登录
13 用直接开平方法解方程$(3x+1)^2=(2x-5)^2$，下列过程正确的是（
A.$3x+1=2x-5$
B.$3x+1=-(2x-5)$
C.$3x+1=\pm(2x-5)$
D.$3x+1=\pm2x-5$
C
）A.$3x+1=2x-5$
B.$3x+1=-(2x-5)$
C.$3x+1=\pm(2x-5)$
D.$3x+1=\pm2x-5$
答案
13. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆直接开平方法的核心原理：若两个数的平方相等，那么这两个数相等或者互为相反数，即若$a^2=b^2$，则$a=\pm b$。本题中把$3x+1$看作公式里的$a$，$2x-5$看作公式里的$b$，直接开平方时要注意右边的$2x-5$是一个整体，需整体添加正负号，再逐一判断选项即可。
【解析】
根据直接开平方法的规则：对于等式$A^2=B^2$，开平方可得$A=\pm B$。
在方程$(3x+1)^2=(2x-5)^2$中，令$A=3x+1$，$B=2x-5$，因此开平方后得：
$3x+1=\pm(2x-5)$
逐一分析选项：
选项A仅考虑了$3x+1=2x-5$这一种情况，遗漏了互为相反数的情况，错误；
选项B仅考虑了$3x+1=-(2x-5)$这一种情况，遗漏了相等的情况，错误；
选项C符合直接开平方的结果，正确；
选项D未将$2x-5$看作整体加正负号，符号逻辑错误，错误。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法、平方根的性质
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程的基本规则，解题的关键是明确开平方后等号右侧的整式需作为整体添加正负号，避免因漏加括号出现符号错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆直接开平方法的核心原理：若两个数的平方相等，那么这两个数相等或者互为相反数，即若$a^2=b^2$，则$a=\pm b$。本题中把$3x+1$看作公式里的$a$，$2x-5$看作公式里的$b$，直接开平方时要注意右边的$2x-5$是一个整体，需整体添加正负号，再逐一判断选项即可。
【解析】
根据直接开平方法的规则：对于等式$A^2=B^2$，开平方可得$A=\pm B$。
在方程$(3x+1)^2=(2x-5)^2$中，令$A=3x+1$，$B=2x-5$，因此开平方后得：
$3x+1=\pm(2x-5)$
逐一分析选项：
选项A仅考虑了$3x+1=2x-5$这一种情况，遗漏了互为相反数的情况，错误；
选项B仅考虑了$3x+1=-(2x-5)$这一种情况，遗漏了相等的情况，错误；
选项C符合直接开平方的结果，正确；
选项D未将$2x-5$看作整体加正负号，符号逻辑错误，错误。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法、平方根的性质
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程的基本规则，解题的关键是明确开平方后等号右侧的整式需作为整体添加正负号，避免因漏加括号出现符号错误。
【难度系数】
0.8
14 如图所示为一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（
A.2或-2
B.3或-3
C.3或-1
D.-3或1
C
）A.2或-2
B.3或-3
C.3或-1
D.-3或1
答案
14. C
解析
【分析】
首先根据数值运算程序的运算顺序，将运算过程转化为关于x的一元二次方程，再利用直接开平方法求解方程即可。第一步：对照程序，输入x后先计算$(x-1)^2$，再乘2得到输出结果8，因此列出方程$2(x-1)^2=8$；第二步：用直接开平方法解方程，先把二次项系数化为1，再开平方得到两个一次方程，分别求解即可得到x的所有可能值。
【解析】
根据题意列方程得：
$\begin{aligned}2(x-1)^2 &= 8 \\(x-1)^2 &= 4 \\x-1 &= \pm2\end{aligned}$
当$x-1=2$时，解得$x=3$；
当$x-1=-2$时，解得$x=-1$。
故输入x的值为3或-1。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程、直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题结合数值运算程序考查一元二次方程的应用与解法，解题核心是准确根据运算顺序列对方程，开平方时要注意平方根有正负两个值，避免漏解。
