1[2026 浙江温州期中]已知二次函数 $y=(x-1)^2+2$，若 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，则自变量 $x$ 的取值范围是（）

A.$x≤ 2$
B.$x≥ 2$
C.$x≤ 1$
D.$x≥ 1$

1. C 【解析】
∵ 二次函数 $y=(x-1)^2+2$ 中,$a=1＞0,∴ 抛物线开口向上,对称轴为直线 $x=1,
∴ 当 $x≤ 1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,故选 C.

2[2026浙江台州期中]将抛物线$y=-(x-4)^2+3$进行平移后，其顶点在坐标轴上，则这个平移的过程可能是（）

A.向上平移4个单位
B.向下平移3个单位
C.向左平移3个单位
D.向右平移4个单位

2. B 【解析】抛物线$y=-(x-4)^2+3$的顶点坐标为$(4,3)$. 选项A,将抛物线向上平移4个单位,新抛物线顶点坐标为$(4,3+4)$,即$(4,7)$,不在坐标轴上;选项B,将抛物线向下平移3个单位,新抛物线顶点坐标为$(4,3-3)$,即$(4,0)$,在x轴上;选项C,将抛物线向左平移3个单位,新抛物线顶点坐标为$(4-3,3)$,即$(1,3)$,不在坐标轴上;选项D,将抛物线向右平移4个单位,新抛物线顶点坐标为$(4+4,3)$,即$(8,3)$,不在坐标轴上. 故选 B.

3[2026浙江杭州质检]如图，函数$y=ax^2 -2x +1$和$y=a(x-1)$（a是常数，且$a≠0$）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）

3. B 【解析】A选项,由一次函数$y=a(x-1)$的图象可得$a＜0$,此时二次函数$y=ax^2-2x+1$的图象应该开口向下,故A选项错误;B选项,由一次函数$y=a(x-1)$的图象可得$a＞0$,此时二次函数$y=ax^2-2x+1$的图象应该开口向上,对称轴为直线$x=-\frac{-2}{2a}＞0$,故B选项正确;C选项,由一次函数$y=a(x-1)$的图象可得$a＞0$,此时二次函数$y=ax^2-2x+1$的图象应该开口向上,对称轴为直线$x=-\frac{-2}{2a}＞0$,故C选项错误;D选项,由一次函数$y=a(x-1)$的图象可得$a＞0$,此时二次函数$y=ax^2-2x+1$的图象应该开口向上,故D选项错误. 故选 B.

4[2026浙江嘉兴质检]已知点$M(m-2,n)$在二次函数$y=ax^2 - 2ax + \frac{1}{4}(a＞0)$的图象上（如图所示），，当$x=m$时，$y＜0$，则下列说法正确的是（）

A.$n＜0$
B.$0＜n＜\frac{1}{4}$
C.$n＞\frac{1}{4}$
D.$n=\frac{1}{4}$

4. C 【解析】设抛物线与x轴的两交点横坐标为$x_1,x_2(x_1$＜x_2).
∵ 抛物线的对称轴为直线x=-\frac{-2a}{2a}=1,
∴ 根据函数图象可知,0＜x_1＜1＜x_2＜2.
∵ 当x=m时,y＜0,
∴ x_1＜m＜x_2,
∴ -2＜m-2＜0.
∵ 当x=0时,y=\frac{1}{4},根据图象可知,当x＜1时,y随x的增大而减小,
∴ 当x=m-2时,函数值n＞$\frac{1}{4},$故选 C.

5[2025浙江湖州期末]定义:我们将图象的顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为"互异二次函数".如图,在正方形OABC中,点A(0,2),点C(2,0),则互异二次函数$y=(x-m)^2 - m$的图象与正方形形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是()

A.4,-1
B.$\frac{5-\sqrt{17}}{2},-1$
C.4,0
D.$\frac{5+\sqrt{17}}{2},-1$

5. D 【解析】如图,由题意可得,互异二次函数$y=(x-m)^2-m$的图象的顶点(m,-m)在直线y=-x上运动.
在正方形OABC中,点A(0,2),点C(2,0),
∴ B(2,2). 从图象可以看出,当函数图象从左上向右下运动时,若抛物线与正方形有交点,先经过点A,最后经过点B,且在运动的过程中,两次经过点A、点O、点B和点C,
∴ 只需算出当函数图象经过点A及点B时m的值,即可求出m的最大值及最小值. 当互异二次函数$y=(x-m)^2-m$的图象经过点A(0,2)时,m=2或m=-1;当互异二次函数$y=(x-m)^2-m$的图象经过点B(2,2)时$,m=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$或$m=\frac{5+\sqrt{17}}{2},$
∴ 互异二次函数$y=(x-m)^2-m$的图象与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是$\frac{5+\sqrt{17}}{2},-1. $故选 D.

