10.（呼和浩特中考）二次函数$y=ax^2$与一次函数$y=ax+a$在同一坐标系中的大致图象可能是（）

10. D 解析:由$y=ax+a=a(x+1)$可知,一次函数的图象与$x$轴交于点$(-1,0)$,排除A,B;当$a＞0$时,函数$y=ax^2$的图象开口向上,函数$y=ax+a$的图象经过第一、二、三象限;当$a＜0$时,函数$y=ax^2$的图象开口向下,函数$y=ax+a$的图象经过第二、三、四象限,故选D.

11.（南充中考）如图，正方形四个顶点的坐标依次为$(1,1),(3,1),(3,3),(1,3)$。若抛物线$y=ax^2$的图象与正方形有公共点，则实数$a$的取值范围是（）

A.$\dfrac{1}{9}≤ a≤ 3$
B.$\dfrac{1}{9}≤ a≤ 1$
C.$\dfrac{1}{3}≤ a≤ 3$
D.$\dfrac{1}{3}≤ a≤ 1$

11. A 解析:当抛物线经过$(1,3)$时,$a=3$,当抛物线经过$(3,1)$时,$a=\frac{1}{9}$,观察图象可知$\frac{1}{9}≤a≤3$,故选A.

12. 如图, 菱形 OABC 的顶点 O,A,C 在抛物线 $y=\frac{1}{3}x^2$ 上,其中点 O 为坐标原点,对角线 OB 在 y 轴上,且 OB = 2,则菱形 OABC 的面积是.

12. $2\sqrt{3}$ 解析:
∵ 菱形 OABC 的顶点 O,A,C 在抛物线 $y=\frac{1}{3}x^2$ 上,对角线 OB 在 y 轴上,且 OB = 2,
∴ 由题意可得 A,C 点的纵坐标为 1,故$1=\frac{1}{3}x^2$,解得$x=±\sqrt{3}$,故$A(\sqrt{3},1)$,$C(-\sqrt{3},1)$,故菱形 OABC 的面积是$2 × ( \frac{1}{2} × 2 × \sqrt{3} )=2\sqrt{3}$.

13. 小明设计了一个电子游戏,如图,一电子跳蚤从横坐标为$t(t＞0)$的$P_1$点开始,按点的横坐标依次增加1的规律,在抛物线$y=2x^2$上向右跳动,得到点$P_2,P_3$,这时$△ P_1P_2P_3$的面积为.

13. 2 解析:如图,连接$P_1P_3$,作$P_1A⊥x$轴,$P_2B⊥x$轴,$P_3C⊥x$轴,垂足分别为A,B,C.由题意得$A(t,0),B(t+1,0),C(t+2,0)$,$P_1(t,2t^2)$,$P_2( t + 1,2(t+1)^2 )$,$P_3(t+2,2(t+2)^2)$,$S_{\bigtriangleup P_1P_2P_3}=S_{梯形P_1ACP_3}-S_{梯形P_1ABP_2}-S_{梯形P_2BCP_3}=\frac{1}{2}[2t^2+2(t+2)^2]×2-\frac{1}{2}[ 2t^2+2(t+1)^2 ]×1-\frac{1}{2}[ 2(t+1)^2+2(t+2)^2 ]×1=2$. 配图见

14. 如图所示,直线$ l $过$ A(4,0) $和$ B(0,4) $两点,它与二次函数$ y=ax^2 $的图象在第一象限内交于点$ P $,若$ △ AOP $的面积为$ \frac{9}{2} $.
(1)求点$ P $的坐标；
(2)求二次函数的解析式.

14. (1)设直线$l$的解析式为$y=kx+b$.
∵ 直线$l$过$A(4,0)$和$B(0,4)$两点,
∴ $\begin{cases}4k+b=0,\\b=4,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}k=-1,\\b=4,\end{cases}$
∴ $y=-x+4$.
∵ $△AOP$的面积为$\frac{9}{2}$,
∴ $\frac{1}{2}×4×y_P=\frac{9}{2},∴ y_P=\frac{9}{4},∴ \frac{9}{4}=-x_P+4$,解得$x_P=\frac{7}{4}$,
∴ 点$P$的坐标为$( \frac{7}{4},\frac{9}{4} )$.
(2)把点$P( \frac{7}{4},\frac{9}{4} )$的坐标代入$y=ax^2$,得$\frac{9}{4}=a×( \frac{7}{4} )^2$,解得$a=\frac{36}{49}$,故二次函数的解析式为$y=\frac{36}{49}x^2$.

