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1 下列方程中能用直接开平方法解的是（
A.$x^2 - 4x = 0$
B.$x^2 + 9 = 0$
C.$17 - x^2 = 0$
D.$3x^2 - 27 = 9x$
C
）A.$x^2 - 4x = 0$
B.$x^2 + 9 = 0$
C.$17 - x^2 = 0$
D.$3x^2 - 27 = 9x$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断方程能否用直接开平方法求解，首先要明确直接开平方法的适用条件：方程可整理为$x^2=p$（$p≥0$）或$(ax+b)^2=p$（$p≥0$）的形式，其中等号左边是完全平方式，右边是非负常数。我们只需将每个选项的方程变形，判断是否符合上述形式即可。
【解析】
直接开平方法适用于形如$x^2 = p$（$p≥0$）或$(ax+b)^2=p$（$p≥0$）的一元二次方程，对各选项分析如下：
A. 方程$x^2 - 4x = 0$的左边含有一次项，无法直接写成某个整式的平方，不能用直接开平方法，可选用因式分解法或配方法求解，不符合要求；
B. 方程$x^2 + 9 = 0$移项得$x^2=-9$，右边为负数，无实数根，无法用直接开平方法求解，不符合要求；
C. 方程$17 - x^2 = 0$移项得$x^2=17$，符合$x^2=p$（$p=17＞0$）的形式，可直接开平方求解，符合要求；
D. 方程$3x^2 - 27 = 9x$整理为标准形式为$x^2-3x-9=0$，左边不是完全平方式，无法直接开平方，可选用配方法或公式法求解，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法、一元二次方程变形
【点评】
本题考查直接开平方法的适用范围，解题核心是判断方程是否能化为“平方项等于非负常数”的形式，是对一元二次方程解法的基础概念考查。
【难度系数】
0.9
要判断方程能否用直接开平方法求解，首先要明确直接开平方法的适用条件：方程可整理为$x^2=p$（$p≥0$）或$(ax+b)^2=p$（$p≥0$）的形式，其中等号左边是完全平方式，右边是非负常数。我们只需将每个选项的方程变形，判断是否符合上述形式即可。
【解析】
直接开平方法适用于形如$x^2 = p$（$p≥0$）或$(ax+b)^2=p$（$p≥0$）的一元二次方程，对各选项分析如下：
A. 方程$x^2 - 4x = 0$的左边含有一次项，无法直接写成某个整式的平方，不能用直接开平方法，可选用因式分解法或配方法求解，不符合要求；
B. 方程$x^2 + 9 = 0$移项得$x^2=-9$，右边为负数，无实数根，无法用直接开平方法求解，不符合要求；
C. 方程$17 - x^2 = 0$移项得$x^2=17$，符合$x^2=p$（$p=17＞0$）的形式，可直接开平方求解，符合要求；
D. 方程$3x^2 - 27 = 9x$整理为标准形式为$x^2-3x-9=0$，左边不是完全平方式，无法直接开平方，可选用配方法或公式法求解，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法、一元二次方程变形
【点评】
本题考查直接开平方法的适用范围，解题核心是判断方程是否能化为“平方项等于非负常数”的形式，是对一元二次方程解法的基础概念考查。
【难度系数】
0.9
2 一元二次方程 $4x^2 -9=0$ 的根为 （
A.$x_1=x_2=\frac{2}{3}$
B.$x_1=x_2=\frac{3}{2}$
C.$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$
D.$x_1=\frac{2}{3},x_2=-\frac{2}{3}$
C
）A.$x_1=x_2=\frac{2}{3}$
B.$x_1=x_2=\frac{3}{2}$
C.$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$
D.$x_1=\frac{2}{3},x_2=-\frac{2}{3}$
答案
2. C
解析
【分析】
这道题是不含一次项的一元二次方程，适合用直接开平方法求解。解题思路如下：第一步先移项，将常数项移到等号右侧；第二步将二次项系数化为1，得到$x^2$等于常数的形式；第三步对等式两边直接开平方，即可求出方程的两个根，再对应选项选择即可。
【解析】
解：对于方程$4x^2 -9=0$，
第一步：移项，得$4x^2=9$，
第二步：两边同时除以4，将二次项系数化为1，得$x^2=\frac{9}{4}$，
第三步：两边直接开平方，得$x=\pm\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm\frac{3}{2}$，
即方程的根为$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的运算
