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1. 抛物线$y=2x^2$的对称轴为 （
A.直线$x=-2$
B.直线$x=2$
C.$y$轴
D.$x$轴
C
）A.直线$x=-2$
B.直线$x=2$
C.$y$轴
D.$x$轴
答案
1. C 解析:
∵ 抛物线的解析式为$y=2x^2$,该抛物线符合$y=ax^2(a≠0)$的形式,
∴ 其对称轴为$y$轴,故选C.
∵ 抛物线的解析式为$y=2x^2$,该抛物线符合$y=ax^2(a≠0)$的形式,
∴ 其对称轴为$y$轴,故选C.
2. (2025·广安模拟)若抛物线$y=(m-2)x^2$开口向上,则$m$的值可能是下面的 (
A.0
B.2
C.4
D.-2
C
)A.0
B.2
C.4
D.-2
答案
2. C 解析:
∵ 抛物线$y=(m-2)x^2$开口向上,
∴ $m-2＞0$,即$m＞2$.
∴ 选项中只有$m=4$满足条件.故选C.
∵ 抛物线$y=(m-2)x^2$开口向上,
∴ $m-2＞0$,即$m＞2$.
∴ 选项中只有$m=4$满足条件.故选C.
3. (2026·汕尾期中)已知点$A(-2,y_1),B(-1,y_2)$在二次函数$y=\frac{1}{3}x^2$的图象上,则$y_1,y_2$的大小关系是 (
A.$y_1＞y_2＞0$
B.$y_2＞y_1＞0$
C.$0＞y_1＞y_2$
D.$0＞y_2＞y_1$
A
)A.$y_1＞y_2＞0$
B.$y_2＞y_1＞0$
C.$0＞y_1＞y_2$
D.$0＞y_2＞y_1$
答案
3. A 解析:
∵ 点$A(-2,y_1),B(-1,y_2)$在二次函数$y=\frac{1}{3}x^2$的图象上,
∴ $y_1=\frac{1}{3}×(-2)^2=\frac{4}{3},y_2=\frac{1}{3}×(-1)^2=\frac{1}{3}.∵ \frac{4}{3}＞\frac{1}{3}＞0,∴ y_1＞y_2＞0$.故选A.
归纳总结 比较二次函数值的大小:
①代入比较法:将点的坐标代入解析式计算,求出函数值再比较.
②增减性比较法:当点都在对称轴同侧时,直接根据增减性比较大小;当点不在对称轴同侧时,利用对称性将对称轴两侧的点转化到同一侧,再根据增减性比较大小.
③距离比较法:当开口向上时,此时抛物线上的点与对称轴的距离越远函数值越大;当开口向下时,此时抛物线上的点与对称轴的距离越远函数值越小.
∵ 点$A(-2,y_1),B(-1,y_2)$在二次函数$y=\frac{1}{3}x^2$的图象上,
∴ $y_1=\frac{1}{3}×(-2)^2=\frac{4}{3},y_2=\frac{1}{3}×(-1)^2=\frac{1}{3}.∵ \frac{4}{3}＞\frac{1}{3}＞0,∴ y_1＞y_2＞0$.故选A.
归纳总结 比较二次函数值的大小:
①代入比较法:将点的坐标代入解析式计算,求出函数值再比较.
②增减性比较法:当点都在对称轴同侧时,直接根据增减性比较大小;当点不在对称轴同侧时,利用对称性将对称轴两侧的点转化到同一侧,再根据增减性比较大小.
③距离比较法:当开口向上时,此时抛物线上的点与对称轴的距离越远函数值越大;当开口向下时,此时抛物线上的点与对称轴的距离越远函数值越小.
