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1 $2^{-3}$可以表示为 （
A.$2×2×2$
B.$(-2)×(-2)×(-2)$
C.$2÷2÷2$
D.$\dfrac{1}{2×2×2}$
D
）A.$2×2×2$
B.$(-2)×(-2)×(-2)$
C.$2÷2÷2$
D.$\dfrac{1}{2×2×2}$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先回忆负整数指数幂的运算规则，明确$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）的含义，再分别计算每个选项的结果，和$2^{-3}$的运算结果比对，即可选出正确答案。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数），可得：
$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{2×2×2}$
逐一分析选项：
A选项：$2×2×2=2^3≠2^{-3}$，错误；
B选项：$(-2)×(-2)×(-2)=(-2)^3=-8≠2^{-3}$，错误；
C选项：$2÷2÷2=\frac{1}{2}=2^{-1}≠2^{-3}$，错误；
D选项：$\frac{1}{2×2×2}=2^{-3}$，正确。
【答案】
D
【知识点】
负整数指数幂的运算
【点评】
本题考查负整数指数幂的基础运算，属于基础概念类题目，只要熟练掌握负整数指数幂的运算公式就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆负整数指数幂的运算规则，明确$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）的含义，再分别计算每个选项的结果，和$2^{-3}$的运算结果比对，即可选出正确答案。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数），可得：
$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{2×2×2}$
逐一分析选项：
A选项：$2×2×2=2^3≠2^{-3}$，错误；
B选项：$(-2)×(-2)×(-2)=(-2)^3=-8≠2^{-3}$，错误；
C选项：$2÷2÷2=\frac{1}{2}=2^{-1}≠2^{-3}$，错误；
D选项：$\frac{1}{2×2×2}=2^{-3}$，正确。
【答案】
D
【知识点】
负整数指数幂的运算
【点评】
本题考查负整数指数幂的基础运算，属于基础概念类题目，只要熟练掌握负整数指数幂的运算公式就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
2 若$(x-3)^0 - 2(3x - 6)^{-2}$有意义，则$x$的取值范围是（
A.$x＞3$
B.$x＜2$
C.$x≠3$或$x≠2$
D.$x≠3$且$x≠2$
D
）A.$x＞3$
B.$x＜2$
C.$x≠3$或$x≠2$
D.$x≠3$且$x≠2$
答案
2. D
解析
【分析】
要确定式子有意义时x的取值范围，需分别分析式子中两类整数指数幂的成立条件：零指数幂要求底数不为0，负整数指数幂也要求底数不为0。分别求出两个限制条件对应的x范围后，要使整个式子有意义，需同时满足两个条件，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：要使原式有意义，需同时满足两个整数指数幂的成立条件：
1. 对于零指数幂$(x-3)^0$，根据零指数幂的定义，底数不能为0：
$x-3≠0$，解得$x≠3$；
2. 对于负整数指数幂$2(3x-6)^{-2}$，负整数指数幂可转化为正整数指数幂的倒数，因此底数不能为0：
$3x-6≠0$，移项得$3x≠6$，解得$x≠2$。
两个条件需同时成立才能让原式有意义，因此x的取值范围是$x≠3$且$x≠2$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
1. 零指数幂有意义的条件
2. 负整数指数幂有意义的条件
【点评】
本题是整数指数幂的基础考查题，易错点是混淆“且”和“或”的逻辑关系，误选C选项，需注意多个限制条件同时满足时要用“且”连接。
【难度系数】
0.7
要确定式子有意义时x的取值范围，需分别分析式子中两类整数指数幂的成立条件：零指数幂要求底数不为0，负整数指数幂也要求底数不为0。分别求出两个限制条件对应的x范围后，要使整个式子有意义，需同时满足两个条件，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：要使原式有意义，需同时满足两个整数指数幂的成立条件：
1. 对于零指数幂$(x-3)^0$，根据零指数幂的定义，底数不能为0：
$x-3≠0$，解得$x≠3$；
2. 对于负整数指数幂$2(3x-6)^{-2}$，负整数指数幂可转化为正整数指数幂的倒数，因此底数不能为0：
$3x-6≠0$，移项得$3x≠6$，解得$x≠2$。
两个条件需同时成立才能让原式有意义，因此x的取值范围是$x≠3$且$x≠2$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
1. 零指数幂有意义的条件
2. 负整数指数幂有意义的条件
