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1.在$△ ABC$中,若$∠ B=∠ C$,则 （
A.$AB=BC$
B.$AB=AC$
C.$BC=AC$
D.$∠ A=60°$
B
）A.$AB=BC$
B.$AB=AC$
C.$BC=AC$
D.$∠ A=60°$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆等腰三角形的判定定理：同一三角形中，等角对等边。解题第一步先明确△ABC中每个角对应的对边：角的对边是指不包含该角顶点的边，∠B的顶点是B，所以对边是AC；∠C的顶点是C，所以对边是AB。已知∠B=∠C，根据等角对等边就能得到对应边相等，再逐一比对选项排除错误选项即可。
【解析】
根据等腰三角形判定定理：在同一个三角形中，相等的两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。
在△ABC中：
1. 确定边角对应关系：∠B的对边是AC，∠C的对边是AB；
2. 已知∠B=∠C，因此它们的对边相等，即AB=AC；
3. 逐一分析选项：
A选项：AB对应的角是∠C，BC对应的角是∠A，∠C与∠A不一定相等，故AB=BC不成立；
C选项：BC对应的角是∠A，AC对应的角是∠B，∠A与∠B不一定相等，故BC=AC不成立；
D选项：只有当△ABC是等边三角形时∠A=60°，本题仅能判定△ABC是等腰三角形，无法推出∠A=60°，故错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 等腰三角形的判定
2. 三角形边角对应关系
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础考查题，核心是对“等角对等边”定理的应用，解题的关键是准确匹配相等的角对应的边，避免混淆边角对应关系导致错选。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆等腰三角形的判定定理：同一三角形中，等角对等边。解题第一步先明确△ABC中每个角对应的对边：角的对边是指不包含该角顶点的边，∠B的顶点是B，所以对边是AC；∠C的顶点是C，所以对边是AB。已知∠B=∠C，根据等角对等边就能得到对应边相等，再逐一比对选项排除错误选项即可。
【解析】
根据等腰三角形判定定理：在同一个三角形中，相等的两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。
在△ABC中：
1. 确定边角对应关系：∠B的对边是AC，∠C的对边是AB；
2. 已知∠B=∠C，因此它们的对边相等，即AB=AC；
3. 逐一分析选项：
A选项：AB对应的角是∠C，BC对应的角是∠A，∠C与∠A不一定相等，故AB=BC不成立；
C选项：BC对应的角是∠A，AC对应的角是∠B，∠A与∠B不一定相等，故BC=AC不成立；
D选项：只有当△ABC是等边三角形时∠A=60°，本题仅能判定△ABC是等腰三角形，无法推出∠A=60°，故错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 等腰三角形的判定
2. 三角形边角对应关系
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础考查题，核心是对“等角对等边”定理的应用，解题的关键是准确匹配相等的角对应的边，避免混淆边角对应关系导致错选。
【难度系数】
0.9
2.(2024·大连期中)如图，AE平分∠BAC，DE//AB，若AD=5，则DE的长为（
A.2
B.3
C.4
D.5
D
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
2.D
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：①AE平分∠BAC，可得到一组相等的角；②DE//AB，可利用平行线的性质得到另一组相等的角。通过等量代换得到△ADE中两个内角相等，再根据等腰三角形“等角对等边”的判定即可推出DE和AD的长度关系，进而求出DE的长。
【解析】
解：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE，
∵DE//AB，
∴∠BAE=∠DEA（两直线平行，内错角相等），
∴∠DAE=∠DEA，
∴△ADE为等腰三角形，
∴DE=AD，
又
∵AD=5，
