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1 [2024达州]先化简：$( \frac{x}{x-2} - \frac{x}{x+2} ) ÷ \frac{x^2 + x}{x^2 -4}$，再从$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$之中选择一个合适的数作为$x$的值代入求值。
答案
原式=$\frac{x(x+2)-x(x-2)}{(x-2)(x+2)} · \frac{(x-2)(x+2)}{x(x+1)} = \frac{4x}{x(x+1)} =\frac{4}{x+1}.\because x-2≠0$且$x+2≠0$且$x≠0$且$x+1≠0,\therefore x≠2$且$x≠-2$且$x≠0$且$x≠-1.\therefore x=1.$当$x=1$时,原式=2
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路分三步：第一步先处理括号内的分式减法，通过通分计算差；第二步将除法运算转化为乘法运算，同时对分子分母中能因式分解的部分分解因式，再约分得到最简结果；第三步根据分式有意义的条件（分母不为0、除式不为0）筛选出可代入的x值，最后代入最简式计算结果。
【解析】
1. 计算括号内的分式减法，取公分母为$(x-2)(x+2)$，得：
$\frac{x}{x-2}-\frac{x}{x+2}=\frac{x(x+2)-x(x-2)}{(x-2)(x+2)}$
2. 将除法转化为乘法，同时对多项式因式分解：$x^2-4=(x-2)(x+2)$，$x^2+x=x(x+1)$，因此原式可改写为：
$\frac{x(x+2)-x(x-2)}{(x-2)(x+2)} · \frac{(x-2)(x+2)}{x(x+1)}$
3. 化简分子、约分：分子$x(x+2)-x(x-2)=4x$，约去公因式$(x-2)(x+2)$和非零的$x$，得：
$\frac{4x}{x(x+1)}=\frac{4}{x+1}$
4. 筛选x的取值：要使原式有意义，需满足所有分母、除式不为0，即$x-2≠0$、$x+2≠0$、$x≠0$、$x+1≠0$，因此$x$不能取$-2、-1、0、2$，仅可选$x=1$。
5. 代入计算：当$x=1$时，原式$=\frac{4}{1+1}=2$。
【答案】
化简结果为$\frac{4}{x+1}$，当$x=1$时，原式的值为2
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的常规考题，核心考查分式的运算规则和分式有意义的隐含条件，解题时需注意选择的x值必须保证原式中每一个分母及除式都不为0，不能仅根据化简后的式子选择x值，避免出现代入无意义的错误。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，解题思路分三步：第一步先处理括号内的分式减法，通过通分计算差；第二步将除法运算转化为乘法运算，同时对分子分母中能因式分解的部分分解因式，再约分得到最简结果；第三步根据分式有意义的条件（分母不为0、除式不为0）筛选出可代入的x值，最后代入最简式计算结果。
【解析】
1. 计算括号内的分式减法，取公分母为$(x-2)(x+2)$，得：
$\frac{x}{x-2}-\frac{x}{x+2}=\frac{x(x+2)-x(x-2)}{(x-2)(x+2)}$
2. 将除法转化为乘法，同时对多项式因式分解：$x^2-4=(x-2)(x+2)$，$x^2+x=x(x+1)$，因此原式可改写为：
$\frac{x(x+2)-x(x-2)}{(x-2)(x+2)} · \frac{(x-2)(x+2)}{x(x+1)}$
3. 化简分子、约分：分子$x(x+2)-x(x-2)=4x$，约去公因式$(x-2)(x+2)$和非零的$x$，得：
$\frac{4x}{x(x+1)}=\frac{4}{x+1}$
4. 筛选x的取值：要使原式有意义，需满足所有分母、除式不为0，即$x-2≠0$、$x+2≠0$、$x≠0$、$x+1≠0$，因此$x$不能取$-2、-1、0、2$，仅可选$x=1$。
5. 代入计算：当$x=1$时，原式$=\frac{4}{1+1}=2$。
【答案】
化简结果为$\frac{4}{x+1}$，当$x=1$时，原式的值为2
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的常规考题，核心考查分式的运算规则和分式有意义的隐含条件，解题时需注意选择的x值必须保证原式中每一个分母及除式都不为0，不能仅根据化简后的式子选择x值，避免出现代入无意义的错误。
【难度系数】
0.7
2 已知$a+b=5$，$ab=3$，则$\dfrac{b}{a+1}+\dfrac{a}{b+1}$的值为（
A.2
B.$\dfrac{8}{3}$
C.4
D.$\dfrac{34}{9}$
B
）A.2
B.$\dfrac{8}{3}$
C.4
D.$\dfrac{34}{9}$
答案
B
解析
【分析】
本题是已知a+b与ab的整体值，求分式的值的问题，解题思路为：首先对所求的两个分式进行通分，将其合并为一个分式，再对分子、分母分别展开整理，利用完全平方公式的变形把分子转化为含有a+b、ab的形式，最后将已知的a+b=5、ab=3整体代入计算即可，不需要单独求解a、b的数值，能简化运算。
【解析】
先对所求分式通分化简：