【点评】
本题是整数指数幂的基础考查题，易错点是混淆“且”和“或”的逻辑关系，误选C选项，需注意多个限制条件同时满足时要用“且”连接。
【难度系数】
0.7
3 下列运算正确的是 （
A.$-2026^0=1$
B.$(-5)^{-1}=\dfrac{1}{5}$
C.$2^{-1}+\dfrac{1}{2}=1$
D.$(-\dfrac{1}{a})^{-2}=\dfrac{1}{a^2}$
C
）A.$-2026^0=1$
B.$(-5)^{-1}=\dfrac{1}{5}$
C.$2^{-1}+\dfrac{1}{2}=1$
D.$(-\dfrac{1}{a})^{-2}=\dfrac{1}{a^2}$
答案
3. C
解析
【分析】
本题主要考查整数指数幂的相关运算，解题时可先回忆零指数幂、负整数指数幂的运算法则，再逐一计算每个选项的结果，将计算结果和选项给出的结果对比，排除错误选项即可得到正确答案。运算时要注意符号的处理，以及运算优先级的判断。
【解析】
我们根据整数指数幂的运算法则逐个分析选项：
1. 分析选项A：根据零指数幂法则，任何非零数的0次幂都等于1，即$a^0=1(a≠0)$，因此$2026^0=1$，注意负号不在底数内，所以$-2026^0=-1$，选项A错误。
2. 分析选项B：根据负整数指数幂法则，$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p$为正整数$)$，因此$(-5)^{-1}=\frac{1}{(-5)^1}=-\frac{1}{5}≠\frac{1}{5}$，选项B错误。
3. 分析选项C：先计算负指数幂，$2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$，再计算加法：$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$，选项C正确。
4. 分析选项D：根据负整数指数幂法则，$(-\frac{1}{a})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{a})^2}=\frac{1}{\frac{1}{a^2}}=a^2≠\frac{1}{a^2}$，选项D错误。
综上，正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
零指数幂运算，负整数指数幂运算，有理数加法
【点评】
本题属于基础题型，重点考查整数指数幂的运算规则，解题时要注意底数的符号、负号是否在底数内，避免因符号判断错误失分，熟练掌握基础运算法则是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
本题主要考查整数指数幂的相关运算，解题时可先回忆零指数幂、负整数指数幂的运算法则，再逐一计算每个选项的结果，将计算结果和选项给出的结果对比，排除错误选项即可得到正确答案。运算时要注意符号的处理，以及运算优先级的判断。
【解析】
我们根据整数指数幂的运算法则逐个分析选项：
1. 分析选项A：根据零指数幂法则，任何非零数的0次幂都等于1，即$a^0=1(a≠0)$，因此$2026^0=1$，注意负号不在底数内，所以$-2026^0=-1$，选项A错误。
2. 分析选项B：根据负整数指数幂法则，$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p$为正整数$)$，因此$(-5)^{-1}=\frac{1}{(-5)^1}=-\frac{1}{5}≠\frac{1}{5}$，选项B错误。
3. 分析选项C：先计算负指数幂，$2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$，再计算加法：$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$，选项C正确。
4. 分析选项D：根据负整数指数幂法则，$(-\frac{1}{a})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{a})^2}=\frac{1}{\frac{1}{a^2}}=a^2≠\frac{1}{a^2}$，选项D错误。
综上，正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
零指数幂运算，负整数指数幂运算，有理数加法
【点评】
本题属于基础题型，重点考查整数指数幂的运算规则，解题时要注意底数的符号、负号是否在底数内，避免因符号判断错误失分，熟练掌握基础运算法则是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
4 若$a=0.5^2$，$b=-3^{-2}$，$c=(-\dfrac{1}{3})^{-2}$，则$a,b,c$的大小关系为
$b＜a＜c$
（用“＜”连接）。答案
4. $b＜a＜c$
解析
【分析】
要比较a、b、c的大小，首先需要根据整数指数幂的运算法则，分别计算出a、b、c三个数的具体值，再根据有理数大小比较的规则（负数小于正数，正数之间绝对值大的数更大）判断大小关系即可。计算时要牢记负整数指数幂的运算规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），同时注意区分负号的位置，避免符号运算错误。
【解析】
解：分别计算a、b、c的数值：
