2.如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别在$BC$，$AC$上，$AB = BD$，点$F$在$BE$上，$AF = EF$，$∠ ABD=∠ AFE$.
(1)在图中找出与$∠ DBF$相等的角并证明；
(2)求证：$∠ BED=∠ AEB$.

2.(1)$∠ BAF=∠ DBF$.证明略 (2)略

【分析】
(1) 要找与∠DBF相等的角，可利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。观察图形可得∠AFE是△ABF的外角，可表示为∠BAF与∠ABF的和，再结合已知∠ABD=∠AFE，而∠ABD是∠ABF与∠DBF的和，通过等量代换即可推出相等的角。
(2) 要证∠BED=∠AEB，可结合已知条件构造全等三角形推导。利用AB=BD和(1)中得到的等角关系，在BE上截取线段构造与△ABF全等的三角形，再结合等腰三角形的内角性质，通过等量代换证明两个角相等。
【解析】
(1) 与∠DBF相等的角是$\boldsymbol{∠BAF}$，证明如下：
∵ ∠AFE是△ABF的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ AFE = ∠ BAF + ∠ ABF$
又
∵ $∠ ABD = ∠ ABF + ∠ DBF$，且题目已知$∠ ABD = ∠ AFE$
∴ $∠ BAF + ∠ ABF = ∠ ABF + ∠ DBF$
等式两边同时减去$∠ ABF$，可得$∠ BAF = ∠ DBF$。
(2) 证明：在BE上截取$BG=AF$（点G与点E在B的同侧），连接DG。
在$△ ABF$和$△ BDG$中：
$\begin{cases}AB = BD \quad (\mathrm{已知}) \\∠ BAF = ∠ DBG \quad (\mathrm{(1)中已证}) \\AF = BG \quad (\mathrm{辅助线作法})\end{cases}$
∴ $△ ABF ≌ △ BDG$（$\mathrm{SAS}$）
∴ $BF = DG$，$∠ AFB = ∠ BGD$（全等三角形对应边、对应角相等）
∵ $∠ AFB + ∠ AFE = 180°$，$∠ BGD + ∠ DGE = 180°$（邻补角的定义）
∴ $∠ AFE = ∠ DGE$（等角的补角相等）
∵ $AF = EF$（已知），且$BG=AF$
∴ $BG = EF$
∴ $BG - FG = EF - FG$，即$BF = EG$
又
∵ $BF = DG$，
∴ $DG = EG$，即$△ DGE$是等腰三角形。
在$△ AFE$中，$AF=EF$，$△ AFE$是等腰三角形，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ AFE = 180° - 2∠ AEB$
在$△ DGE$中，$DG=EG$，同理可得：
$∠ DGE = 180° - 2∠ BED$
又
∵ 已证$∠ AFE = ∠ DGE$
∴ $180° - 2∠ AEB = 180° - 2∠ BED$
化简得$∠ BED = ∠ AEB$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BAF=∠DBF}$；(2) 证明见解析。
【知识点】
三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是典型的一边一角构造全等的几何题型，解题的关键是结合已知的等边、等角条件合理构造全等三角形，再通过等腰三角形的性质和角的等量代换完成推导，对几何辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

3.数学课外学习小组在一次学习中遇到了下面的问题：
如图1，△ABC和△ADE有公共顶点A，且满足AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE.小伟说：“如图2，如果连接BD，CE，那么会得到一对全等三角形.”小明说：“如图3，ED的延长线交BC于点F，连接CE，BD.如果∠ADB=90°，那么F就一定是BC的中点.”
(1)按照小伟的说法找到全等的三角形，并证明.
(2)小明的说法是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由.

3.解:(1)$△ ABD≌△ ACE$.
证明:$\because ∠ BAC=∠ DAE,\therefore ∠ BAD+∠ CAD=∠ CAE+∠ CAD,\therefore ∠ BAD=∠ CAE$.
在$△ ABD$ 和$△ ACE$ 中,$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠ BAD=∠ CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$.
(2)小明的说法正确.
证明:如图,在 $EF$ 的延长线上取一点 $G$,使 $BG=BF$,则$∠ G=∠ BFG=∠ CFE$,即$∠ BGD=∠ CFE$.