$\dfrac{b}{a+1}+\dfrac{a}{b+1}=\dfrac{b(b+1)+a(a+1)}{(a+1)(b+1)}$
分别展开分子、分母：
分子：$b(b+1)+a(a+1)=a^2+b^2+a+b$
根据完全平方公式变形，$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入得分子$=(a+b)^2-2ab+(a+b)$
分母：$(a+1)(b+1)=ab+a+b+1$
将$a+b=5$，$ab=3$代入：
分子$=5^2-2×3+5=25-6+5=24$
分母$=3+5+1=9$
则原式$=\dfrac{24}{9}=\dfrac{8}{3}$
【答案】
B
【知识点】
分式的通分运算；完全平方公式变形；整体代入求值
【点评】
本题核心是掌握分式化简求值的技巧，通过通分、公式变形将所求式子转化为含已知条件的形式，用整体代入法避免计算a、b的具体值，减少运算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
本题是已知a+b与ab的整体值，求分式的值的问题，解题思路为：首先对所求的两个分式进行通分，将其合并为一个分式，再对分子、分母分别展开整理，利用完全平方公式的变形把分子转化为含有a+b、ab的形式，最后将已知的a+b=5、ab=3整体代入计算即可，不需要单独求解a、b的数值，能简化运算。
【解析】
先对所求分式通分化简：
$\dfrac{b}{a+1}+\dfrac{a}{b+1}=\dfrac{b(b+1)+a(a+1)}{(a+1)(b+1)}$
分别展开分子、分母：
分子：$b(b+1)+a(a+1)=a^2+b^2+a+b$
根据完全平方公式变形，$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入得分子$=(a+b)^2-2ab+(a+b)$
分母：$(a+1)(b+1)=ab+a+b+1$
将$a+b=5$，$ab=3$代入：
分子$=5^2-2×3+5=25-6+5=24$
分母$=3+5+1=9$
则原式$=\dfrac{24}{9}=\dfrac{8}{3}$
【答案】
B
【知识点】
分式的通分运算；完全平方公式变形；整体代入求值
【点评】
本题核心是掌握分式化简求值的技巧，通过通分、公式变形将所求式子转化为含已知条件的形式，用整体代入法避免计算a、b的具体值，减少运算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
3 已知 $x^2 - 3xy = y^2$，则 $\frac{x^2 - xy - y^2}{2x^2 + xy - 2y^2}$ 的值为
$\dfrac{2}{7}$
。答案
$\frac{2}{7}$
解析
【分析】
首先观察已知等式和待求分式的结构特征，已知等式可变形得到$x^2$与$y^2$的差和$xy$的关系，而待求分式的分子、分母均能整理出$x^2-y^2$的整体项，因此可以采用整体代入法，将$x^2-y^2$用含$xy$的式子替换后，约分化简即可得到结果，无需单独求出$x$、$y$的具体值。
【解析】
解：由已知$x^2 - 3xy = y^2$，移项可得：
$x^2 - y^2 = 3xy$
对待求分式的分子、分母分别变形：
分子：$x^2 - xy - y^2 = (x^2 - y^2) - xy$
将$x^2 - y^2 = 3xy$代入，得分子$= 3xy - xy = 2xy$
分母：$2x^2 + xy - 2y^2 = 2(x^2 - y^2) + xy$
将$x^2 - y^2 = 3xy$代入，得分母$= 2×3xy + xy = 7xy$
由分式有意义的条件可知$x≠0$且$y≠0$，因此$xy≠0$，可约去分子分母的公因式$xy$：
$\frac{x^2 - xy - y^2}{2x^2 + xy - 2y^2} = \frac{2xy}{7xy} = \frac{2}{7}$
【答案】
$\frac{2}{7}$
【知识点】
分式化简求值，整体代入法，等式的性质
【点评】
本题是典型的分式条件求值题，解题核心是把握已知条件和待求式的结构关联，通过变形构造整体代入的形式，大幅简化运算，避免了繁琐的换元或消元计算，考验学生的观察能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.7
首先观察已知等式和待求分式的结构特征，已知等式可变形得到$x^2$与$y^2$的差和$xy$的关系，而待求分式的分子、分母均能整理出$x^2-y^2$的整体项，因此可以采用整体代入法，将$x^2-y^2$用含$xy$的式子替换后，约分化简即可得到结果，无需单独求出$x$、$y$的具体值。
【解析】
解：由已知$x^2 - 3xy = y^2$，移项可得：
$x^2 - y^2 = 3xy$
对待求分式的分子、分母分别变形：
分子：$x^2 - xy - y^2 = (x^2 - y^2) - xy$
将$x^2 - y^2 = 3xy$代入，得分子$= 3xy - xy = 2xy$
分母：$2x^2 + xy - 2y^2 = 2(x^2 - y^2) + xy$
将$x^2 - y^2 = 3xy$代入，得分母$= 2×3xy + xy = 7xy$
由分式有意义的条件可知$x≠0$且$y≠0$，因此$xy≠0$，可约去分子分母的公因式$xy$：
$\frac{x^2 - xy - y^2}{2x^2 + xy - 2y^2} = \frac{2xy}{7xy} = \frac{2}{7}$
