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1.如图，已知△ABC为等边三角形，点D在△ABC外，且AD = AB，则∠BDC = 
30
°。答案
1.30
解析
【分析】
首先梳理已知条件：△ABC是等边三角形，可得AB=AC、∠BAC=60°，结合AD=AB可推得AB=AC=AD，即△ABD、△ACD均为等腰三角形。接下来我们可以利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理，通过角度的和差关系建立等式，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC，∠BAC=60°
∵AD=AB
∴AB=AC=AD
在△ABD中，AB=AD，根据等边对等角得∠ABD=∠ADB
由三角形内角和为180°，可得∠BAD=180°-2∠ADB
在△ACD中，AC=AD，根据等边对等角得∠ACD=∠ADC
由三角形内角和为180°，可得∠CAD=180°-2∠ADC
由角度关系可知∠BAD = ∠BAC + ∠CAD，代入上述式子得：
180° - 2∠ADB = 60° + 180° - 2∠ADC
化简整理得：2(∠ADC - ∠ADB) = 60°
即∠ADC - ∠ADB = 30°
∵∠BDC = ∠ADC - ∠ADB
∴∠BDC = 30°
【答案】
30
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是共顶点等线段类的典型题型，解题的核心是抓住“AB=AC=AD”这一关键条件，利用等腰三角形的角度特征建立等量关系完成推导，能够有效考查学生对等腰、等边三角形性质的掌握程度和角度推导能力。
【难度系数】
0.6
首先梳理已知条件：△ABC是等边三角形，可得AB=AC、∠BAC=60°，结合AD=AB可推得AB=AC=AD，即△ABD、△ACD均为等腰三角形。接下来我们可以利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理，通过角度的和差关系建立等式，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC，∠BAC=60°
∵AD=AB
∴AB=AC=AD
在△ABD中，AB=AD，根据等边对等角得∠ABD=∠ADB
由三角形内角和为180°，可得∠BAD=180°-2∠ADB
在△ACD中，AC=AD，根据等边对等角得∠ACD=∠ADC
由三角形内角和为180°，可得∠CAD=180°-2∠ADC
由角度关系可知∠BAD = ∠BAC + ∠CAD，代入上述式子得：
180° - 2∠ADB = 60° + 180° - 2∠ADC
化简整理得：2(∠ADC - ∠ADB) = 60°
即∠ADC - ∠ADB = 30°
∵∠BDC = ∠ADC - ∠ADB
∴∠BDC = 30°
【答案】
30
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是共顶点等线段类的典型题型，解题的核心是抓住“AB=AC=AD”这一关键条件，利用等腰三角形的角度特征建立等量关系完成推导，能够有效考查学生对等腰、等边三角形性质的掌握程度和角度推导能力。
【难度系数】
0.6
2.如图，$△ ABC$是等边三角形，点D在BC的延长线上，点E在AD上，BE交AC于点F，$∠ CAD=2∠ DBE$.若$CF=1$，$DE=2$，求CD的长.
答案
2.3
解析
【分析】
本题可从等边三角形的性质入手，首先设未知角表示题中给出的二倍角关系，通过三角形内角和推导边相等的核心结论，再结合截长补短构造全等三角形，最终推出CD与已知线段CF、DE的数量关系求解。
1. 先利用等边三角形内角为60°的性质，设∠DBE=α，则∠CAD=2α，通过三角形内角和计算得到∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，结合等边三角形AB=AC的性质，得到AE=AC这一核心结论。
2. 再用截长补短的思路构造全等三角形，证明CD的长度等于CF与DE的和，代入已知数值即可得到结果。
【解析】
解：设$∠ DBE=α$，则$∠ CAD=2α$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=AC=BC$，$∠ BAC=∠ ABC=∠ ACB=60°$。
在$△ ABD$中，$∠ BAD=∠ BAC+∠ CAD=60°+2α$，
$\therefore ∠ D=180°-∠ ABC-∠ BAD=180°-60°-(60°+2α)=60°-2α$。
$\because ∠ ABE=∠ ABC-∠ DBE=60°-α$，
在$△ BED$中，$∠ BED=180°-∠ D-∠ DBE=180°-(60°-2α)-α=120°+α$，
$\therefore ∠ AEB=180°-∠ BED=60°-α$，
$\therefore ∠ ABE=∠ AEB$，可得$AB=AE$。
又$\because AB=AC$，$\therefore AE=AC$。
