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1 若$x^2+(m-3)x+4$是一个完全平方式，则常数$m$的值为（
A.1或5
B.7或-1
C.5
D.7
B
）A.1或5
B.7或-1
C.5
D.7
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查完全平方式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构：$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$，即完全平方式的首末两项是平方项，中间项是首尾两项底数乘积的2倍（符号可正可负）。先确定给定二次三项式的首末两项对应的底数，再根据中间项的两种符号情况列方程求解$m$的值，注意不要漏掉负号的情况。
【解析】
解：
∵$x^2+(m-3)x+4$是完全平方式，符合完全平方公式$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$的结构
其中首项$x^2=x^2$，常数项$4=(±2)^2$
∴中间项系数满足：$m-3 = ±2×1×2$
即$m-3=4$或$m-3=-4$
当$m-3=4$时，解得$m=7$
当$m-3=-4$时，解得$m=-1$
∴常数$m$的值为7或-1
【答案】
B
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础易错题，核心考查完全平方式的结构特征，解题时需注意完全平方包含“和的平方”和“差的平方”两种形式，对应中间项有正负两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题考查完全平方式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构：$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$，即完全平方式的首末两项是平方项，中间项是首尾两项底数乘积的2倍（符号可正可负）。先确定给定二次三项式的首末两项对应的底数，再根据中间项的两种符号情况列方程求解$m$的值，注意不要漏掉负号的情况。
【解析】
解：
∵$x^2+(m-3)x+4$是完全平方式，符合完全平方公式$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$的结构
其中首项$x^2=x^2$，常数项$4=(±2)^2$
∴中间项系数满足：$m-3 = ±2×1×2$
即$m-3=4$或$m-3=-4$
当$m-3=4$时，解得$m=7$
当$m-3=-4$时，解得$m=-1$
∴常数$m$的值为7或-1
【答案】
B
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础易错题，核心考查完全平方式的结构特征，解题时需注意完全平方包含“和的平方”和“差的平方”两种形式，对应中间项有正负两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
2 把多项式$x^2 -3x +4$进行配方，结果是（
A.$(x-\dfrac{3}{2})^2 + \dfrac{25}{4}$
B.$(x-\dfrac{3}{2})^2 + \dfrac{7}{4}$
C.$(x+\dfrac{3}{2})^2 + \dfrac{25}{4}$
D.$(x+\dfrac{3}{2})^2 + \dfrac{7}{4}$
B
）A.$(x-\dfrac{3}{2})^2 + \dfrac{25}{4}$
B.$(x-\dfrac{3}{2})^2 + \dfrac{7}{4}$
C.$(x+\dfrac{3}{2})^2 + \dfrac{25}{4}$
D.$(x+\dfrac{3}{2})^2 + \dfrac{7}{4}$
答案
2. B
解析
【分析】
本题考查多项式的配方，解题思路如下：首先观察多项式二次项系数为1，配方时先针对含x的二次项和一次项凑完全平方形式：将一次项系数除以2得到$\frac{3}{2}$，加上其平方$(\frac{3}{2})^2$，为保证多项式值不变，需再减去$(\frac{3}{2})^2$，最后合并常数项即可得到结果；也可先根据一次项系数为负，排除括号内为加号的C、D选项，再计算常数项验证剩余选项。
【解析】
对多项式$x^2 -3x +4$配方步骤如下：
1. 拆分常数项，凑完全平方：
$x^2 -3x +4 = x^2 - 2×\frac{3}{2}x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 +4$
2. 前三项化为完全平方形式，合并剩余常数项：
$=(x-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 4$
$=(x-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{16}{4}$
$=(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
配方法；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是掌握完全平方公式的结构，注意配方时增减同一个数保证原式值不变，避免常数项计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查多项式的配方，解题思路如下：首先观察多项式二次项系数为1，配方时先针对含x的二次项和一次项凑完全平方形式：将一次项系数除以2得到$\frac{3}{2}$，加上其平方$(\frac{3}{2})^2$，为保证多项式值不变，需再减去$(\frac{3}{2})^2$，最后合并常数项即可得到结果；也可先根据一次项系数为负，排除括号内为加号的C、D选项，再计算常数项验证剩余选项。
【解析】
对多项式$x^2 -3x +4$配方步骤如下：
1. 拆分常数项，凑完全平方：
$x^2 -3x +4 = x^2 - 2×\frac{3}{2}x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 +4$
2. 前三项化为完全平方形式，合并剩余常数项：
$=(x-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 4$
$=(x-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{16}{4}$
$=(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