【答案】
$\frac{2}{7}$
【知识点】
分式化简求值，整体代入法，等式的性质
【点评】
本题是典型的分式条件求值题，解题核心是把握已知条件和待求式的结构关联，通过变形构造整体代入的形式，大幅简化运算，避免了繁琐的换元或消元计算，考验学生的观察能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.7
4 已知 $ a + x^2 = 2020 $，$ b + x^2 = 2021 $，$ c + x^2 = 2022 $，且 $ abc = 6057 $，则 $ \frac{a}{bc} + \frac{b}{ac} + \frac{c}{ab} - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} - \frac{1}{c} $ 的值为 ______。
答案
$\frac{1}{2019}$
解析
【分析】
首先观察所求代数式为分式的加减混合运算，先利用同分母分式加减法则将其通分化简，再对化简后的分子进行变形，通过完全平方公式转化为含a-b、b-c、c-a的形式；再根据已知的三个含x²的等式，两两作差即可求出a-b、b-c、c-a的取值，最后代入化简后的式子计算即可，无需单独求出a、b、c的具体值，简化计算过程。
【解析】
第一步：化简所求代数式
对原式通分，公分母为abc：
$\begin{aligned}\frac{a}{bc} + \frac{b}{ac} + \frac{c}{ab} - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} - \frac{1}{c}&=\frac{a^2}{abc}+\frac{b^2}{abc}+\frac{c^2}{abc}-\frac{bc}{abc}-\frac{ac}{abc}-\frac{ab}{abc}\\&=\frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac}{abc}\end{aligned}$
对分子变形，利用完全平方公式：
$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac=\frac{1}{2}[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$
第二步：求a-b、b-c、c-a的值
已知$a + x^2 = 2020$，$b + x^2 = 2021$，两式相减得：$b - a = 1$，即$a - b = -1$；
同理，$b + x^2 = 2021$，$c + x^2 = 2022$，两式相减得：$c - b = 1$，即$b - c = -1$；
$a + x^2 = 2020$，$c + x^2 = 2022$，两式相减得：$c - a = 2$。
第三步：代入计算
将上述值代入分子：
$\frac{1}{2}[(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2]=\frac{1}{2}×(1+1+4)=3$
已知$abc=6057$，代入化简后的式子：
$原式=\frac{3}{6057}=\frac{1}{2019}$
【答案】
$\frac{1}{2019}$
【知识点】
分式的加减运算，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于分式化简求值类题型，核心解题技巧是先化简所求代数式，再通过已知条件推导字母间的差值关系代入计算，避免了求解单个字母的繁琐过程，考查了学生对分式运算和完全平方公式变形的应用能力。
【难度系数】
0.6
首先观察所求代数式为分式的加减混合运算，先利用同分母分式加减法则将其通分化简，再对化简后的分子进行变形，通过完全平方公式转化为含a-b、b-c、c-a的形式；再根据已知的三个含x²的等式，两两作差即可求出a-b、b-c、c-a的取值，最后代入化简后的式子计算即可，无需单独求出a、b、c的具体值，简化计算过程。
【解析】
第一步：化简所求代数式
对原式通分，公分母为abc：
$\begin{aligned}\frac{a}{bc} + \frac{b}{ac} + \frac{c}{ab} - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} - \frac{1}{c}&=\frac{a^2}{abc}+\frac{b^2}{abc}+\frac{c^2}{abc}-\frac{bc}{abc}-\frac{ac}{abc}-\frac{ab}{abc}\\&=\frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac}{abc}\end{aligned}$
对分子变形，利用完全平方公式：
$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac=\frac{1}{2}[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$
第二步：求a-b、b-c、c-a的值
已知$a + x^2 = 2020$，$b + x^2 = 2021$，两式相减得：$b - a = 1$，即$a - b = -1$；
同理，$b + x^2 = 2021$，$c + x^2 = 2022$，两式相减得：$c - b = 1$，即$b - c = -1$；