连接$CE$，$\because AE=AC$，$∠ CAE=2α$，
$\therefore ∠ ACE=∠ AEC=\frac{180°-2α}{2}=90°-α$，
$\therefore ∠ BEC=∠ AEC-∠ AEB=(90°-α)-(60°-α)=30°$。
在$CD$上截取$CG=CF=1$，可证$△ CFE≌△ CGE$，进而推得$DG=DE=2$，
因此$CD=CG+DG=1+2=3$。
【答案】
3
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形的综合应用题，解题的关键是通过角的计算推导得到$AE=AC$的边相等关系，再结合截长补短的方法构造全等三角形求解，对几何逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
本题可从等边三角形的性质入手，首先设未知角表示题中给出的二倍角关系，通过三角形内角和推导边相等的核心结论，再结合截长补短构造全等三角形，最终推出CD与已知线段CF、DE的数量关系求解。
1. 先利用等边三角形内角为60°的性质，设∠DBE=α，则∠CAD=2α，通过三角形内角和计算得到∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，结合等边三角形AB=AC的性质，得到AE=AC这一核心结论。
2. 再用截长补短的思路构造全等三角形，证明CD的长度等于CF与DE的和，代入已知数值即可得到结果。
【解析】
解：设$∠ DBE=α$，则$∠ CAD=2α$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=AC=BC$，$∠ BAC=∠ ABC=∠ ACB=60°$。
在$△ ABD$中，$∠ BAD=∠ BAC+∠ CAD=60°+2α$，
$\therefore ∠ D=180°-∠ ABC-∠ BAD=180°-60°-(60°+2α)=60°-2α$。
$\because ∠ ABE=∠ ABC-∠ DBE=60°-α$，
在$△ BED$中，$∠ BED=180°-∠ D-∠ DBE=180°-(60°-2α)-α=120°+α$，
$\therefore ∠ AEB=180°-∠ BED=60°-α$，
$\therefore ∠ ABE=∠ AEB$，可得$AB=AE$。
又$\because AB=AC$，$\therefore AE=AC$。
连接$CE$，$\because AE=AC$，$∠ CAE=2α$，
$\therefore ∠ ACE=∠ AEC=\frac{180°-2α}{2}=90°-α$，
$\therefore ∠ BEC=∠ AEC-∠ AEB=(90°-α)-(60°-α)=30°$。
在$CD$上截取$CG=CF=1$，可证$△ CFE≌△ CGE$，进而推得$DG=DE=2$，
因此$CD=CG+DG=1+2=3$。
【答案】
3
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形的综合应用题，解题的关键是通过角的计算推导得到$AE=AC$的边相等关系，再结合截长补短的方法构造全等三角形求解，对几何逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
3.在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AC上的一个动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC.
(1)如图
，求证:∠ABE=∠ACF；
(2)如图，当∠ABC=60°时，求证:AF+EF=FB；
(3)如图，当∠ABC=45°，且AE//BC时，求证:BD=2EF.
(1)如图
，求证:∠ABE=∠ACF；(2)如图，当∠ABC=60°时，求证:AF+EF=FB；
(3)如图，当∠ABC=45°，且AE//BC时，求证:BD=2EF.
答案
3.证明:(1)
∵AF 平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF.
∵AB=AC,AB=AE,
∴AE=AC.
在△AEF 和△ACF 中,$\begin{cases} AE=AC, \\ ∠EAF=∠CAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴△AEF≌△ACF(SAS),
∴∠E=∠ACF.
∵AB=AE,
∴∠E=∠ABE,
∴∠ABE=∠ACF.
(2)如图1,在 FB 上截取 BM=CF,连接 AM.
同理(1)可得△AEF≌△ACF,
∴EF=CF,∠E=∠ACF,
∴BM=EF.
∵AB=AE,
∴∠ABM=∠E,
∴∠ACF=∠ABM.
在△ABM 和△ACF 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ABM=∠ACF, \\ BM=CF, \end{cases}$
∴△ABM≌△ACF(SAS),
∴AM=AF,∠BAM=∠CAF.
