9. 如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE.若∠DOF＝90°，∠BOD＝30°，则∠DOE＝°。

因为∠DOF=90°,所以∠COF=180°-∠DOF=90°.因为∠AOC=∠BOD=30°,所以∠AOF=90°-30°=60°.因为 OF 平分∠AOE,所以∠EOF=∠AOF=60°.所以∠DOE=90°-60°=30°.

10. ★如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOC=82°，则∠BOF=°。

因为∠AOC=82°,所以∠BOD=∠AOC=82°.又因为 OE 平分∠BOD,所以∠DOE=∠BOE=1/2∠BOD=1/2×82°=41°.所以∠COE=180°-∠DOE=180°-41°=139°.因为 OF 平分∠COE,所以∠EOF=1/2∠COE=1/2×139°=69.5°.所以∠BOF=∠EOF-∠BOE=69.5°-41°=28.5°.

11. [2025 宁波期末]如图，直线AB和CD相交于点O，射线OE，OF在直线CD的右侧，∠COE与∠DOF互余，OA平分∠COF.
（1）当∠BOD=50°时，求∠COE的度数.
（2）当∠BOF=4∠COE时，求∠AOE的度数.

（1）因为∠COE 与∠DOF 互余,所以∠COE+∠DOF=90°.所以∠EOF=180°-90°=90°.因为 OA 平分∠COF,所以∠AOC=∠AOF.又因为∠AOC=∠BOD=50°,所以∠AOC=∠AOF=50°.所以∠COF=2∠AOC=100°.所以∠COE=100°-90°=10°.
（2）设∠COE=α,因为∠COE 与∠DOF 互余,所以∠DOF=90°-α.因为∠BOF=4∠COE,所以∠BOF=4α.所以∠BOD=∠BOF-∠DOF=4α-(90°-α)=5α-90°.因为∠BOD=∠AOC=∠AOF=5α-90°,∠AOF+∠BOF=180°,所以5α-90°+4α=180°,解得 α=30°.所以∠COE=30°,∠AOC=5α-90°=60°.所以∠AOE=60°-30°=30°.

12. 直线AB，CD相交于点O，∠COF=∠DOF，作射线OE，且OC在∠AOE的内部.
（1）若射线OE，OF在直线AB的同侧.
① 如图①，若∠BOD=15°，∠BOE=120°，求∠EOF的度数.
② 如图②，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由.
（2）若∠AOF=2∠COE，求∠BOE与∠AOC之间的等量关系.

（1）① 因为∠COF=∠DOF,∠COF+∠DOF=180°,所以∠COF=90°.因为∠BOD=15°,∠BOE=120°,所以∠COE=180°-∠BOE-∠BOD=180°-120°-15°=45°.所以∠EOF=∠COF-∠COE=90°-45°=45°.
② 平分.理由:因为 OF 平分∠BOE,所以∠EOF=∠BOF=1/2∠EOB. 因为∠COF=∠DOF,∠COE=∠COF-∠EOF,∠BOD=∠DOF-∠BOF, 所以∠COE=∠BOD. 因为∠BOD=∠AOC,所以∠COE=∠AOC,即OC平分∠AOE.
（2）设∠COE=α,则∠AOF=2∠COE=2α.当射线 OE,OF 在直线 AB 的同侧时,如图①.因为∠COF=90°,所以∠EOF=90°-α,∠AOC=∠AOF-∠COF=2α-90° ①. 所以∠BOE=180°-∠AOC-∠COE=180°-(2α-90°)-α=270°-3α ②. 由①×3+②×2,得 3∠AOC+2∠BOE=270°.当射线 OE,OF 在直线 AB 的异侧时,如图②.因为∠COF=90°,所以∠AOC=∠COF-∠AOF=90°-2α ③. 所以∠BOE=180°-∠AOC-∠COE=180°-(90°-2α)-α=90°+α ④. 由③+④×2,得∠AOC+2∠BOE=270°.综上所述,∠BOE与∠AOC之间的等量关系为 3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°.