$a + x^2 = 2020$，$c + x^2 = 2022$，两式相减得：$c - a = 2$。
第三步：代入计算
将上述值代入分子：
$\frac{1}{2}[(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2]=\frac{1}{2}×(1+1+4)=3$
已知$abc=6057$，代入化简后的式子：
$原式=\frac{3}{6057}=\frac{1}{2019}$
【答案】
$\frac{1}{2019}$
【知识点】
分式的加减运算，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于分式化简求值类题型，核心解题技巧是先化简所求代数式，再通过已知条件推导字母间的差值关系代入计算，避免了求解单个字母的繁琐过程，考查了学生对分式运算和完全平方公式变形的应用能力。
【难度系数】
0.6
5 先化简,再求值:$(\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{3x}{x+2})÷\dfrac{2}{x^2-4}$,其中$x$满足$x^2-5x+3=0$.
答案
$(\frac{x+2}{x-2}-\frac{3x}{x+2})÷\frac{2}{x^2-4}=\frac{(x+2)^2-3x(x-2)}{(x+2)(x-2)} · \frac{(x+2)(x-2)}{2} =\frac{x^2+4x+4-3x^2+6x}{2}=\frac{-2x^2+10x+4}{2}=-x^2+5x+2.$
$\because x^2-5x+3=0,\therefore -x^2+5x=3.\therefore$ 原式$=3+2=5$
$\because x^2-5x+3=0,\therefore -x^2+5x=3.\therefore$ 原式$=3+2=5$
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题型，解题可按两步思考：第一步化简分式，观察到除式的分母为$x^2-4$，可因式分解为$(x+2)(x-2)$，刚好是原式中两个分式分母的乘积，因此先将除法转化为乘法，通过约分简化运算，再合并同类项得到最简整式；第二步处理已知条件，无需解出$x$的具体值，将已知方程变形得到$-x^2+5x$的结果，整体代入化简后的式子即可求值，避免解一元二次方程带来的计算误差。
【解析】
首先对原式进行化简：
$\begin{aligned}(\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{3x}{x+2})÷\dfrac{2}{x^2-4}&=(\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{3x}{x+2})·\dfrac{(x+2)(x-2)}{2}\\&=\dfrac{(x+2)^2-3x(x-2)}{(x+2)(x-2)}·\dfrac{(x+2)(x-2)}{2}\\&=\dfrac{x^2+4x+4-3x^2+6x}{2}\\&=\dfrac{-2x^2+10x+4}{2}\\&=-x^2+5x+2\end{aligned}$
再根据已知条件变形代入：
已知$x^2-5x+3=0$，移项可得$x^2-5x=-3$，两边同乘$-1$得$-x^2+5x=3$。
将$-x^2+5x=3$代入化简后的式子，得：
原式$=3+2=5$
【答案】
$5$
【知识点】
分式混合运算，整体代入求值，平方差公式
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，既考查了分式四则运算规则、因式分解的应用，也渗透了整体代入的数学思想，解题时无需求出未知数的具体值，通过整体代入可大幅简化计算，需要注意运算过程中去括号的符号处理，避免符号出错。
【难度系数】
0.6
本题是分式化简求值类题型，解题可按两步思考：第一步化简分式，观察到除式的分母为$x^2-4$，可因式分解为$(x+2)(x-2)$，刚好是原式中两个分式分母的乘积，因此先将除法转化为乘法，通过约分简化运算，再合并同类项得到最简整式；第二步处理已知条件，无需解出$x$的具体值，将已知方程变形得到$-x^2+5x$的结果，整体代入化简后的式子即可求值，避免解一元二次方程带来的计算误差。
【解析】
首先对原式进行化简：
$\begin{aligned}(\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{3x}{x+2})÷\dfrac{2}{x^2-4}&=(\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{3x}{x+2})·\dfrac{(x+2)(x-2)}{2}\\&=\dfrac{(x+2)^2-3x(x-2)}{(x+2)(x-2)}·\dfrac{(x+2)(x-2)}{2}\\&=\dfrac{x^2+4x+4-3x^2+6x}{2}\\&=\dfrac{-2x^2+10x+4}{2}\\&=-x^2+5x+2\end{aligned}$
再根据已知条件变形代入：
已知$x^2-5x+3=0$，移项可得$x^2-5x=-3$，两边同乘$-1$得$-x^2+5x=3$。
将$-x^2+5x=3$代入化简后的式子，得：
原式$=3+2=5$
【答案】
$5$
【知识点】