配方法；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是掌握完全平方公式的结构，注意配方时增减同一个数保证原式值不变，避免常数项计算错误。
【难度系数】
0.8
3 教材变式题 填空：
(1) $x^2 + 16x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2) $x^2 - 14x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$。
(1) $x^2 + 16x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2) $x^2 - 14x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$。
答案
3. (1) 64 8 (2) 49 7
解析
【分析】
这两道题考查完全平方公式的逆用，即配方法中凑完全平方式的步骤。我们依据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$的结构特征解题：对于形如$x^2+mx$的二次二项式，要配成完全平方式，需要添加的常数项是一次项系数$m$一半的平方，等号右侧括号内的常数就是一次项系数的一半，按这个规律分别计算两小问即可。
【解析】
(1) 式子$x^2+16x$的一次项系数为16，一次项系数的一半为$16÷2=8$，一半的平方为$8^2=64$，因此$x^2+16x+64=(x+8)^2$。
(2) 式子$x^2-14x$的一次项系数为-14，一次项系数的一半为$-14÷2=-7$，一半的平方为$(-7)^2=49$，因此$x^2-14x+49=(x-7)^2$。
【答案】
(1) 64；8
(2) 49；7
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是配方法的基础题型，重点考查对完全平方公式结构的理解，掌握“配方时常数项等于一次项系数一半的平方”这一核心规律，是后续学习用配方法解一元二次方程、求二次函数最值等内容的重要基础。
【难度系数】
0.9
这两道题考查完全平方公式的逆用，即配方法中凑完全平方式的步骤。我们依据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$的结构特征解题：对于形如$x^2+mx$的二次二项式，要配成完全平方式，需要添加的常数项是一次项系数$m$一半的平方，等号右侧括号内的常数就是一次项系数的一半，按这个规律分别计算两小问即可。
【解析】
(1) 式子$x^2+16x$的一次项系数为16，一次项系数的一半为$16÷2=8$，一半的平方为$8^2=64$，因此$x^2+16x+64=(x+8)^2$。
(2) 式子$x^2-14x$的一次项系数为-14，一次项系数的一半为$-14÷2=-7$，一半的平方为$(-7)^2=49$，因此$x^2-14x+49=(x-7)^2$。
【答案】
(1) 64；8
(2) 49；7
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是配方法的基础题型，重点考查对完全平方公式结构的理解，掌握“配方时常数项等于一次项系数一半的平方”这一核心规律，是后续学习用配方法解一元二次方程、求二次函数最值等内容的重要基础。
【难度系数】
0.9
4 用配方法解一元二次方程 $x^2 - 2x - 2025 = 0$，将它转化为 $(x+a)^2 = b$ 的形式，则 $a^b$ 的值为（
A.$-2026$
B.$2026$
C.$-1$
D.$1$
D
）A.$-2026$
B.$2026$
C.$-1$
D.$1$
答案
4. D
解析
【分析】
本题需利用配方法将一元二次方程转化为指定的完全平方形式，再代入计算代数式的值。解题思路如下：第一步先将原方程的常数项移到等号右侧；第二步根据完全平方公式的结构，给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；第三步对照$(x+a)^2=b$的形式确定$a$、$b$的取值；最后代入$a^b$计算结果即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x - 2025 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 2x = 2025$
2. 配方，等式两边同时加上一次项系数$-2$一半的平方，即$(-1)^2=1$，得：
$x^2 - 2x + 1 = 2025 + 1$
3. 左侧整理为完全平方式，得：
$(x - 1)^2 = 2026$
对照$(x+a)^2 = b$的形式，可得$a=-1$，$b=2026$。
代入计算$a^b=(-1)^{2026}=1$。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法的操作步骤，解题时需注意移项要变号、配方时等式两边需同时加相同的数，计算负数的乘方时要先判断指数的奇偶性，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
本题需利用配方法将一元二次方程转化为指定的完全平方形式，再代入计算代数式的值。解题思路如下：第一步先将原方程的常数项移到等号右侧；第二步根据完全平方公式的结构，给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；第三步对照$(x+a)^2=b$的形式确定$a$、$b$的取值；最后代入$a^b$计算结果即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x - 2025 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 2x = 2025$
2. 配方，等式两边同时加上一次项系数$-2$一半的平方，即$(-1)^2=1$，得：
$x^2 - 2x + 1 = 2025 + 1$
3. 左侧整理为完全平方式，得：
$(x - 1)^2 = 2026$
对照$(x+a)^2 = b$的形式，可得$a=-1$，$b=2026$。
代入计算$a^b=(-1)^{2026}=1$。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法的操作步骤，解题时需注意移项要变号、配方时等式两边需同时加相同的数，计算负数的乘方时要先判断指数的奇偶性，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
5 将一元二次方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 变形为 $ (x - 2)^2 = k $，则k的值为