∴DE=5。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础类几何题，将角平分线、平行线的性质与等腰三角形的判定相结合考查，解题的核心是通过角的等量代换得到等角，进而推导出边的等量关系，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：①AE平分∠BAC，可得到一组相等的角；②DE//AB，可利用平行线的性质得到另一组相等的角。通过等量代换得到△ADE中两个内角相等，再根据等腰三角形“等角对等边”的判定即可推出DE和AD的长度关系，进而求出DE的长。
【解析】
解：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE，
∵DE//AB，
∴∠BAE=∠DEA（两直线平行，内错角相等），
∴∠DAE=∠DEA，
∴△ADE为等腰三角形，
∴DE=AD，
又
∵AD=5，
∴DE=5。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础类几何题，将角平分线、平行线的性质与等腰三角形的判定相结合考查，解题的核心是通过角的等量代换得到等角，进而推导出边的等量关系，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
3.△ABC的三边长分别为a,b,c,下列选项中,不能判定△ABC是等腰三角形的是 (
A.$a=3,b=3,c=4$
B.$a:b:c=2:3:4$
C.$∠B=50°,∠C=80°$
D.$∠A:∠B:∠C=1:1:2$
B
)A.$a=3,b=3,c=4$
B.$a:b:c=2:3:4$
C.$∠B=50°,∠C=80°$
D.$∠A:∠B:∠C=1:1:2$
答案
3.B
解析
【分析】
解题的核心是掌握等腰三角形的判定依据：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两个角相等的三角形是等腰三角形。我们只需逐个分析选项，判断每个选项是否满足上述两个判定条件，不满足的即为本题答案。分析涉及角度计算的，结合三角形内角和为180°求解即可。
【解析】
我们对四个选项逐一验证：
选项A：已知a=3，b=3，可得a=b，即三角形有两条边相等，因此△ABC是等腰三角形，不符合题意。
选项B：已知a:b:c=2:3:4，说明三边长度互不相等，无相等的边也无相等的内角，因此△ABC不是等腰三角形，符合题意。
选项C：根据三角形内角和为180°，可得∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-80°=50°，则∠A=∠B，即三角形有两个角相等，因此△ABC是等腰三角形，不符合题意。
选项D：设∠A=x，∠B=x，∠C=2x，根据三角形内角和为180°列方程：x+x+2x=180°，解得x=45°，则∠A=∠B=45°，即三角形有两个角相等，因此△ABC是等腰三角形，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.等腰三角形的判定
2.三角形内角和定理
【点评】
本题考查等腰三角形的判定，属于基础题型，既可以通过边的关系判断，也可以通过角的关系判断，解题时注意灵活运用三角形内角和定理计算未知角的度数。
【难度系数】
0.8
解题的核心是掌握等腰三角形的判定依据：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两个角相等的三角形是等腰三角形。我们只需逐个分析选项，判断每个选项是否满足上述两个判定条件，不满足的即为本题答案。分析涉及角度计算的，结合三角形内角和为180°求解即可。
【解析】
我们对四个选项逐一验证：
选项A：已知a=3，b=3，可得a=b，即三角形有两条边相等，因此△ABC是等腰三角形，不符合题意。
选项B：已知a:b:c=2:3:4，说明三边长度互不相等，无相等的边也无相等的内角，因此△ABC不是等腰三角形，符合题意。
选项C：根据三角形内角和为180°，可得∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-80°=50°，则∠A=∠B，即三角形有两个角相等，因此△ABC是等腰三角形，不符合题意。
选项D：设∠A=x，∠B=x，∠C=2x，根据三角形内角和为180°列方程：x+x+2x=180°，解得x=45°，则∠A=∠B=45°，即三角形有两个角相等，因此△ABC是等腰三角形，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.等腰三角形的判定
2.三角形内角和定理
【点评】
本题考查等腰三角形的判定，属于基础题型，既可以通过边的关系判断，也可以通过角的关系判断，解题时注意灵活运用三角形内角和定理计算未知角的度数。
【难度系数】
0.8
4.如图，在$△ ABC$中，$AE ⊥ BC$于点$E$，$BD ⊥ AC$于点$D$，$AE=BD$.求证：$△ ABC$是等腰三角形. 