分式混合运算，整体代入求值，平方差公式
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，既考查了分式四则运算规则、因式分解的应用，也渗透了整体代入的数学思想，解题时无需求出未知数的具体值，通过整体代入可大幅简化计算，需要注意运算过程中去括号的符号处理，避免符号出错。
【难度系数】
0.6
6 已知 $ abc = 1 $，则 $ \frac{a}{ab + a + 1} + \frac{b}{bc + b + 1} + \frac{c}{ac + c + 1} = \_\_\_\_\_\_ $
答案
1
解析
【分析】
本题是带已知条件的分式求值题，解题核心是利用$abc=1$的条件，结合分式的基本性质，将三个分式的分母转化为相同的形式，再进行同分母分式的加法运算即可求解。也可以用特殊值法快速验证结果：直接取符合$abc=1$的特殊值（如$a=b=c=1$）代入计算，适合填空选择题快速得到答案。
【解析】
已知$abc=1$，根据分式的基本性质，对后两个分式变形：
1. 对第二个分式$\frac{b}{bc + b + 1}$，分子分母同乘$a$（$a≠0$，否则$abc=0$与已知矛盾）：
$\frac{b}{bc + b + 1}=\frac{ab}{a(bc + b + 1)}=\frac{ab}{abc + ab + a}$
把$abc=1$代入，得$\frac{ab}{1 + ab + a}=\frac{ab}{ab + a + 1}$
2. 对第三个分式$\frac{c}{ac + c + 1}$，将分母中的$1$替换为$abc$，再提取公因式$c$：
$\frac{c}{ac + c + 1}=\frac{c}{ac + c + abc}=\frac{c}{c(ab + a + 1)}$
约去非零的$c$，得$\frac{1}{ab + a + 1}$
3. 将三个变形后的分式相加：
原式$=\frac{a}{ab + a + 1}+\frac{ab}{ab + a + 1}+\frac{1}{ab + a + 1}$
$=\frac{a + ab + 1}{ab + a + 1}=1$
【答案】
1
【知识点】
分式的基本性质；分式的加减运算；条件式求值
【点评】
本题是分式求值的经典题型，解题关键是灵活运用已知条件统一各分式的分母，避免复杂的通分计算。特殊值法是解决这类填空选择题的常用技巧，能大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.7
本题是带已知条件的分式求值题，解题核心是利用$abc=1$的条件，结合分式的基本性质，将三个分式的分母转化为相同的形式，再进行同分母分式的加法运算即可求解。也可以用特殊值法快速验证结果：直接取符合$abc=1$的特殊值（如$a=b=c=1$）代入计算，适合填空选择题快速得到答案。
【解析】
已知$abc=1$，根据分式的基本性质，对后两个分式变形：
1. 对第二个分式$\frac{b}{bc + b + 1}$，分子分母同乘$a$（$a≠0$，否则$abc=0$与已知矛盾）：
$\frac{b}{bc + b + 1}=\frac{ab}{a(bc + b + 1)}=\frac{ab}{abc + ab + a}$
把$abc=1$代入，得$\frac{ab}{1 + ab + a}=\frac{ab}{ab + a + 1}$
2. 对第三个分式$\frac{c}{ac + c + 1}$，将分母中的$1$替换为$abc$，再提取公因式$c$：
$\frac{c}{ac + c + 1}=\frac{c}{ac + c + abc}=\frac{c}{c(ab + a + 1)}$
约去非零的$c$，得$\frac{1}{ab + a + 1}$
3. 将三个变形后的分式相加：
原式$=\frac{a}{ab + a + 1}+\frac{ab}{ab + a + 1}+\frac{1}{ab + a + 1}$
$=\frac{a + ab + 1}{ab + a + 1}=1$
【答案】
1
【知识点】
分式的基本性质；分式的加减运算；条件式求值
【点评】
本题是分式求值的经典题型，解题关键是灵活运用已知条件统一各分式的分母，避免复杂的通分计算。特殊值法是解决这类填空选择题的常用技巧，能大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.7
7 已知$x,y,z$均不为0，且满足$4x - 3y - 6z = 0$，$x + 2y - 7z = 0$，求$\frac{2x^2 + 3y^2 + 6z^2}{x^2 + 5y^2 + 7z^2}$的值。
答案
$\because x,y,z$ 满足 $4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,$ 联立,得
$\begin{cases}4x-3y-6z=0,\\x+2y-7z=0,\end{cases} \therefore \begin{cases}x=3z,\\y=2z.\end{cases} \therefore \frac{2x^2+3y^2+6z^2}{x^2+5y^2+7z^2}=\frac{18z^2+12z^2+6z^2}{9z^2+20z^2+7z^2}=\frac{36}{36}=1$
