10 通过配方法可以把关于x的一元二次方程$x^2 -10x +k=0$化成$(x+m)^2 =n(n≥0)$的形式，则k的值不可能是（）

A.9
B.20
C.25
D.26

10. D

【分析】
解题时先利用配方法对给定的一元二次方程进行变形，得到形如$(x+m)^2 =n$的式子，再根据$n≥0$的限制条件求出$k$的取值范围，最后对照选项判断出不可能的$k$值即可。具体步骤为：先移项把常数项移到等号右侧，再给方程两边加上一次项系数一半的平方将左边配成完全平方式，结合右侧非负的要求列不等式求解。
【解析】
对一元二次方程$x^2 -10x +k=0$进行配方：
1. 移项，得：$x^2 -10x = -k$
2. 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{-10}{2})^2=25$，得：
$x^2 -10x +25 = 25 -k$
整理为完全平方式：$(x-5)^2 = 25 -k$
由题意可知配方后等号右侧$n≥0$，即：
$25 -k ≥ 0$
解得：$k ≤ 25$
对照选项，只有26＞25，不符合$k$的取值范围，因此$k$的值不可能是26。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；不等式的性质
【点评】
本题核心考查配方法的操作步骤，以及平方数的非负性应用，解题的关键是熟练掌握配方法的变形规则，结合限制条件建立关于参数的不等式求解，属于配方法的常规基础考题。
【难度系数】
0.8

11 通过配方使下面的等式成立：
(1) $2x^2 - 6x + \_\_\_\_\_\_ = 2(x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2) $\frac{1}{3}x^2 + 4x + \_\_\_\_\_\_ = \frac{1}{3}(x + \_\_\_\_\_\_)^2$。

11. (1) $\dfrac{9}{2}$ $\dfrac{3}{2}$ (2) 12 6

【分析】
解决这类配方问题的核心思路是：先将等式左边前两项提取二次项系数，把括号内的二次项系数化为1，再根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，给括号内补充一次项系数一半的平方，最后结合括号外的系数计算出需要填写的常数项即可。
【解析】
(1) 先对前两项提取二次项系数2：
$2x^2 - 6x = 2(x^2 - 3x)$
括号内一次项系数为$-3$，其一半的平方为$(-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{9}{4}$，因此括号内补$\dfrac{9}{4}$可配成完全平方：
$2(x^2 - 3x + \dfrac{9}{4})=2(x-\dfrac{3}{2})^2$
展开计算补充的常数项：$2×\dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{2}$，因此第一空填$\dfrac{9}{2}$，第二空填$\dfrac{3}{2}$。
(2) 先对前两项提取二次项系数$\dfrac{1}{3}$：
$\dfrac{1}{3}x^2 + 4x = \dfrac{1}{3}(x^2 + 12x)$
括号内一次项系数为$12$，其一半的平方为$6^2=36$，因此括号内补$36$可配成完全平方：
$\dfrac{1}{3}(x^2 + 12x + 36)=\dfrac{1}{3}(x+6)^2$
展开计算补充的常数项：$\dfrac{1}{3}×36=12$，因此第一空填$12$，第二空填$6$。
【答案】
(1) $\dfrac{9}{2}$；$\dfrac{3}{2}$
(2) $12$；$6$
【知识点】
配方法；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题关键是牢记配方步骤，计算补充的常数项时注意不要遗漏括号外的系数，掌握该类题型是后续用配方法解一元二次方程、求二次函数顶点式的基础。
【难度系数】
0.8