∵AB=AC,∠ABC=60°,
∴△ABC 是等边三角形,
∴∠BAC=60°,
∴ ∠MAF = ∠MAC + ∠CAF = ∠MAC + ∠BAM=∠BAC=60°.
∵AM=AF,
∴△AMF 是等边三角形,
∴AF=AM=MF,
∴AF+EF=MF+BM=FB.
(3)如图 2,延长 BA,CF 交于点 N.
∵AE//BC,
∴∠E=∠EBC.
∵AB=AE,
∴∠ABE=∠E,
∴∠ABF=∠CBF.
∵∠ABC=45°,
∴∠ABF=∠CBF=∠E=22.5°,∠ACB=45°,
∴∠BAC=180°−45°−45°=90°.
同理(1)可得△ACF≌△AEF,
∴∠ACF=∠E=22.5°,CF=EF,
∴∠BFC=180°−22.5°−45°−22.5°=90°,
∴∠BFN=∠BFC=90°.
在△BFN 和△BFC 中,$\begin{cases} ∠NBF=∠CBF, \\ BF=BF, \\ ∠BFN=∠BFC, \end{cases}$
∴△BFN≌△BFC(ASA),
∴FN=CF,
∴CN=2CF=2EF.
∵∠BAC=90°,
∴∠NAC=90°.
在△BAD 和△CAN 中,$\begin{cases} ∠ABD=∠ACN, \\ AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAN, \end{cases}$
∴△BAD≌△CAN(ASA),
∴BD=CN,
∴BD=2EF.
解析
【分析】
(1)要证∠ABE=∠ACF，先利用角平分线定义得∠EAF=∠CAF，结合AB=AC=AE的条件证明△AEF≌△ACF，可得∠E=∠ACF，再结合等腰三角形AB=AE的等边对等角性质得∠E=∠ABE，等量代换即可得证。
(2)要证AF+EF=FB，属于线段和差证明问题，采用截长法：在FB上截取BM=EF，结合(1)的全等结论得EF=CF，即BM=CF，再证△ABM≌△ACF得AM=AF，结合∠ABC=60°推出△ABC是等边三角形，进而得∠MAF=60°，证明△AMF为等边三角形得AF=MF，通过线段和的关系即可得证。
(3)要证BD=2EF，属于线段倍分证明问题，采用延长构造全等的方法：延长BA、CF交于点N，先结合AE//BC和等腰三角形性质得BF平分∠ABC，再证△BFN≌△BFC得CN=2CF=2EF，最后证△BAD≌△CAN得BD=CN，等量代换即可得证。
【解析】
(1)证明：
∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF.
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC.
在△AEF和△ACF中，
$\begin{cases} AE=AC, \\ ∠EAF=∠CAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴△AEF≌△ACF(SAS)，
∴∠E=∠ACF.
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF.
(2)证明：
如图1，在FB上截取BM=CF，连接AM.
同理(1)可得△AEF≌△ACF，
∴EF=CF，∠E=∠ACF，
∴BM=EF.
∵AB=AE，
∴∠ABM=∠E，
∴∠ACF=∠ABM.
在△ABM和△ACF中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ABM=∠ACF, \\ BM=CF, \end{cases}$
∴△ABM≌△ACF(SAS)，
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF.
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF = ∠MAC + ∠CAF = ∠MAC + ∠BAM=∠BAC=60°.
∵AM=AF，
∴△AMF是等边三角形，
∴AF=AM=MF，
∴AF+EF=MF+BM=FB.
(3)证明：
如图2，延长BA，CF交于点N.
∵AE//BC，
∴∠E=∠EBC.
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
∴∠ABF=∠CBF.
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=∠CBF=∠E=22.5°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°−45°−45°=90°.
同理(1)可得△ACF≌△AEF，
∴∠ACF=∠E=22.5°，CF=EF，
∴∠BFC=180°−22.5°−45°−22.5°=90°，
∴∠BFN=∠BFC=90°.
在△BFN和△BFC中，
$\begin{cases} ∠NBF=∠CBF, \\ BF=BF, \\ ∠BFN=∠BFC, \end{cases}$
∴△BFN≌△BFC(ASA)，
∴FN=CF，
∴CN=2CF=2EF.
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC=90°.
