12. (16分) 如图,在△ABC中,AB＞AC,AD为BC边上的中线.
(1)S△ABD S△ACD;(填“＞”“＜”或“=”)
(2)若△ABD的周长比△ACD的周长多4,且AB+AC=14,求AB,AC的长;
(3)△ABC的周长为27,AB=9,BC边上的中线AD=6,△ACD的周长为19,求AC的长.

(1)=
(2)因为 AD 是 BC 边上的中线,所以 $BD=CD=\frac{1}{2} BC$.
因为△ABD 的周长比△ACD 的周长多 4,
即 $AB+BD+AD-(AC+CD+AD)=4$,
所以 $AB-AC=4$.
又因为 $AB+AC=14$,所以 $AB=9,AC=5$.
(3)由题意,得 $BC=27-9-AC=18-AC$,
所以 $CD=\frac{1}{2} BC=9-\frac{1}{2} AC$.
因为 $AD+CD+AC=6+9-\frac{1}{2} AC+AC=19$,
所以 $AC=8$.

【分析】
(1)判断两个三角形面积关系可结合三角形面积公式分析：△ABD和△ACD中，AD是BC中线可得BD=CD，且两三角形从A到BC的高为同一条高，底相等、高相同则面积相等。
(2)求AB、AC的长，先分析两个三角形周长的差：两个周长中BD=CD，AD为公共边，抵消后可得AB与AC的差，再联立已知的AB+AC=14即可求解。
(3)求AC的长，先根据△ABC的周长表示出BC的长度，再结合中线性质得到CD的表达式，最后代入△ACD的周长公式列方程求解即可。
【解析】
(1)
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD以BD、CD为底时，高均为点A到BC的垂线段长度，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，两三角形底相等、高相同，故面积相等。
(2)
∵AD是BC边上的中线，
∴$BD=CD=\frac{1}{2}BC$。
△ABD的周长为$AB+BD+AD$，△ACD的周长为$AC+CD+AD$，
由题意得：$AB+BD+AD-(AC+CD+AD)=4$，
抵消等长线段后得$AB-AC=4$，
又已知$AB+AC=14$，联立两式：
两式相加得$2AB=18$，解得$AB=9$，代入$AB+AC=14$得$AC=14-9=5$。
(3)
∵△ABC的周长为27，$AB=9$，
∴$AB+BC+AC=27$，即$BC=27-9-AC=18-AC$。
∵AD是BC边上的中线，
∴$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(18-AC)=9-\frac{1}{2}AC$。
已知△ACD周长为19，$AD=6$，
∴$AD+CD+AC=19$，
代入得：$6+9-\frac{1}{2}AC+AC=19$，
化简得$15+\frac{1}{2}AC=19$，解得$AC=8$。
【答案】
(1)=
(2)$AB=9$，$AC=5$
(3)$AC=8$
【知识点】
三角形中线的性质、三角形面积计算、三角形周长计算
【点评】
本题围绕三角形中线的性质展开，将中线的等长性质和三角形面积、周长计算结合考查，解题时可利用公共边、等长线段抵消简化计算，是三角形基础性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.8

13. (18分) 已知$△ ABC$中，$∠ ABC=∠ ACB$，D为线段CB上一点(不与C，B重合)，点E为射线CA上一点，$∠ ADE=∠ AED$，设$∠ BAD=α$，$∠ CDE=β$.
(1)如图①，当点E在AC上时.
① 若$∠ BAC = 42°$，$∠ DAE = 30°$，则$α =$ ，$β =$ ；
② 若$∠ BAC = 54°$，$∠ DAE = 36°$，则$α =$ ，$β =$ ；
③写出$α$与$β$的数量关系，并说明理由.
(2)如图②，当点E在CA的延长线上时，其他条件不变，则$α$与$β$有怎样的数量关系？

(1)①$12°$；$6°$
【点拨】
∵$∠DAE=30°$,
∴$∠ADE=∠AED=75°$.
∵$∠BAC=42°$,
∴$α=42°-30°=12°$,$∠B=∠ACB=\frac{180°-42°}{2}=69°$.
∵$∠ADC=∠B+α$,
∴$75°+β=69°+12°$,
∴$β=6°$. 故答案为$12°$；$6°$.
②$18°$；$9°$
【点拨】
∵$∠DAE=36°$,
∴$∠ADE=∠AED=72°$.
∵$∠BAC=54°$,
∴$α=54°-36°=18°$,$∠B=∠ACB=\frac{180°-54°}{2}=63°$.
∵$∠ADC=∠B+α$,
∴$72°+β=63°+18°$,
∴$β=9°$. 故答案为$18°$；$9°$.
③$α=2β$,理由：
设$∠BAC=x°,∠DAE=y°$,则$α=x°-y°$.
∵$∠ABC=∠ACB$,
∴$∠ABC=\frac{180°-x°}{2}$.
∵$∠ADE=∠AED$,
∴$∠ADE=\frac{180°-y°}{2}$.
∵$β+∠ADE = α + ∠ABC$,
∴$β + \frac{180°-y°}{2} = α + \frac{180°-x°}{2}$ ,
∴$α=2β$.
(2) 设$∠ADE=∠E=m°$,则$∠DAC=2m°$,
∴$∠BAC=∠BAD+∠DAC=α+2m°$,
∴$∠B=∠ACB=\frac{180°-α-2m°}{2}$.
∵$∠ADC=∠B+∠BAD$,
∴$β-m°=\frac{180°-α-2m°}{2} +α$,
∴$α=2β-180°$.