6 抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$(-2,0)$，且对称轴为直线$x=1$，其部分图象如图所示. 对于此抛物线有如下四个结论：
①$b=-2a$；
②$4a+2b+c＞0$；
③若$n＞m＞0$，则$x=1+m$时的函数值小于$x=1-n$时的函数值；
④点$(-\dfrac{c}{2a},0)$一定在此抛物线上.
其中正确的结论是 （）


A.①③
B.①④
C.①③④
D.①②④

6. D 【解析】由题图可得,$a＜0,c＞0$.
∵ 对称轴为直线$x=1,∴ -\frac{b}{2a}=1,∴ b=-2a,b＞0$,故①正确.
∵ 抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$(-2,0),∴ 根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(4,0)$. ∵ 当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而减小,当$x=2$时,$y=4a+2b+c,
∴ 4a+2b+c＞0$,故②正确. ∵ 抛物线开口向下,对称轴为直线$x=1,
∴ 横坐标是$1-n$的点的对称点的横坐标为$1+n$.
∵ $n＞m＞0,∴ 1+n＞1+m＞1,∴ x=1+m$时的函数值大于$x=1+n$时的函数值,
∴ $x=1+m$时的函数值大于$x=1-n$时的函数值,故③错误.
∵ $b=-2a$,抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$(-2,0),∴ 0=4a+4a+c$,即$c=-8a,∴ -\frac{c}{2a}=4$.
∵ 抛物线过点$(4,0),∴ 点(-\frac{c}{2a},0)$一定在此抛物线上,故④正确. 故选 D.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
7 [2026浙江温州调研]下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值.

则当$x=5$时,$y=$.

7. 4 【解析】由题表中x,y的对应值可知,当x=0与x=4时,y的值相等,
∴ 抛物线对称轴是直线$x=\frac{0+4}{2}=2,$
∴ 当x=-1与x=5时,y的值相等,
∴ 当x=5时,y=4. 故答案为4.

8 已知二次函数$y=x^2 - 2(k+1)x + k^2 - 2k - 3$的图象与x轴有两个交点，当k取满足条件的最小整数时将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线$y=x+m$有三个不同公共点时m的值是。

8. 1或$\frac{13}{4} 【$解析】
∵ 函数$y=x^2 - 2(k+1)x + k^2 - 2k - 3$的图象与x轴有两个交点,
∴$ [-2(k+1)]^2-4×1×(k^2-2k-3)＞0,$解得k＞-1,当k取满足条件的最小整数时,k=0,
∴ 二次函数为$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4. $如图,将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分不变,得到一个新图象,新图象的表达式为$y_1=\begin{cases} (x-1)^2-4(x≤-1$或$x≥3), \\ -(x-1)^2+4(-1$＜x＜3). \end{cases}
①
∵ y=x+m的图象从左到右是上升的,当过(-1,0)时,它与新图象有三个交点,把(-1,0)代入y=x+m得-1+m=0,
∴ m=1.
$②y_1=-(x-1)^2+4(-1＜x＜3)$的图象与y=x+m的图象只有一个交点时,直线y=x+m与新图象有三个交点,则$-(x-1)^2+4=x+m,$整理得$x^2-x+m-3=0,$
∴ 1-4(m-3)=0,解得$m=\frac{13}{4}. $故答案为1或$\frac{13}{4}.$

9[2025浙江杭州期中]在平面直角坐标系$xOy$中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”，抛物线$y=ax^2 -2ax +2a$（$a$为常数）与直线$y=x$交于$M,N$两点，若线段$MN$与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则$a$的取值范围是。

9. $-\frac{2}{13} ≤ a＜ -\frac{5}{37}$或$\frac{2}{5}＜ a ≤ \frac{1}{2}$ 【解析】根据题意得抛物线的顶点坐标为$(1,a)$. 当$a＞0$时,抛物线过点$P(2,2a),Q(3,5a),R(4,10a)$. 当抛物线经过$(2,1)$时,$2a=1$,解得$a=\frac{1}{2}$,此时,$P(2,1),Q(3,\frac{5}{2}),R(4,5)$,如图(1)所示,则满足题意的“整点”有$(1,1),(2,1),(2,2),(3,3)$,共4个.
当抛物线经过$(3,2)$时,$5a=2$,解得$a=\frac{2}{5}$,此时,$P(2,\frac{4}{5}),Q(3,2),R(4,4)$,如图(2)所示,则满足题意的“整点”有$(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(4,4)$,共6个,
∴ a的取值范围是$\frac{2}{5}＜a≤\frac{1}{2}$.
当$a＜0$时,抛物线过点$P(-2,10a),Q(-3,17a),R(-4,26a),J(-5,37a)$. 当抛物线经过$(-4,-4)$时,$26a=-4$,解得$a=-\frac{2}{13}$,此时,$P(-2,-\frac{20}{13}),Q(-3,-\frac{34}{13}),R(-4,-4)$,如图(3)所示,则满足题意的“整点”有$(-1,-1),(-2,-2),(-3,-3),(-4,-4)$,共4个;
当抛物线经过$(-5,-5)$时,$37a=-5$,解得$a=-\frac{5}{37}$,此时,$P(-2,-\frac{50}{37}),Q(-3,-\frac{85}{37}),R(-4,-\frac{130}{37}),J(-5,-5)$,如图(4)所示,则满足题意的“整点”有$(-1,-1),(-2,-2),(-3,-3),(-4,-4),(-5,-5)$,共5个,
∴ a的取值范围是$-\frac{2}{13}≤a＜-\frac{5}{37}$.
故答案为$-\frac{2}{13}≤a＜-\frac{5}{37}$或$\frac{2}{5}＜a≤\frac{1}{2}$.