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，属于基础题型，解题关键是识别出方程无一次项的特征，选用直接开平方法按步骤计算即可。
【难度系数】
0.8
这道题是不含一次项的一元二次方程，适合用直接开平方法求解。解题思路如下：第一步先移项，将常数项移到等号右侧；第二步将二次项系数化为1，得到$x^2$等于常数的形式；第三步对等式两边直接开平方，即可求出方程的两个根，再对应选项选择即可。
【解析】
解：对于方程$4x^2 -9=0$，
第一步：移项，得$4x^2=9$，
第二步：两边同时除以4，将二次项系数化为1，得$x^2=\frac{9}{4}$，
第三步：两边直接开平方，得$x=\pm\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm\frac{3}{2}$，
即方程的根为$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的运算
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，属于基础题型，解题关键是识别出方程无一次项的特征，选用直接开平方法按步骤计算即可。
【难度系数】
0.8
3 一元二次方程 $7x^2=21$ 的解为
$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
.答案
3. $x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
解析
【分析】本题适合用直接开平方法求解，解题思路如下：首先观察方程无一次项，符合直接开平方法解方程的特征，第一步先将方程变形为$x^2=a(a≥0)$的形式，即把二次项系数化为1，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，即可得到方程的两个解。
【解析】解：对原方程$7x^2=21$逐步求解：
1. 方程两边同时除以7，将二次项系数化为1，得：$x^2=3$
2. 对等式两边直接开平方，得：$x=\pm\sqrt{3}$
因此方程的解为$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
【答案】$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】本题是直接开平方法解方程的基础题型，解题核心是先将方程转化为$x^2=a(a≥0)$的标准形式再开方，求解时注意不要遗漏负根。
【难度系数】0.9
【解析】解：对原方程$7x^2=21$逐步求解：
1. 方程两边同时除以7，将二次项系数化为1，得：$x^2=3$
2. 对等式两边直接开平方，得：$x=\pm\sqrt{3}$
因此方程的解为$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
【答案】$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】本题是直接开平方法解方程的基础题型，解题核心是先将方程转化为$x^2=a(a≥0)$的标准形式再开方，求解时注意不要遗漏负根。
【难度系数】0.9
4 用直接开平方法解方程：
(1) $5x^2 - 2 = 18$；
(2) $-7x^2 + 4 = 0$。
(1) $5x^2 - 2 = 18$；
(2) $-7x^2 + 4 = 0$。
答案
4. (1) $x_1=2,x_2=-2$ (2) $x_1=\frac{2\sqrt{7}}{7},x_2=-\frac{2\sqrt{7}}{7}$
解析
【分析】
用直接开平方法解一元二次方程的核心是先将方程变形为$x^2=p$（$p≥0$）的形式，再对两边同时开平方求解。解题步骤为：第一步移项，将常数项移到等号右侧；第二步将二次项系数化为1，得到$x^2=p$的形式；第三步验证$p≥0$后开平方，得到两个互为相反数的实数根，注意不要漏负根，最后若根式需要化简则进行分母有理化。
对于(1)，先移项合并常数项，再把$x^2$的系数化为1即可开平方；对于(2)，移项后系数化为1时注意符号，开平方后要对根式化简。
【解析】
(1) 解方程$5x^2 - 2 = 18$：
移项，得$5x^2 = 18 + 2$，合并同类项得$5x^2 = 20$；
两边同时除以5，将二次项系数化为1，得$x^2 = 4$；
直接开平方，得$x = \pm 2$，即$x_1=2$，$x_2=-2$。
(2) 解方程$-7x^2 + 4 = 0$：
移项，得$-7x^2 = -4$；
两边同时除以$-7$，将二次项系数化为1，得$x^2 = \frac{4}{7}$；
直接开平方，得$x = \pm \sqrt{\frac{4}{7}}$，化简根式：$\sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{7}$，因此$x = \pm \frac{2\sqrt{7}}{7}$，即$x_1=\frac{2\sqrt{7}}{7}$，$x_2=-\frac{2\sqrt{7}}{7}$。
