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2.如图，$∠ AOB = α°$，P 是$∠ AOB$内任意一点，$OP = 4\ \mathrm{cm}$，M，N 分别是射线 OA 和射线 OB上的动点.若$△ PMN$周长的最小值是4 cm，则α的值是
30
.答案
30
解析
【分析】
本题是求三角形周长最小值的典型最短路径问题，解题思路如下：首先利用轴对称的性质，将三角形的三条边进行等量转化：分别作点P关于OA、OB的对称点，可得到PM等于P关于OA对称点到M的距离，PN等于P关于OB对称点到N的距离，此时△PMN的周长就转化为两个对称点之间的折线段长度，根据两点之间线段最短，可知周长的最小值就是两个对称点之间的线段长度。再结合已知的线段长度，判断三角形的形状，最后利用对称带来的角度倍分关系求出∠AOB的度数。
【解析】
1. 分别作点P关于射线OA的对称点$P_1$，关于射线OB的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，交OA于点M，交OB于点N，连接$OP_1$、$OP_2$。
2. 根据轴对称的性质可得：$PM=P_1M$，$PN=P_2N$，$OP_1=OP=OP_2=4\ \mathrm{cm}$，$∠ P_1OA=∠ POA$，$∠ P_2OB=∠ POB$。
3. 此时$△ PMN$的周长$=PM+MN+PN=P_1M+MN+P_2N$，当$P_1$、$M$、$N$、$P_2$四点共线时，周长取得最小值，最小值为$P_1P_2$的长度。
4. 由题知周长最小值为$4\ \mathrm{cm}$，因此$P_1P_2=4\ \mathrm{cm}$，可得$OP_1=OP_2=P_1P_2=4\ \mathrm{cm}$，故$△ OP_1P_2$是等边三角形，$∠ P_1OP_2=60°$。
5. 又因为$∠ P_1OP_2=∠ P_1OA+∠ POA+∠ POB+∠ P_2OB=2(∠ POA+∠ POB)=2∠ AOB$，即$2α°=60°$，解得$α=30$。
【答案】
30
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于最短路径的经典题型，解题核心是通过轴对称将折线长度转化为线段长度，再结合特殊三角形的性质推导角度，需要熟练掌握两点之间线段最短的原理和轴对称的性质，对图形转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题是求三角形周长最小值的典型最短路径问题，解题思路如下：首先利用轴对称的性质，将三角形的三条边进行等量转化：分别作点P关于OA、OB的对称点，可得到PM等于P关于OA对称点到M的距离，PN等于P关于OB对称点到N的距离，此时△PMN的周长就转化为两个对称点之间的折线段长度，根据两点之间线段最短，可知周长的最小值就是两个对称点之间的线段长度。再结合已知的线段长度，判断三角形的形状，最后利用对称带来的角度倍分关系求出∠AOB的度数。
【解析】
1. 分别作点P关于射线OA的对称点$P_1$，关于射线OB的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，交OA于点M，交OB于点N，连接$OP_1$、$OP_2$。
2. 根据轴对称的性质可得：$PM=P_1M$，$PN=P_2N$，$OP_1=OP=OP_2=4\ \mathrm{cm}$，$∠ P_1OA=∠ POA$，$∠ P_2OB=∠ POB$。
3. 此时$△ PMN$的周长$=PM+MN+PN=P_1M+MN+P_2N$，当$P_1$、$M$、$N$、$P_2$四点共线时，周长取得最小值，最小值为$P_1P_2$的长度。
4. 由题知周长最小值为$4\ \mathrm{cm}$，因此$P_1P_2=4\ \mathrm{cm}$，可得$OP_1=OP_2=P_1P_2=4\ \mathrm{cm}$，故$△ OP_1P_2$是等边三角形，$∠ P_1OP_2=60°$。
5. 又因为$∠ P_1OP_2=∠ P_1OA+∠ POA+∠ POB+∠ P_2OB=2(∠ POA+∠ POB)=2∠ AOB$，即$2α°=60°$，解得$α=30$。
【答案】
30
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于最短路径的经典题型，解题核心是通过轴对称将折线长度转化为线段长度，再结合特殊三角形的性质推导角度，需要熟练掌握两点之间线段最短的原理和轴对称的性质，对图形转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
3.如图所示，$A(0,4)$，$P$是$x$轴上的一个动点，将线段$AP$绕点$P$顺时针旋转$60°$得到线段$FP$，连接$OF$，求线段$OF$长度的最小值。
答案
线段 OF 长度的最小值为 2
解析
【分析】