1. 计算$a$：$a = 0.5^2 = 0.5×0.5 = 0.25$；
2. 计算$b$：先算负指数幂，$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$，因此$b=-3^{-2}=-\frac{1}{9}$；
3. 计算$c$：根据负指数幂规则，$(-\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{\frac{1}{9}}=9$；
对比三个数的大小：负数$-\frac{1}{9}$小于正数0.25，0.25小于正数9，因此可得$b ＜ a ＜ c$。
【答案】
$b＜a＜c$
【知识点】
整数指数幂运算；有理数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查负整数指数幂的运算规则，解题的易错点是计算负指数幂时混淆符号、弄错运算顺序，熟练掌握运算法则即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
要比较a、b、c的大小，首先需要根据整数指数幂的运算法则，分别计算出a、b、c三个数的具体值，再根据有理数大小比较的规则（负数小于正数，正数之间绝对值大的数更大）判断大小关系即可。计算时要牢记负整数指数幂的运算规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），同时注意区分负号的位置，避免符号运算错误。
【解析】
解：分别计算a、b、c的数值：
1. 计算$a$：$a = 0.5^2 = 0.5×0.5 = 0.25$；
2. 计算$b$：先算负指数幂，$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$，因此$b=-3^{-2}=-\frac{1}{9}$；
3. 计算$c$：根据负指数幂规则，$(-\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{\frac{1}{9}}=9$；
对比三个数的大小：负数$-\frac{1}{9}$小于正数0.25，0.25小于正数9，因此可得$b ＜ a ＜ c$。
【答案】
$b＜a＜c$
【知识点】
整数指数幂运算；有理数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查负整数指数幂的运算规则，解题的易错点是计算负指数幂时混淆符号、弄错运算顺序，熟练掌握运算法则即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
5 下列等式成立的是（
A.$ x^2 · x^{-3} = x $
B.$ x^3 ÷ x^6 = x^{-3} \ (x ≠ 0) $
C.$ (x^{-3})^2 = x^{-5} $
D.$ ( \frac{1}{x} )^{-2} = \frac{1}{x^2} $
B
）A.$ x^2 · x^{-3} = x $
B.$ x^3 ÷ x^6 = x^{-3} \ (x ≠ 0) $
C.$ (x^{-3})^2 = x^{-5} $
D.$ ( \frac{1}{x} )^{-2} = \frac{1}{x^2} $
答案
5. B
解析
【分析】
本题考查整数指数幂的运算性质，解题时先回忆整数指数幂的相关运算法则：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②同底数幂相除，底数不变，指数相减；③幂的乘方，底数不变，指数相乘；④负整数指数幂满足$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），接下来逐一计算每个选项，判断运算是否正确即可。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：根据同底数幂相乘的法则，$x^2·x^{-3}=x^{2+(-3)}=x^{-1}=\frac{1}{x}≠x$，因此A不成立；
B选项：根据同底数幂相除的法则，且$x≠0$，$x^3÷x^6=x^{3-6}=x^{-3}$，因此B成立；
C选项：根据幂的乘方法则，$(x^{-3})^2=x^{(-3)×2}=x^{-6}≠x^{-5}$，因此C不成立；
D选项：先将$\frac{1}{x}$转化为$x^{-1}$，再根据幂的乘方法则，$(\frac{1}{x})^{-2}=(x^{-1})^{-2}=x^{(-1)×(-2)}=x^2≠\frac{1}{x^2}$，因此D不成立。
综上，只有B选项的等式成立。
【答案】
B
【知识点】
1.同底数幂的乘除运算
2.幂的乘方运算
3.负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查整数指数幂的运算性质，解题时需注意区分不同运算法则中指数的运算规律，避免将指数的加减、乘法运算混淆，同时注意负整数指数幂的转换规则，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查整数指数幂的运算性质，解题时先回忆整数指数幂的相关运算法则：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②同底数幂相除，底数不变，指数相减；③幂的乘方，底数不变，指数相乘；④负整数指数幂满足$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），接下来逐一计算每个选项，判断运算是否正确即可。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：根据同底数幂相乘的法则，$x^2·x^{-3}=x^{2+(-3)}=x^{-1}=\frac{1}{x}≠x$，因此A不成立；