【分析】
解决这道题需结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质推导角度关系：
1. （1）的前两小问：先通过$∠BAD=∠BAC-∠DAE$直接算出$α$，再分别计算等腰$△ ABC$的底角$∠ B$、等腰$△ ADE$的底角$∠ ADE$，最后利用$∠ ADC$既是$△ ABD$的外角（等于$∠ B+α$），也等于$∠ ADE+β$，列等式算出$β$；
2. （1）的第三小问：设$∠ BAC$和$∠ DAE$的度数为参数，分别表示出$∠ B$、$∠ ADE$，代入角的等量关系消去参数，即可得到$α$和$β$的数量关系；
3. （2）中点E在CA延长线上，先重新梳理角的和差关系，同样设$∠ ADE=∠ AED$为参数，分别表示出$∠ C$、$∠ ADC$，再利用$∠ ADC$是$△ ABD$的外角列等式，消去参数推导$α$和$β$的关系。
【解析】
(1)① 已知$∠ BAC=42°$，$∠ DAE=30°$，因此$α=∠ BAC-∠ DAE=42°-30°=12°$。
在$△ ADE$中，$∠ ADE=∠ AED$，因此$∠ ADE=(180°-∠ DAE)÷2=(180°-30°)÷2=75°$；
在$△ ABC$中，$∠ ABC=∠ ACB$，因此$∠ B=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-42°)÷2=69°$。
因为$∠ ADC$是$△ ABD$的外角，所以$∠ ADC=∠ B+α=69°+12°=81°$，又$∠ ADC=∠ ADE+β$，因此$β=81°-75°=6°$。
② 已知$∠ BAC=54°$，$∠ DAE=36°$，因此$α=∠ BAC-∠ DAE=54°-36°=18°$。
在$△ ADE$中，$∠ ADE=(180°-36°)÷2=72°$；
在$△ ABC$中，$∠ B=(180°-54°)÷2=63°$。
同理，$∠ ADC=∠ B+α=63°+18°=81°$，因此$β=81°-72°=9°$。
③ 数量关系：$α=2β$，理由如下：
设$∠ BAC=x°$，$∠ DAE=y°$，则$α=x°-y°$。
因为$∠ ABC=∠ ACB$，所以$∠ ABC=\frac{180°-x°}{2}$；
因为$∠ ADE=∠ AED$，所以$∠ ADE=\frac{180°-y°}{2}$。
又因为$∠ ADC=∠ B+α=∠ ADE+β$，代入得：
$β+\frac{180°-y°}{2}=α+\frac{180°-x°}{2}$
化简得：$2β=2α-(x°-y°)=α$，即$α=2β$。
(2) 数量关系：$α=2β-180°$，推导如下：
设$∠ ADE=∠ AED=m°$，则在$△ ADE$中，$∠ DAE=180°-2m°$，因此$∠ DAC=180°-∠ DAE=2m°$，所以$∠ BAC=∠ BAD+∠ DAC=α+2m°$。
因为$∠ ABC=∠ ACB$，所以$∠ ACB=\frac{180°-α-2m°}{2}$。
观察图形得$∠ ADC=∠ CDE-∠ ADE=β-m°$，又$∠ ADC$是$△ ABD$的外角，因此$∠ ADC=∠ B+∠ BAD=∠ ACB+α$，代入得：
$β-m°=\frac{180°-α-2m°}{2}+α$
两边同乘2化简得：$2β=180°+α$，即$α=2β-180°$。
【答案】
(1)①$12°$；$6°$
②$18°$；$9°$
③$\boldsymbol{α=2β}$，理由见解析
(2)$\boldsymbol{α=2β-180°}$
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题从特殊值计算到一般关系推导，考察了等腰三角形性质和三角形内外角关系的应用，解题时需注意点E位置变化带来的角的和差关系改变，掌握参数法推导几何数量关系的思路是解题关键。
【难度系数】
0.6