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10 若$x+\frac{1}{x}=3$，则$\frac{x^2}{x^4 + x^2 +1}$的值是 （
A.$\frac{1}{8}$
B.$\frac{1}{10}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{4}$
A
）A.$\frac{1}{8}$
B.$\frac{1}{10}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
A
【解析】$\because x+\frac{1}{x}=3,\therefore (x+\frac{1}{x})^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2=9.$
$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}=7.\because \frac{x^4+x^2+1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}+1=8,$
$\therefore \frac{x^2}{x^4+x^2+1}=\frac{1}{8}.$
【解析】$\because x+\frac{1}{x}=3,\therefore (x+\frac{1}{x})^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2=9.$
$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}=7.\because \frac{x^4+x^2+1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}+1=8,$
$\therefore \frac{x^2}{x^4+x^2+1}=\frac{1}{8}.$
解析
【分析】
已知条件给出$x+\frac{1}{x}=3$，若直接求解$x$的值再代入所求分式计算，步骤繁琐且容易出错。首先可判断$x≠0$（否则$x+\frac{1}{x}$无意义），因此可以利用分式的基本性质，将所求分式的分子分母同时除以$x^2$，把式子转化为含有$x^2+\frac{1}{x^2}$的形式；再对已知等式两边平方，结合完全平方公式求出$x^2+\frac{1}{x^2}$的值，最后整体代入即可算出结果。
【解析】
解：$\because x+\frac{1}{x}=3$，$\therefore x≠0$。
将等式两边平方得：$(x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}=9$，
$\therefore x^2 + \frac{1}{x^2}=9-2=7$。
将$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$的分子、分母同时除以$x^2$，得：
$\frac{x^2÷ x^2}{(x^4 + x^2 + 1)÷ x^2}=\frac{1}{x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}}$，
把$x^2 + \frac{1}{x^2}=7$代入上式，得：
$\frac{1}{7+1}=\frac{1}{8}$。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，分式的基本性质，整体代入求值
【点评】
本题是分式求值的典型题型，无需计算未知数的具体值，通过灵活运用分式性质和完全平方公式的变形，结合整体代入的思想即可简化运算，重点考察对代数运算技巧的掌握程度。
【难度系数】
0.7
已知条件给出$x+\frac{1}{x}=3$，若直接求解$x$的值再代入所求分式计算，步骤繁琐且容易出错。首先可判断$x≠0$（否则$x+\frac{1}{x}$无意义），因此可以利用分式的基本性质，将所求分式的分子分母同时除以$x^2$，把式子转化为含有$x^2+\frac{1}{x^2}$的形式；再对已知等式两边平方，结合完全平方公式求出$x^2+\frac{1}{x^2}$的值，最后整体代入即可算出结果。
【解析】
解：$\because x+\frac{1}{x}=3$，$\therefore x≠0$。
将等式两边平方得：$(x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}=9$，
$\therefore x^2 + \frac{1}{x^2}=9-2=7$。
将$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$的分子、分母同时除以$x^2$，得：
$\frac{x^2÷ x^2}{(x^4 + x^2 + 1)÷ x^2}=\frac{1}{x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}}$，
把$x^2 + \frac{1}{x^2}=7$代入上式，得：
$\frac{1}{7+1}=\frac{1}{8}$。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，分式的基本性质，整体代入求值
【点评】
本题是分式求值的典型题型，无需计算未知数的具体值，通过灵活运用分式性质和完全平方公式的变形，结合整体代入的思想即可简化运算，重点考察对代数运算技巧的掌握程度。
【难度系数】
0.7
11 已知$a,b,c$为实数，且$\frac{ab}{a+b}=\frac{1}{3}$，$\frac{bc}{b+c}=\frac{1}{4}$，$\frac{ac}{c+a}=\frac{1}{5}$，求$\frac{abc}{ab+bc+ac}$的值。
答案
$\because \frac{ab}{a+b}=\frac{1}{3},\therefore a,b$均不为0,且$\frac{a+b}{ab}=3.\therefore \frac{a}{ab}+\frac{b}{ab}=3,$即$\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=3①.$ 同理,可得$\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=4②,\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=5③.$ 由①+②+③,得$2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=12,\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6,$即$\frac{ab+bc+ac}{abc}=6.\therefore \frac{abc}{ab+bc+ac}=\frac{1}{6}$
解析
【分析】
观察已知条件的结构，均为两个字母的乘积除以两个字母的和，直接求解a、b、c的具体值运算量较大。我们可以利用分式的基本性质，对已知等式两边同时取倒数，将其变形为两个字母倒数相加的形式，再把三个变形后的式子相加，即可得到三个字母倒数的和。最后对所求分式也取倒数，会发现其刚好等于三个字母倒数的和，整体代入后再取倒数就能得到结果。
【解析】
$\because \frac{ab}{a+b}=\frac{1}{3},\therefore a,b$均不为0,且$\frac{a+b}{ab}=3.\therefore \frac{a}{ab}+\frac{b}{ab}=3,$即$\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=3①.$
同理,可得$\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=4②,\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=5③.$
由①+②+③,得$2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=12,\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6,$
即$\frac{ab+bc+ac}{abc}=6.\therefore \frac{abc}{ab+bc+ac}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
分式基本性质，倒数变形技巧，分式化简求值
【点评】
本题是分式求值的常见题型，核心考查整体思想的运用，通过取倒数将已知条件转化为倒数和的形式，无需单独求出每个未知数的值，简化了运算过程，熟练掌握这类变形技巧能有效提升分式求值类题目的解题效率。
【难度系数】
0.6
观察已知条件的结构，均为两个字母的乘积除以两个字母的和，直接求解a、b、c的具体值运算量较大。我们可以利用分式的基本性质，对已知等式两边同时取倒数，将其变形为两个字母倒数相加的形式，再把三个变形后的式子相加，即可得到三个字母倒数的和。最后对所求分式也取倒数，会发现其刚好等于三个字母倒数的和，整体代入后再取倒数就能得到结果。
【解析】
$\because \frac{ab}{a+b}=\frac{1}{3},\therefore a,b$均不为0,且$\frac{a+b}{ab}=3.\therefore \frac{a}{ab}+\frac{b}{ab}=3,$即$\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=3①.$
同理,可得$\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=4②,\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=5③.$
由①+②+③,得$2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=12,\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6,$
即$\frac{ab+bc+ac}{abc}=6.\therefore \frac{abc}{ab+bc+ac}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
分式基本性质，倒数变形技巧，分式化简求值
【点评】
本题是分式求值的常见题型，核心考查整体思想的运用，通过取倒数将已知条件转化为倒数和的形式，无需单独求出每个未知数的值，简化了运算过程，熟练掌握这类变形技巧能有效提升分式求值类题目的解题效率。
【难度系数】
0.6
12 阅读下面的解题过程：
已知$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{2}$，求$\frac{x^2}{x^4 + 1}$的值.