1
。答案
5. 1
解析
【分析】
本题考查用配方法将一元二次方程变形为完全平方式的方法，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤：对于形如$x^2+bx+c=0$的一元二次方程，先将常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左侧凑成完全平方式，右侧合并后得到的常数就是k的值。
【解析】
第一步：对原方程移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 4x = -3$
第二步：配方，一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，在等式两边同时加4：
$x^2 -4x +4 = -3 +4$
第三步：左侧根据完全平方公式整理，右侧合并同类项：
$(x-2)^2 = 1$
对比变形要求$(x-2)^2=k$，可得$k=1$。
【答案】
1
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法的操作步骤，熟练掌握移项、配方的规则即可快速求解，是一元二次方程相关内容的基础题。
【难度系数】
0.9
本题考查用配方法将一元二次方程变形为完全平方式的方法，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤：对于形如$x^2+bx+c=0$的一元二次方程，先将常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左侧凑成完全平方式，右侧合并后得到的常数就是k的值。
【解析】
第一步：对原方程移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 4x = -3$
第二步：配方，一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，在等式两边同时加4：
$x^2 -4x +4 = -3 +4$
第三步：左侧根据完全平方公式整理，右侧合并同类项：
$(x-2)^2 = 1$
对比变形要求$(x-2)^2=k$，可得$k=1$。
【答案】
1
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法的操作步骤，熟练掌握移项、配方的规则即可快速求解，是一元二次方程相关内容的基础题。
【难度系数】
0.9
6 教材变式题 用配方法解下面的方程：
(1) $x^2 -6x +5=0$；
(2) $x^2 +3x = -1$。
(1) $x^2 -6x +5=0$；
(2) $x^2 +3x = -1$。
答案
6. (1) $x_1=1,x_2=5$ (2) $x_1=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2},x_2=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程需遵循固定步骤：①移项，将常数项移到等号右侧，含未知数的项留在左侧；②配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，右侧为常数；③开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；④解一元一次方程得到原方程的根。本题两小问二次项系数均为1，无需额外化二次项系数为1，按上述步骤计算即可。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 -6x = -5$
配方，两边同时加上 $(\frac{-6}{2})^2=9$，得
$x^2 -6x +9 = -5 +9$
即 $(x-3)^2 =4$
开平方，得 $x-3 = \pm 2$
即 $x-3=2$ 或 $x-3=-2$
解得 $x_1=5, x_2=1$
(2) 配方，两边同时加上 $(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得
$x^2 +3x +\frac{9}{4} = -1 +\frac{9}{4}$
即 $(x+\frac{3}{2})^2 = \frac{5}{4}$
开平方，得 $x+\frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$
解得 $x_1=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}, x_2=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=5$ (2) $x_1=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2},x_2=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法
【点评】
本题是配方法的基础应用类题目，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其注意配方时要在等式两边同时加一次项系数一半的平方，避免只加单侧导致计算错误。
【难度系数】
0.8
用配方法解一元二次方程需遵循固定步骤：①移项，将常数项移到等号右侧，含未知数的项留在左侧；②配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，右侧为常数；③开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；④解一元一次方程得到原方程的根。本题两小问二次项系数均为1，无需额外化二次项系数为1，按上述步骤计算即可。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 -6x = -5$
配方，两边同时加上 $(\frac{-6}{2})^2=9$，得
$x^2 -6x +9 = -5 +9$
即 $(x-3)^2 =4$
开平方，得 $x-3 = \pm 2$
即 $x-3=2$ 或 $x-3=-2$
解得 $x_1=5, x_2=1$
(2) 配方，两边同时加上 $(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得
$x^2 +3x +\frac{9}{4} = -1 +\frac{9}{4}$
即 $(x+\frac{3}{2})^2 = \frac{5}{4}$
开平方，得 $x+\frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$