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=-2$；(2) $x_1=\frac{2\sqrt{7}}{7},x_2=-\frac{2\sqrt{7}}{7}$
【知识点】
直接开平方法解方程；二次根式化简；一元二次方程的根
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，重点考查对直接开平方法步骤的掌握，解题时需注意开平方后要取正负两个根，根式结果要化为最简形式，熟练掌握这类基础解法是后续学习其他一元二次方程解法的基础。
【难度系数】
0.8
用直接开平方法解一元二次方程的核心是先将方程变形为$x^2=p$（$p≥0$）的形式，再对两边同时开平方求解。解题步骤为：第一步移项，将常数项移到等号右侧；第二步将二次项系数化为1，得到$x^2=p$的形式；第三步验证$p≥0$后开平方，得到两个互为相反数的实数根，注意不要漏负根，最后若根式需要化简则进行分母有理化。
对于(1)，先移项合并常数项，再把$x^2$的系数化为1即可开平方；对于(2)，移项后系数化为1时注意符号，开平方后要对根式化简。
【解析】
(1) 解方程$5x^2 - 2 = 18$：
移项，得$5x^2 = 18 + 2$，合并同类项得$5x^2 = 20$；
两边同时除以5，将二次项系数化为1，得$x^2 = 4$；
直接开平方，得$x = \pm 2$，即$x_1=2$，$x_2=-2$。
(2) 解方程$-7x^2 + 4 = 0$：
移项，得$-7x^2 = -4$；
两边同时除以$-7$，将二次项系数化为1，得$x^2 = \frac{4}{7}$；
直接开平方，得$x = \pm \sqrt{\frac{4}{7}}$，化简根式：$\sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{7}$，因此$x = \pm \frac{2\sqrt{7}}{7}$，即$x_1=\frac{2\sqrt{7}}{7}$，$x_2=-\frac{2\sqrt{7}}{7}$。
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=-2$；(2) $x_1=\frac{2\sqrt{7}}{7},x_2=-\frac{2\sqrt{7}}{7}$
【知识点】
直接开平方法解方程；二次根式化简；一元二次方程的根
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，重点考查对直接开平方法步骤的掌握，解题时需注意开平方后要取正负两个根，根式结果要化为最简形式，熟练掌握这类基础解法是后续学习其他一元二次方程解法的基础。
【难度系数】
0.8
5 转化与化归思想 一元二次方程$(x+1)^2=3$可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为$x+1=\sqrt{3}$，则另一个一元一次方程为（
A.$x-1=\sqrt{3}$
B.$x+1=3$
C.$x+1=-3$
D.$x+1=-\sqrt{3}$
D
）A.$x-1=\sqrt{3}$
B.$x+1=3$
C.$x+1=-3$
D.$x+1=-\sqrt{3}$
答案
5. D
解析
【分析】
解题时首先回忆直接开平方法解一元二次方程的依据：平方根的性质，即若一个数的平方等于非负数a，则这个数是a的平方根，有两个且互为相反数。本题中将$x+1$看作一个整体，它的平方等于3，因此$x+1$的值应为3的两个平方根，已知其中一个为$x+1=\sqrt{3}$，即可推出另一个一元一次方程。
【解析】
对于方程$(x+1)^2=3$，根据平方根的性质，若$p^2=q$（$q≥0$），则$p=\sqrt{q}$或$p=-\sqrt{q}$。
将$x+1$看作整体$p$，可得：
$x+1=\sqrt{3}$ 或 $x+1=-\sqrt{3}$
已知其中一个一元一次方程为$x+1=\sqrt{3}$，因此另一个为$x+1=-\sqrt{3}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础考查，解题核心是将括号内的代数式看作整体，利用平方根的正负性完成二次方程到一次方程的降次转化，掌握基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆直接开平方法解一元二次方程的依据：平方根的性质，即若一个数的平方等于非负数a，则这个数是a的平方根，有两个且互为相反数。本题中将$x+1$看作一个整体，它的平方等于3，因此$x+1$的值应为3的两个平方根，已知其中一个为$x+1=\sqrt{3}$，即可推出另一个一元一次方程。
【解析】
对于方程$(x+1)^2=3$，根据平方根的性质，若$p^2=q$（$q≥0$），则$p=\sqrt{q}$或$p=-\sqrt{q}$。
