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1 [2025河南]一元二次方程$x^2 -2x=0$的根的情况是 （
A.有两个不相等的实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
A
）A.有两个不相等的实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
答案
A
2 [2025新疆]若关于x的一元二次方程$x^2 -2x +a=0$无实数根，则实数a的取值范围是（
A.$a＜1$
B.$a＞1$
C.$a≤1$
D.$a≥1$
B
）A.$a＜1$
B.$a＞1$
C.$a≤1$
D.$a≥1$
答案
B
3 新考向 结论开放题 [2024南通]已知关于x的一元二次方程$x^2 - 2x + k = 0$有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值：
-1
。答案
答案不唯一，如-1
4（易错题）若关于$x$的方程$kx^2 - x - \dfrac{3}{4}=0$有实数根，则$k$的取值范围是
$k≥-\dfrac{1}{3}$
。答案
$k≥-\dfrac{1}{3}$
易错分析：未对方程进行分类讨论导致漏解。
易错分析：未对方程进行分类讨论导致漏解。
5 教材变式题 利用根的判别式判断下面方程的根的情况：
(1) $9x^2 -6x +1=0$；
(2) $5(x^2 +1)-7x=0$。
(1) $9x^2 -6x +1=0$；
(2) $5(x^2 +1)-7x=0$。
答案
(1) $\because \Delta=(-6)^2-4×9×1=0,\therefore$ 方程有两个相等的实数根
(2) $\because$ 原方程化为一般形式为 $5x^2-7x+5=0,\therefore \Delta=(-7)^2-4×5×5=-51＜0.\therefore$ 方程无实数根
(2) $\because$ 原方程化为一般形式为 $5x^2-7x+5=0,\therefore \Delta=(-7)^2-4×5×5=-51＜0.\therefore$ 方程无实数根
6 已知关于x的方程$x^2 - 2x + 2m - 1 = 0$有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根。
答案
$\because$ 关于 $x$ 的方程 $x^2-2x+2m-1=0$ 有实数根,$\therefore \Delta=4-4(2m-1)≥0$,解得 $m≤1.\because m$ 为正整数,$\therefore m=1.\therefore$ 原方程即为 $x^2-2x+1=0$,解得 $x_1=x_2=1$
7 关于$x$的方程$ax^2 -bx +c=0(a≠0,b^2 -4ac＞0)$的根是（
A
）答案
A
8 教材变式题 一元二次方程$x^2 + 4x - 8 = 0$的根是（
A.$x_1=2+2\sqrt{3}, x_2=2-2\sqrt{3}$
B.$x_1=2+2\sqrt{2}, x_2=2-2\sqrt{2}$
C.$x_1=-2+2\sqrt{2}, x_2=-2-2\sqrt{2}$
D.$x_1=-2+2\sqrt{3}, x_2=-2-2\sqrt{3}$
D
）A.$x_1=2+2\sqrt{3}, x_2=2-2\sqrt{3}$
B.$x_1=2+2\sqrt{2}, x_2=2-2\sqrt{2}$
C.$x_1=-2+2\sqrt{2}, x_2=-2-2\sqrt{2}$
D.$x_1=-2+2\sqrt{3}, x_2=-2-2\sqrt{3}$
答案
D
9 教材变式题 用公式法解方程：
(1) $x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$；
(2) $x(x - 2\sqrt{5}) = 4$。
(1) $x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$；
(2) $x(x - 2\sqrt{5}) = 4$。
答案
(1) $x_1=2+\sqrt{3},x_2=-2+\sqrt{3}$
(2) $x_1=3+\sqrt{5},x_2=-3+\sqrt{5}$
(2) $x_1=3+\sqrt{5},x_2=-3+\sqrt{5}$