$\begin{cases}4x-3y-6z=0,\\x+2y-7z=0,\end{cases} \therefore \begin{cases}x=3z,\\y=2z.\end{cases} \therefore \frac{2x^2+3y^2+6z^2}{x^2+5y^2+7z^2}=\frac{18z^2+12z^2+6z^2}{9z^2+20z^2+7z^2}=\frac{36}{36}=1$
解析
【分析】
题目给出2个关于x、y、z的等式，但共有3个未知数，无法直接求出x、y、z的具体数值。我们可以将z看作常数，把两个等式联立为关于x和y的二元一次方程组，通过消元法用含z的式子表示出x和y，再将x、y代入所求分式，由于z不为0，约分后即可得到分式的值。
【解析】
已知x,y,z均不为0，联立给定方程得：
$\begin{cases}4x-3y-6z=0 \quad ① \\x+2y-7z=0 \quad ②\end{cases}$
由②移项得：$x=7z-2y$，将其代入①：
$4(7z-2y)-3y-6z=0$
展开整理得：$22z-11y=0$，解得$y=2z$
把$y=2z$代入$x=7z-2y$，得$x=7z-4z=3z$，即$\begin{cases}x=3z \\y=2z\end{cases}$
将$x=3z$、$y=2z$代入所求分式：
$\frac{2x^2 + 3y^2 + 6z^2}{x^2 + 5y^2 + 7z^2}=\frac{2×(3z)^2 + 3×(2z)^2 + 6z^2}{(3z)^2 + 5×(2z)^2 + 7z^2}$
$=\frac{18z^2 + 12z^2 + 6z^2}{9z^2 + 20z^2 + 7z^2}=\frac{36z^2}{36z^2}$
因z≠0，约分后结果为1。
【答案】
$1$
【知识点】
二元一次方程组求解，分式化简求值
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心是运用消元思想将多个未知数统一用同一个未知数表示，代入分式后通过约分化简得到结果，是分式求值类题目的常用技巧，解题时要注意题目给出的未知数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
题目给出2个关于x、y、z的等式，但共有3个未知数，无法直接求出x、y、z的具体数值。我们可以将z看作常数，把两个等式联立为关于x和y的二元一次方程组，通过消元法用含z的式子表示出x和y，再将x、y代入所求分式，由于z不为0，约分后即可得到分式的值。
【解析】
已知x,y,z均不为0，联立给定方程得：
$\begin{cases}4x-3y-6z=0 \quad ① \\x+2y-7z=0 \quad ②\end{cases}$
由②移项得：$x=7z-2y$，将其代入①：
$4(7z-2y)-3y-6z=0$
展开整理得：$22z-11y=0$，解得$y=2z$
把$y=2z$代入$x=7z-2y$，得$x=7z-4z=3z$，即$\begin{cases}x=3z \\y=2z\end{cases}$
将$x=3z$、$y=2z$代入所求分式：
$\frac{2x^2 + 3y^2 + 6z^2}{x^2 + 5y^2 + 7z^2}=\frac{2×(3z)^2 + 3×(2z)^2 + 6z^2}{(3z)^2 + 5×(2z)^2 + 7z^2}$
$=\frac{18z^2 + 12z^2 + 6z^2}{9z^2 + 20z^2 + 7z^2}=\frac{36z^2}{36z^2}$
因z≠0，约分后结果为1。
【答案】
$1$
【知识点】
二元一次方程组求解，分式化简求值
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心是运用消元思想将多个未知数统一用同一个未知数表示，代入分式后通过约分化简得到结果，是分式求值类题目的常用技巧，解题时要注意题目给出的未知数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
8 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{5}{7}$，且$2b - d + 5f ≠ 0$，则$\frac{2a - c + 5e}{2b - d + 5f} = \_\_\_\_\_\_$
答案
$\frac{5}{7}$
解析
【分析】
本题是已知多个相等的分式比值，求分子、分母按相同系数组合后的新分式的值。解题思路有两种：一是直接运用等比性质求解，需注意等比性质适用的前提是分母的组合式不为0，本题恰好给出该条件，可直接使用；二是通过已知比值将所有分子用对应的分母表示，代入所求分式，约分后得到结果，两种方法都符合学段要求，容易理解。
【解析】
方法一：运用等比性质求解
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{5}{7}$，且题目给出$2b - d + 5f ≠ 0$，根据等比性质：若多个分式比值相等，且分母的线性组合不为0，则分子对应线性组合与分母对应线性组合的比值等于原比值，因此：
$\frac{2a - c + 5e}{2b - d + 5f} = \frac{5}{7}$
方法二：代入消元法求解
由$\frac{a}{b}=\frac{5}{7}$得$a=\frac{5}{7}b$，同理可得$c=\frac{5}{7}d$，$e=\frac{5}{7}f$，将其代入所求分式的分子：
$2a - c + 5e = 2×\frac{5}{7}b - \frac{5}{7}d + 5×\frac{5}{7}f = \frac{10b - 5d + 25f}{7} = \frac{5(2b - d + 5f)}{7}$