12 若方程$x^2 +8x +3=0$能变形成$(x+p)^2 + q=0$的形式，则直线$y=px+q$不经过第象限。

12. 二

【分析】
要解决这道题我们可以分两步思考：第一步，利用配方法将给定的一元二次方程变形为$(x+p)^2+q=0$的形式，对应求出$p$、$q$的值；第二步，根据一次函数图象与系数的关系，判断直线$y=px+q$经过的象限，即可得出不经过的象限。配方法的核心是对二次项、一次项配方，加上一次项系数一半的平方，再减去相同的数保证式子值不变；一次函数的走向和与y轴的交点分别由一次项系数、常数项的符号决定。
【解析】
1. 用配方法变形方程$x^2+8x+3=0$：
对$x^2+8x$配方，一次项系数为8，一半是4，平方为16，因此：
$\begin{aligned}x^2+8x+16-16+3&=0\\(x+4)^2-13&=0\end{aligned}$
即$(x+4)^2+(-13)=0$，对比$(x+p)^2+q=0$的形式，可得$p=4$，$q=-13$。
2. 判断直线$y=4x-13$经过的象限：
一次项系数$k=4＞0$，直线从左到右上升，经过第一、三象限；
常数项$b=-13＜0$，直线与y轴交于负半轴，还经过第四象限。
因此直线不经过第二象限。
【答案】
二
【知识点】
配方法的应用；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是基础综合题，既考查了配方法的运算能力，也考查了一次函数图象性质的应用，解题的关键是正确求出$p$、$q$的数值，再结合一次函数系数与图象的对应关系判断象限。
【难度系数】
0.7

13 教材变式题 用配方法解方程：
(1) $x(x+9)=4x-1$；
(2) $3(x-1)(x+2)=9x-4$。

13. (1) $x_1=-\dfrac{5}{2}+\dfrac{\sqrt{21}}{2},x_2=-\dfrac{5}{2}-\dfrac{\sqrt{21}}{2}$ (2) $x_1=1+\dfrac{\sqrt{15}}{3},x_2=1-\dfrac{\sqrt{15}}{3}$

【分析】
用配方法解一元二次方程，首先需要将原方程展开、移项合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，再按以下步骤求解：①若二次项系数不为1，将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；②将常数项移到等号右侧；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，右边合并为常数；④若右边的常数是非负数，直接开平方转化为两个一元一次方程，求解即可得到原方程的根。解题过程中注意移项要变号，配方时不要漏加常数项。
【解析】
(1) 整理并求解原方程：
展开原方程左边得：$x^2+9x=4x-1$
移项、合并同类项得：$x^2+5x+1=0$
移项得：$x^2+5x=-1$
配方，两边同时加$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$：
$x^2+5x+\frac{25}{4}=-1+\frac{25}{4}$
即$(x+\frac{5}{2})^2=\frac{21}{4}$
开平方得：$x+\frac{5}{2}=±\frac{\sqrt{21}}{2}$
解得两根：$x_1=-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{21}}{2}$，$x_2=-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{21}}{2}$
(2) 整理并求解原方程：
先计算左边括号内乘法：$3(x^2+x-2)=9x-4$
展开左边得：$3x^2+3x-6=9x-4$
移项、合并同类项得：$3x^2-6x-2=0$
二次项系数化为1，两边除以3得：$x^2-2x-\frac{2}{3}=0$
移项得：$x^2-2x=\frac{2}{3}$
配方，两边同时加$(-1)^2=1$：
$x^2-2x+1=\frac{2}{3}+1$
即$(x-1)^2=\frac{5}{3}$
开平方并分母有理化得：$x-1=±\frac{\sqrt{15}}{3}$
解得两根：$x_1=1+\frac{\sqrt{15}}{3}$，$x_2=1-\frac{\sqrt{15}}{3}$
【答案】
(1) $x_1=-\dfrac{5}{2}+\dfrac{\sqrt{21}}{2},x_2=-\dfrac{5}{2}-\dfrac{\sqrt{21}}{2}$ (2) $x_1=1+\dfrac{\sqrt{15}}{3},x_2=1-\dfrac{\sqrt{15}}{3}$
【知识点】
配方法解方程；完全平方公式；开平方运算
【点评】
本题是配方法解方程的基础变式题，核心考查配方法的操作流程，解题时需先将方程转化为标准一元二次方程形式，配方时要注意等式两边同时加相同的常数，开平方时不要漏掉负根，最终结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.7

14 对于二次三项式 $x^2 -10x +36$，小聪得出如下结论：无论 $x$ 取何实数，这个二次三项式的值都不可能等于11.你是否同意小聪的说法？请说明理由。

14. 不同意 理由: $\because x^2-10x+36=x^2-10x+25+11=(x-5)^2+11$，$\therefore$ 当$x=5$时，$x^2-10x+36=11$. $\therefore$ 不同意小聪的说法.