在△BAD和△CAN中，
$\begin{cases} ∠ABD=∠ACN, \\ AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAN, \end{cases}$
∴△BAD≌△CAN(ASA)，
∴BD=CN，
∴BD=2EF.
【答案】
(1)证明见上述解析；
(2)证明见上述解析，；
(3)证明见上述解析，。
【知识点】
1.全等三角形的判定与性质
2.等腰（等边）三角形的性质
3.角平分线的定义
【点评】
本题是三角形全等与特殊三角形结合的综合题型，三个小问层层递进，第一问的全等结论可作为后两问的推导基础，考查了截长补短、延长线段构造全等的常用辅助线作法，要求学生熟练掌握全等判定定理，能根据线段和差、倍分的证明目标灵活构造全等三角形。
【难度系数】
0.5
(1)要证∠ABE=∠ACF，先利用角平分线定义得∠EAF=∠CAF，结合AB=AC=AE的条件证明△AEF≌△ACF，可得∠E=∠ACF，再结合等腰三角形AB=AE的等边对等角性质得∠E=∠ABE，等量代换即可得证。
(2)要证AF+EF=FB，属于线段和差证明问题，采用截长法：在FB上截取BM=EF，结合(1)的全等结论得EF=CF，即BM=CF，再证△ABM≌△ACF得AM=AF，结合∠ABC=60°推出△ABC是等边三角形，进而得∠MAF=60°，证明△AMF为等边三角形得AF=MF，通过线段和的关系即可得证。
(3)要证BD=2EF，属于线段倍分证明问题，采用延长构造全等的方法：延长BA、CF交于点N，先结合AE//BC和等腰三角形性质得BF平分∠ABC，再证△BFN≌△BFC得CN=2CF=2EF，最后证△BAD≌△CAN得BD=CN，等量代换即可得证。
【解析】
(1)证明：
∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF.
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC.
在△AEF和△ACF中，
$\begin{cases} AE=AC, \\ ∠EAF=∠CAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴△AEF≌△ACF(SAS)，
∴∠E=∠ACF.
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF.
(2)证明：
如图1，在FB上截取BM=CF，连接AM.
同理(1)可得△AEF≌△ACF，
∴EF=CF，∠E=∠ACF，
∴BM=EF.
∵AB=AE，
∴∠ABM=∠E，
∴∠ACF=∠ABM.
在△ABM和△ACF中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ABM=∠ACF, \\ BM=CF, \end{cases}$
∴△ABM≌△ACF(SAS)，
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF.
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF = ∠MAC + ∠CAF = ∠MAC + ∠BAM=∠BAC=60°.
∵AM=AF，
∴△AMF是等边三角形，
∴AF=AM=MF，
∴AF+EF=MF+BM=FB.
(3)证明：
如图2，延长BA，CF交于点N.
∵AE//BC，
∴∠E=∠EBC.
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
∴∠ABF=∠CBF.
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=∠CBF=∠E=22.5°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°−45°−45°=90°.
同理(1)可得△ACF≌△AEF，
∴∠ACF=∠E=22.5°，CF=EF，
∴∠BFC=180°−22.5°−45°−22.5°=90°，
∴∠BFN=∠BFC=90°.
在△BFN和△BFC中，
$\begin{cases} ∠NBF=∠CBF, \\ BF=BF, \\ ∠BFN=∠BFC, \end{cases}$
∴△BFN≌△BFC(ASA)，
∴FN=CF，
∴CN=2CF=2EF.
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC=90°.
在△BAD和△CAN中，
$\begin{cases} ∠ABD=∠ACN, \\ AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAN, \end{cases}$
∴△BAD≌△CAN(ASA)，
∴BD=CN，
∴BD=2EF.
【答案】
(1)证明见上述解析；
(2)证明见上述解析，
；(3)证明见上述解析，
。【知识点】
1.全等三角形的判定与性质
2.等腰（等边）三角形的性质
3.角平分线的定义
【点评】
本题是三角形全等与特殊三角形结合的综合题型，三个小问层层递进，第一问的全等结论可作为后两问的推导基础，考查了截长补短、延长线段构造全等的常用辅助线作法，要求学生熟练掌握全等判定定理，能根据线段和差、倍分的证明目标灵活构造全等三角形。
【难度系数】
0.5