解:由$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{2}$，可知$x ≠ 0$. $\therefore \frac{x^2 + 1}{x} = 2$，
即$x + \frac{1}{x} = 2$. $\therefore \frac{x^4 + 1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 2^2 - 2 = 2$. $\therefore \frac{x^2}{x^4 + 1}$的值为$\frac{1}{2}$.
该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
已知$\frac{x}{x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{5}$，求$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$的值.
已知$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{2}$，求$\frac{x^2}{x^4 + 1}$的值.
解:由$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{2}$，可知$x ≠ 0$. $\therefore \frac{x^2 + 1}{x} = 2$，
即$x + \frac{1}{x} = 2$. $\therefore \frac{x^4 + 1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 2^2 - 2 = 2$. $\therefore \frac{x^2}{x^4 + 1}$的值为$\frac{1}{2}$.
该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
已知$\frac{x}{x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{5}$，求$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$的值.
答案
由$\frac{x}{x^2-3x+1}=\frac{1}{5},$可知$x≠0.\therefore \frac{x^2-3x+1}{x}=5,$即$x-3+\frac{1}{x}=5.\therefore x+\frac{1}{x}=8.\therefore \frac{x^4+x^2+1}{x^2}=x^2+1+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2+1=8^2-1=63.\therefore \frac{x^2}{x^4+x^2+1}=\frac{1}{63}$
解析
【分析】
本题可参照给出的“倒数法”思路解题：首先观察已知分式的结构，分子为单项式、分母为多项式，先判断x≠0后对已知分式取倒数，化简得到$x+\frac{1}{x}$的值；再对所求分式取倒数，利用完全平方公式将倒数形式变形为含$x+\frac{1}{x}$的式子，整体代入求出倒数的值，最后再取倒数即可得到所求结果。
【解析】
由$\frac{x}{x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{5}$，可知$x ≠ 0$。
$\therefore \frac{x^2 - 3x + 1}{x} = 5$，即$x - 3 + \frac{1}{x} = 5$。
$\therefore x + \frac{1}{x} = 8$。
对所求式子取倒数得：$\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2} = x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}$，
利用完全平方公式变形得：$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$，
代入得：$x^2 + 1 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 + 1 = 8^2 - 1 = 63$。
$\therefore \frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1} = \frac{1}{63}$。
【答案】
$\frac{1}{63}$
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 完全平方公式
3. 分式化简求值
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心是运用倒数法对分式进行降次变形，结合整体代入思想简化计算，解题时要注意先判断分母不为0，确保取倒数的操作有意义。
【难度系数】
0.7
本题可参照给出的“倒数法”思路解题：首先观察已知分式的结构，分子为单项式、分母为多项式，先判断x≠0后对已知分式取倒数，化简得到$x+\frac{1}{x}$的值；再对所求分式取倒数，利用完全平方公式将倒数形式变形为含$x+\frac{1}{x}$的式子，整体代入求出倒数的值，最后再取倒数即可得到所求结果。
【解析】
由$\frac{x}{x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{5}$，可知$x ≠ 0$。
$\therefore \frac{x^2 - 3x + 1}{x} = 5$，即$x - 3 + \frac{1}{x} = 5$。
$\therefore x + \frac{1}{x} = 8$。
对所求式子取倒数得：$\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2} = x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}$，
利用完全平方公式变形得：$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$，
代入得：$x^2 + 1 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 + 1 = 8^2 - 1 = 63$。
$\therefore \frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1} = \frac{1}{63}$。
【答案】
$\frac{1}{63}$
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 完全平方公式
3. 分式化简求值
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心是运用倒数法对分式进行降次变形，结合整体代入思想简化计算，解题时要注意先判断分母不为0，确保取倒数的操作有意义。
【难度系数】
0.7