B选项：根据同底数幂相除的法则，且$x≠0$，$x^3÷x^6=x^{3-6}=x^{-3}$，因此B成立；
C选项：根据幂的乘方法则，$(x^{-3})^2=x^{(-3)×2}=x^{-6}≠x^{-5}$，因此C不成立；
D选项：先将$\frac{1}{x}$转化为$x^{-1}$，再根据幂的乘方法则，$(\frac{1}{x})^{-2}=(x^{-1})^{-2}=x^{(-1)×(-2)}=x^2≠\frac{1}{x^2}$，因此D不成立。
综上，只有B选项的等式成立。
【答案】
B
【知识点】
1.同底数幂的乘除运算
2.幂的乘方运算
3.负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查整数指数幂的运算性质，解题时需注意区分不同运算法则中指数的运算规律，避免将指数的加减、乘法运算混淆，同时注意负整数指数幂的转换规则，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
6 计算：$(a^3b)^{-2}=$
$\dfrac{1}{a^6b^2}$
.答案
6. $\dfrac{1}{a^6b^2}$
解析
【分析】
本题考查整数指数幂的运算，解题思路如下：首先回忆相关运算性质：1. 负整数指数幂的性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）；2. 积的乘方运算性质：$(ab)^n=a^n b^n$（$n$为整数）；3. 幂的乘方运算性质：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为整数）。解题时可先利用负整数指数幂的性质将负指数转化为正指数的倒数，再计算正整数指数幂的运算，也可以先计算积的乘方、幂的乘方，再转化负指数，两种方法均可得到正确结果。
【解析】
我们选用更易理解的方法计算：
第一步，根据负整数指数幂的性质，将负指数转化为正指数的倒数：
$(a^3b)^{-2}=\frac{1}{(a^3b)^2}$
第二步，根据积的乘方运算性质计算分母的乘方：
$(a^3b)^2=(a^3)^2· b^2$
第三步，根据幂的乘方运算性质计算$(a^3)^2$，底数不变，指数相乘：
$(a^3)^2=a^{3×2}=a^6$
因此分母化简为$a^6b^2$，代入原式可得最终结果。
【答案】
$\dfrac{1}{a^6b^2}$
【知识点】
负整数指数幂运算；积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，核心是熟练掌握各类指数幂的运算规则，运算时注意指数的变化规律，避免出现指数计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
本题考查整数指数幂的运算，解题思路如下：首先回忆相关运算性质：1. 负整数指数幂的性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）；2. 积的乘方运算性质：$(ab)^n=a^n b^n$（$n$为整数）；3. 幂的乘方运算性质：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为整数）。解题时可先利用负整数指数幂的性质将负指数转化为正指数的倒数，再计算正整数指数幂的运算，也可以先计算积的乘方、幂的乘方，再转化负指数，两种方法均可得到正确结果。
【解析】
我们选用更易理解的方法计算：
第一步，根据负整数指数幂的性质，将负指数转化为正指数的倒数：
$(a^3b)^{-2}=\frac{1}{(a^3b)^2}$
第二步，根据积的乘方运算性质计算分母的乘方：
$(a^3b)^2=(a^3)^2· b^2$
第三步，根据幂的乘方运算性质计算$(a^3)^2$，底数不变，指数相乘：
$(a^3)^2=a^{3×2}=a^6$
因此分母化简为$a^6b^2$，代入原式可得最终结果。
【答案】
$\dfrac{1}{a^6b^2}$
【知识点】
负整数指数幂运算；积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，核心是熟练掌握各类指数幂的运算规则，运算时注意指数的变化规律，避免出现指数计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
7 教材P161练习T2变式 计算：
(1) $(x^{2}y^{-3}c)^{-2} · (x^{-1}y^{-2})^{3}$；
(2) $4ab^{2} ÷ (-2a^{-2}b)^{3}$。
(1) $(x^{2}y^{-3}c)^{-2} · (x^{-1}y^{-2})^{3}$；
(2) $4ab^{2} ÷ (-2a^{-2}b)^{3}$。
答案
7. (1) $\dfrac{1}{x^7c^2}$ (2) $-\dfrac{a^7}{2b}$
解析
【分析】
解答整数指数幂的运算题，遵循先乘方、再乘除的运算顺序：①先运用积的乘方、幂的乘方法则，将每个括号内的因式分别乘方，计算时注意指数的符号变化；②再运用同底数幂的乘除运算法则，对相同底数的幂进行运算；③最后根据负整数指数幂的意义，将负指数转化为正指数，得到最简分式形式。
