【例1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD = 121°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分别找到点M,N,使△AMN的周长最小,求此时∠AMN+∠ANM的度数.

118°

【分析】
要使△AMN的周长最小，需利用轴对称的性质将三条线段转化到同一条直线上，依据两点之间线段最短的原理，分别作点A关于BC、CD的对称点A'、A''，连接A'A''与BC、CD的交点即为所求的M、N。再结合轴对称性质、三角形外角性质和角度关系即可求出∠AMN+∠ANM的度数。
【解析】
1. 作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A'A''，分别交BC、CD于点M、N，此时△AMN的周长最小，最小值为线段A'A''的长度。
2. 由轴对称的性质可得：AM=A'M，AN=A''N，∠A'=∠A'AM，∠A''=∠A''AN。
3. 根据三角形外角的性质，∠AMN是△A'AM的外角，因此∠AMN=∠A'+∠A'AM=2∠A'；同理可得∠ANM=∠A''+∠A''AN=2∠A''，所以∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A'')。
4. 在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=121°，由直角三角形两锐角互余可知：∠A'+∠BAA'=90°，∠A''+∠DAA''=90°，两式相加得∠A'+∠A''+(∠BAA'+∠DAA'')=180°。
5. 又因为∠BAA'+∠DAA''+∠BAD=180°，所以∠BAA'+∠DAA''=180°-121°=59°，代入上式得∠A'+∠A''=180°-59°=59°。
6. 因此∠AMN+∠ANM=2×59°=118°。
【答案】
118°
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，三角形外角性质
【点评】
本题是轴对称在最值问题中的典型应用，解题核心是通过对称转化线段长度，再结合三角形的角度性质求解，需要学生熟练掌握轴对称的性质和三角形内外角的相关计算。
【难度系数】
0.65

【例2】（2025·抚顺期中改编）如图，AD是$△ ABC$的角平分线，$AB＞AC$，$AC=6$，$∠ BAC=60°$，$M,N$分别是$AD,AC$上的动点，当$CM+MN$取最小值时，求$CN$的长。

3

【分析】
本题属于角平分线背景下的线段和最小值问题，解题思路如下：首先利用角平分线的轴对称性，作点C关于AD的对称点C'，可将CM转化为相等的C'M，此时CM+MN就转化为C'M+MN；接下来根据“垂线段最短”，当C'、M、N三点共线且C'N垂直于AC时，C'M+MN的和最小；最后结合已知的角度和边长，利用特殊直角三角形的性质计算CN的长度即可。
【解析】
1. 作点C关于AD的对称点C'，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴点C'必然落在AB边上，由对称性质可得：$AC'=AC=6$，$CM=C'M$。
2. 则$CM+MN = C'M + MN$，根据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”，当C'、M、N三点共线，且$C'N⊥AC$时，$C'M+MN$取得最小值，最小值为垂线段$C'N$的长度。
3. 在$Rt△AC'N$中，$∠BAC=60°$，$∠ANC'=90°$，
∴$∠AC'N=30°$，根据“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得$AN=\frac{1}{2}AC'=\frac{1}{2}×6=3$。
4. 因此$CN=AC - AN=6 - 3=3$。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；最短路径问题；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题将轴对称转化思想和特殊三角形性质结合考查，关键是利用角平分线的对称性做对称点，将分散的线段和转化为可求最短距离的形式，是常考的一类最值题型，需要熟练掌握这类问题的转化方法。
【难度系数】
0.6

【例3】如图，在平面直角坐标系中，A(6,0)，B(0,y)，连接AB，过点A作AC⊥AB。若AC=AB，M(-1,0)，连接CM，当点B在y轴上移动时，求CM长度的最小值。

CM 长度的最小值为 6

【分析】
本题存在AC⊥AB且AC=AB的条件，符合“一线三等角”全等模型的构造特征，解题思路如下：①过点C作x轴的垂线，构造全等三角形，证明△AOB与构造的直角三角形全等；②利用全等三角形的性质推导点C的坐标特征，确定点C的运动轨迹；③根据“垂线段最短”的性质，求出点M到C所在轨迹的最短距离，即为CM的最小值。
【解析】
过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CDA=∠AOB=90°。
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD + ∠OAB = 90°，
又
∵在Rt△AOB中，∠OBA + ∠OAB = 90°，
∴∠CAD=∠OBA。
在△AOB和△CDA中：
$\{\begin{array}{l}∠ AOB=∠ CDA\\ ∠ OBA=∠ CAD\\ AB=AC\end{array} $
∴△AOB≌△CDA（AAS）。
∵A(6,0)，
∴OA=6，由全等性质得CD=OA=6，
即点C到x轴的距离恒为6，因此点C在直线y=6上运动。
已知M(-1,0)，根据“垂线段最短”，当CM垂直于直线y=6时，CM的长度最小，此时CM的长度等于直线y=6到点M的垂直距离，为$6-0=6$。
【答案】
CM长度的最小值为6
【知识点】
全等三角形的判定与性质，垂线段最短，一线三等角模型
【点评】
本题是几何综合类的常见最值题型，解题的核心是通过构造全等三角形确定动点的运动轨迹，再利用几何最值性质求解，能有效考查学生的模型构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

1.如图,在$△ ABC$中,$AB=12$,$BC=7$,$AM$平分$∠ BAC$,$∠ BAM=15°$,$D$,$E$分别为线段$AM$,$AB$上的动点,则$BD + DE$的最小值是________.

6

【分析】
这是角平分线背景下的线段和最小值问题，解题思路如下：1. 利用角平分线的轴对称性，找点B关于AM的对称点，因AM平分∠BAC，故对称点F落在AC上，可将BD转化为FD，即BD+DE转化为FD+DE；2. 根据“垂线段最短”，可知FD+DE的最小值为点F到AB的垂线段长度；3. 结合已知角度算出∠BAC=30°，利用含30°角的直角三角形的性质计算垂线段长度即可，题中BC=7为干扰条件。
【解析】
解：在AC上截取AF=AB=12，过点F作FE⊥AB于点E，交AM于点D，此时BD+DE的值最小，最小值为FE的长度。
∵AM平分∠BAC，
∴点B与点F关于AM对称，
∴BD=FD，
∴BD+DE=FD+DE=FE。
∵∠BAM=15°，
∴∠BAC=2∠BAM=30°，
在Rt△AFE中，∠AEF=90°，∠BAC=30°，AF=12，
∴FE=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}×12=6$。
【答案】
6
【知识点】
最短路径问题，角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题核心是利用轴对称变换将折线段和转化为点到直线的垂线段，解题时要注意结合角平分线的对称性找对应点，不要被无关的已知条件干扰，属于最短路径类的典型题型。
【难度系数】
0.6