13[2025浙江金华期末]已知二次函数$y=ax^2+bx+c$($a,b,c$是常数,$a≠0$)的图象经过点$(-1,2)$.
(1)若抛物线的顶点为$(1,-2)$,求函数的表达式.
(2)在(1)的条件下,若函数图象过点$A(k,p)$,$B(-4-k,q)$,求证:$p+q≥14$.
(3)若函数图象经过点$(m,0)$,$(n,0)$,其中$m＞2$,且关于$x$的方程$ax^2+bx+c=-2x$有两个相等的实数根,求$n$的取值范围.

13. (1)【解】由题意可知该抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2-2$,将点$(-1,2)$代入,可得$2=a(-1-1)^2-2$,解得$a=1,∴ 该函数的表达式为$y=(x-1)^2-2=x^2-2x-1$.(2)【证明】分别将点$A(k,p),B(-4-k,q)$代入函数表达式$y=x^2-2x-1$,可得$p=k^2-2k-1$,$q=(-4-k)^2-2(-4-k)-1=k^2+10k+23,
∴ p+q=k^2-2k-1+k^2+10k+23=2k^2+8k+22=2(k+2)^2+14$.∵ $(k+2)^2≥0,
∴ p+q≥14$.(3)【解】∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$(-1,2),
∴ 2=a-b+c,
∴ b+2=a+c$. 将方程$ax^2+bx+c=-2x$整理得$ax^2+(b+2)x+c=0$.∵ 该方程有两个相等的实数根,∴ $(b+2)^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2=0,
∴ a=c,
∴ b+2=2a$,即$2a-b=2$. ①该二次函数表达式为$y=ax^2+bx+a$,当$m=2$,即该二次函数图象经过点$(2,0)$时,若$a＜0$,则该函数图象开口向下,如图(1),此时该函数图象与y轴交点在y轴的正半轴上,此时$a=c＞0$,故不符合题意;若$a＞0$,则该函数图象开口向上,如图(2).将$M(2,0)$代入,得$4a+2b+a=0,
∴ 5a+2b=0$. ②联立①②,得$\begin{cases} 2a-b=2, \\ 5a+2b=0, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=\frac{4}{9}, \\ b=-\frac{10}{9}, \end{cases}$∴ 该函数表达式为$y=\frac{4}{9}x^2-\frac{10}{9}x+\frac{4}{9}$,令$y=0$,得方程$\frac{4}{9}x^2-\frac{10}{9}x+\frac{4}{9}=0$,解得$x_1=2,x_2=\frac{1}{2},
∴ n=\frac{1}{2}$.如图(2)所示,当$m$逐渐增大时,该函数图象与x轴的另一交点逐渐向左运动,函数图象与y轴的交点逐渐向下运动.∵ 该函数图象开口向上,$a=c＞0,
∴ 函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上,
∴ 函数图象与x轴的交点在x轴的正半轴上,
∴ 当$m$逐渐增大时,$n＞0$.
综上所述,$n$的取值范围为$0＜n＜\frac{1}{2}$.

14 新考法[2025江苏宿迁中考]定义:在平面直角坐标系中,到两个坐标轴的距离都小于或等于k的点叫“k阶近轴点”,所有的“k阶近轴点”组成的图形记为图形W.如图所示,所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心,2为边长的正方形区域.
(1)下列函数图象上存在“1阶近轴点”的是;
①$y=\frac{1}{x}$;②$y=-x+3$;③$y=x^2-2x+3$.
(2)若一次函数$y=2x+m$的图象上存在“3阶近轴点”,求实数m的取值范围;
(3)特别地,当点P在图形W上,且横坐标是纵坐标的k倍时,称点P是图形W的“k阶完美点”,若二次函数$y=ax^2-ax-2a+2$的图象上有且只有一个“2阶完美点”,求实数a的取值范围.