首先由旋转的性质可得AP=FP，且∠APF=60°，因此△APF是等边三角形。要求OF的最小值，结合“垂线段最短”的结论，需要先确定点F的运动轨迹：我们通过构造等边△OAD，证明△OAP和△DAF全等，可推出∠ADF恒为90°，即可确定F点在过D且垂直于AD的定直线上运动，最后求原点到这条定直线的垂线段长度即可得到OF的最小值。
【解析】
1. 判定△APF为等边三角形
∵ 线段AP绕点P顺时针旋转60°得到FP，
∴ AP=FP，∠APF=60°，
∴ △APF是等边三角形，即AP=AF，∠PAF=60°。
2. 构造全等确定F的运动轨迹
以OA为边，在第一象限作等边△OAD，
则OA=AD=OD=4，∠OAD=60°。
∵ ∠OAP + ∠PAD = ∠OAD = 60°，∠DAF + ∠PAD = ∠PAF = 60°，
∴ ∠OAP = ∠DAF。
在△OAP和△DAF中：
$\{\begin{array}{l} OA=DA\\ ∠ OAP=∠ DAF\\ AP=AF\end{array} $
∴ △OAP ≌ △DAF（SAS），
∴ ∠ADF = ∠AOP = 90°，即DF⊥AD。
∵ D是定点，AD是定线段，
∴ 点F的运动轨迹是过点D且垂直于AD的定直线$l$。
3. 求OF的最小值
设直线$l$交y轴于点E，可求得E点坐标为$(0,-4)$，即$OE=4$，直线$l$与x轴正方向夹角为60°，因此直线$l$与y轴负方向的夹角为30°。
过O作$OH⊥ l$于H，根据垂线段最短，OH的长度就是OF的最小值。
在$Rt△ OEH$中，$∠ OEH=30°$，30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此：
$OH=\frac{1}{2}OE=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
线段OF长度的最小值为2
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短
【点评】
本题是旋转背景下的典型最值问题，核心解题思路是通过构造等边三角形证明全等，确定动点的运动轨迹为定直线，再结合垂线段最短求最短距离，对几何图形性质的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
首先由旋转的性质可得AP=FP，且∠APF=60°，因此△APF是等边三角形。要求OF的最小值，结合“垂线段最短”的结论，需要先确定点F的运动轨迹：我们通过构造等边△OAD，证明△OAP和△DAF全等，可推出∠ADF恒为90°，即可确定F点在过D且垂直于AD的定直线上运动，最后求原点到这条定直线的垂线段长度即可得到OF的最小值。
【解析】
1. 判定△APF为等边三角形
∵ 线段AP绕点P顺时针旋转60°得到FP，
∴ AP=FP，∠APF=60°，
∴ △APF是等边三角形，即AP=AF，∠PAF=60°。
2. 构造全等确定F的运动轨迹
以OA为边，在第一象限作等边△OAD，
则OA=AD=OD=4，∠OAD=60°。
∵ ∠OAP + ∠PAD = ∠OAD = 60°，∠DAF + ∠PAD = ∠PAF = 60°，
∴ ∠OAP = ∠DAF。
在△OAP和△DAF中：
$\{\begin{array}{l} OA=DA\\ ∠ OAP=∠ DAF\\ AP=AF\end{array} $
∴ △OAP ≌ △DAF（SAS），
∴ ∠ADF = ∠AOP = 90°，即DF⊥AD。
∵ D是定点，AD是定线段，
∴ 点F的运动轨迹是过点D且垂直于AD的定直线$l$。
3. 求OF的最小值
设直线$l$交y轴于点E，可求得E点坐标为$(0,-4)$，即$OE=4$，直线$l$与x轴正方向夹角为60°，因此直线$l$与y轴负方向的夹角为30°。
过O作$OH⊥ l$于H，根据垂线段最短，OH的长度就是OF的最小值。
在$Rt△ OEH$中，$∠ OEH=30°$，30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此：
$OH=\frac{1}{2}OE=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
线段OF长度的最小值为2
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短
【点评】
本题是旋转背景下的典型最值问题，核心解题思路是通过构造等边三角形证明全等，确定动点的运动轨迹为定直线，再结合垂线段最短求最短距离，对几何图形性质的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
4.如图,在等腰三角形ABC中,AB = AC,∠BAC=60°,AD=AB,过点D作直线DF与AC交于点F,∠CFD=∠ABD.在直线DF上取一动点P,当PA－PC的值最大时,该最大值与图中的某条线段存在数量关系,请说出你的猜想并说明理由.