将$x+1$看作整体$p$，可得：
$x+1=\sqrt{3}$ 或 $x+1=-\sqrt{3}$
已知其中一个一元一次方程为$x+1=\sqrt{3}$，因此另一个为$x+1=-\sqrt{3}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础考查，解题核心是将括号内的代数式看作整体，利用平方根的正负性完成二次方程到一次方程的降次转化，掌握基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9
6 一元二次方程$(x+1)^2=0$的根是
$x_1=x_2=-1$
。答案
6. $x_1=x_2=-1$
解析
【分析】
本题适合用直接开平方法求解，解题思路如下：首先观察方程形式，左边是关于x的一次式的完全平方，右边是0，符合直接开平方法的特征；根据平方根的性质，0的平方根是0，因此可以直接开平方得到关于x的一元一次方程，求解即可得到方程的根，注意一元二次方程有两个根，此处两个根相等，要按规范书写重根。
【解析】
解：对原方程$(x+1)^2=0$直接开平方，得：
$x+1=\pm\sqrt{0}$
即$x+1=0$
解得$x=-1$
由于该方程是一元二次方程，两个实数根相等，因此根为$x_1=x_2=-1$
【答案】
$x_1=x_2=-1$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题时注意当完全平方式的值为0时，对应一元二次方程有两个相等的实数根，不要只写一个根，要符合一元二次方程根的书写规范。
【难度系数】
0.9
本题适合用直接开平方法求解，解题思路如下：首先观察方程形式，左边是关于x的一次式的完全平方，右边是0，符合直接开平方法的特征；根据平方根的性质，0的平方根是0，因此可以直接开平方得到关于x的一元一次方程，求解即可得到方程的根，注意一元二次方程有两个根，此处两个根相等，要按规范书写重根。
【解析】
解：对原方程$(x+1)^2=0$直接开平方，得：
$x+1=\pm\sqrt{0}$
即$x+1=0$
解得$x=-1$
由于该方程是一元二次方程，两个实数根相等，因此根为$x_1=x_2=-1$
【答案】
$x_1=x_2=-1$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题时注意当完全平方式的值为0时，对应一元二次方程有两个相等的实数根，不要只写一个根，要符合一元二次方程根的书写规范。
【难度系数】
0.9
7 方程$(x-2)^2=7$的根是
$x_1=2+\sqrt{7},x_2=2-\sqrt{7}$
.答案
7. $x_1=2+\sqrt{7},x_2=2-\sqrt{7}$
解析
【分析】
观察方程形式，左边是含x的一次式的平方，右边是正数7，符合直接开平方法解一元二次方程的特征。解题思路为：先对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，再分别求解一元一次方程得到原方程的根，开平方时要注意取正负两个平方根，避免漏解。
【解析】
解：对原方程$(x-2)^2=7$两边同时开平方，得：
$x-2=\pm\sqrt{7}$
拆分得到两个一元一次方程：
$x-2=\sqrt{7}$ 或 $x-2=-\sqrt{7}$
分别求解：
当$x-2=\sqrt{7}$时，移项得$x=2+\sqrt{7}$；
当$x-2=-\sqrt{7}$时，移项得$x=2-\sqrt{7}$。
【答案】
$x_1=2+\sqrt{7},x_2=2-\sqrt{7}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的定义
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查直接开平方法的适用场景和运算规则，解题的易错点是开平方时遗漏负的平方根，日常练习中要养成严谨的运算习惯。
【难度系数】
0.9
观察方程形式，左边是含x的一次式的平方，右边是正数7，符合直接开平方法解一元二次方程的特征。解题思路为：先对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，再分别求解一元一次方程得到原方程的根，开平方时要注意取正负两个平方根，避免漏解。
【解析】
解：对原方程$(x-2)^2=7$两边同时开平方，得：
$x-2=\pm\sqrt{7}$
拆分得到两个一元一次方程：
$x-2=\sqrt{7}$ 或 $x-2=-\sqrt{7}$
分别求解：
当$x-2=\sqrt{7}$时，移项得$x=2+\sqrt{7}$；
当$x-2=-\sqrt{7}$时，移项得$x=2-\sqrt{7}$。
【答案】
$x_1=2+\sqrt{7},x_2=2-\sqrt{7}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的定义