14.【解$】(1)y=\frac{1}{x}$的图象经过点(1,1),点(1,1)是“1阶近轴点”,故①符合题意. 设y=-x+3的图象上存在“1阶近轴点”,此点的坐标为(n,-n+3). 由题意得$\begin{cases} -1≤n≤1, \\ -1≤-n+3≤1, \end{cases} $不等式组无解,
∴ y=-x+3的图象上不存在“1阶近轴点”,故②不符合题意.
∵$ y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2,$
∴ 函数$y=x^2-2x+3$的最小值为2,
∴ 函数$y=x^2-2x+3$图象上的点到x轴的距离大于等于2,
∴ 函数$y=x^2-2x+3$的图象上不存在“1阶近轴点”,故③不符合题意. 故答案为①.
(2)设一次函数y=2x+m的图象上“3阶近轴点”的坐标为(t,2t+m). 由题意得$\begin{cases} -3≤t≤3, \\ -3≤2t+m≤3, \end{cases} $解得$\begin{cases} -3≤t≤3, \\ \frac{-3-m}{2}≤t≤\frac{3-m}{2}. \end{cases} $
∵ 一次函数y=2x+m的图象上存在“3阶近轴点”,
∴ 关于t的不等式组$\begin{cases} -3≤t≤3, \\ \frac{-3-m}{2}≤t≤\frac{3-m}{2} \end{cases}$有解,
∴$ \frac{-3-m}{2}≤-3≤\frac{3-m}{2}$或-3＜\frac{-3-m}{2}＜\frac{3-m}{2}＜3或$\frac{-3-m}{2}≤3≤\frac{3-m}{2},$解得3≤m≤9或-3＜m＜3或-9≤m≤-3,即-9≤m≤9,
∴ 实数m的取值范围为-9≤m≤9.
(3)设“2阶完美点”的坐标为(2c,c). 由题意得,-2≤2c≤2,
∴ “2阶完美点”在函数$y=\frac{1}{2}x(-2≤x≤2)$的图象上.
∵ 二次函数$y=ax^2-ax-2a+2$的图象上有且只有一个“2阶完美点”,
∴ 函数$y=ax^2-ax-2a+2$与函数$y=\frac{1}{2}x(-2≤x≤2)$的图象只有一个交点. 令$ax^2-ax-2a+2=\frac{1}{2}x,$整理得$ax^2-(a+\frac{1}{2})x-2a+2=0. $设函数$y_1=ax^2-(a+\frac{1}{2})x-2a+2,$则函数$y_1$的图象与x轴的交点的横坐标有且只有一个,且满足-2≤x≤2,当x=2时$,y_1=4a-2(a+\frac{1}{2})-2a+2=1＞0. $若函数$y_1$的图象与x轴有2个交点,但在-2≤x≤2内有且只有一个交点,则当x=-2时,有$y_1≤0,$
∴$ 4a+2(a+\frac{1}{2})-2a+2≤0,$解得$a≤-\frac{3}{4}. $若函数$y_1$的图象与x轴只有1个交点,则$(a+\frac{1}{2})^2-4a(-2a+2)=0,$整理得$9a^2-7a+\frac{1}{4}=0,$解得$a=\frac{7+2\sqrt{10}}{18}$或$a=\frac{7-2\sqrt{10}}{18}. $当$a=\frac{7+2\sqrt{10}}{18}$时$,y_1$的图象与x轴的交点的横坐标为$\frac{a+\frac{1}{2}}{2a}=4-\sqrt{10}. $
∵ -2＜4-\sqrt{10}＜2,
∴ a=\frac{7+2\sqrt{10}}{18}符合题意. 当a=\frac{7-2\sqrt{10}}{18}时,y_1的图象与x轴的交点的横坐标为\frac{a+\frac{1}{2}}{2a}=4+\sqrt{10}＞2,不符合题意,舍去.
综上所述,实数a的取值范围为$a≤-\frac{3}{4}$或$a=\frac{7+2\sqrt{10}}{18}.$