将分子代入所求分式：
$\frac{2a - c + 5e}{2b - d + 5f} = \frac{\frac{5(2b - d + 5f)}{7}}{2b - d + 5f}$
因为$2b - d + 5f ≠ 0$，可约去公因式，得结果为$\frac{5}{7}$
【答案】
$\frac{5}{7}$
【知识点】
1. 等比性质
2. 分式化简求值
【点评】
本题是分式求值的典型题型，既可以直接运用等比性质快速求解，也可以通过代入消元的方式逐步化简计算，解题时需注意确认分母不为0的前提条件，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
本题是已知多个相等的分式比值，求分子、分母按相同系数组合后的新分式的值。解题思路有两种：一是直接运用等比性质求解，需注意等比性质适用的前提是分母的组合式不为0，本题恰好给出该条件，可直接使用；二是通过已知比值将所有分子用对应的分母表示，代入所求分式，约分后得到结果，两种方法都符合学段要求，容易理解。
【解析】
方法一：运用等比性质求解
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{5}{7}$，且题目给出$2b - d + 5f ≠ 0$，根据等比性质：若多个分式比值相等，且分母的线性组合不为0，则分子对应线性组合与分母对应线性组合的比值等于原比值，因此：
$\frac{2a - c + 5e}{2b - d + 5f} = \frac{5}{7}$
方法二：代入消元法求解
由$\frac{a}{b}=\frac{5}{7}$得$a=\frac{5}{7}b$，同理可得$c=\frac{5}{7}d$，$e=\frac{5}{7}f$，将其代入所求分式的分子：
$2a - c + 5e = 2×\frac{5}{7}b - \frac{5}{7}d + 5×\frac{5}{7}f = \frac{10b - 5d + 25f}{7} = \frac{5(2b - d + 5f)}{7}$
将分子代入所求分式：
$\frac{2a - c + 5e}{2b - d + 5f} = \frac{\frac{5(2b - d + 5f)}{7}}{2b - d + 5f}$
因为$2b - d + 5f ≠ 0$，可约去公因式，得结果为$\frac{5}{7}$
【答案】
$\frac{5}{7}$
【知识点】
1. 等比性质
2. 分式化简求值
【点评】
本题是分式求值的典型题型，既可以直接运用等比性质快速求解，也可以通过代入消元的方式逐步化简计算，解题时需注意确认分母不为0的前提条件，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
9 阅读下面的解题过程：
已知：$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}$（$a,b,c$互不相等），
求$x+y+z$的值。
解：设$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}=k$，则$x=k(a-b),y=k(b-c),z=k(c-a)$，$\therefore x+y+z=k(a-b+b-c+c-a)=k·0=0$。$\therefore x+y+z=0$。
依照上述方法，解答下面的问题：
（1）已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}≠0$，求代数式$\frac{2x+y-z}{x+y+z}$的值；
（2）若$a,b,c$为非零实数，且$a+b+c≠0$，
当$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}$时，求$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$的值。
已知：$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}$（$a,b,c$互不相等），
求$x+y+z$的值。
解：设$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}=k$，则$x=k(a-b),y=k(b-c),z=k(c-a)$，$\therefore x+y+z=k(a-b+b-c+c-a)=k·0=0$。$\therefore x+y+z=0$。
依照上述方法，解答下面的问题：
（1）已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}≠0$，求代数式$\frac{2x+y-z}{x+y+z}$的值；
（2）若$a,b,c$为非零实数，且$a+b+c≠0$，
当$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}$时，求$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$的值。
答案
（1）设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k(k≠0),$则$x=2k,y=3k,z=4k,$
$\therefore \frac{2x+y-z}{x+y+z}=\frac{4k+3k-4k}{2k+3k+4k}=\frac{3k}{9k}=\frac{1}{3}$