【难度系数】
0.8
首先根据数值运算程序的运算顺序，将运算过程转化为关于x的一元二次方程，再利用直接开平方法求解方程即可。第一步：对照程序，输入x后先计算$(x-1)^2$，再乘2得到输出结果8，因此列出方程$2(x-1)^2=8$；第二步：用直接开平方法解方程，先把二次项系数化为1，再开平方得到两个一次方程，分别求解即可得到x的所有可能值。
【解析】
根据题意列方程得：
$\begin{aligned}2(x-1)^2 &= 8 \\(x-1)^2 &= 4 \\x-1 &= \pm2\end{aligned}$
当$x-1=2$时，解得$x=3$；
当$x-1=-2$时，解得$x=-1$。
故输入x的值为3或-1。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程、直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题结合数值运算程序考查一元二次方程的应用与解法，解题核心是准确根据运算顺序列对方程，开平方时要注意平方根有正负两个值，避免漏解。
【难度系数】
0.8
15 若关于x的一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两个根分别是$m+1$与$2m-4$，则$\frac{a}{b} =$
$\frac{1}{4}$
。答案
15. $\frac{1}{4}$
解析
【分析】
首先回忆直接开平方法解一元二次方程的特点：对于方程$ax^2 = b(ab＞0)$，变形可得$x^2=\frac{b}{a}$，开平方后得到的两个根互为相反数，即两根之和为0。我们可以先利用两根之和为0求出m的值，再代入得到方程的根，最后将根代入原方程即可求出$\frac{a}{b}$的值。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$，
∴ 变形得$x^2=\frac{b}{a}$，由直接开平方法可知，方程的两个根互为相反数，即两根之和为0。
∴ $(m+1)+(2m-4)=0$，
合并同类项得：$3m-3=0$，
解得：$m=1$。
∴ 方程的两个根分别为$m+1=1+1=2$，$2m-4=2×1-4=-2$。
将$x=2$代入$ax^2 = b$得：$a×2^2 = b$，即$4a=b$，
∴ $\frac{a}{b}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 相反数的性质
3. 一元二次方程根的定义
【点评】
本题是基础题型，核心是掌握形如$ax^2=b(ab＞0)$的一元二次方程的两根互为相反数这一特征，结合根的定义代入计算即可求解，解题时注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
首先回忆直接开平方法解一元二次方程的特点：对于方程$ax^2 = b(ab＞0)$，变形可得$x^2=\frac{b}{a}$，开平方后得到的两个根互为相反数，即两根之和为0。我们可以先利用两根之和为0求出m的值，再代入得到方程的根，最后将根代入原方程即可求出$\frac{a}{b}$的值。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$，
∴ 变形得$x^2=\frac{b}{a}$，由直接开平方法可知，方程的两个根互为相反数，即两根之和为0。
∴ $(m+1)+(2m-4)=0$，
合并同类项得：$3m-3=0$，
解得：$m=1$。
∴ 方程的两个根分别为$m+1=1+1=2$，$2m-4=2×1-4=-2$。
将$x=2$代入$ax^2 = b$得：$a×2^2 = b$，即$4a=b$，
∴ $\frac{a}{b}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 相反数的性质
3. 一元二次方程根的定义
【点评】
本题是基础题型，核心是掌握形如$ax^2=b(ab＞0)$的一元二次方程的两根互为相反数这一特征，结合根的定义代入计算即可求解，解题时注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
16 若关于$x$的方程$(ax - 1)^2 - 16 = 0$的一个根是$x=2$，则$a$的值为