【解析】
(1) 先分别计算乘方，再计算乘法：
$\begin{aligned}&(x^{2}y^{-3}c)^{-2} · (x^{-1}y^{-2})^{3}\\=&x^{2×(-2)}y^{(-3)×(-2)}c^{1×(-2)} · x^{(-1)×3}y^{(-2)×3}\\=&x^{-4}y^{6}c^{-2} · x^{-3}y^{-6}\\=&x^{-4-3}y^{6-6}c^{-2}\\=&x^{-7}y^{0}c^{-2}\\=&\frac{1}{x^7c^2}\end{aligned}$
(2) 先计算除式的乘方，再计算除法：
$\begin{aligned}&4ab^{2} ÷ (-2a^{-2}b)^{3}\\=&4ab^2 ÷ [(-2)^3 · a^{(-2)×3} · b^{1×3}]\\=&4ab^2 ÷ (-8a^{-6}b^3)\\=&[4÷(-8)] · a^{1-(-6)} · b^{2-3}\\=&-\frac{1}{2}a^7b^{-1}\\=&-\frac{a^7}{2b}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{x^7c^2}$；(2) $-\dfrac{a^7}{2b}$
【知识点】
整数指数幂运算、负指数幂转化、单项式乘除运算
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，解题时需注意运算顺序，以及指数符号、系数符号的处理，熟练掌握相关运算法则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
解答整数指数幂的运算题，遵循先乘方、再乘除的运算顺序：①先运用积的乘方、幂的乘方法则，将每个括号内的因式分别乘方，计算时注意指数的符号变化；②再运用同底数幂的乘除运算法则，对相同底数的幂进行运算；③最后根据负整数指数幂的意义，将负指数转化为正指数，得到最简分式形式。
【解析】
(1) 先分别计算乘方，再计算乘法：
$\begin{aligned}&(x^{2}y^{-3}c)^{-2} · (x^{-1}y^{-2})^{3}\\=&x^{2×(-2)}y^{(-3)×(-2)}c^{1×(-2)} · x^{(-1)×3}y^{(-2)×3}\\=&x^{-4}y^{6}c^{-2} · x^{-3}y^{-6}\\=&x^{-4-3}y^{6-6}c^{-2}\\=&x^{-7}y^{0}c^{-2}\\=&\frac{1}{x^7c^2}\end{aligned}$
(2) 先计算除式的乘方，再计算除法：
$\begin{aligned}&4ab^{2} ÷ (-2a^{-2}b)^{3}\\=&4ab^2 ÷ [(-2)^3 · a^{(-2)×3} · b^{1×3}]\\=&4ab^2 ÷ (-8a^{-6}b^3)\\=&[4÷(-8)] · a^{1-(-6)} · b^{2-3}\\=&-\frac{1}{2}a^7b^{-1}\\=&-\frac{a^7}{2b}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{x^7c^2}$；(2) $-\dfrac{a^7}{2b}$
【知识点】
整数指数幂运算、负指数幂转化、单项式乘除运算
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，解题时需注意运算顺序，以及指数符号、系数符号的处理，熟练掌握相关运算法则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
8 若$a,b$均为非零实数且$a+b≠0$，则$(a^{-1} + b^{-1})^{-1}$可化简为
$\dfrac{ab}{a+b}$
答案
8. $\dfrac{ab}{a+b}$
解析
【分析】
解题时先根据负整数指数幂的意义，将括号内的负指数幂转化为分式形式，再按照分式加减的运算法则对括号内的式子通分计算，最后根据负指数幂的意义对计算结果取倒数即可完成化简，题目给出的a、b非零且a+b≠0的条件保证了运算过程中所有分母均不为0，运算合法。
【解析】
根据负整数指数幂的性质：$a^{-1}=\frac{1}{a}$，$b^{-1}=\frac{1}{b}$（$a,b≠0$），先计算括号内的式子：
$\begin{aligned}a^{-1}+b^{-1}&=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\\&=\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}\\&=\frac{a+b}{ab}\end{aligned}$
再计算整体的负指数幂，即对上述结果取倒数：
$(a^{-1}+b^{-1})^{-1}=(\frac{a+b}{ab})^{-1}=\frac{ab}{a+b}$
因为$a+b≠0$，所以该结果有意义。
【答案】
$\dfrac{ab}{a+b}$
【知识点】
1. 负整数指数幂的运算
2. 分式的加减运算
3. 分式的化简
【点评】
本题是整数指数幂运算与分式运算的综合基础题，核心是掌握负整数指数幂和分式的转化规则，运算时遵循先括号内、后括号外的顺序，同时要注意题目给出的取值条件，确保运算过程中分母不为零。
【难度系数】