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查直接开平方法的适用场景和运算规则，解题的易错点是开平方时遗漏负的平方根，日常练习中要养成严谨的运算习惯。
【难度系数】
0.9
8 方程$\frac{1}{3}(x-1)^2=3$的根是
$x_1=-2,x_2=4$
。答案
8. $x_1=-2,x_2=4$
解析
【分析】
本题适合用直接开平方法求解，解题思路是先把方程变形为$(x-1)^2 = c$（$c≥0$）的形式，再根据平方根的定义对等式两边开平方，转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
解：首先将方程$\frac{1}{3}(x-1)^2=3$两边同时乘以3，消去完全平方式的系数，得：
$(x-1)^2 = 9$
对等式两边同时开平方，得：
$x-1 = \pm 3$
拆分得到两个一元一次方程：
$x-1 = 3$ 或 $x-1 = -3$
分别求解：
当$x-1=3$时，$x=3+1=4$；
当$x-1=-3$时，$x=-3+1=-2$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=4$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题核心是先将含未知数的完全平方式的系数化为1，再开平方转化为一元一次方程求解，掌握直接开平方法的适用形式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题适合用直接开平方法求解，解题思路是先把方程变形为$(x-1)^2 = c$（$c≥0$）的形式，再根据平方根的定义对等式两边开平方，转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
解：首先将方程$\frac{1}{3}(x-1)^2=3$两边同时乘以3，消去完全平方式的系数，得：
$(x-1)^2 = 9$
对等式两边同时开平方，得：
$x-1 = \pm 3$
拆分得到两个一元一次方程：
$x-1 = 3$ 或 $x-1 = -3$
分别求解：
当$x-1=3$时，$x=3+1=4$；
当$x-1=-3$时，$x=-3+1=-2$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=4$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题核心是先将含未知数的完全平方式的系数化为1，再开平方转化为一元一次方程求解，掌握直接开平方法的适用形式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9 教材变式题 解方程：
(1) $4(x-3)^2 -28=0$；
(2) $y^2 -10y +25=4$。
(1) $4(x-3)^2 -28=0$；
(2) $y^2 -10y +25=4$。
答案
9. (1) $x_1=3+\sqrt{7},x_2=3-\sqrt{7}$ (2) $y_1=3,y_2=7$
解析
【分析】
这两道题均使用直接开平方法求解。第(1)题先将常数项移到等号右侧，再把$(x-3)^2$的系数化为1，得到含未知数的完全平方式等于非负数的形式，再开平方转化为两个一元一次方程即可求解；第(2)题左侧恰好是完全平方式，可直接开平方转化为一元一次方程求解，注意开平方后有两个互为相反数的结果，避免漏解。
【解析】
(1) 解：移项，得 $4(x-3)^2 = 28$
两边同时除以4，得 $(x-3)^2 = 7$
开平方，得 $x-3 = ±\sqrt{7}$
即 $x-3=\sqrt{7}$ 或 $x-3=-\sqrt{7}$
解得 $x_1=3+\sqrt{7}$，$x_2=3-\sqrt{7}$
(2) 解：原方程整理得 $(y-5)^2 = 4$
开平方，得 $y-5 = ±2$
即 $y-5=2$ 或 $y-5=-2$
解得 $y_1=7$，$y_2=3$
【答案】
(1) $x_1=3+\sqrt{7},x_2=3-\sqrt{7}$ (2) $y_1=3,y_2=7$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是直接开平方法的基础应用，解题核心是把方程变形为“含未知数的完全平方式=非负数”的结构，再转化为一元一次方程计算，难度较低，注意开方后不要漏掉负根即可。
【难度系数】
0.8
这两道题均使用直接开平方法求解。第(1)题先将常数项移到等号右侧，再把$(x-3)^2$的系数化为1，得到含未知数的完全平方式等于非负数的形式，再开平方转化为两个一元一次方程即可求解；第(2)题左侧恰好是完全平方式，可直接开平方转化为一元一次方程求解，注意开平方后有两个互为相反数的结果，避免漏解。
【解析】
(1) 解：移项，得 $4(x-3)^2 = 28$
两边同时除以4，得 $(x-3)^2 = 7$