答案
证明：
∵ $AE⊥BC$，$BD⊥AC$，
∴ $∠ ADB = ∠ BEA = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$和$\mathrm{Rt}△ BEA$中，
$\begin{cases}AB = BA \\BD = AE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ADB ≌ \mathrm{Rt}△ BEA(\mathrm{HL})$。
∴ $∠ DAB = ∠ EBA$，即$∠ CAB = ∠ CBA$。
∴ $AC = BC$（等角对等边），
∴ $△ ABC$是等腰三角形。
∵ $AE⊥BC$，$BD⊥AC$，
∴ $∠ ADB = ∠ BEA = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$和$\mathrm{Rt}△ BEA$中，
$\begin{cases}AB = BA \\BD = AE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ADB ≌ \mathrm{Rt}△ BEA(\mathrm{HL})$。
∴ $∠ DAB = ∠ EBA$，即$∠ CAB = ∠ CBA$。
∴ $AC = BC$（等角对等边），
∴ $△ ABC$是等腰三角形。
解析
【分析】
要证明△ABC是等腰三角形，可通过证明其两个底角相等推导。首先根据已知的垂直条件，可得△ADB和△BEA均为直角三角形；观察两个直角三角形，二者有公共斜边AB，且题目给出直角边AE=BD，可利用HL定理证明两个直角三角形全等；全等后对应角相等即可得到∠CAB=∠CBA，最后根据等角对等边就能推出AC=BC，证明△ABC为等腰三角形。
【解析】
证明：
∵ $AE⊥BC$，$BD⊥AC$，
∴ $∠ ADB = ∠ BEA = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$和$\mathrm{Rt}△ BEA$中，
$\begin{cases}AB = BA \\BD = AE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ADB ≌ \mathrm{Rt}△ BEA(\mathrm{HL})$。
∴ $∠ DAB = ∠ EBA$，即$∠ CAB = ∠ CBA$。
∴ $AC = BC$（等角对等边），
∴ $△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
证明过程如上，△ABC是等腰三角形得证。
【知识点】
HL判定定理，全等三角形的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是结合已知垂直条件、相等高线与公共边，证明直角三角形全等，进而推导角相等得到等腰三角形，能帮助学生巩固全等判定与等腰三角形判定的相关知识。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC是等腰三角形，可通过证明其两个底角相等推导。首先根据已知的垂直条件，可得△ADB和△BEA均为直角三角形；观察两个直角三角形，二者有公共斜边AB，且题目给出直角边AE=BD，可利用HL定理证明两个直角三角形全等；全等后对应角相等即可得到∠CAB=∠CBA，最后根据等角对等边就能推出AC=BC，证明△ABC为等腰三角形。
【解析】
证明：
∵ $AE⊥BC$，$BD⊥AC$，
∴ $∠ ADB = ∠ BEA = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$和$\mathrm{Rt}△ BEA$中，
$\begin{cases}AB = BA \\BD = AE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ADB ≌ \mathrm{Rt}△ BEA(\mathrm{HL})$。
∴ $∠ DAB = ∠ EBA$，即$∠ CAB = ∠ CBA$。
∴ $AC = BC$（等角对等边），
∴ $△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
证明过程如上，△ABC是等腰三角形得证。
【知识点】
HL判定定理，全等三角形的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是结合已知垂直条件、相等高线与公共边，证明直角三角形全等，进而推导角相等得到等腰三角形，能帮助学生巩固全等判定与等腰三角形判定的相关知识。
【难度系数】
0.8
5.(2024·重庆B卷)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,则AD的长度为
2
. 答案
5.2
解析
【分析】
首先根据已知AB=AC判断△ABC是等腰三角形，结合顶角∠A=36°先计算出两个底角的度数；再利用角平分线的定义得到∠ABD、∠DBC的度数，通过角度计算分别在△ABD和△BDC中找到相等的角，利用“等角对等边”得到线段的等量关系，最终通过等量代换求出AD的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=$\frac{180°-∠ A}{2}$=$\frac{180°-36°}{2}$=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD（等角对等边），
在△BDC中，∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC=2（等角对等边），
∴AD=BD=2。
【答案】
2
【知识点】
等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形的经典应用题型，核心是通过角度推导得到相等的角，再利用等角对等边完成线段的等量代换，解题时需注意理清各三角形内角度数的关系，避免角度计算错误。
【难度系数】
0.7
首先根据已知AB=AC判断△ABC是等腰三角形，结合顶角∠A=36°先计算出两个底角的度数；再利用角平分线的定义得到∠ABD、∠DBC的度数，通过角度计算分别在△ABD和△BDC中找到相等的角，利用“等角对等边”得到线段的等量关系，最终通过等量代换求出AD的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=$\frac{180°-∠ A}{2}$=$\frac{180°-36°}{2}$=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD（等角对等边），
在△BDC中，∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC=2（等角对等边），
∴AD=BD=2。
【答案】
2
【知识点】
等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形的经典应用题型，核心是通过角度推导得到相等的角，再利用等角对等边完成线段的等量代换，解题时需注意理清各三角形内角度数的关系，避免角度计算错误。
【难度系数】
0.7
6.如图，在$△ ABC$中，P是边BC上的一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R.若$AQ=AR$，求证：$△ ABC$是等腰三角形. 