4. 原创题 二次函数 $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x^2$ 的图象是一条
抛物线
，它的开口方向向下
，顶点坐标是(0,0)
，对称轴是y轴
，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大
；当$x = 0$时，$y$有最大
值，为0
。答案
4. 抛物线 下 (0,0) y轴 减小 增大 大 0
5. 原创题 (1)若抛物线$y=ax^{a^2 -a}$不经过第一、二象限，则$a=$
(2)若抛物线$y=(k+1)x^{k^2 +2k -1}$有最小值，则$k=$
-1
。(2)若抛物线$y=(k+1)x^{k^2 +2k -1}$有最小值，则$k=$
1
。答案
5. (1)-1 解析:由题意得,$a^2-a=2$,且$a＜0$,
∴ $a=-1$.
(2)1 解析:由题意得,$k^2+2k-1=2$,且$k+1＞0$,
∴ $k=1$.
∴ $a=-1$.
(2)1 解析:由题意得,$k^2+2k-1=2$,且$k+1＞0$,
∴ $k=1$.
6. 如图,矩形ABCD的长AB=6 cm,宽AD=3 cm. O是AB的中点,OP⊥AB,两半圆的直径分别为AO与OB.抛物线$y=ax^2$经过C,D两点,则图中阴影部分的面积是
$\frac{9π}{8}$
cm².答案
6. $\frac{9π}{8}$ 解析:由对称性可知阴影部分的面积=$S_{半圆}=\frac{9π}{8}$.
7. 如图所示四个二次函数的图象中,分别对应的是①$y=ax^2$;②$y=bx^2$;③$y=cx^2$;④$y=dx^2$.则$a$, $b$,$c$,$d$的大小关系为
$a＞b＞d＞c$
.(用“＞”连接)答案
7. $a＞b＞d＞c$ 解析:观察图象可知,$a＞b＞0,c＜d＜0$,即$a＞b＞d＞c$.
8. 原创题 已知二次函数$y=ax^2$的图象经过点$A(-1,-\dfrac{1}{3}),B(3,m)$。
(1)$a=$
(2)写出该二次函数图象的顶点坐标及对称轴；
(3)当$-3≤ x≤ -1$时,求函数$y$的最大值和最小值。
(1)$a=$
$-\frac{1}{3}$
,$m=$$-3$
,并在图中画出$y=ax^2$的图象；(2)写出该二次函数图象的顶点坐标及对称轴；
(3)当$-3≤ x≤ -1$时,求函数$y$的最大值和最小值。
答案
8. (1)$-\frac{1}{3}$ $-3$ 画图见
(2)顶点坐标为$(0,0)$,对称轴为$y$轴.
(3)最大值为$-\frac{1}{3}$,最小值为$-3$.
9. 改编题 关于抛物线$y=-2x^2$，下列说法正确的有（
①与抛物线$y=a^2x^2$顶点相同，开口方向相反；
②当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小；
③当$-1＜x＜2$时，$-8＜y＜-2$；
④若$(m,p),(n,p)$是该抛物线上两点，则$m+n=0$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）①与抛物线$y=a^2x^2$顶点相同，开口方向相反；
②当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小；
③当$-1＜x＜2$时，$-8＜y＜-2$；
④若$(m,p),(n,p)$是该抛物线上两点，则$m+n=0$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
9. C 解析:①②④正确,③当$-1＜x＜2$时,$-8＜y≤0$.
归纳总结 求二次函数的最值,若自变量的取值范围是全体实数,则函数在图象的顶点处取最值,若自变量的取值范围是$x_1≤x≤x_2$,则需要分类讨论:①对称轴在取值范围内,则在抛物线顶点处取一个最值,在离对称轴较远的端点$(x=x_1$或$x=x_2)$处取另一个最值;②对称轴不在取值范围内,则在取值范围的两端点$(x=x_1,x=x_2)$处取最值.
归纳总结 求二次函数的最值,若自变量的取值范围是全体实数,则函数在图象的顶点处取最值,若自变量的取值范围是$x_1≤x≤x_2$,则需要分类讨论:①对称轴在取值范围内,则在抛物线顶点处取一个最值,在离对称轴较远的端点$(x=x_1$或$x=x_2)$处取另一个最值;②对称轴不在取值范围内,则在取值范围的两端点$(x=x_1,x=x_2)$处取最值.