解得 $x_1=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}, x_2=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=5$ (2) $x_1=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2},x_2=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法
【点评】
本题是配方法的基础应用类题目，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其注意配方时要在等式两边同时加一次项系数一半的平方，避免只加单侧导致计算错误。
【难度系数】
0.8
7 用配方法解一元二次方程 $2x^2 - 3x - 1 = 0$，变形正确的是（
A.$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{17}{16}$
B.$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{1}{2}$
C.$(x - \frac{3}{2})^2 = \frac{13}{4}$
D.$(x - \frac{3}{2})^2 = \frac{11}{4}$
A
）A.$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{17}{16}$
B.$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{1}{2}$
C.$(x - \frac{3}{2})^2 = \frac{13}{4}$
D.$(x - \frac{3}{2})^2 = \frac{11}{4}$
答案
7. A
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题思路按照配方法的标准步骤逐步推导即可：首先将二次项系数化为1，再把常数项移到等号右侧，最后在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，整理后对比选项即可得到正确答案。
【解析】
解：对一元二次方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$按配方法步骤变形：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得
$x^2 - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} = 0$
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得
$x^2 - \frac{3}{2}x = \frac{1}{2}$
3. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-\frac{3}{2}$，其一半的平方为$(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，因此两边加$\frac{9}{16}$：
$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = \frac{1}{2} + \frac{9}{16}$
4. 整理：左侧为完全平方式，右侧通分计算，得
$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{17}{16}$
对比选项可知A正确。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，核心是牢记配方法的操作步骤，尤其注意需先将二次项系数化为1再配方，计算一次项系数一半的平方时要避免符号、计算错误，熟练掌握步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题思路按照配方法的标准步骤逐步推导即可：首先将二次项系数化为1，再把常数项移到等号右侧，最后在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，整理后对比选项即可得到正确答案。
【解析】
解：对一元二次方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$按配方法步骤变形：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得
$x^2 - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} = 0$
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得
$x^2 - \frac{3}{2}x = \frac{1}{2}$
3. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-\frac{3}{2}$，其一半的平方为$(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，因此两边加$\frac{9}{16}$：
$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = \frac{1}{2} + \frac{9}{16}$
4. 整理：左侧为完全平方式，右侧通分计算，得
$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{17}{16}$
对比选项可知A正确。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，核心是牢记配方法的操作步骤，尤其注意需先将二次项系数化为1再配方，计算一次项系数一半的平方时要避免符号、计算错误，熟练掌握步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8（易错题）阅读下面的解答过程，在横线上填入恰当的内容.
解方程：$2x^2+8x-18=0$.
解：移项，得$2x^2+8x=18$①.
两边同时除以2，得$x^2+4x=9$②.
配方，得$x^2+4x+4=9$③，
即$(x+2)^2=9$.
$\therefore x+2=\pm3$④.
$\therefore x_1=-5,x_2=1$⑤.
上述过程中开始出现错误的步骤是________（填序号），原因是________.
请写出正确的解答过程.
解方程：$2x^2+8x-18=0$.
解：移项，得$2x^2+8x=18$①.
两边同时除以2，得$x^2+4x=9$②.
