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1 [2025 山东威海中考]已知点$(-2,y_1),(3,y_2),(7,y_3)$都在二次函数$y=-(x-2)^2 +c$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
C
）A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
答案
1. C 【解析】:
∵ $y=-(x-2)^2 +c$,
∴ 抛物线开口向下,对称轴为直线$x=2$,
∴ 抛物线上离对称轴越远的点,其纵坐标越小.
∵ $|-2-2|=4,|3-2|=1,|7-2|=5,1＜4＜5,∴ y_2＞y_1＞y_3$. 故选 C.
∵ $y=-(x-2)^2 +c$,
∴ 抛物线开口向下,对称轴为直线$x=2$,
∴ 抛物线上离对称轴越远的点,其纵坐标越小.
∵ $|-2-2|=4,|3-2|=1,|7-2|=5,1＜4＜5,∴ y_2＞y_1＞y_3$. 故选 C.
2[2024山东青岛中考]二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，对称轴是直线$x=-1$，则过点$M(c,2a-b)$和点$N(b^2-4ac,a-b+c)$的直线一定不经过（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
2. C 【解析】
∵ 二次函数的图象与$y$轴交于正半轴,
∴ $c＞0$.
∵ 对称轴是直线$x=-1$,
∴ $-\frac{b}{2a}=-1$,
∴ $b=2a,∴ 2a-b=0,∴ M(c,2a-b)$在$x$轴正半轴上.
∵ 二次函数图象的顶点在第二象限,
∴ 当$x=-1$时,$y=a-b+c＞0$.
∵ 二次函数图象与$x$轴无交点,
∴ $b^2-4ac＜0,∴ 点 N(b^2-4ac,a-b+c)$在第二象限,
∴ 经过点$M(c,2a-b)$和点$N(b^2-4ac,a-b+c)$的直线一定经过第一、二、四象限,不经过第三象限. 故选 C.
∵ 二次函数的图象与$y$轴交于正半轴,
∴ $c＞0$.
∵ 对称轴是直线$x=-1$,
∴ $-\frac{b}{2a}=-1$,
∴ $b=2a,∴ 2a-b=0,∴ M(c,2a-b)$在$x$轴正半轴上.
∵ 二次函数图象的顶点在第二象限,
∴ 当$x=-1$时,$y=a-b+c＞0$.
∵ 二次函数图象与$x$轴无交点,
∴ $b^2-4ac＜0,∴ 点 N(b^2-4ac,a-b+c)$在第二象限,
∴ 经过点$M(c,2a-b)$和点$N(b^2-4ac,a-b+c)$的直线一定经过第一、二、四象限,不经过第三象限. 故选 C.
3[2025江苏南通中考]在平面直角坐标系$xOy$中，五个点的坐标分别为$A(-1,5),B(1,2),C(2,1),D(3,-1),E(5,5)$。若抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$经过上述五个点中的三个点，则满足题意的$a$的值不可能为（
A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
C
）A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
3. C 【解析】
∵ 抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0),∴ 抛物线开口向上,对称轴为直线$x=2$. ∵ A(-1,5),E(5,5),且$\frac{-1+5}{2}=2,
∴ 点 A,E 同时在抛物线上或同时不在抛物线上.
当抛物线过点 A,E,B 时,把 A(-1,5),B(1,2)代入,
得$\begin{cases} a(-1-2)^2+k=5, \\ a(1-2)^2+k=2, \end{cases}$ 解得$a=\frac{3}{8}$;
当抛物线过点 A,E,C 时,把 A(-1,5),C(2,1)代入,
得$\begin{cases} a(-1-2)^2+k=5, \\ a(2-2)^2+k=1, \end{cases}$ 解得$a=\frac{4}{9}$;
当抛物线过点 A,E,D 时,把 A(-1,5),D(3,-1)代入,
得$\begin{cases} a(-1-2)^2+k=5, \\ a(3-2)^2+k=-1, \end{cases}$ 解得$a=\frac{3}{4}$;
当抛物线过点 B,C,D 时,
把 C(2,1)代入,得$k=1,∴ y=a(x-2)^2+1$.
把 B(1,2)代入,得$a+1=2$,解得$a=1$,
把 D(3,-1)代入,得$a+1=-1$,解得$a=-2$,
∴ B,C,D 三点不能同时在抛物线上.
综上,$a$的值可能为$\frac{3}{8}$或$\frac{4}{9}$或$\frac{3}{4}$,故选 C.
∵ 抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0),∴ 抛物线开口向上,对称轴为直线$x=2$. ∵ A(-1,5),E(5,5),且$\frac{-1+5}{2}=2,
∴ 点 A,E 同时在抛物线上或同时不在抛物线上.