（2）设$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}=m,\therefore a+b-c=mc①,a-b+c=mb②,-a+b+c=ma③.$ 由①+②+③,得$a+b+c=m(a+b+c).$
$\because a+b+c≠0,\therefore m=1.\therefore a+b=2c,c+a=2b,b+c=2a.$
$\therefore \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{2c· 2a· 2b}{abc}=8$
$\therefore \frac{2x+y-z}{x+y+z}=\frac{4k+3k-4k}{2k+3k+4k}=\frac{3k}{9k}=\frac{1}{3}$
（2）设$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}=m,\therefore a+b-c=mc①,a-b+c=mb②,-a+b+c=ma③.$ 由①+②+③,得$a+b+c=m(a+b+c).$
$\because a+b+c≠0,\therefore m=1.\therefore a+b=2c,c+a=2b,b+c=2a.$
$\therefore \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{2c· 2a· 2b}{abc}=8$
解析
【分析】
这两道题均为连等比例形式的分式求值问题，解题思路参考给出的例题，采用设参数法：
1. 第（1）题：已知是x、y、z的连比，先设连比的比值为参数k（k≠0），将x、y、z都用含k的代数式表示，再代入待求分式，分子分母的k可约去，即可求出分式的值。
2. 第（2）题：同样先设三个相等分式的比值为参数m，将三个分式转化为整式等式，把三个等式相加后结合a+b+c≠0的条件求出m的值，再推导得到a+b、b+c、c+a的表达式，最后代入待求分式约分计算即可。
【解析】
（1）设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k(k≠0)$，则$x=2k,y=3k,z=4k$，
$\therefore \frac{2x+y-z}{x+y+z}=\frac{4k+3k-4k}{2k+3k+4k}=\frac{3k}{9k}=\frac{1}{3}$。
（2）设$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}=m$，
$\therefore a+b-c=mc①,a-b+c=mb②,-a+b+c=ma③$。
由①+②+③，得$a+b+c=m(a+b+c)$。
$\because a+b+c≠0$，$\therefore m=1$。
$\therefore a+b=2c,b+c=2a,c+a=2b$。
$\therefore \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{2c·2a·2b}{abc}=8$。
【答案】
（1）$\frac{1}{3}$；（2）$8$
【知识点】
连比设参法，分式化简求值，等式的性质
【点评】
本题是分式求值中典型的连等比例类题型，核心解题技巧是引入参数将多个变量用同一个参数统一表示，代入目标式后消去参数得到结果，解题时要注意题目给出的非零条件，保证约分的合法性。
【难度系数】
0.7
这两道题均为连等比例形式的分式求值问题，解题思路参考给出的例题，采用设参数法：
1. 第（1）题：已知是x、y、z的连比，先设连比的比值为参数k（k≠0），将x、y、z都用含k的代数式表示，再代入待求分式，分子分母的k可约去，即可求出分式的值。
2. 第（2）题：同样先设三个相等分式的比值为参数m，将三个分式转化为整式等式，把三个等式相加后结合a+b+c≠0的条件求出m的值，再推导得到a+b、b+c、c+a的表达式，最后代入待求分式约分计算即可。
【解析】
（1）设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k(k≠0)$，则$x=2k,y=3k,z=4k$，
$\therefore \frac{2x+y-z}{x+y+z}=\frac{4k+3k-4k}{2k+3k+4k}=\frac{3k}{9k}=\frac{1}{3}$。
（2）设$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}=m$，
$\therefore a+b-c=mc①,a-b+c=mb②,-a+b+c=ma③$。
由①+②+③，得$a+b+c=m(a+b+c)$。
$\because a+b+c≠0$，$\therefore m=1$。
$\therefore a+b=2c,b+c=2a,c+a=2b$。
$\therefore \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{2c·2a·2b}{abc}=8$。
【答案】
（1）$\frac{1}{3}$；（2）$8$
【知识点】
连比设参法，分式化简求值，等式的性质
【点评】
本题是分式求值中典型的连等比例类题型，核心解题技巧是引入参数将多个变量用同一个参数统一表示，代入目标式后消去参数得到结果，解题时要注意题目给出的非零条件，保证约分的合法性。
【难度系数】
0.7
