【例】如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=BC$,点$D$,$E$分别在$AC$,$AB$边上,点$F$在$CB$的延长线上,$∠ BED=∠ CAF$,$AD=CF$,求证:$DE=AF$.

证明：
∵ ∠ABC=90°，AB=BC，
∴ ∠BAC=∠C=45°。
∵ ∠BED是△AED的外角，
∴ ∠BED = ∠EAD + ∠ADE = 45° + ∠ADE。
又∵ ∠CAF = ∠BAC + ∠BAF = 45° + ∠BAF，且∠BED=∠CAF，
∴ 45° + ∠ADE = 45° + ∠BAF，
即 ∠ADE = ∠F。
在△ADE和△CFA中，
$\{\begin{array}{l}∠ADE = ∠F \\∠DAE = ∠C = 45° \\AD = CF\end{array} $
∴ △ADE ≌ △CFA（AAS），
∴ DE = AF。

【分析】
要证明两条线段相等，常用思路是证明两条线段所在的三角形全等。本题要证$DE=AF$，可尝试证明$△ ADE ≌ △ CFA$：首先根据等腰直角$△ ABC$的性质可得$∠ BAC=∠ C=45°$；再结合三角形外角的性质，以及已知的$∠ BED=∠ CAF$，通过角的和差推导得出$∠ ADE=∠ F$；最后结合已知的$AD=CF$，已具备两角及一角对边相等的条件，可利用AAS证明两个三角形全等，进而得到对应边相等。
【解析】
证明：
$\because ∠ ABC=90°$，$AB=BC$，
$\therefore ∠ BAC=∠ C=45°$。
$\because ∠ BED$是$△ AED$的外角，
$\therefore ∠ BED = ∠ EAD + ∠ ADE = 45° + ∠ ADE$。
又$\because ∠ CAF = ∠ BAC + ∠ BAF = 45° + ∠ BAF$，且$∠ BED=∠ CAF$，
$\therefore 45° + ∠ ADE = 45° + ∠ BAF$，
即 $∠ ADE = ∠ F$。
在$△ ADE$和$△ CFA$中，
$\{\begin{array}{l}∠ADE = ∠F \\∠DAE = ∠C = 45° \\AD = CF\end{array} $
$\therefore △ ADE ≌ △ CFA$（AAS），
$\therefore DE = AF$。
【答案】
$DE=AF$
【知识点】
等腰直角三角形的性质；三角形外角性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是全等三角形证明的典型题型，核心思路是通过角的转化推导得到全等所需的对应角相等条件，结合已知的等边即可证明三角形全等，进而得到待证的线段相等，要求熟练掌握角的和差运算以及全等判定定理的应用。
【难度系数】
0.6

1.(2024·沈阳七中月考节选)(1)如图1,已知等腰直角三角形ABC,AC=BC,在三角形内取一点D,使得AD=AC,∠CAD=30°,求∠ADB的度数.小明通过挖掘已知条件,获得∠DAB=∠DCB=15°,线段BC=AD,这样本题就具备了一边一角的图形特征,因此小明在AB上截取AE=CD,构造出全等三角形,从而使问题得以解决.请按照小明的思路完整解答,求出∠ADB的度数.
(2)如图2,在四边形MCNQ中,∠MNC+∠QMN=180°,∠C=∠Q,求证:MC=NQ.

1.(1)$135°$ (2)略

【分析】
（1）先根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠CBA=45°、AC=BC，结合AD=AC、∠CAD=30°，计算得出∠DAB=∠DCB=15°、AD=BC，满足一边一角相等的全等构造条件，按提示在AB上截取AE=CD，用SAS证明△ADE≌△CBD，再结合全等性质、等腰三角形角度关系计算∠ADB的度数。
（2）利用三角形内角和定理，结合已知的角互补、角相等的条件，推导出两组对应角相等，再结合公共边相等用AAS证明三角形全等，即可得到对应边相等的结论。
【解析】
（1）解：
∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°。
∵AD=AC，∠CAD=30°，
∴AD=BC，$∠ ACD=∠ ADC=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
∴$∠ DAB=∠ CAB-∠ CAD=45°-30°=15°$，$∠ DCB=∠ ACB-∠ ACD=90°-75°=15°$，即$∠ DAB=∠ DCB$。
在AB上截取AE=CD，连接DE，
在△ADE和△CBD中：
$\begin{cases} AD=CB \\ ∠ DAE=∠ BCD \\ AE=CD \end{cases}$
∴△ADE≌△CBD（SAS），
∴∠ADE=∠CBD，DE=BD，
∴∠DEB=∠DBE。
设∠CBD=x，则∠ADE=x，∠ABD=45°-x，
∵∠DEB是△ADE的外角，
∴$∠ DEB=∠ DAB+∠ ADE=15°+x$，
∴$15°+x=45°-x$，解得$x=15°$，
∴∠ABD=45°-15°=30°，
在△ADB中，$∠ ADB=180°-∠ DAB-∠ ABD=180°-15°-30°=135°$。
（2）证明：由三角形内角和定理得：
在△QMN中，$∠ Q+∠ QMN+∠ QNM=180°$，
在△CNM中，$∠ C+∠ MNC+∠ NMC=180°$，
∵∠C=∠Q，$∠ MNC+∠ QMN=180°$，
∴∠QNM=∠NMC。
在△QNM和△CMN中：
$\begin{cases} ∠ Q=∠ C \\ ∠ QNM=∠ CMN \\ MN=NM \end{cases}$
∴△QNM≌△CMN（AAS），
∴MC=NQ。
【答案】
(1)$135°$；(2)证明见解析
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题核心是全等三角形的构造与应用，（1）按照提示的一边一角特征构造全等是解题的突破口，（2）需要利用内角和关系推导对应角相等进而证明全等，整体侧重对全等判定方法的灵活运用，要求熟练掌握角度计算和全等证明的基本步骤。
【难度系数】
0.65