$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$
。答案
16. $\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$
解析
【分析】
根据方程根的定义，方程的根能使方程左右两边相等，因此可先将已知根x=2代入原方程，将原方程转化为关于a的一元二次方程，再运用直接开平方法求解即可，注意开平方后要考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
将$x=2$代入方程$(ax - 1)^2 - 16 = 0$，得：
$(2a - 1)^2 - 16 = 0$
移项，得：$(2a - 1)^2 = 16$
两边直接开平方，得：$2a - 1 = \pm 4$
分两种情况求解：
① 当$2a - 1 = 4$时，$2a = 5$，解得$a = \frac{5}{2}$；
② 当$2a - 1 = -4$时，$2a = -3$，解得$a = -\frac{3}{2}$。
综上，$a$的值为$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$
【知识点】
方程的根的定义；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握方程根的定义，代入已知根后转化为含待求参数的方程，求解时注意正数开平方有两个互为相反数的平方根，防止出现只取正根的错误。
【难度系数】
0.8
根据方程根的定义，方程的根能使方程左右两边相等，因此可先将已知根x=2代入原方程，将原方程转化为关于a的一元二次方程，再运用直接开平方法求解即可，注意开平方后要考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
将$x=2$代入方程$(ax - 1)^2 - 16 = 0$，得：
$(2a - 1)^2 - 16 = 0$
移项，得：$(2a - 1)^2 = 16$
两边直接开平方，得：$2a - 1 = \pm 4$
分两种情况求解：
① 当$2a - 1 = 4$时，$2a = 5$，解得$a = \frac{5}{2}$；
② 当$2a - 1 = -4$时，$2a = -3$，解得$a = -\frac{3}{2}$。
综上，$a$的值为$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$
【知识点】
方程的根的定义；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握方程根的定义，代入已知根后转化为含待求参数的方程，求解时注意正数开平方有两个互为相反数的平方根，防止出现只取正根的错误。
【难度系数】
0.8
17 整体思想 如果$(a^2 + b^2 - 2)^2 = 25$，那么$a^2 + b^2 =$
7
。答案
17. 7
解析
【分析】
本题可利用整体思想求解，首先观察方程特征，左边是关于$(a^2+b^2-2)$的平方，右边是正的常数，符合直接开平方法的求解形式，因此先将$a^2+b^2$看作一个整体，对等式两边直接开平方得到$a^2+b^2-2$的取值，再结合平方数的非负性，$a^2≥0$、$b^2≥0$，因此$a^2+b^2≥0$，舍去不符合要求的负数值即可得到结果。
【解析】
设$ x = a^2 + b^2 $，由平方的非负性可知$ x ≥ 0 $，原方程可转化为：
$ (x - 2)^2 = 25 $
对等式两边直接开平方，得：
$ x - 2 = 5 $ 或 $ x - 2 = -5 $
分别解两个一元一次方程：
当$ x - 2 = 5 $时，解得$ x = 7 $；
当$ x - 2 = -5 $时，解得$ x = -3 $，因为$ x ≥ 0 $，故$ x=-3 $不符合题意，舍去。
因此$ a^2 + b^2 = 7 $。
【答案】
7
【知识点】
1. 直接开平方法
2. 整体代换思想
3. 非负数的性质
【点评】
本题解题关键是运用整体思想将复杂的方程简化，同时要注意隐含条件：平方数的非负性，避免因忽略舍根出现多解错误。
【难度系数】
0.7
本题可利用整体思想求解，首先观察方程特征，左边是关于$(a^2+b^2-2)$的平方，右边是正的常数，符合直接开平方法的求解形式，因此先将$a^2+b^2$看作一个整体，对等式两边直接开平方得到$a^2+b^2-2$的取值，再结合平方数的非负性，$a^2≥0$、$b^2≥0$，因此$a^2+b^2≥0$，舍去不符合要求的负数值即可得到结果。