15. (成都中考)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y=kx-3(k≠0)$与抛物线$y=-x^2$相交于$A,B$两点(点$A$在点$B$的左侧),点$B$关于$y$轴的对称点为$B'$.
(1)当$k=2$时,求$A,B$两点的坐标.
(2)连接$OA,OB,AB',BB'$,若$△ B'AB$的面积与$△ OAB$的面积相等,求$k$的值.
(3)试探究直线$AB'$是否经过某一定点.若是,请求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.

15. (1)根据题意,得$\begin{cases}y=2x-3,\\y=-x^2,\end{cases}$ 整理得到$x^2+2x-3=0$,解得$x_1=-3,x_2=1$,当$x=-3$时,$y=-9$;当$x=1$时,$y=-1$.
∵ 点A在点B的左侧,
∴ 点A的坐标为$(-3,-9)$,点B的坐标为$(1,-1)$.
(2)$k$的值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$或$-\frac{\sqrt{2}}{2}$. 解析:
∵ A,B是抛物线$y=-x^2$上的点,
∴ 设$A(m,-m^2)$,$B(n,-n^2)$,则$B'(-n,-n^2)$.当$k＞0$时,如图①,根据题意,得$\begin{cases}y=kx-3,\\y=-x^2,\end{cases}$ 整理得到$x^2+kx-3=0$,
∴ $m,n$是$x^2+kx-3=0$的两个根,
∴ $m+n=-k$,$mn=-3$.设直线$y=kx-3$与$y$轴的交点为D,则点$D(0,-3)$,
∴ $S_{\bigtriangleup OAB}=\frac{1}{2}OD·(n-m)=\frac{3}{2}×(n-m)$,$S_{\bigtriangleup B'AB}=\frac{1}{2}BB'·(y_{B'}-y_A)=\frac{1}{2}×2n×(-n^2+m^2)$,
∴ $\frac{3}{2}×(n-m)=\frac{1}{2}×2n×(-n^2+m^2)=\frac{1}{2}×2n×(m+n)(m-n)$,
∴ $3=-2n×(m+n)=2nk$,
∴ $2nk=-mn$.
∵ $n≠0$,
∴ $m=-2k,n=k$,
∴ $-2k×k=-3$,解得$k=\frac{\sqrt{6}}{2}$或$k=-\frac{\sqrt{6}}{2}$(舍去),故$k=\frac{\sqrt{6}}{2}$.当$k＜0$时,如图②,根据题意,得$\begin{cases}y=kx-3,\\y=-x^2,\end{cases}$ 整理得到$x^2+kx-3=0$,
∴ $m,n$是$x^2+kx-3=0$的两个根,
∴ $m+n=-k$,$mn=-3$.设直线$y=kx-3$与$y$轴的交点为D,则点$D(0,-3)$,
∴ $S_{\bigtriangleup OAB}=\frac{1}{2}OD·(n-m)=\frac{3}{2}×(n-m)$,$S_{\bigtriangleup B'AB}=\frac{1}{2}BB'·(y_A-y_{B'})=\frac{1}{2}×2n×(n^2-m^2)$,
∴ $\frac{3}{2}×(n-m)=\frac{1}{2}×2n×(n^2-m^2)=\frac{1}{2}×2n×(m+n)(n-m)$,
∴ $3=2n×(m+n)=-2nk$,
∴ $-2nk=-mn$.
∵ $n≠0$,
∴ $m=2k,n=-3k$,
∴ $2k×(-3k)=-3$,解得$k=-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$k=\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍去),故$k=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.综上所述,$k$的值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$或$-\frac{\sqrt{2}}{2}$. 配图见
(3)直线$AB'$一定过定点$(0,3)$.理由如下:
∵ A,B是抛物线$y=-x^2$上的点,
∴ 设$A(m,-m^2)$,$B(n,-n^2)$,则$B'(-n,-n^2)$.根据题意,得$\begin{cases}y=kx-3,\\y=-x^2,\end{cases}$ 整理得到$x^2+kx-3=0$,
∴ $m,n$是$x^2+kx-3=0$的两个根,
∴ $m+n=-k$,$mn=-3$.设直线$AB'$的解析式为$y=px+q$,根据题意,得$\begin{cases}-m^2=mp+q,\\-n^2=-np+q,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}p=n-m,\\q=-mn,\end{cases}$
∴ 直线$AB'$的解析式为$y=(n-m)x -mn$.
∵ $mn=-3$,
∴ $-mn=3$,
∴ 直线$AB'$的解析式为$y=(n-m)x+3$,故直线$AB'$一定过定点$(0,3)$.