配方，得$x^2+4x+4=9$③，
即$(x+2)^2=9$.
$\therefore x+2=\pm3$④.
$\therefore x_1=-5,x_2=1$⑤.
上述过程中开始出现错误的步骤是________（填序号），原因是________.
请写出正确的解答过程.
答案
8. ③ 配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加 移项，得$2x^2+8x=18$. 两边同时除以2，得$x^2+4x=9$. 配方，得$x^2+4x+4=9+4$. $\therefore (x+2)^2=13$. $\therefore x+2=\pm\sqrt{13}$. $\therefore x_1=-2+\sqrt{13},x_2=-2-\sqrt{13}$
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题思路如下：首先回忆配方法的规范步骤：①移项，将常数项移到等号右侧；②将二次项系数化为1；③配方，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④用直接开平方法求解。接下来对照给出的解题步骤逐一排查，发现步骤③中仅左侧加了一次项系数一半的平方（4），右侧没有加，违背了等式的基本性质，因此步骤③是首次出错的步骤，再按照正确的配方法步骤写出完整解答即可。
【解析】
首先排查错误步骤：
配方法的依据是等式的基本性质，配方时等式左右两边必须同时加上相同的数。观察步骤③：左侧加了$(\frac{4}{2})^2=4$，右侧仍为9，未加4，因此开始出现错误的步骤是③，原因是配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加。
正确解答过程：
移项，得$2x^2+8x=18$。
两边同时除以2，得$x^2+4x=9$。
配方，得$x^2+4x+4=9+4$，
即$(x+2)^2=13$。
$\therefore x+2=\pm\sqrt{13}$，
$\therefore x_1=-2+\sqrt{13},x_2=-2-\sqrt{13}$。
【答案】
③；配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加；
正确解答过程：移项，得$2x^2+8x=18$。两边同时除以2，得$x^2+4x=9$。配方，得$x^2+4x+4=9+4$。$\therefore (x+2)^2=13$。$\therefore x+2=\pm\sqrt{13}$。$\therefore x_1=-2+\sqrt{13},x_2=-2-\sqrt{13}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的基本性质；直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解方程的典型易错题，核心易错点是配方时忽略等式的基本性质，仅给方程左侧加常数。学习配方法时要牢记“两边同加常数”的要求，避免出现同类错误。
【难度系数】
0.6
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题思路如下：首先回忆配方法的规范步骤：①移项，将常数项移到等号右侧；②将二次项系数化为1；③配方，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④用直接开平方法求解。接下来对照给出的解题步骤逐一排查，发现步骤③中仅左侧加了一次项系数一半的平方（4），右侧没有加，违背了等式的基本性质，因此步骤③是首次出错的步骤，再按照正确的配方法步骤写出完整解答即可。
【解析】
首先排查错误步骤：
配方法的依据是等式的基本性质，配方时等式左右两边必须同时加上相同的数。观察步骤③：左侧加了$(\frac{4}{2})^2=4$，右侧仍为9，未加4，因此开始出现错误的步骤是③，原因是配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加。
正确解答过程：
移项，得$2x^2+8x=18$。
两边同时除以2，得$x^2+4x=9$。
配方，得$x^2+4x+4=9+4$，
即$(x+2)^2=13$。
$\therefore x+2=\pm\sqrt{13}$，
$\therefore x_1=-2+\sqrt{13},x_2=-2-\sqrt{13}$。
【答案】
③；配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加；
正确解答过程：移项，得$2x^2+8x=18$。两边同时除以2，得$x^2+4x=9$。配方，得$x^2+4x+4=9+4$。$\therefore (x+2)^2=13$。$\therefore x+2=\pm\sqrt{13}$。$\therefore x_1=-2+\sqrt{13},x_2=-2-\sqrt{13}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的基本性质；直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解方程的典型易错题，核心易错点是配方时忽略等式的基本性质，仅给方程左侧加常数。学习配方法时要牢记“两边同加常数”的要求，避免出现同类错误。
【难度系数】
0.6
9 教材变式题 用配方法解下面的方程：
(1) $2x^2 -4x = -1$；
(2) $3x^2 +3x -5 =0$。
(1) $2x^2 -4x = -1$；
(2) $3x^2 +3x -5 =0$。
答案
9. (1) $x_1=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2},x_2=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}$ (2) $x_1=\dfrac{-3+\sqrt{69}}{6},x_2=\dfrac{-3-\sqrt{69}}{6}$
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再用直接开平方法求解，通用步骤为：①将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到方程右侧；③配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开平方求解，注意开方后有正负两种结果。本题两个小题均按照上述步骤逐步计算即可。