【解析】
设$ x = a^2 + b^2 $，由平方的非负性可知$ x ≥ 0 $，原方程可转化为：
$ (x - 2)^2 = 25 $
对等式两边直接开平方，得：
$ x - 2 = 5 $ 或 $ x - 2 = -5 $
分别解两个一元一次方程：
当$ x - 2 = 5 $时，解得$ x = 7 $；
当$ x - 2 = -5 $时，解得$ x = -3 $，因为$ x ≥ 0 $，故$ x=-3 $不符合题意，舍去。
因此$ a^2 + b^2 = 7 $。
【答案】
7
【知识点】
1. 直接开平方法
2. 整体代换思想
3. 非负数的性质
【点评】
本题解题关键是运用整体思想将复杂的方程简化，同时要注意隐含条件：平方数的非负性，避免因忽略舍根出现多解错误。
【难度系数】
0.7
18 解下列方程：
(1) $8x^2 - 71 = 129$；
(2) $2(x - 1)^2 - 36 = 0$；
(3) $x^2 + 12x + 36 = 121$。
(1) $8x^2 - 71 = 129$；
(2) $2(x - 1)^2 - 36 = 0$；
(3) $x^2 + 12x + 36 = 121$。
答案
18. (1) $x_1=5,x_2=-5$ (2) $x_1=1+3\sqrt{2},x_2=1-3\sqrt{2}$ (3) $x_1=5,x_2=-17$
解析
【分析】
这三道一元二次方程均可采用直接开平方法求解，解题思路如下：首先通过移项、系数化为1或利用完全平方公式化简等操作，将方程变形为“含未知数的平方项（或完全平方式）=非负常数”的标准形式；再对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；最后分别求解这两个一元一次方程，即可得到原方程的两个根，注意开平方时不要遗漏负根。
【解析】
(1) 解方程$8x^2 - 71 = 129$：
移项得：$8x^2 = 129 + 71$，
合并同类项得：$8x^2 = 200$，
系数化为1得：$x^2 = 25$，
开平方得：$x = \pm 5$，
即$x_1=5,x_2=-5$。
(2) 解方程$2(x - 1)^2 - 36 = 0$：
移项得：$2(x - 1)^2 = 36$，
系数化为1得：$(x - 1)^2 = 18$，
开平方得：$x - 1 = \pm 3\sqrt{2}$，
移项得：$x = 1 \pm 3\sqrt{2}$，
即$x_1=1+3\sqrt{2},x_2=1-3\sqrt{2}$。
(3) 解方程$x^2 + 12x + 36 = 121$：
利用完全平方公式将左边变形得：$(x + 6)^2 = 121$，
开平方得：$x + 6 = \pm 11$，
当$x + 6 = 11$时，解得$x = 5$；
当$x + 6 = -11$时，解得$x = -17$，
即$x_1=5,x_2=-17$。
【答案】
(1) $x_1=5,x_2=-5$ (2) $x_1=1+3\sqrt{2},x_2=1-3\sqrt{2}$ (3) $x_1=5,x_2=-17$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 完全平方公式 3. 平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，重点考查方程的变形能力和开平方运算的准确性，解题时需注意开平方后得到两个互为相反数的结果，避免漏解。
【难度系数】
0.85
这三道一元二次方程均可采用直接开平方法求解，解题思路如下：首先通过移项、系数化为1或利用完全平方公式化简等操作，将方程变形为“含未知数的平方项（或完全平方式）=非负常数”的标准形式；再对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；最后分别求解这两个一元一次方程，即可得到原方程的两个根，注意开平方时不要遗漏负根。
【解析】
(1) 解方程$8x^2 - 71 = 129$：
移项得：$8x^2 = 129 + 71$，
合并同类项得：$8x^2 = 200$，
系数化为1得：$x^2 = 25$，
开平方得：$x = \pm 5$，
即$x_1=5,x_2=-5$。
(2) 解方程$2(x - 1)^2 - 36 = 0$：
移项得：$2(x - 1)^2 = 36$，
系数化为1得：$(x - 1)^2 = 18$，
开平方得：$x - 1 = \pm 3\sqrt{2}$，
移项得：$x = 1 \pm 3\sqrt{2}$，