0.8
解题时先根据负整数指数幂的意义，将括号内的负指数幂转化为分式形式，再按照分式加减的运算法则对括号内的式子通分计算，最后根据负指数幂的意义对计算结果取倒数即可完成化简，题目给出的a、b非零且a+b≠0的条件保证了运算过程中所有分母均不为0，运算合法。
【解析】
根据负整数指数幂的性质：$a^{-1}=\frac{1}{a}$，$b^{-1}=\frac{1}{b}$（$a,b≠0$），先计算括号内的式子：
$\begin{aligned}a^{-1}+b^{-1}&=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\\&=\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}\\&=\frac{a+b}{ab}\end{aligned}$
再计算整体的负指数幂，即对上述结果取倒数：
$(a^{-1}+b^{-1})^{-1}=(\frac{a+b}{ab})^{-1}=\frac{ab}{a+b}$
因为$a+b≠0$，所以该结果有意义。
【答案】
$\dfrac{ab}{a+b}$
【知识点】
1. 负整数指数幂的运算
2. 分式的加减运算
3. 分式的化简
【点评】
本题是整数指数幂运算与分式运算的综合基础题，核心是掌握负整数指数幂和分式的转化规则，运算时遵循先括号内、后括号外的顺序，同时要注意题目给出的取值条件，确保运算过程中分母不为零。
【难度系数】
0.8
9 教材P162习题T2变式 计算：$3^{-2} - 4 × (-\dfrac{5}{14})^0 × (\dfrac{4}{7})^{-1} = \_\_\_\_\_\_$
答案
9. $-6\ \dfrac{8}{9}$
解析
【分析】
本题是整数指数幂的混合运算题，解题时需遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序，结合整数指数幂的运算性质逐步计算即可。首先回忆两个核心运算规则：1. 零指数幂：任何非零数的0次幂等于1；2. 负整数指数幂：非零数的负整数次幂等于该数正整数次幂的倒数，先分别算出各幂项的值，再代入原式计算四则运算即可。
【解析】
根据整数指数幂的运算性质分步计算：
1. 计算各幂次项：
① 由负整数指数幂规则得：$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$
② 由零指数幂规则（底数不为0）得：$(-\frac{5}{14})^0=1$
③ 由负整数指数幂规则得：$(\frac{4}{7})^{-1}=\frac{1}{\frac{4}{7}}=\frac{7}{4}$
2. 代入原式按顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{9} - 4×1×\frac{7}{4}\\&=\frac{1}{9} -7\\&=\frac{1}{9}-\frac{63}{9}\\&=-\frac{62}{9}\\&=-6\frac{8}{9}\end{aligned}$
【答案】
$-6\dfrac{8}{9}$
【知识点】
负整数指数幂运算，零指数幂运算，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对整数指数幂运算性质的掌握，解题时要注意负整数指数幂、零指数幂的适用前提是底数不为0，计算过程中注意约分和符号处理，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
本题是整数指数幂的混合运算题，解题时需遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序，结合整数指数幂的运算性质逐步计算即可。首先回忆两个核心运算规则：1. 零指数幂：任何非零数的0次幂等于1；2. 负整数指数幂：非零数的负整数次幂等于该数正整数次幂的倒数，先分别算出各幂项的值，再代入原式计算四则运算即可。
【解析】
根据整数指数幂的运算性质分步计算：
1. 计算各幂次项：
① 由负整数指数幂规则得：$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$
② 由零指数幂规则（底数不为0）得：$(-\frac{5}{14})^0=1$
③ 由负整数指数幂规则得：$(\frac{4}{7})^{-1}=\frac{1}{\frac{4}{7}}=\frac{7}{4}$
2. 代入原式按顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{9} - 4×1×\frac{7}{4}\\&=\frac{1}{9} -7\\&=\frac{1}{9}-\frac{63}{9}\\&=-\frac{62}{9}\\&=-6\frac{8}{9}\end{aligned}$
【答案】
$-6\dfrac{8}{9}$
【知识点】
负整数指数幂运算，零指数幂运算，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对整数指数幂运算性质的掌握，解题时要注意负整数指数幂、零指数幂的适用前提是底数不为0，计算过程中注意约分和符号处理，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
10 计算：
(1) $(2m^2n^{-1})^2 ÷ (3m^3n^{-5})$；