当抛物线过点 A,E,B 时,把 A(-1,5),B(1,2)代入,
得$\begin{cases} a(-1-2)^2+k=5, \\ a(1-2)^2+k=2, \end{cases}$ 解得$a=\frac{3}{8}$;
当抛物线过点 A,E,C 时,把 A(-1,5),C(2,1)代入,
得$\begin{cases} a(-1-2)^2+k=5, \\ a(2-2)^2+k=1, \end{cases}$ 解得$a=\frac{4}{9}$;
当抛物线过点 A,E,D 时,把 A(-1,5),D(3,-1)代入,
得$\begin{cases} a(-1-2)^2+k=5, \\ a(3-2)^2+k=-1, \end{cases}$ 解得$a=\frac{3}{4}$;
当抛物线过点 B,C,D 时,
把 C(2,1)代入,得$k=1,∴ y=a(x-2)^2+1$.
把 B(1,2)代入,得$a+1=2$,解得$a=1$,
把 D(3,-1)代入,得$a+1=-1$,解得$a=-2$,
∴ B,C,D 三点不能同时在抛物线上.
综上,$a$的值可能为$\frac{3}{8}$或$\frac{4}{9}$或$\frac{3}{4}$,故选 C.
4[2025陕西中考]在平面直角坐标系中，二次函数$y=ax^2 -2ax +a -3(a≠0)$的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（
A.图象的开口向下
B.当$x＞0$时，$y$的值随$x$值的增大而增大
C.函数的最小值小于$-3$
D.当$x=2$时，$y＜0$
D
）A.图象的开口向下
B.当$x＞0$时，$y$的值随$x$值的增大而增大
C.函数的最小值小于$-3$
D.当$x=2$时，$y＜0$
答案
4. D 【解析】由题意可得,方程$ax^2-2ax+a-3=0(a≠0)$的两根异号,
∴ $x_1x_2=\frac{a-3}{a}＜0$,解得$0＜a＜3,∴ 二次项系数$a＞0,
∴ 图象开口向上,故 A 不符合题意.
∵ 抛物线$y=ax^2-2ax+a-3(a≠0)$的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1,∴ 当$x＞1$时,$y$的值随$x$值的增大而增大,故 B 不符合题意. ∵ 当$x=1$时,$y=a-2a+a-3=-3,
∴ 函数的最小值为$-3$,故 C 不符合题意. 当$x=2$时,$y=4a-4a+a-3=a-3$.
∵ $0＜a＜3,∴ a-3＜0$,即当$x=2$时,$y＜0$,故 D 符合题意. 故选 D.
∴ $x_1x_2=\frac{a-3}{a}＜0$,解得$0＜a＜3,∴ 二次项系数$a＞0,
∴ 图象开口向上,故 A 不符合题意.
∵ 抛物线$y=ax^2-2ax+a-3(a≠0)$的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1,∴ 当$x＞1$时,$y$的值随$x$值的增大而增大,故 B 不符合题意. ∵ 当$x=1$时,$y=a-2a+a-3=-3,
∴ 函数的最小值为$-3$,故 C 不符合题意. 当$x=2$时,$y=4a-4a+a-3=a-3$.
∵ $0＜a＜3,∴ a-3＜0$,即当$x=2$时,$y＜0$,故 D 符合题意. 故选 D.
6[2025江苏连云港中考]已知二次函数$y=x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3$，a为常数.
(1)若该二次函数的图象与直线$y=2a^2$有两个交点，求a的取值范围；
(2)若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值；
(3)求证：该二次函数的图象不经过原点.
(1)若该二次函数的图象与直线$y=2a^2$有两个交点，求a的取值范围；
(2)若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值；
(3)求证：该二次函数的图象不经过原点.
答案
6. (1)【解】因为二次函数$y=x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3$中,$1＞0$,所以二次函数的图象开口向上. 因为二次函数的图象与直线$y=2a^2$有两个交点,所以函数的最小值小于$2a^2$,则$\frac{4(3a^2-2a+3)-4(a+1)^2}{4}=2a^2-4a+2＜2a^2$,解得$a＞\frac{1}{2}$.
(2)【解】因为二次函数的图象与x轴有交点,所以$4(a+1)^2-4×1×(3a^2-2a+3)=-8a^2+16a-8=-8(a-1)^2≥0$,所以$8(a-1)^2≤0$. 又因为$8(a-1)^2≥0$,所以$8(a-1)^2=0$,解得$a=1$.