【解析】
(1) 解方程$2x^2 -4x = -1$：
第一步：二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$x^2 - 2x = -\dfrac{1}{2}$
第二步：配方，方程两边同时加上一次项系数$-2$一半的平方$1$，得：
$x^2 - 2x + 1 = -\dfrac{1}{2} + 1$
整理得：$(x-1)^2 = \dfrac{1}{2}$
第三步：开平方，得：
$x-1 = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
第四步：移项求解，得：
$x = 1 \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{2}}{2}$
(2) 解方程$3x^2 +3x -5 =0$：
第一步：移项，将常数项移到方程右侧，得：
$3x^2 + 3x = 5$
第二步：二次项系数化为1，方程两边同时除以3，得：
$x^2 + x = \dfrac{5}{3}$
第三步：配方，方程两边同时加上一次项系数$1$一半的平方$\dfrac{1}{4}$，得：
$x^2 + x + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{3} + \dfrac{1}{4}$
整理得：$(x+\dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{23}{12}$
第四步：开平方，得：
$x+\dfrac{1}{2} = \pm \dfrac{\sqrt{69}}{6}$
第五步：移项求解，得：
$x = -\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{69}}{6} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{69}}{6}$
【答案】
(1) $x_1=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2},x_2=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}$
(2) $x_1=\dfrac{-3+\sqrt{69}}{6},x_2=\dfrac{-3-\sqrt{69}}{6}$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
3. 直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解方程的基础训练题，重点考查配方法的操作规范，解题时要注意二次项系数化为1后再配方，且配方时方程左右两边要同时加相同的数，避免漏加右侧常数，开平方时要牢记有正负两个根，防止漏解。
【难度系数】
0.7
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再用直接开平方法求解，通用步骤为：①将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到方程右侧；③配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开平方求解，注意开方后有正负两种结果。本题两个小题均按照上述步骤逐步计算即可。
【解析】
(1) 解方程$2x^2 -4x = -1$：
第一步：二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$x^2 - 2x = -\dfrac{1}{2}$
第二步：配方，方程两边同时加上一次项系数$-2$一半的平方$1$，得：
$x^2 - 2x + 1 = -\dfrac{1}{2} + 1$
整理得：$(x-1)^2 = \dfrac{1}{2}$
第三步：开平方，得：
$x-1 = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
第四步：移项求解，得：
$x = 1 \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{2}}{2}$
(2) 解方程$3x^2 +3x -5 =0$：
第一步：移项，将常数项移到方程右侧，得：
$3x^2 + 3x = 5$
第二步：二次项系数化为1，方程两边同时除以3，得：
$x^2 + x = \dfrac{5}{3}$
第三步：配方，方程两边同时加上一次项系数$1$一半的平方$\dfrac{1}{4}$，得：
$x^2 + x + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{3} + \dfrac{1}{4}$
整理得：$(x+\dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{23}{12}$
第四步：开平方，得：
$x+\dfrac{1}{2} = \pm \dfrac{\sqrt{69}}{6}$
第五步：移项求解，得：
$x = -\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{69}}{6} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{69}}{6}$
【答案】
(1) $x_1=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2},x_2=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}$
(2) $x_1=\dfrac{-3+\sqrt{69}}{6},x_2=\dfrac{-3-\sqrt{69}}{6}$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
3. 直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解方程的基础训练题，重点考查配方法的操作规范，解题时要注意二次项系数化为1后再配方，且配方时方程左右两边要同时加相同的数，避免漏加右侧常数，开平方时要牢记有正负两个根，防止漏解。
【难度系数】
0.7