开平方，得 $x-3 = ±\sqrt{7}$
即 $x-3=\sqrt{7}$ 或 $x-3=-\sqrt{7}$
解得 $x_1=3+\sqrt{7}$，$x_2=3-\sqrt{7}$
(2) 解：原方程整理得 $(y-5)^2 = 4$
开平方，得 $y-5 = ±2$
即 $y-5=2$ 或 $y-5=-2$
解得 $y_1=7$，$y_2=3$
【答案】
(1) $x_1=3+\sqrt{7},x_2=3-\sqrt{7}$ (2) $y_1=3,y_2=7$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是直接开平方法的基础应用，解题核心是把方程变形为“含未知数的完全平方式=非负数”的结构，再转化为一元一次方程计算，难度较低，注意开方后不要漏掉负根即可。
【难度系数】
0.8
10 若关于$x$的方程$(x-9)^2 = m+4$可以用直接开平方法求解，则$m$的取值范围是（
A.$m＞4$
B.$m≥4$
C.$m＞-4$
D.$m≥-4$
D
）A.$m＞4$
B.$m≥4$
C.$m＞-4$
D.$m≥-4$
答案
10. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确直接开平方法解一元二次方程的适用条件。我们知道任意实数的平方都是非负数，方程左边的$(x-9)^2$本身取值一定大于等于0，要让方程可以用直接开平方法求解，右边的$m+4$也必须是非负数，否则方程没有实数根，无法直接开平方求解，因此只需列出关于$m$的不等式求解即可。
【解析】
解：根据平方的非负性可知，对任意实数$x$，都有$(x-9)^2 ≥ 0$
∵ 方程$(x-9)^2 = m+4$可以用直接开平方法求解，说明方程存在实数根
∴ 等式右边的代数式需满足非负要求，即：
$m+4 ≥ 0$
解该不等式，两边同时减4得：
$m ≥ -4$
因此$m$的取值范围是$m≥-4$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法；平方的非负性；解一元一次不等式
【点评】
本题主要考查直接开平方法解一元二次方程的前提条件，解题核心是熟练掌握平方数的非负性，属于基础考点，只要牢记相关性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确直接开平方法解一元二次方程的适用条件。我们知道任意实数的平方都是非负数，方程左边的$(x-9)^2$本身取值一定大于等于0，要让方程可以用直接开平方法求解，右边的$m+4$也必须是非负数，否则方程没有实数根，无法直接开平方求解，因此只需列出关于$m$的不等式求解即可。
【解析】
解：根据平方的非负性可知，对任意实数$x$，都有$(x-9)^2 ≥ 0$
∵ 方程$(x-9)^2 = m+4$可以用直接开平方法求解，说明方程存在实数根
∴ 等式右边的代数式需满足非负要求，即：
$m+4 ≥ 0$
解该不等式，两边同时减4得：
$m ≥ -4$
因此$m$的取值范围是$m≥-4$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法；平方的非负性；解一元一次不等式
【点评】
本题主要考查直接开平方法解一元二次方程的前提条件，解题核心是熟练掌握平方数的非负性，属于基础考点，只要牢记相关性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
11 新考向结论开放题 若关于x的一元二次方程$(x+5)^2 = c$有正整数根，则c的值可以为
答案不唯一，如36
(写出一个即可)答案
11. 答案不唯一，如 36
解析
【分析】
解题时先运用直接开平方法求解给定的一元二次方程，得到根的表达式，再结合“根为正整数”的条件推导c的取值要求，即可得到符合条件的c值。思考步骤如下：1. 明确直接开平方法的适用条件：方程右边的c必须是非负数才有实数根；2. 开平方后得到两个根的表达式，排除明显为负的根，对剩下的根分析可知，要使根为正整数，需√c为大于5的正整数，任取一个符合要求的√c的值计算即可得到对应的c。
【解析】
解：对于一元二次方程$(x+5)^2 = c$，
根据直接开平方法的要求，首先需满足$c ≥ 0$才有实数根，
开平方得：$x + 5 = \pm \sqrt{c}$，
移项得方程的两个根：$x_1 = -5 + \sqrt{c}$，$x_2 = -5 - \sqrt{c}$。
因为$\sqrt{c} ≥ 0$，所以$x_2 = -5 - \sqrt{c} ≤ -5 ＜ 0$，不可能是正整数，
因此只需$x_1 = -5 + \sqrt{c}$为正整数，
即$\sqrt{c} ＞ 5$，且$\sqrt{c}$为正整数。
例如取$\sqrt{c}=6$，则$c=6^2=36$，此时$x_1=-5+6=1$，是正整数，符合要求。
【答案】
36（答案不唯一）
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根的性质
