymbol{244°}$
(2) $\boldsymbol{∠EOD=90°-\frac{1}{2}∠A}$
【知识点】
三角形内角和定理、三角形外角性质、角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，核心考查角度转化的逻辑能力，解题的关键是熟练运用三角形内角和、外角性质建立已知角和未知角的联系，掌握这类倒角方法是解决复杂几何角度问题的基础。
【难度系数】
0.7
(1) 求解∠1+∠2时，可利用三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，将∠1、∠2拆分为含△ADE内角的形式，再结合三角形内角和为180°即可计算结果；∠3+∠4的推导思路与∠1+∠2一致。
(2) 先类比第一问的推导思路，找到∠BED+∠CDE与∠A的数量关系，再结合角平分线的定义得到△EOD中两个底角的和，最后利用三角形内角和定理即可推出∠EOD与∠A的关系。
【解析】
(1)
∵∠1是△ADE的外角，
∴∠1=∠A+∠ADE，同理∠2=∠A+∠AED，
∴∠1+∠2=∠A+∠ADE+∠AED+∠A，
∵在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°，且已知∠A=64°，
∴∠1+∠2=180°+64°=244°。
同理可推导∠3、∠4的和，得∠3+∠4=180°+∠A=244°。
(2) $\boldsymbol{∠EOD=90°-\frac{1}{2}∠A}$，理由如下：
由邻补角性质可得：∠BED=180°-∠AED，∠CDE=180°-∠ADE，
∴∠BED+∠CDE=360°-(∠AED+∠ADE)，
在△ADE中，∠AED+∠ADE=180°-∠A，代入上式得：
∠BED+∠CDE=360°-(180°-∠A)=180°+∠A，
∵EO平分∠BED，DO平分∠CDE，
∴$∠OED=\frac{1}{2}∠BED$，$∠EDO=\frac{1}{2}∠CDE$，
∴$∠OED+∠EDO=\frac{1}{2}(∠BED+∠CDE)=\frac{1}{2}(180°+∠A)=90°+\frac{1}{2}∠A$，
在△EOD中，由内角和定理得：
$∠EOD=180°-(∠OED+∠EDO)=180°-(90°+\frac{1}{2}∠A)=90°-\frac{1}{2}∠A$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{244°}$；$\boldsymbol{244°}$
(2) $\boldsymbol{∠EOD=90°-\frac{1}{2}∠A}$
【知识点】
三角形内角和定理、三角形外角性质、角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，核心考查角度转化的逻辑能力，解题的关键是熟练运用三角形内角和、外角性质建立已知角和未知角的联系，掌握这类倒角方法是解决复杂几何角度问题的基础。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在△ABC中,∠A=52°,∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点D₁,∠ABD₁的平分线与∠ACD₁的平分线交于点D₂,…,依次类推,则∠BD₄C的度数是
60°
。答案
60° 【点拨】
∵∠A=52°,∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点D₁,
∴∠ABC+∠ACB=128°,∠CBD₁=∠ABD₁=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠BCD₁=∠ACD₁=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠CBD₁+∠BCD₁=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=64°=∠ABD₁+∠ACD₁.
∴∠D₁=116°.
∵∠ABD₁的平分线与∠ACD₁的平分线交于点D₂,
∴∠D₂BD₁+∠D₂CD₁=$\frac{1}{2}$(∠ABD₁+∠ACD₁ ) = 32°.
∴∠CBD₂+∠BCD₂=∠D₁BD₂+∠D₁BC+∠D₂CD₁+∠D₁CB=96°.
∴∠D₂=84°.同理可得∠D₃=68°,∠D₄=60°.
∵∠A=52°,∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点D₁,
∴∠ABC+∠ACB=128°,∠CBD₁=∠ABD₁=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠BCD₁=∠ACD₁=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠CBD₁+∠BCD₁=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=64°=∠ABD₁+∠ACD₁.
∴∠D₁=116°.
∵∠ABD₁的平分线与∠ACD₁的平分线交于点D₂,
∴∠D₂BD₁+∠D₂CD₁=$\frac{1}{2}$(∠ABD₁+∠ACD₁ ) = 32°.
∴∠CBD₂+∠BCD₂=∠D₁BD₂+∠D₁BC+∠D₂CD₁+∠D₁CB=96°.
∴∠D₂=84°.同理可得∠D₃=68°,∠D₄=60°.
