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8[2025广东中考]如图,某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km,主塔高0.27 km,主缆可视为抛物线,主缆垂度0.178 5 km,主缆最低处距离桥面0.001 5 km,桥面距离海平面约0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系,并求该抛物线的表达式.
答案
8.【解】建立平面直角坐标系如图所示，
则抛物线顶点坐标为$(0,0.001 5)$,且过点$(\frac{1.7}{2},0.27-0.09)$,即$(0.85,0.18)$.
设该抛物线的表达式为$y=ax^2+0.001 5$.
将$(0.85,0.18)$代入$y=ax^2+0.001 5$,
得$0.18=0.85^2a+0.001 5$,解得$a=\frac{21}{85}$,
∴ 该抛物线的表达式为$y=\frac{21}{85}x^2+0.001 5(-0.85≤x≤0.85)$.
(建立平面直角坐标系不唯一,所求表达式不唯一)
9[2024山东潍坊中考]2024年6月,某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗,计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层,其建造成本$P$(万元)与隔热层厚度$x$(cm)满足函数表达式:$P=10x$.预计该商场每年的能源消耗费用$T$(万元)与隔热层厚度$x$(cm)满足函数表达式:$T=21-\frac{(x+2)(x+4)}{8}$,其中$0≤x≤9$.设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为$y$(万元).
(1)若$y=148$万元,求该商场建造的隔热层厚度;
(2)已知该商场未来8年的相关规划费用为$t$(万元),且$t=y+x^2$,当$172≤t≤192$时,求隔热层厚度$x$(cm)的取值范围.
(1)若$y=148$万元,求该商场建造的隔热层厚度;
(2)已知该商场未来8年的相关规划费用为$t$(万元),且$t=y+x^2$,当$172≤t≤192$时,求隔热层厚度$x$(cm)的取值范围.
答案
9.【解】(1)由题意得,$y = P + 8T = 10x + 8 × [21-\frac{(x+2)(x+4)}{8}]$,整理得$y=-x^2+4x+160$,当$y=148$时,$-x^2+4x+160=148$,解得$x=6$或$-2$.
∵ $0≤x≤9,∴ x=-2$不符合题意,舍去,
∴ 该商场建造的隔热层厚度为6 cm.
(2)由(1)得$y=-x^2+4x+160$.
∵ $t=y+x^2,∴ t=-x^2+4x+160+x^2=4x+160 (172≤t≤192)$.
∵ $4＞0,∴ t$随$x$的增大而增大. 当$t=172$时,$4x+160=172$,解得$x=3$;当$t=192$时,$4x+160=192$,解得$x=8,∴ x$的取值范围为$3≤x≤8$.
∵ $0≤x≤9,∴ x=-2$不符合题意,舍去,
∴ 该商场建造的隔热层厚度为6 cm.
(2)由(1)得$y=-x^2+4x+160$.
∵ $t=y+x^2,∴ t=-x^2+4x+160+x^2=4x+160 (172≤t≤192)$.
∵ $4＞0,∴ t$随$x$的增大而增大. 当$t=172$时,$4x+160=172$,解得$x=3$;当$t=192$时,$4x+160=192$,解得$x=8,∴ x$的取值范围为$3≤x≤8$.
10[2025吉林长春中考]在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线$y=x^2+bx$经过点$(3,3)$。点A,B是该抛物线上的两点，横坐标分别为$m,m+1$，已知点$M(1,1)$，作点A关于点M的对称点C，作点B关于点M的对称点D，构造四边形ABCD。
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)当A,B两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点C的坐标；
(3)设抛物线在A,B两点之间的部分(含A,B两点)为图象G。当$0＜m＜1$时，若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为$\frac{1}{2}$，求m的值；
(4)连结OA,OB，当$∠ AOB = ∠ OAD + ∠ OBC$时，直接写出m的取值范围(这里$∠ AOB$，$∠ OAD$，$∠ OBC$均是大于$0°$且小于$180°$的角)。
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)当A,B两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点C的坐标；
(3)设抛物线在A,B两点之间的部分(含A,B两点)为图象G。当$0＜m＜1$时，若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为$\frac{1}{2}$，求m的值；
(4)连结OA,OB，当$∠ AOB = ∠ OAD + ∠ OBC$时，直接写出m的取值范围(这里$∠ AOB$，$∠ OAD$，$∠ OBC$均是大于$0°$且小于$180°$的角)。
答案
10.【解】(1)将点$(3,3)$代入$y=x^2+bx$,得$3=9+3b$,解得$b=-2,∴ y=x^2-2x$.
(2)抛物线$y=x^2-2x$的对称轴为直线$x=-\frac{-2}{2×1}=1$.
∵ A,B关于对称轴对称,且横坐标分别为$m,m+1,∴ \frac{m+(m+1)}{2}=1,∴ m=\frac{1}{2}$. 将$x=\frac{1}{2}$代入抛物线表达式得$y=-\frac{3}{4},∴ A(\frac{1}{2},-\frac{3}{4})$. 设$C(x,y)$.
∵ 点C是点A关于点$M(1,1)$的对称点,$∴ \frac{\frac{1}{2}+x}{2}=1$,$\frac{-\frac{3}{4}+y}{2}=1$,解得$x=\frac{3}{2},y=\frac{11}{4},∴ 点C的坐标为(\frac{3}{2},\frac{11}{4})$.