(2) $(-2a^{-2})^3 · b ÷ (2a^{-5}b^{-2})$。
(1) $(2m^2n^{-1})^2 ÷ (3m^3n^{-5})$；
(2) $(-2a^{-2})^3 · b ÷ (2a^{-5}b^{-2})$。
答案
10. (1) $\dfrac{4}{3}mn^3$ (2) $-\dfrac{4b^3}{a}$
解析
【分析】
这两道题是整数指数幂的混合运算，解题遵循先算乘方、再算乘除的顺序：①先利用积的乘方、幂的乘方性质计算括号的乘方，系数和每个字母的指数都要分别乘方；②再利用同底数幂的乘除运算法则计算，同底数幂相乘/相除时底数不变，指数相加/减；③最后将负整数指数幂转化为正整数指数幂的形式，化简得到结果。
【解析】
(1) 先计算乘方，再计算除法：
$\begin{aligned}(2m^2n^{-1})^2 ÷ (3m^3n^{-5})&= 2^2· (m^2)^2· (n^{-1})^2 ÷ (3m^3n^{-5}) \\&=4m^4n^{-2} ÷ 3m^3n^{-5} \\&=\frac{4}{3}· m^{4-3}· n^{-2 - (-5)} \\&=\frac{4}{3}mn^3\end{aligned}$
(2) 先计算乘方，再按从左到右顺序计算乘除：
$\begin{aligned}(-2a^{-2})^3 · b ÷ (2a^{-5}b^{-2})&= (-2)^3· (a^{-2})^3 · b ÷ (2a^{-5}b^{-2}) \\&=-8a^{-6}b ÷ 2a^{-5}b^{-2} \\&=(-8÷2)· a^{-6 - (-5)}· b^{1 - (-2)} \\&=-4a^{-1}b^3 \\&=-\frac{4b^3}{a}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{4}{3}mn^3$ (2) $-\dfrac{4b^3}{a}$
【知识点】
整数指数幂运算、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘除法
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，解题时需严格遵循幂的运算性质，注意运算顺序，同时要警惕系数符号、指数加减计算两个易错点，熟练掌握运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
这两道题是整数指数幂的混合运算，解题遵循先算乘方、再算乘除的顺序：①先利用积的乘方、幂的乘方性质计算括号的乘方，系数和每个字母的指数都要分别乘方；②再利用同底数幂的乘除运算法则计算，同底数幂相乘/相除时底数不变，指数相加/减；③最后将负整数指数幂转化为正整数指数幂的形式，化简得到结果。
【解析】
(1) 先计算乘方，再计算除法：
$\begin{aligned}(2m^2n^{-1})^2 ÷ (3m^3n^{-5})&= 2^2· (m^2)^2· (n^{-1})^2 ÷ (3m^3n^{-5}) \\&=4m^4n^{-2} ÷ 3m^3n^{-5} \\&=\frac{4}{3}· m^{4-3}· n^{-2 - (-5)} \\&=\frac{4}{3}mn^3\end{aligned}$
(2) 先计算乘方，再按从左到右顺序计算乘除：
$\begin{aligned}(-2a^{-2})^3 · b ÷ (2a^{-5}b^{-2})&= (-2)^3· (a^{-2})^3 · b ÷ (2a^{-5}b^{-2}) \\&=-8a^{-6}b ÷ 2a^{-5}b^{-2} \\&=(-8÷2)· a^{-6 - (-5)}· b^{1 - (-2)} \\&=-4a^{-1}b^3 \\&=-\frac{4b^3}{a}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{4}{3}mn^3$ (2) $-\dfrac{4b^3}{a}$
【知识点】
整数指数幂运算、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘除法
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，解题时需严格遵循幂的运算性质，注意运算顺序，同时要警惕系数符号、指数加减计算两个易错点，熟练掌握运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
11 已知$a+a^{-1}=3$.
(1) 求$a^2+a^{-2}$与$a-a^{-1}$的值；
(2) 如果将“$a+a^{-1}=3$”改为“$a^2-3a+1=0$”，试求$a-a^{-1}$的值.
(1) 求$a^2+a^{-2}$与$a-a^{-1}$的值；
(2) 如果将“$a+a^{-1}=3$”改为“$a^2-3a+1=0$”，试求$a-a^{-1}$的值.
答案
11. (1) $a^2+a^{-2}=7,a-a^{-1}=\pm\sqrt{5}$
(2) 由$a^2-3a+1=0$,可知$a≠0$,
∴ 在该等式两边都除以$a$,可变形为$a-3+a^{-1}=0$,即$a+a^{-1}=3$.
∴ 易得$a-a^{-1}=\pm\sqrt{5}$
(2) 由$a^2-3a+1=0$,可知$a≠0$,
∴ 在该等式两边都除以$a$,可变形为$a-3+a^{-1}=0$,即$a+a^{-1}=3$.