即$x_1=1+3\sqrt{2},x_2=1-3\sqrt{2}$。
(3) 解方程$x^2 + 12x + 36 = 121$：
利用完全平方公式将左边变形得：$(x + 6)^2 = 121$，
开平方得：$x + 6 = \pm 11$，
当$x + 6 = 11$时，解得$x = 5$；
当$x + 6 = -11$时，解得$x = -17$，
即$x_1=5,x_2=-17$。
【答案】
(1) $x_1=5,x_2=-5$ (2) $x_1=1+3\sqrt{2},x_2=1-3\sqrt{2}$ (3) $x_1=5,x_2=-17$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 完全平方公式 3. 平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，重点考查方程的变形能力和开平方运算的准确性，解题时需注意开平方后得到两个互为相反数的结果，避免漏解。
【难度系数】
0.85
19 在平面直角坐标系中，已知点 A（$m^2 - 14m + 49, 121$）在第一象限的角平分线上，求 m 的值。
答案
19. 由题意,得 $m^2 -14m +49=121$,解得 $m_1=18,m_2=-4$
解析
【分析】
解题时首先回忆第一象限角平分线上的点的坐标性质：横纵坐标相等且均为正数。本题中点A的纵坐标为121，已经满足正数要求，因此只需令横坐标的代数式等于121即可列出方程；观察方程左侧的二次三项式，符合完全平方公式的形式，可变形为平方的形式，因此选用直接开平方法求解一元二次方程，开平方后得到两个一元一次方程，分别求解即可得到m的值。
【解析】
解：
∵点A在第一象限的角平分线上，
∴点A的横坐标与纵坐标相等，且横、纵坐标均为正数，
已知点A的纵坐标为121＞0，因此可得方程：
$m^2 - 14m + 49 = 121$
由完全平方公式将方程左侧因式分解得：
$(m - 7)^2 = 121$
两边直接开平方，得：
$m - 7 = ±11$
即 $m - 7 = 11$ 或 $m - 7 = -11$
分别解两个一元一次方程：
当$m - 7 = 11$时，解得$m_1 = 18$；
当$m - 7 = -11$时，解得$m_2 = -4$。
代入验证：两个m值对应的横坐标均为121＞0，符合第一象限点的坐标要求，均成立。
【答案】
$m_1=18$，$m_2=-4$
【知识点】
象限角平分线的坐标特征；完全平方公式；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题将平面直角坐标系点的坐标规律与一元二次方程解法结合，解题核心是准确记忆第一象限角平分线上点的坐标特征，解方程时注意直接开平方后有两个互为相反数的根，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆第一象限角平分线上的点的坐标性质：横纵坐标相等且均为正数。本题中点A的纵坐标为121，已经满足正数要求，因此只需令横坐标的代数式等于121即可列出方程；观察方程左侧的二次三项式，符合完全平方公式的形式，可变形为平方的形式，因此选用直接开平方法求解一元二次方程，开平方后得到两个一元一次方程，分别求解即可得到m的值。
【解析】
解：
∵点A在第一象限的角平分线上，
∴点A的横坐标与纵坐标相等，且横、纵坐标均为正数，
已知点A的纵坐标为121＞0，因此可得方程：
$m^2 - 14m + 49 = 121$
由完全平方公式将方程左侧因式分解得：
$(m - 7)^2 = 121$
两边直接开平方，得：
$m - 7 = ±11$
即 $m - 7 = 11$ 或 $m - 7 = -11$
分别解两个一元一次方程：
当$m - 7 = 11$时，解得$m_1 = 18$；
当$m - 7 = -11$时，解得$m_2 = -4$。
代入验证：两个m值对应的横坐标均为121＞0，符合第一象限点的坐标要求，均成立。
【答案】
$m_1=18$，$m_2=-4$
【知识点】
象限角平分线的坐标特征；完全平方公式；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题将平面直角坐标系点的坐标规律与一元二次方程解法结合，解题核心是准确记忆第一象限角平分线上点的坐标特征，解方程时注意直接开平方后有两个互为相反数的根，避免漏解。
【难度系数】
0.7