答案
解:猜想:当 PA−PC 的值最大时,PA−PC=BD.理由如下：
如图,作点 C 关于直线 DF 的对称点 C',连接AC',DC',CC',PC'.
∵∠CFD+∠AFD=180°,∠CFD=∠ABD,
∴∠ABD+∠AFD=180°,
∴∠BAF+∠BDF=180°.
∵∠BAF=60°,
∴∠BDF=120°.
∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵AB=AD=AC,
∴∠ABD=∠ADB,∠ADC=∠ACD,
∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=∠ABD+∠ACD=60°+∠DBC+60°+∠DCB=120°+(180°−∠BDC),
∴∠BDC=150°,
∴∠CDF=150°−120°=30°.
∵点 C,C'关于直线 DF 对称,
∴DC=DC',PC=PC',∠CDF=∠C'DF=30°,
∴∠CDC'=60°,
∴△CDC'是等边三角形,
∴∠DCC'=∠ACB=60°,CD=CC',
∴∠BCD=∠ACC'.
∵CA=CB,
∴△BCD≌△ACC'(SAS),
∴AC'=BD,
∴PA−PC=PA−PC'≤AC'=BD,
∴当 PA−PC 的值最大时,PA−PC=BD.
解析
【分析】
要解决PA-PC最大值的问题，首先回忆线段差最值的常用处理方法：可通过轴对称转化其中一条线段，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”确定最大值状态。第一步，作点C关于DF的对称点C'，则PC=PC'，此时PA-PC转化为PA-PC'，根据三边关系，PA-PC'≤AC'，当且仅当A、C'、P三点共线时取等号，最大值为AC'。接下来只需证明AC'与BD相等即可：先利用已知角的等量关系推导∠BDF、∠BDC的度数，再结合对称性质推出△CDC'是等边三角形，最后证明△BCD≌△ACC'得到AC'=BD，即可得出结论。
【解析】
猜想：当PA−PC的值最大时，PA−PC=BD。理由如下：
如图，作点C关于直线DF的对称点C'，连接AC'，DC'，CC'，PC'。
∵∠CFD+∠AFD=180°，∠CFD=∠ABD，
∴∠ABD+∠AFD=180°，
∵四边形ABDF内角和为360°，
∴∠BAF+∠BDF=360°-(∠ABD+∠AFD)=180°。
∵∠BAF=∠BAC=60°，
∴∠BDF=180°-60°=120°。
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，即CA=CB，∠ABC=∠ACB=60°。
∵AB=AD=AC，
∴∠ABD=∠ADB，∠ADC=∠ACD，
∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=∠ABD+∠ACD，
又
∵∠ABD=60°+∠DBC，∠ACD=60°+∠DCB，
∴∠BDC=120°+(∠DBC+∠DCB)，
在△BDC中∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC，代入得∠BDC=120°+180°−∠BDC，解得∠BDC=150°，
∴∠CDF=150°−120°=30°。
∵点C、C'关于直线DF对称，
∴DC=DC'，PC=PC'，∠CDF=∠C'DF=30°，
∴∠CDC'=60°，△CDC'是等边三角形，
∴∠DCC'=∠ACB=60°，CD=CC'，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCC'+∠BCD，即∠ACC'=∠BCD。
又
∵CA=CB，
∴△BCD≌△ACC'(SAS)，
∴AC'=BD。
根据三角形三边关系，PA−PC=PA−PC'≤AC'=BD，当且仅当A、C'、P三点共线时等号成立，
∴当PA−PC的值最大时，PA−PC=BD。
【答案】
猜想：当PA−PC的值最大时，PA−PC=BD。理由如下：
如图,作点 C 关于直线 DF 的对称点 C',连接AC',DC',CC',PC'.
∵∠CFD+∠AFD=180°,∠CFD=∠ABD,
∴∠ABD+∠AFD=180°,
∴∠BAF+∠BDF=180°.
∵∠BAF=60°,
∴∠BDF=120°.
∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵AB=AD=AC,
∴∠ABD=∠ADB,∠ADC=∠ACD,
∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=∠ABD+∠ACD=60°+∠DBC+60°+∠DCB=120°+(180°−∠BDC),
∴∠BDC=150°,
∴∠CDF=150°−120°=30°.