解析
【分析】
解决这类多次作角平分线求角度的问题，首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC与∠ACB的度数和；再结合角平分线的定义，依次推导每次新增交点对应的∠DₙBC与∠DₙCB的度数和，最后再次利用三角形内角和求出对应∠BDₙC的度数，也可以通过前几次计算的结果总结角度变化规律，代入n=4快速得到答案。
【解析】
解：在△ABC中，∠A=52°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-52°=128°$
①求$∠ BD_1C$：
∵$BD_1$平分$∠ ABC$，$CD_1$平分$∠ ACB$
∴$∠ CBD_1=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ BCD_1=\frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ CBD_1+∠ BCD_1=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×128°=64°$
∴$∠ BD_1C=180°-(∠ CBD_1+∠ BCD_1)=180°-64°=116°$
②求$∠ BD_2C$：
∵$BD_2$平分$∠ ABD_1$，$CD_2$平分$∠ ACD_1$
∴$∠ D_2BD_1=\frac{1}{2}∠ ABD_1$，$∠ D_2CD_1=\frac{1}{2}∠ ACD_1$
又
∵$∠ ABD_1+∠ ACD_1=∠ CBD_1+∠ BCD_1=64°$
∴$∠ D_2BD_1+∠ D_2CD_1=\frac{1}{2}×64°=32°$
∴$∠ CBD_2+∠ BCD_2=64°+32°=96°$
∴$∠ BD_2C=180°-96°=84°$
③同理推导可得：
$∠ BD_3C=180°-(96°+16°)=68°$
$∠ BD_4C=180°-(112°+8°)=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；规律探究
【点评】
本题属于三角形倒角的规律探究题，核心是结合角平分线的性质和三角形内角和定理进行角度推导，解题时可通过归纳角度变化规律简化计算，锻炼逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.6
解决这类多次作角平分线求角度的问题，首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC与∠ACB的度数和；再结合角平分线的定义，依次推导每次新增交点对应的∠DₙBC与∠DₙCB的度数和，最后再次利用三角形内角和求出对应∠BDₙC的度数，也可以通过前几次计算的结果总结角度变化规律，代入n=4快速得到答案。
【解析】
解：在△ABC中，∠A=52°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-52°=128°$
①求$∠ BD_1C$：
∵$BD_1$平分$∠ ABC$，$CD_1$平分$∠ ACB$
∴$∠ CBD_1=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ BCD_1=\frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ CBD_1+∠ BCD_1=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×128°=64°$
∴$∠ BD_1C=180°-(∠ CBD_1+∠ BCD_1)=180°-64°=116°$
②求$∠ BD_2C$：
∵$BD_2$平分$∠ ABD_1$，$CD_2$平分$∠ ACD_1$
∴$∠ D_2BD_1=\frac{1}{2}∠ ABD_1$，$∠ D_2CD_1=\frac{1}{2}∠ ACD_1$
又
∵$∠ ABD_1+∠ ACD_1=∠ CBD_1+∠ BCD_1=64°$
∴$∠ D_2BD_1+∠ D_2CD_1=\frac{1}{2}×64°=32°$
∴$∠ CBD_2+∠ BCD_2=64°+32°=96°$
∴$∠ BD_2C=180°-96°=84°$
③同理推导可得：
$∠ BD_3C=180°-(96°+16°)=68°$
$∠ BD_4C=180°-(112°+8°)=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；规律探究
【点评】
本题属于三角形倒角的规律探究题，核心是结合角平分线的性质和三角形内角和定理进行角度推导，解题时可通过归纳角度变化规律简化计算，锻炼逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.6
6. 如图,在△ABC中,点D在边BA的延长线上,∠ABC的平分线与∠DAC的平分线相交于点M,若∠BAC=80°,∠C=60°,则∠M的大小为（
A.20°
B.25°
C.30°
D.35°
C
）A.20°
B.25°
C.30°
D.35°
答案
C 【点拨】
∵∠BAC=80°,∠C=60°,
∴∠ABC=40°.
∵∠ABC的平分线与∠DAC的平分线相交于点M，
∴∠ABM=20°,∠CAM=$\frac{1}{2}×(180°-80°)=50°$.
∴∠M=180°-20°-50°-80°=30°. 故选C.
∵∠BAC=80°,∠C=60°,
∴∠ABC=40°.
∵∠ABC的平分线与∠DAC的平分线相交于点M，
∴∠ABM=20°,∠CAM=$\frac{1}{2}×(180°-80°)=50°$.
∴∠M=180°-20°-50°-80°=30°. 故选C.