∴ 易得$a-a^{-1}=\pm\sqrt{5}$
解析
【分析】
(1) 求$a^2+a^{-2}$的值时，可联想完全平方公式，将已知条件$a+a^{-1}=3$两边同时平方，展开后就能得到包含$a^2+a^{-2}$的式子，代入计算即可；求$a-a^{-1}$的值时，同样利用完全平方公式，先计算$(a-a^{-1})^2$的值，再开平方得到结果，注意开平方后有正负两个取值。
(2) 已知$a^2-3a+1=0$，首先判断$a$的取值：若$a=0$，等式左边为1，不等于0，因此$a≠0$，可以在等式两边同时除以$a$，将式子变形为$a+a^{-1}=3$，就转化为和(1)相同的条件，再用(1)的方法求$a-a^{-1}$即可。
【解析】
(1) 已知$a+a^{-1}=3$，将等式两边同时平方得：
$(a+a^{-1})^2 = 3^2$
根据完全平方公式展开左边：
$a^2 + 2· a· a^{-1} + a^{-2} = 9$
因为$a· a^{-1}=1$，化简得：
$a^2 + a^{-2} + 2 = 9$
移项计算得：$a^2 + a^{-2}=9-2=7$
接下来求$a-a^{-1}$，先计算$(a-a^{-1})^2$：
根据完全平方公式展开得：$(a-a^{-1})^2 = a^2 - 2· a· a^{-1} + a^{-2} = a^2 + a^{-2} - 2$
将$a^2+a^{-2}=7$代入得：$(a-a^{-1})^2=7-2=5$
两边开平方得：$a-a^{-1}=\pm\sqrt{5}$
(2) 对于等式$a^2-3a+1=0$，若$a=0$，左边$=0-0+1=1≠0$，因此$a≠0$。
将等式两边同时除以$a$得：
$a - 3 + a^{-1}=0$
移项得：$a+a^{-1}=3$
该条件和(1)的已知条件一致，同理可得$(a-a^{-1})^2=5$，因此$a-a^{-1}=\pm\sqrt{5}$
【答案】
(1) $a^2+a^{-2}=7$，$a-a^{-1}=\pm\sqrt{5}$；(2) $a-a^{-1}=\pm\sqrt{5}$
【知识点】
完全平方公式，整数指数幂运算，等式的性质
【点评】
本题重点考查完全平方公式的变形应用以及整数指数幂的运算规则，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的常见变形，同时注意在等式两边除以同一个数时需先确认该数不为0，开平方时不要遗漏负的结果。
【难度系数】
0.7
(1) 求$a^2+a^{-2}$的值时，可联想完全平方公式，将已知条件$a+a^{-1}=3$两边同时平方，展开后就能得到包含$a^2+a^{-2}$的式子，代入计算即可；求$a-a^{-1}$的值时，同样利用完全平方公式，先计算$(a-a^{-1})^2$的值，再开平方得到结果，注意开平方后有正负两个取值。
(2) 已知$a^2-3a+1=0$，首先判断$a$的取值：若$a=0$，等式左边为1，不等于0，因此$a≠0$，可以在等式两边同时除以$a$，将式子变形为$a+a^{-1}=3$，就转化为和(1)相同的条件，再用(1)的方法求$a-a^{-1}$即可。
【解析】
(1) 已知$a+a^{-1}=3$，将等式两边同时平方得：
$(a+a^{-1})^2 = 3^2$
根据完全平方公式展开左边：
$a^2 + 2· a· a^{-1} + a^{-2} = 9$
因为$a· a^{-1}=1$，化简得：
$a^2 + a^{-2} + 2 = 9$
移项计算得：$a^2 + a^{-2}=9-2=7$
接下来求$a-a^{-1}$，先计算$(a-a^{-1})^2$：
根据完全平方公式展开得：$(a-a^{-1})^2 = a^2 - 2· a· a^{-1} + a^{-2} = a^2 + a^{-2} - 2$
将$a^2+a^{-2}=7$代入得：$(a-a^{-1})^2=7-2=5$
两边开平方得：$a-a^{-1}=\pm\sqrt{5}$
(2) 对于等式$a^2-3a+1=0$，若$a=0$，左边$=0-0+1=1≠0$，因此$a≠0$。
将等式两边同时除以$a$得：
$a - 3 + a^{-1}=0$
移项得：$a+a^{-1}=3$
该条件和(1)的已知条件一致，同理可得$(a-a^{-1})^2=5$，因此$a-a^{-1}=\pm\sqrt{5}$
【答案】
(1) $a^2+a^{-2}=7$，$a-a^{-1}=\pm\sqrt{5}$；(2) $a-a^{-1}=\pm\sqrt{5}$
【知识点】
完全平方公式，整数指数幂运算，等式的性质
【点评】
本题重点考查完全平方公式的变形应用以及整数指数幂的运算规则，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的常见变形，同时注意在等式两边除以同一个数时需先确认该数不为0，开平方时不要遗漏负的结果。
【难度系数】
0.7