20 整体思想 已知关于$x$的方程$a(x+n)^2 + b=0(a,b,n$为常数，$a≠0)$的解是$x_1=5$，$x_2=-3$，则方程$a(x+n-2)^2 + b=0$的解是
$x_1=7,x_2=-1$
。答案
20. $x_1=7,x_2=-1$
解析
【分析】
本题可利用整体代换思想求解，观察两个方程的结构可知，第二个方程可变形为$a[(x-2)+n]^2 + b=0$，与已知方程$a(x+n)^2 + b=0$结构完全相同，因此可将$x-2$看作整体，对应已知方程中的未知数$x$，直接利用已知方程的解推导新方程的解，无需计算参数$a,b,n$的具体值，简化计算过程。
【解析】
已知方程$a(x+n)^2 + b=0$的解为$x_1=5$，$x_2=-3$。
将待求方程$a(x+n-2)^2 + b=0$变形为：$a[(x-2)+n]^2 + b=0$。
把$x-2$看作整体，该整体的取值与已知方程中$x$的取值相同，因此可得：
$x-2=5$ 或 $x-2=-3$
分别求解两个一次方程：
当$x-2=5$时，解得$x=5+2=7$；
当$x-2=-3$时，解得$x=-3+2=-1$。
【答案】
$x_1=7,x_2=-1$
【知识点】
整体代换思想，一元二次方程的解，直接开平方法
【点评】
本题不需要求解未知参数，通过观察方程结构的共性使用整体代换即可快速得出答案，能很好地考查对数学思想方法的运用能力，避免了不必要的复杂计算。
【难度系数】
0.7
本题可利用整体代换思想求解，观察两个方程的结构可知，第二个方程可变形为$a[(x-2)+n]^2 + b=0$，与已知方程$a(x+n)^2 + b=0$结构完全相同，因此可将$x-2$看作整体，对应已知方程中的未知数$x$，直接利用已知方程的解推导新方程的解，无需计算参数$a,b,n$的具体值，简化计算过程。
【解析】
已知方程$a(x+n)^2 + b=0$的解为$x_1=5$，$x_2=-3$。
将待求方程$a(x+n-2)^2 + b=0$变形为：$a[(x-2)+n]^2 + b=0$。
把$x-2$看作整体，该整体的取值与已知方程中$x$的取值相同，因此可得：
$x-2=5$ 或 $x-2=-3$
分别求解两个一次方程：
当$x-2=5$时，解得$x=5+2=7$；
当$x-2=-3$时，解得$x=-3+2=-1$。
【答案】
$x_1=7,x_2=-1$
【知识点】
整体代换思想，一元二次方程的解，直接开平方法
【点评】
本题不需要求解未知参数，通过观察方程结构的共性使用整体代换即可快速得出答案，能很好地考查对数学思想方法的运用能力，避免了不必要的复杂计算。
【难度系数】
0.7
21 分类讨论思想 若$a$为方程$(x-\sqrt{13})^2=16$的一个根，$b$为方程$y^2 -2y +1=13$的一个根，求$a+b$的值.
答案
21. 解方程$(x-\sqrt{13})^2=16$,得 $x_1=\sqrt{13}+4,x_2=\sqrt{13}-4$.
$\because a$ 为方程 $(x-\sqrt{13})^2=16$ 的一个根, $\therefore a=\sqrt{13}\pm4$. 解方程 $y^2-2y+1=13$, 即 $(y-1)^2=13$, 解得 $y_1=1+\sqrt{13},y_2=1-\sqrt{13}$. $\because b$ 为方程 $y^2-2y+1=13$ 的一个根, $\therefore b=1\pm\sqrt{13}$. 当 $a=\sqrt{13}+4,b=1+\sqrt{13}$ 时, $a+b=5+2\sqrt{13}$; 当 $a=\sqrt{13}+4$,$b=1-\sqrt{13}$ 时, $a+b=5$; 当 $a=\sqrt{13}-4,b=1+\sqrt{13}$ 时, $a+b=-3+2\sqrt{13}$; 当 $a=\sqrt{13}-4,b=1-\sqrt{13}$ 时, $a+b=-3$
$\because a$ 为方程 $(x-\sqrt{13})^2=16$ 的一个根, $\therefore a=\sqrt{13}\pm4$. 解方程 $y^2-2y+1=13$, 即 $(y-1)^2=13$, 解得 $y_1=1+\sqrt{13},y_2=1-\sqrt{13}$. $\because b$ 为方程 $y^2-2y+1=13$ 的一个根, $\therefore b=1\pm\sqrt{13}$. 当 $a=\sqrt{13}+4,b=1+\sqrt{13}$ 时, $a+b=5+2\sqrt{13}$; 当 $a=\sqrt{13}+4$,$b=1-\sqrt{13}$ 时, $a+b=5$; 当 $a=\sqrt{13}-4,b=1+\sqrt{13}$ 时, $a+b=-3+2\sqrt{13}$; 当 $a=\sqrt{13}-4,b=1-\sqrt{13}$ 时, $a+b=-3$