解析
【分析】
解题时首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC的度数，再根据角平分线的定义分别求出∠ABM与∠CAM的度数，最后结合三角形内角和定理即可求出∠M的大小。
【解析】
在△ABC中，∠BAC=80°，∠C=60°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC=180°-∠ BAC-∠ C=180°-80°-60°=40°$
∵BM是∠ABC的平分线，
∴$∠ ABM=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×40°=20°$
∵点D在BA的延长线上，
∴∠DAC与∠BAC互为邻补角，即$∠ DAC=180°-∠ BAC=180°-80°=100°$
∵AM是∠DAC的平分线，
∴$∠ CAM=\frac{1}{2}∠ DAC=\frac{1}{2}×100°=50°$
在△ABM中，$∠ BAM=∠ BAC+∠ CAM=80°+50°=130°$
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ M=180°-∠ ABM-∠ BAM=180°-20°-130°=30°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理、角平分线的定义、邻补角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，重点考查对三角形内角和与角平分线性质的应用能力，解题时需理清各角之间的数量关系，避免角度计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC的度数，再根据角平分线的定义分别求出∠ABM与∠CAM的度数，最后结合三角形内角和定理即可求出∠M的大小。
【解析】
在△ABC中，∠BAC=80°，∠C=60°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC=180°-∠ BAC-∠ C=180°-80°-60°=40°$
∵BM是∠ABC的平分线，
∴$∠ ABM=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×40°=20°$
∵点D在BA的延长线上，
∴∠DAC与∠BAC互为邻补角，即$∠ DAC=180°-∠ BAC=180°-80°=100°$
∵AM是∠DAC的平分线，
∴$∠ CAM=\frac{1}{2}∠ DAC=\frac{1}{2}×100°=50°$
在△ABM中，$∠ BAM=∠ BAC+∠ CAM=80°+50°=130°$
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ M=180°-∠ ABM-∠ BAM=180°-20°-130°=30°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理、角平分线的定义、邻补角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，重点考查对三角形内角和与角平分线性质的应用能力，解题时需理清各角之间的数量关系，避免角度计算错误。
【难度系数】
0.7
7. 在∠MAN中，点B,C分别是AM,AN上一点，∠ABC的平分线和∠ACB的平分线交于点P.
(1)如图①,若∠MAN=90°,求∠P的度数;
(2)如图②,若∠A=$\frac{2}{3}$∠P,求∠A的度数;
(3)如图③,∠CBM的平分线和∠BCN的平分线交于点Q,直接写出∠P和∠Q之间的数量关系,不需要证明.
(1)如图①,若∠MAN=90°,求∠P的度数;
(2)如图②,若∠A=$\frac{2}{3}$∠P,求∠A的度数;
(3)如图③,∠CBM的平分线和∠BCN的平分线交于点Q,直接写出∠P和∠Q之间的数量关系,不需要证明.
答案
(1)【解】
∵∠MAN=90°,
∴∠ABC+∠ACB=90°.
∵∠ABC的平分线和∠ACB的平分线交于点P，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠P=180°-(∠CBP + ∠BCP ) = 180° - $\frac{1}{2}$ (∠ABC + ∠ACB)=135°.
(2)
∵∠ABC的平分线和∠ACB的平分线交于点P，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠P=180°-(∠CBP + ∠BCP ) = 180° - $\frac{1}{2}$ (∠ABC + ∠ACB) = 180° - $\frac{1}{2}(180°-∠A ) = 90° + \frac{1}{2}∠A$.
∵∠A=$\frac{2}{3}$∠P,
∴∠P=90°+$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}∠P$,解得∠P=135°,
∴∠A=90°.
(3)$∠P+∠Q=180°$. 【点拨】
∵∠ABC的平分线和∠ACB的平分线交于点P，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∵∠CBM的平分线和∠BCN的平分线交于点Q，
∴∠CBQ=$\frac{1}{2}$∠CBM，∠BCQ=$\frac{1}{2}$∠BCN.
∵∠ABC+∠CBM=∠ACB+∠BCN=180°,
∴∠PBQ = ∠PBC+ ∠CBQ= 90°. 同理：∠PCQ=90°,
∴∠P+∠Q=360°-90°×2=180°.
∵∠MAN=90°,
∴∠ABC+∠ACB=90°.
∵∠ABC的平分线和∠ACB的平分线交于点P，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠P=180°-(∠CBP + ∠BCP ) = 180° - $\frac{1}{2}$ (∠ABC + ∠ACB)=135°.
(2)
∵∠ABC的平分线和∠ACB的平分线交于点P，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠P=180°-(∠CBP + ∠BCP ) = 180° - $\frac{1}{2}$ (∠ABC + ∠ACB) = 180° - $\frac{1}{2}(180°-∠A ) = 90° + \frac{1}{2}∠A$.
∵∠A=$\frac{2}{3}$∠P,
∴∠P=90°+$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}∠P$,解得∠P=135°,
∴∠A=90°.
(3)$∠P+∠Q=180°$. 【点拨】
∵∠ABC的平分线和∠ACB的平分线交于点P，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∵∠CBM的平分线和∠BCN的平分线交于点Q，
∴∠CBQ=$\frac{1}{2}$∠CBM，∠BCQ=$\frac{1}{2}$∠BCN.
∵∠ABC+∠CBM=∠ACB+∠BCN=180°,
∴∠PBQ = ∠PBC+ ∠CBQ= 90°. 同理：∠PCQ=90°,
∴∠P+∠Q=360°-90°×2=180°.