∵点 C,C'关于直线 DF 对称,
∴DC=DC',PC=PC',∠CDF=∠C'DF=30°,
∴∠CDC'=60°,
∴△CDC'是等边三角形,
∴∠DCC'=∠ACB=60°,CD=CC',
∴∠BCD=∠ACC'.
∵CA=CB,
∴△BCD≌△ACC'(SAS),
∴AC'=BD,
∴PA−PC=PA−PC'≤AC'=BD,
∴当 PA−PC 的值最大时,PA−PC=BD.
【知识点】
轴对称的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题为线段最值类综合题，解题核心是通过轴对称转化待求线段差，再结合角度推导、等边三角形性质、全等证明建立等量关系，能有效考查逻辑推理和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.4
要解决PA-PC最大值的问题，首先回忆线段差最值的常用处理方法：可通过轴对称转化其中一条线段，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”确定最大值状态。第一步，作点C关于DF的对称点C'，则PC=PC'，此时PA-PC转化为PA-PC'，根据三边关系，PA-PC'≤AC'，当且仅当A、C'、P三点共线时取等号，最大值为AC'。接下来只需证明AC'与BD相等即可：先利用已知角的等量关系推导∠BDF、∠BDC的度数，再结合对称性质推出△CDC'是等边三角形，最后证明△BCD≌△ACC'得到AC'=BD，即可得出结论。
【解析】
猜想：当PA−PC的值最大时，PA−PC=BD。理由如下：
如图，作点C关于直线DF的对称点C'，连接AC'，DC'，CC'，PC'。
∵∠CFD+∠AFD=180°，∠CFD=∠ABD，
∴∠ABD+∠AFD=180°，
∵四边形ABDF内角和为360°，
∴∠BAF+∠BDF=360°-(∠ABD+∠AFD)=180°。
∵∠BAF=∠BAC=60°，
∴∠BDF=180°-60°=120°。
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，即CA=CB，∠ABC=∠ACB=60°。
∵AB=AD=AC，
∴∠ABD=∠ADB，∠ADC=∠ACD，
∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=∠ABD+∠ACD，
又
∵∠ABD=60°+∠DBC，∠ACD=60°+∠DCB，
∴∠BDC=120°+(∠DBC+∠DCB)，
在△BDC中∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC，代入得∠BDC=120°+180°−∠BDC，解得∠BDC=150°，
∴∠CDF=150°−120°=30°。
∵点C、C'关于直线DF对称，
∴DC=DC'，PC=PC'，∠CDF=∠C'DF=30°，
∴∠CDC'=60°，△CDC'是等边三角形，
∴∠DCC'=∠ACB=60°，CD=CC'，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCC'+∠BCD，即∠ACC'=∠BCD。
又
∵CA=CB，
∴△BCD≌△ACC'(SAS)，
∴AC'=BD。
根据三角形三边关系，PA−PC=PA−PC'≤AC'=BD，当且仅当A、C'、P三点共线时等号成立，
∴当PA−PC的值最大时，PA−PC=BD。
【答案】
猜想：当PA−PC的值最大时，PA−PC=BD。理由如下：
如图,作点 C 关于直线 DF 的对称点 C',连接AC',DC',CC',PC'.
∵∠CFD+∠AFD=180°,∠CFD=∠ABD,
∴∠ABD+∠AFD=180°,
∴∠BAF+∠BDF=180°.
∵∠BAF=60°,
∴∠BDF=120°.
∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵AB=AD=AC,
∴∠ABD=∠ADB,∠ADC=∠ACD,
∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=∠ABD+∠ACD=60°+∠DBC+60°+∠DCB=120°+(180°−∠BDC),
∴∠BDC=150°,
∴∠CDF=150°−120°=30°.
∵点 C,C'关于直线 DF 对称,
∴DC=DC',PC=PC',∠CDF=∠C'DF=30°,
∴∠CDC'=60°,
∴△CDC'是等边三角形,
∴∠DCC'=∠ACB=60°,CD=CC',
∴∠BCD=∠ACC'.
∵CA=CB,
∴△BCD≌△ACC'(SAS),
∴AC'=BD,
∴PA−PC=PA−PC'≤AC'=BD,
∴当 PA−PC 的值最大时,PA−PC=BD.
【知识点】
轴对称的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题为线段最值类综合题，解题核心是通过轴对称转化待求线段差，再结合角度推导、等边三角形性质、全等证明建立等量关系，能有效考查逻辑推理和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.4