解析
【分析】
本题需要先分别求解两个一元二次方程，得到a、b的所有可能取值，再结合分类讨论思想，将a、b的取值两两组合，分别计算a+b的结果，注意不要遗漏任意一种组合情况。
【解析】
1. 求解关于x的方程$(x-\sqrt{13})^2=16$：
直接开平方得$x-\sqrt{13}=\pm4$，
解得$x_1=\sqrt{13}+4$，$x_2=\sqrt{13}-4$，
因为a是该方程的一个根，所以$a=\sqrt{13}+4$或$a=\sqrt{13}-4$。
2. 求解关于y的方程$y^2-2y+1=13$：
先将左边改写为完全平方形式，得$(y-1)^2=13$，
直接开平方得$y-1=\pm\sqrt{13}$，
解得$y_1=1+\sqrt{13}$，$y_2=1-\sqrt{13}$，
因为b是该方程的一个根，所以$b=1+\sqrt{13}$或$b=1-\sqrt{13}$。
3. 分类讨论计算$a+b$：
① 当$a=\sqrt{13}+4$，$b=1+\sqrt{13}$时，$a+b=\sqrt{13}+4+1+\sqrt{13}=5+2\sqrt{13}$；
② 当$a=\sqrt{13}+4$，$b=1-\sqrt{13}$时，$a+b=\sqrt{13}+4+1-\sqrt{13}=5$；
③ 当$a=\sqrt{13}-4$，$b=1+\sqrt{13}$时，$a+b=\sqrt{13}-4+1+\sqrt{13}=-3+2\sqrt{13}$；
④ 当$a=\sqrt{13}-4$，$b=1-\sqrt{13}$时，$a+b=\sqrt{13}-4+1-\sqrt{13}=-3$。
【答案】
$a+b$的值为$5+2\sqrt{13}$或$5$或$-3+2\sqrt{13}$或$-3$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；完全平方公式；分类讨论思想
【点评】
本题侧重对一元二次方程解法和分类讨论思想的考察，解题时要注意一元二次方程通常有两个实数根，需枚举出参数所有可能的取值，再逐一枚举组合计算结果，避免漏解。
【难度系数】
0.65
本题需要先分别求解两个一元二次方程，得到a、b的所有可能取值，再结合分类讨论思想，将a、b的取值两两组合，分别计算a+b的结果，注意不要遗漏任意一种组合情况。
【解析】
1. 求解关于x的方程$(x-\sqrt{13})^2=16$：
直接开平方得$x-\sqrt{13}=\pm4$，
解得$x_1=\sqrt{13}+4$，$x_2=\sqrt{13}-4$，
因为a是该方程的一个根，所以$a=\sqrt{13}+4$或$a=\sqrt{13}-4$。
2. 求解关于y的方程$y^2-2y+1=13$：
先将左边改写为完全平方形式，得$(y-1)^2=13$，
直接开平方得$y-1=\pm\sqrt{13}$，
解得$y_1=1+\sqrt{13}$，$y_2=1-\sqrt{13}$，
因为b是该方程的一个根，所以$b=1+\sqrt{13}$或$b=1-\sqrt{13}$。
3. 分类讨论计算$a+b$：
① 当$a=\sqrt{13}+4$，$b=1+\sqrt{13}$时，$a+b=\sqrt{13}+4+1+\sqrt{13}=5+2\sqrt{13}$；
② 当$a=\sqrt{13}+4$，$b=1-\sqrt{13}$时，$a+b=\sqrt{13}+4+1-\sqrt{13}=5$；
③ 当$a=\sqrt{13}-4$，$b=1+\sqrt{13}$时，$a+b=\sqrt{13}-4+1+\sqrt{13}=-3+2\sqrt{13}$；
④ 当$a=\sqrt{13}-4$，$b=1-\sqrt{13}$时，$a+b=\sqrt{13}-4+1-\sqrt{13}=-3$。
【答案】
$a+b$的值为$5+2\sqrt{13}$或$5$或$-3+2\sqrt{13}$或$-3$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；完全平方公式；分类讨论思想
【点评】
本题侧重对一元二次方程解法和分类讨论思想的考察，解题时要注意一元二次方程通常有两个实数根，需枚举出参数所有可能的取值，再逐一枚举组合计算结果，避免漏解。
【难度系数】
0.65