解析
【分析】
(1) 先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC+∠ACB的度数，再结合角平分线的定义得到△PBC中两个底角的和，最后用三角形内角和定理计算∠P的度数。
(2) 先推导∠P与∠A的通用关系：用三角形内角和把∠ABC+∠ACB替换为180°-∠A，结合角平分线性质整理得到∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A，再代入题目给出的∠A=$\frac{2}{3}$∠P的等量关系，解方程求出∠A。
(3) PB、QB分别是∠ABC和它的邻补角∠CBM的角平分线，可得∠PBQ=90°，同理∠PCQ=90°，再根据四边形内角和为360°，即可推出∠P和∠Q的数量关系。
【解析】
(1)
∵∠MAN=90°，
∴在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠MAN=90°。
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴在△PBC中，∠P=180°-(∠CBP + ∠BCP ) = 180° - $\frac{1}{2}$ (∠ABC + ∠ACB)=180°-$\frac{1}{2}$×90°=135°。
(2)
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠P=180°-(∠CBP + ∠BCP ) = 180° - $\frac{1}{2}$ (∠ABC + ∠ACB)
又
∵在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠P=180° - $\frac{1}{2}(180°-∠A ) = 90° + \frac{1}{2}∠A$。
∵∠A=$\frac{2}{3}$∠P，
∴将∠A=$\frac{2}{3}$∠P代入上式得：∠P=90°+$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}∠P$，
解得∠P=135°，
∴∠A=$\frac{2}{3}$×135°=90°。
(3)
∵BP平分∠ABC，BQ平分∠CBM，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠QBC=$\frac{1}{2}$∠CBM，
又
∵∠ABC+∠CBM=180°，
∴∠PBQ=∠PBC+∠QBC=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠CBM)=90°，
同理可得∠PCQ=90°，
在四边形PBQC中，∠P+∠Q+∠PBQ+∠PCQ=360°，
∴∠P+∠Q=360°-90°-90°=180°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{135°}$
(2) $\boldsymbol{90°}$
(3) $\boldsymbol{∠P+∠Q=180°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，四边形内角和定理
【点评】
本题围绕三角形中与角平分线相关的角度计算展开，核心是利用角平分线的性质对角进行等量拆分，再结合三角形、四边形的内角和定理推导角度关系，熟练掌握双内角平分线夹角、内外角平分线夹角的相关模型，可提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
(1) 先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC+∠ACB的度数，再结合角平分线的定义得到△PBC中两个底角的和，最后用三角形内角和定理计算∠P的度数。
(2) 先推导∠P与∠A的通用关系：用三角形内角和把∠ABC+∠ACB替换为180°-∠A，结合角平分线性质整理得到∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A，再代入题目给出的∠A=$\frac{2}{3}$∠P的等量关系，解方程求出∠A。
(3) PB、QB分别是∠ABC和它的邻补角∠CBM的角平分线，可得∠PBQ=90°，同理∠PCQ=90°，再根据四边形内角和为360°，即可推出∠P和∠Q的数量关系。
【解析】
(1)
∵∠MAN=90°，
∴在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠MAN=90°。
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴在△PBC中，∠P=180°-(∠CBP + ∠BCP ) = 180° - $\frac{1}{2}$ (∠ABC + ∠ACB)=180°-$\frac{1}{2}$×90°=135°。
(2)
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠P=180°-(∠CBP + ∠BCP ) = 180° - $\frac{1}{2}$ (∠ABC + ∠ACB)
又
∵在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠P=180° - $\frac{1}{2}(180°-∠A ) = 90° + \frac{1}{2}∠A$。
∵∠A=$\frac{2}{3}$∠P，
∴将∠A=$\frac{2}{3}$∠P代入上式得：∠P=90°+$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}∠P$，
解得∠P=135°，
∴∠A=$\frac{2}{3}$×135°=90°。
(3)
∵BP平分∠ABC，BQ平分∠CBM，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠QBC=$\frac{1}{2}$∠CBM，
又
∵∠ABC+∠CBM=180°，
∴∠PBQ=∠PBC+∠QBC=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠CBM)=90°，
同理可得∠PCQ=90°，
在四边形PBQC中，∠P+∠Q+∠PBQ+∠PCQ=360°，
∴∠P+∠Q=360°-90°-90°=180°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{135°}$
(2) $\boldsymbol{90°}$
(3) $\boldsymbol{∠P+∠Q=180°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，四边形内角和定理
【点评】
本题围绕三角形中与角平分线相关的角度计算展开，核心是利用角平分线的性质对角进行等量拆分，再结合三角形、四边形的内角和定理推导角度关系，熟练掌握双内角平分线夹角、内外角平分线夹角的相关模型，可提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