由(1)知,$△ ABD≌△ ACE$,
$\therefore ∠ ADB=∠ AEC=90°,BD=CE$,
$\therefore ∠ BDG+∠ ADE=90°,∠ CEF+∠ AED=90°$.
$\because AD=AE,\therefore ∠ ADE=∠ AED$,
$\therefore ∠ BDG=∠ CEF$.
在$△ BDG$ 和$△ CEF$ 中,$\begin{cases} ∠ BGD=∠ CFE,\\ ∠ BDG=∠ CEF,\\ BD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ BDG≌△ CEF(\mathrm{AAS}),\therefore BG=CF$,
$\therefore BF=CF,\therefore F$ 是 $BC$ 的中点.

【分析】
(1) 要证明两个三角形全等，先梳理已知条件：已知AB=AC，AD=AE，还需要一组对应夹角相等。由∠BAC=∠DAE，两个角同时减去公共角∠CAD，即可得到∠BAD=∠CAE，满足SAS全等判定的条件，即可证得△ABD≌△ACE。
(2) 要证明F是BC中点，本质是证明BF=CF，可通过构造全等三角形推导：在EF延长线上取点G使BG=BF，先由等腰三角形性质和对顶角相等得∠BGD=∠CFE；再结合(1)的全等结论可得BD=CE、∠ADB=∠AEC=90°，再由AD=AE得等腰△ADE的底角∠ADE=∠AED，进而推导得到∠BDG=∠CEF，用AAS证△BDG≌△CEF得BG=CF，等量代换后可得BF=CF，即可证明F是BC中点。
【解析】
(1) 全等三角形为$△ ABD ≌ △ ACE$，证明如下：
$\because ∠ BAC = ∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAC - ∠ CAD = ∠ DAE - ∠ CAD$，即$∠ BAD = ∠ CAE$。
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}AB = AC, \\∠ BAD = ∠ CAE, \\AD = AE,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE(\mathrm{SAS})$。
(2) 小明的说法正确，证明如下：
在$EF$的延长线上取一点$G$，使$BG=BF$，则$∠ G = ∠ BFG$，
又$\because ∠ BFG = ∠ CFE$（对顶角相等），
$\therefore ∠ BGD = ∠ CFE$。
由(1)知$△ ABD ≌ △ ACE$，
$\therefore ∠ ADB = ∠ AEC = 90°$，$BD = CE$，
$\therefore ∠ BDG + ∠ ADE = 180° - ∠ ADB = 90°$，$∠ CEF + ∠ AED = 90°$。
$\because AD = AE$，$\therefore ∠ ADE = ∠ AED$（等腰三角形两底角相等），
$\therefore ∠ BDG = ∠ CEF$。
在$△ BDG$和$△ CEF$中：
$\begin{cases}∠ BGD = ∠ CFE, \\∠ BDG = ∠ CEF, \\BD = CE,\end{cases}$
$\therefore △ BDG ≌ △ CEF(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BG = CF$，
又$\because BG = BF$，
$\therefore BF = CF$，即$F$是$BC$的中点。
【答案】
(1)$△ ABD≌△ ACE$。
证明:$\because ∠ BAC=∠ DAE,\therefore ∠ BAD+∠ CAD=∠ CAE+∠ CAD,\therefore ∠ BAD=∠ CAE$。
在$△ ABD$ 和$△ ACE$ 中,$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠ BAD=∠ CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$。
(2)小明的说法正确。
证明:如图,在 $EF$ 的延长线上取一点 $G$,使$BG=BF$,则$∠ G=∠ BFG=∠ CFE$,即$∠ BGD=∠ CFE$。

由(1)知,$△ ABD≌△ ACE$,
$\therefore ∠ ADB=∠ AEC=90°,BD=CE$,
$\therefore ∠ BDG+∠ ADE=90°,∠ CEF+∠ AED=90°$。
$\because AD=AE,\therefore ∠ ADE=∠ AED$,
$\therefore ∠ BDG=∠ CEF$。
在$△ BDG$ 和$△ CEF$ 中,$\begin{cases} ∠ BGD=∠ CFE,\\ ∠ BDG=∠ CEF,\\ BD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ BDG≌△ CEF(\mathrm{AAS}),\therefore BG=CF$,
$\therefore BF=CF,\therefore F$ 是 $BC$ 的中点。
【知识点】
全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，角的和差计算
【点评】
本题第一问是基础的全等三角形证明，核心是利用角的和差得到相等的夹角，运用SAS判定定理即可解决；第二问需要通过构造辅助线得到全等三角形，将证明中点的问题转化为证明线段相等的问题，解题时要注意结合前一问的结论推导条件，降低解题难度。
【难度系数】
0.6