(3)【证明】当$x=0$时,$y=3a^2-2a+3=3(a-\frac{1}{3})^2+\frac{8}{3}＞0$,所以该二次函数的图象不经过原点.
(2)【解】因为二次函数的图象与x轴有交点,所以$4(a+1)^2-4×1×(3a^2-2a+3)=-8a^2+16a-8=-8(a-1)^2≥0$,所以$8(a-1)^2≤0$. 又因为$8(a-1)^2≥0$,所以$8(a-1)^2=0$,解得$a=1$.
(3)【证明】当$x=0$时,$y=3a^2-2a+3=3(a-\frac{1}{3})^2+\frac{8}{3}＞0$,所以该二次函数的图象不经过原点.
7[2025浙江中考]已知抛物线$y=x^2 -ax +5$（$a$为常数）经过点$(1,0)$。
(1)求$a$的值.
(2)过点$A(0,t)$与$x$轴平行的直线交抛物线于$B,C$两点,且点$B$为线段$AC$的中点,求$t$的值.
(3)设$m＜3＜n$,抛物线的一段$y=x^2 -ax +5$（$m≤ x≤ n$）夹在两条均与$x$轴平行的直线$l_1,l_2$之间.若直线$l_1,l_2$之间的距离为$16$,求$n-m$的最大值.
(1)求$a$的值.
(2)过点$A(0,t)$与$x$轴平行的直线交抛物线于$B,C$两点,且点$B$为线段$AC$的中点,求$t$的值.
(3)设$m＜3＜n$,抛物线的一段$y=x^2 -ax +5$（$m≤ x≤ n$）夹在两条均与$x$轴平行的直线$l_1,l_2$之间.若直线$l_1,l_2$之间的距离为$16$,求$n-m$的最大值.
答案
7.【解】(1)把点$(1,0)$代入$y=x^2-ax+5$,得$1-a+5=0$,解得$a=6$.
(2)由(1)知抛物线的表达式为$y=x^2-6x+5$,所以抛物线的对称轴为直线$x=3$. 因为点$A$坐标为$(0,t)$,且点$B$为线段$AC$的中点,所以设点$B(s,t)$,点$C(2s,t)$. 由题意可得点$B,C$关于直线$x=3$对称,所以$\frac{s+2s}{2}=3$,解得$s=2$. 因为点$B$在抛物线上,所以当$s=2$时,$t=2^2-6×2+5=-3$.
(3)假设直线$l_1$位于直线$l_2$下方. 因为$y=x^2-6x+5=(x-3)^2-4$,所以抛物线的顶点坐标为$(3,-4)$.
因为抛物线的一段$y=x^2-ax+5(m≤x≤n)$夹在两条均与$x$轴平行的直线$l_1,l_2$之间,且$m＜3＜n$,所以直线$l_1$不能在直线$y=-4$上方.
因为直线$l_1,l_2$之间的距离为$16$,所以要使$n-m$最大,则直线$l_1$经过点$(3,-4)$,此时直线$l_1$的表达式为$y=-4$,所以直线$l_2$的表达式为$y=12$,所以当$y=12$时,$(x-3)^2-4=12$,解得$x_1=-1,x_2=7$,所以$m=-1,n=7$,所以$n-m$的最大值为$7-(-1)=8$.
(2)由(1)知抛物线的表达式为$y=x^2-6x+5$,所以抛物线的对称轴为直线$x=3$. 因为点$A$坐标为$(0,t)$,且点$B$为线段$AC$的中点,所以设点$B(s,t)$,点$C(2s,t)$. 由题意可得点$B,C$关于直线$x=3$对称,所以$\frac{s+2s}{2}=3$,解得$s=2$. 因为点$B$在抛物线上,所以当$s=2$时,$t=2^2-6×2+5=-3$.
(3)假设直线$l_1$位于直线$l_2$下方. 因为$y=x^2-6x+5=(x-3)^2-4$,所以抛物线的顶点坐标为$(3,-4)$.
因为抛物线的一段$y=x^2-ax+5(m≤x≤n)$夹在两条均与$x$轴平行的直线$l_1,l_2$之间,且$m＜3＜n$,所以直线$l_1$不能在直线$y=-4$上方.
因为直线$l_1,l_2$之间的距离为$16$,所以要使$n-m$最大,则直线$l_1$经过点$(3,-4)$,此时直线$l_1$的表达式为$y=-4$,所以直线$l_2$的表达式为$y=12$,所以当$y=12$时,$(x-3)^2-4=12$,解得$x_1=-1,x_2=7$,所以$m=-1,n=7$,所以$n-m$的最大值为$7-(-1)=8$.