【分析】
要判断小聪的说法是否正确，本质是判断是否存在实数x使得二次三项式$x^2 -10x +36$的值为11。我们可以采用配方法解题：先将二次三项式配方为“完全平方式+常数”的形式，再结合完全平方式的非负性确定该式的取值范围，即可判断是否能取到11；也可令该式等于11，通过解一元二次方程判断是否有实根，结合本课知识点优先选择配方法求解。
【解析】
不同意小聪的说法，理由如下：
对二次三项式进行配方：
$\begin{aligned}x^2 -10x +36&=x^2 -10x +25 + 11\\&=(x-5)^2 + 11\end{aligned}$
∵任意实数的平方都是非负数，即$(x-5)^2 ≥ 0$
∴当$(x-5)^2=0$，也就是$x=5$时，$x^2 -10x +36 = 0 +11 =11$
因此存在实数$x=5$使得原式的值等于11，故小聪的说法错误。
【答案】
不同意，理由：$\because x^2-10x+36=x^2-10x+25+11=(x-5)^2+11$，$\therefore$ 当$x=5$时，$x^2-10x+36=11$，因此不同意小聪的说法。
【知识点】
配方法的应用；完全平方式的非负性
【点评】
本题核心考查配方法的实际应用，解题关键是熟练掌握配方法的步骤，将二次三项式正确变形，结合平方数的非负性判断代数式的取值范围，是配方法应用的基础题型。
【难度系数】
0.8

1 当$x$取何值时，多项式$2x^2 -4x +7$有最小值？最小值是多少？

1. $\because 2x^2-4x+7=2(x-1)^2+5≥5$，$\therefore$ 当$x=1$时，$2x^2-4x+7$有最小值，最小值是5

【分析】
本题要求二次多项式的最小值，可利用配方法结合完全平方的非负性求解，解题思路如下：首先将多项式中的二次项和一次项组合，提取二次项系数，把括号内的式子配成完全平方式，再根据完全平方的非负性（任意实数的平方大于等于0），即可确定多项式的最小值及对应的x取值。
【解析】
对多项式$2x^2 -4x +7$进行配方变形：
$\begin{aligned}2x^2 -4x +7&=2(x^2 - 2x) +7 \\&=2(x^2 - 2x +1 -1) +7 \\&=2[(x-1)^2 -1] +7 \\&=2(x-1)^2 -2 +7 \\&=2(x-1)^2 +5\end{aligned}$
∵ 对于任意实数$x$，都有$(x-1)^2 ≥ 0$，
∴ $2(x-1)^2 ≥ 0$，则$2(x-1)^2 +5 ≥ 5$，
当且仅当$(x-1)^2=0$即$x=1$时，等号成立，此时多项式取得最小值。
【答案】
当$x=1$时，多项式$2x^2 -4x +7$有最小值，最小值是5
【知识点】
配方法；完全平方的非负性
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，将二次三项式转化为“完全平方式+常数”的结构，再结合平方的非负性即可快速求出最值，是后续求解二次相关最值问题的基础。
【难度系数】
0.75

2 已知$a,b$为实数,求代数式$a^2 + b^2 -4a -2b +6$的取值范围.

2. $a^2+b^2-4a-2b+6=a^2-4a+4+b^2-2b+1+1=(a-2)^2+(b-1)^2+1$. $\because (a-2)^2≥0,(b-1)^2≥0$，$\therefore (a-2)^2+(b-1)^2+1≥1$. $\therefore$ 代数式$a^2+b^2-4a-2b+6$的取值范围是不小于1的实数

【分析】
本题是求二元二次代数式的取值范围，解题核心是利用配方法将代数式转化为完全平方加常数的形式，再结合平方的非负性求解。思考步骤如下：首先观察代数式结构，将含a的项、含b的项分别分组，再拆分常数项，分别给两组凑成完全平方公式，最后根据完全平方的非负性确定代数式的最小值，进而得到取值范围。
【解析】
对代数式进行配方变形：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 -4a -2b +6&=a^2-4a+4 + b^2-2b+1 +1\\&=(a-2)^2 + (b-1)^2 +1\end{aligned}$
根据平方的性质，任意实数的平方均为非负数，因此$(a-2)^2≥0$，$(b-1)^2≥0$。
将两个不等式相加可得：$(a-2)^2 + (b-1)^2≥0$，
因此$(a-2)^2 + (b-1)^2 +1≥0+1=1$，即代数式的最小值为1，无最大值。
【答案】
代数式$a^2+b^2-4a-2b+6$的取值范围是不小于1的实数
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题属于配方法的基础应用型题目，是求二次代数式取值范围的常见题型，解题关键是熟练掌握凑完全平方的方法，结合非负数的性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8