(3)将$x=1$代入$y=x^2-2x$,得$y=-1,∴ 抛物线顶点坐标为(1,-1)$,易得$A(m,m^2-2m),B(m+1,m^2-1)$. 当$0＜m＜1$时,$1＜m+1＜2$,且抛物线开口向上,
∴ 图象G的最低点的纵坐标为-1. 当$1-m≥m+1-1$,即$0＜m≤\frac{1}{2}$时,图象G的最高点为A,
∴ $(m^2-2m)-(-1)=(m-1)^2=\frac{1}{2}$,解得$m=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$m=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍去);当$1-m＜m+1-1$,即$\frac{1}{2}＜m＜1$时,图象G的最高点为B,
∴ $(m^2-1)-(-1)=m^2=\frac{1}{2}$,解得$m=\frac{\sqrt{2}}{2}$或$m=-\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍去).
综上,$m$的值为$1-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(4)$\frac{5}{3}＜m＜4$.
∵ 点C是点A关于点M的对称点,点D是点B关于点M的对称点,
∴ 四边形ABCD是平行四边形,$\frac{x_A+x_C}{2}=1$,$\frac{y_A+y_C}{2}=1$,$\frac{x_B+x_D}{2}=1$,$\frac{y_B+y_D}{2}=1$.
∵ $A(m,m^2-2m),B(m+1,m^2-1),∴ C(2-m,-m^2+2m+2),D(1-m,-m^2+3)$. 分析可知,只有当O在四边形ABCD内部时,$∠AOB=∠OAD+∠OBC$. 由点O在直线AD或直线BC上,得到临界值. 设直线OA,OB,OC,OD的表达式分别为$y_A=k_1x_A,y_B=k_2x_B,y_C=k_3x_C,y_D=k_4x_D$.
当O在直线AD上时,$k_1=k_4,∴ \frac{y_A}{x_A}=\frac{y_D}{x_D}$,即$\frac{m^2-2m}{m}=\frac{-m^2+3}{1-m},∴ m=\frac{5}{3}$(不合题意的值已舍去);
当O在直线BC上时,$k_2=k_3,∴ \frac{y_B}{x_B}=\frac{y_C}{x_C}$,即$\frac{m^2-1}{m+1}=\frac{-m^2+2m+2}{2-m}$,解得$m=4$(不合题意的值已舍去),则$\frac{5}{3}＜m＜4$.
(2)抛物线$y=x^2-2x$的对称轴为直线$x=-\frac{-2}{2×1}=1$.
∵ A,B关于对称轴对称,且横坐标分别为$m,m+1,∴ \frac{m+(m+1)}{2}=1,∴ m=\frac{1}{2}$. 将$x=\frac{1}{2}$代入抛物线表达式得$y=-\frac{3}{4},∴ A(\frac{1}{2},-\frac{3}{4})$. 设$C(x,y)$.
∵ 点C是点A关于点$M(1,1)$的对称点,$∴ \frac{\frac{1}{2}+x}{2}=1$,$\frac{-\frac{3}{4}+y}{2}=1$,解得$x=\frac{3}{2},y=\frac{11}{4},∴ 点C的坐标为(\frac{3}{2},\frac{11}{4})$.
(3)将$x=1$代入$y=x^2-2x$,得$y=-1,∴ 抛物线顶点坐标为(1,-1)$,易得$A(m,m^2-2m),B(m+1,m^2-1)$. 当$0＜m＜1$时,$1＜m+1＜2$,且抛物线开口向上,
∴ 图象G的最低点的纵坐标为-1. 当$1-m≥m+1-1$,即$0＜m≤\frac{1}{2}$时,图象G的最高点为A,
∴ $(m^2-2m)-(-1)=(m-1)^2=\frac{1}{2}$,解得$m=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$m=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍去);当$1-m＜m+1-1$,即$\frac{1}{2}＜m＜1$时,图象G的最高点为B,
∴ $(m^2-1)-(-1)=m^2=\frac{1}{2}$,解得$m=\frac{\sqrt{2}}{2}$或$m=-\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍去).
综上,$m$的值为$1-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(4)$\frac{5}{3}＜m＜4$.
∵ 点C是点A关于点M的对称点,点D是点B关于点M的对称点,
∴ 四边形ABCD是平行四边形,$\frac{x_A+x_C}{2}=1$,$\frac{y_A+y_C}{2}=1$,$\frac{x_B+x_D}{2}=1$,$\frac{y_B+y_D}{2}=1$.
∵ $A(m,m^2-2m),B(m+1,m^2-1),∴ C(2-m,-m^2+2m+2),D(1-m,-m^2+3)$. 分析可知,只有当O在四边形ABCD内部时,$∠AOB=∠OAD+∠OBC$. 由点O在直线AD或直线BC上,得到临界值. 设直线OA,OB,OC,OD的表达式分别为$y_A=k_1x_A,y_B=k_2x_B,y_C=k_3x_C,y_D=k_4x_D$.
当O在直线AD上时,$k_1=k_4,∴ \frac{y_A}{x_A}=\frac{y_D}{x_D}$,即$\frac{m^2-2m}{m}=\frac{-m^2+3}{1-m},∴ m=\frac{5}{3}$(不合题意的值已舍去);
当O在直线BC上时,$k_2=k_3,∴ \frac{y_B}{x_B}=\frac{y_C}{x_C}$,即$\frac{m^2-1}{m+1}=\frac{-m^2+2m+2}{2-m}$,解得$m=4$(不合题意的值已舍去),则$\frac{5}{3}＜m＜4$.