【点评】
本题是结论开放题，重点考查直接开平方法解方程的应用，需要结合正整数的约束条件推导参数的取值，只要符合要求的c值均正确，灵活考查学生对知识点的运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先运用直接开平方法求解给定的一元二次方程，得到根的表达式，再结合“根为正整数”的条件推导c的取值要求，即可得到符合条件的c值。思考步骤如下：1. 明确直接开平方法的适用条件：方程右边的c必须是非负数才有实数根；2. 开平方后得到两个根的表达式，排除明显为负的根，对剩下的根分析可知，要使根为正整数，需√c为大于5的正整数，任取一个符合要求的√c的值计算即可得到对应的c。
【解析】
解：对于一元二次方程$(x+5)^2 = c$，
根据直接开平方法的要求，首先需满足$c ≥ 0$才有实数根，
开平方得：$x + 5 = \pm \sqrt{c}$，
移项得方程的两个根：$x_1 = -5 + \sqrt{c}$，$x_2 = -5 - \sqrt{c}$。
因为$\sqrt{c} ≥ 0$，所以$x_2 = -5 - \sqrt{c} ≤ -5 ＜ 0$，不可能是正整数，
因此只需$x_1 = -5 + \sqrt{c}$为正整数，
即$\sqrt{c} ＞ 5$，且$\sqrt{c}$为正整数。
例如取$\sqrt{c}=6$，则$c=6^2=36$，此时$x_1=-5+6=1$，是正整数，符合要求。
【答案】
36（答案不唯一）
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根的性质
【点评】
本题是结论开放题，重点考查直接开平方法解方程的应用，需要结合正整数的约束条件推导参数的取值，只要符合要求的c值均正确，灵活考查学生对知识点的运用能力。
【难度系数】
0.8
12 下列方程中,无实数根的是 （
A.$x^2 -1=0$
B.$x^2=2$
C.$-3x^2 +2=0$
D.$x^2 +3=0$
D
）A.$x^2 -1=0$
B.$x^2=2$
C.$-3x^2 +2=0$
D.$x^2 +3=0$
答案
12. D
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有实数根，本题可先将每个选项的方程变形为$x^2=a$的形式，再根据平方的非负性判断：若$a≥0$，方程有实数根；若$a＜0$，因为任意实数的平方都不可能为负数，所以方程无实数根，逐一验证选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 对$x^2 -1=0$移项得$x^2=1$，$1＞0$，方程有两个实数根$x=\pm1$，不符合题意；
B. 方程$x^2=2$，$2＞0$，方程有两个实数根$x=\pm\sqrt{2}$，不符合题意；
C. 对$-3x^2 +2=0$移项得$3x^2=2$，即$x^2=\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}＞0$，方程有两个实数根，不符合题意；
D. 对$x^2 +3=0$移项得$x^2=-3$，$-3＜0$，不存在实数的平方为负数，因此方程无实数根，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法；平方的非负性；一元二次方程实根判断
【点评】
本题考查一元二次方程实根的判断，解题核心是利用直接开平方法将方程变形后结合平方的非负性分析，属于基础类题型，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程是否有实数根，本题可先将每个选项的方程变形为$x^2=a$的形式，再根据平方的非负性判断：若$a≥0$，方程有实数根；若$a＜0$，因为任意实数的平方都不可能为负数，所以方程无实数根，逐一验证选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 对$x^2 -1=0$移项得$x^2=1$，$1＞0$，方程有两个实数根$x=\pm1$，不符合题意；
B. 方程$x^2=2$，$2＞0$，方程有两个实数根$x=\pm\sqrt{2}$，不符合题意；
C. 对$-3x^2 +2=0$移项得$3x^2=2$，即$x^2=\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}＞0$，方程有两个实数根，不符合题意；
D. 对$x^2 +3=0$移项得$x^2=-3$，$-3＜0$，不存在实数的平方为负数，因此方程无实数根，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法；平方的非负性；一元二次方程实根判断
【点评】
本题考查一元二次方程实根的判断，解题核心是利用直接开平方法将方程变形后结合平方的非负性分析，属于基础类题型，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
