10[2025浙江温州质检]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=10\ \mathrm{cm}$,$AC=8\ \mathrm{cm}$,$O$是$AB$的中点,点$P$从点$C$出发沿$CB$边向点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度移动,点$Q$从点$A$出发沿$AC$边向点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动.点$P,Q$同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也停止移动.
(1)出发$2\ \mathrm{s}$时,点$P,Q$之间的距离是$\mathrm{cm}$.
(2)当$△ OPQ$的面积最小时,点$P,Q$之间的距离是$\mathrm{cm}$.

$10. (1)2\sqrt{5} (2)\frac{\sqrt{61}}{2} 【$解析】(1)在Rt△ ABC中$,∠ C=90°,AB=10\ \mathrm{cm},AC=8\ \mathrm{cm},$
∴$ BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=6\ \mathrm{cm}. $由题意可知$CQ=8-2×2=4(\mathrm{cm}),CP=2\ \mathrm{cm},$
∴$ PQ=\sqrt{CQ^2+CP^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}(\mathrm{cm}),$
∴ 点P,Q之间的距离是$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}. $故答案为$2\sqrt{5}.$
(2)设点P,Q的移动时间为$x\ \mathrm{s}. $如图,在Rt△ ABC中$,∠ C=90°,AB=10\ \mathrm{cm},AC=8\ \mathrm{cm},BC=6\ \mathrm{cm},[$图8]
则$AQ=2x\ \mathrm{cm},CQ=(8-2x)\ \mathrm{cm},CP=x\ \mathrm{cm},BP=(6-x)\ \mathrm{cm}. $
∵ O是AB的中点,
∴ 易知O到AC的距离为$\frac{1}{2}BC=3\ \mathrm{cm},O$到BC的距离为$\frac{1}{2}AC=4\ \mathrm{cm}.$
∵$ S_{△OPQ} = S_{△ABC} - S_{△AOQ} - S_{△BOP} - S_{△PCQ} = \frac{1}{2}×8×6 - \frac{1}{2}·2x·3 - \frac{1}{2}·(6-x)·4 - \frac{1}{2}(8-2x)·x = 24 - 3x - 12 + 2x - 4x + x^2 = x^2 -5x +12 = (x-\frac{5}{2})^2 + \frac{23}{4},$
∴ 当$x=\frac{5}{2}$时,△ OPQ的面积最小,此时$CQ=3\ \mathrm{cm},CP=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm},$
∴$ PQ=\sqrt{CQ^2+CP^2}=\frac{\sqrt{61}}{2}\ \mathrm{cm},$
∴ 当△ OPQ的面积最小时,点P,Q之间的距离是$\frac{\sqrt{61}}{2}\ \mathrm{cm}. $故答案为$\frac{\sqrt{61}}{2}.$

三、解答题(本大题共4小题,共50分)
11[2026浙江衢州质检]已知关于x的不等式组
$\begin{cases} x^2 - x + a - a^2 ＜ 0, \\ x + 2a ＞ 4. \end{cases}$
(1)若$a=2$,求不等式组的解集.
(2)若该不等式组无解,求实数a的取值范围.

11.【解】(1)把a=2代入$\begin{cases} x^2 - x + a - a^2 ＜ 0, \\ x + 2a ＞ 4, \end{cases}$得$\begin{cases} x^2 - x - 2 ＜ 0, \\ x ＞ 0. \end{cases}$
画函数$y=x^2-x-2$的图象如图：
由图象可得$x^2-x-2$＜0的解集为-1＜x＜2,
∴ 不等式组的解集为0＜x＜2.
(2)不等式组化为$\begin{cases} (x-a)[x-(1-a)]$＜0, \\ x＞$4-2a. \end{cases}$
①当a=1-a,即$a=\frac{1}{2}$时,不等式组无解;
②当a＞1-a,即$a＞\frac{1}{2}$时,
∵ 不等式组无解,
∴ 4-2a≥a,解得$a≤\frac{4}{3},$
∴$ \frac{1}{2}$＜a≤\frac{4}{3};
③当a＜1-a,即a＜\frac{1}{2}时,
∵ 不等式组无解,
∴ 4-2a≥1-a,解得a≤3,
∴ a＜\frac{1}{2}.
综上,实数a的取值范围为$a≤\frac{4}{3}.$

12[2024湖北武汉中考]16世纪中叶,我国发明了一种新式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线,当火箭运行一定水平距离时,自动引发火箭第二级,火箭第二级沿直线运行.
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图,以发射点为原点,地平线为x轴,垂直于地面的直线为y轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线$y = ax^2 + x$和直线$y = -\frac{1}{2}x + b$.其中,当火箭运行的水平距离为9 km时,自动引发火箭的第二级.
(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km,
①直接写出$a,b$的值;
②火箭在运行过程中,有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35 km,求这两个位置之间的距离.
(2)直接写出$a$满足什么条件时,火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km.

12.【解】(1)①$a=-\frac{1}{15},b=8.1$.
∵ 抛物线$y=ax^2+x$经过点$(9,3.6)$,
∴ $81a+9=3.6$,解得$a=-\frac{1}{15}$.
∵ 直线$y=-\frac{1}{2}x+b$经过点$(9,3.6)$,
∴ $3.6=-\frac{1}{2}×9+b$,解得$b=8.1$.
②由①得抛物线$y=-\frac{1}{15}x^2+x=-\frac{1}{15}(x^2-15x+\frac{225}{4})+\frac{15}{4}=-\frac{1}{15}(x-\frac{15}{2})^2+\frac{15}{4}(0≤x≤9)$,
∴ 火箭运行的最高点到地平线的距离是$\frac{15}{4}\ \mathrm{km}$,
∴ $\frac{15}{4}-1.35=2.4(\mathrm{km})$.
当$y=2.4$时,$2.4=-\frac{1}{15}x^2+x$,
整理得$x^2-15x+36=0$,
解得$x_1=12$(不合题意,舍去),$x_2=3$.
由①得直线$y=-\frac{1}{2}x+8.1$.
当$y=2.4$时,$2.4=-\frac{1}{2}x+8.1$,解得$x=11.4$,
$11.4-3=8.4(\mathrm{km})$.
答:这两个位置之间的距离为8.4 km.
(2)$-\frac{2}{27}＜a＜0$.
当$x=9$时,$y=81a+9$,
∴ 火箭第二级的引发点的坐标为$(9,81a+9)$.
当火箭落地点与发射点的水平距离为15 km时,直线$y=-\frac{1}{2}x+b$经过点$(9,81a+9),(15,0)$,
∴ $\begin{cases} -\frac{1}{2}×9+b=81a+9, \\ -\frac{1}{2}×15+b=0, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-\frac{2}{27}, \\ b=\frac{15}{2}, \end{cases}$
∴ 当$-\frac{2}{27}＜a＜0$时,火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km.