答案
证明：
∵ AQ=AR，
∴ ∠R = ∠AQR。
∵ ∠AQR = ∠BQP（对顶角相等），
∴ ∠R = ∠BQP。
∵ RP⊥BC，
∴ ∠RPB = ∠RPC = 90°，
∴ 在Rt△BPQ中，∠B + ∠BQP = 90°，
在Rt△RPC中，∠C + ∠R = 90°，
∴ ∠B = ∠C（等角的余角相等），
∴ AB = AC（等角对等边），
∴ △ABC是等腰三角形。
∵ AQ=AR，
∴ ∠R = ∠AQR。
∵ ∠AQR = ∠BQP（对顶角相等），
∴ ∠R = ∠BQP。
∵ RP⊥BC，
∴ ∠RPB = ∠RPC = 90°，
∴ 在Rt△BPQ中，∠B + ∠BQP = 90°，
在Rt△RPC中，∠C + ∠R = 90°，
∴ ∠B = ∠C（等角的余角相等），
∴ AB = AC（等角对等边），
∴ △ABC是等腰三角形。
解析
【分析】
要证明△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的判定定理，只需证明它的两个底角∠B=∠C即可。首先从已知条件AQ=AR入手，利用等边对等角得到∠R=∠AQR，再结合对顶角相等，将∠AQR替换为∠BQP，可得∠R=∠BQP。接下来利用RP⊥BC的条件，可知△BPQ和△RPC都是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，可得∠B与∠BQP互余、∠C与∠R互余，最后根据等角的余角相等即可推出∠B=∠C，进而证明△ABC是等腰三角形。
【解析】
证明：
∵ AQ=AR，
∴ ∠R = ∠AQR。
∵ ∠AQR = ∠BQP（对顶角相等），
∴ ∠R = ∠BQP。
∵ RP⊥BC，
∴ ∠RPB = ∠RPC = 90°，
∴ 在Rt△BPQ中，∠B + ∠BQP = 90°，
在Rt△RPC中，∠C + ∠R = 90°，
∴ ∠B = ∠C（等角的余角相等），
∴ AB = AC（等角对等边），
∴ △ABC是等腰三角形。
【答案】
△ABC是等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的判定；等边对等角；等角的余角相等
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础应用题，解题核心是通过角的等量转化，结合直角三角形的性质推导得到三角形两个底角相等，过程中用到了对顶角的性质，需要熟练掌握角的等量代换方法。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的判定定理，只需证明它的两个底角∠B=∠C即可。首先从已知条件AQ=AR入手，利用等边对等角得到∠R=∠AQR，再结合对顶角相等，将∠AQR替换为∠BQP，可得∠R=∠BQP。接下来利用RP⊥BC的条件，可知△BPQ和△RPC都是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，可得∠B与∠BQP互余、∠C与∠R互余，最后根据等角的余角相等即可推出∠B=∠C，进而证明△ABC是等腰三角形。
【解析】
证明：
∵ AQ=AR，
∴ ∠R = ∠AQR。
∵ ∠AQR = ∠BQP（对顶角相等），
∴ ∠R = ∠BQP。
∵ RP⊥BC，
∴ ∠RPB = ∠RPC = 90°，
∴ 在Rt△BPQ中，∠B + ∠BQP = 90°，
在Rt△RPC中，∠C + ∠R = 90°，
∴ ∠B = ∠C（等角的余角相等），
∴ AB = AC（等角对等边），
∴ △ABC是等腰三角形。
【答案】
△ABC是等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的判定；等边对等角；等角的余角相等
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础应用题，解题核心是通过角的等量转化，结合直角三角形的性质推导得到三角形两个底角相等，过程中用到了对顶角的性质，需要熟练掌握角的等量代换方法。
【难度系数】
0.8
7.已知:如图,线段$a$,$∠α$.
求作:$△ ABC$,使$∠BAC=∠α$,$AB=AC$,且$BC$边上的高$AD=a$.(保留作图痕迹,不写作法)
求作:$△ ABC$,使$∠BAC=∠α$,$AB=AC$,且$BC$边上的高$AD=a$.(保留作图痕迹,不写作法)
答案
解：
1. 作线段$AD = a$；
2. 过点$D$作直线$BC ⊥ AD$，垂足为$D$；
3. 以$A$为顶点，$AD$为公共边，在$AD$两侧分别作$∠ DAB = ∠ DAC = \frac{1}{2}∠α$，$AB$、$AC$分别交直线$BC$于点$B$、$C$。
保留所有尺规作图的圆弧、辅助线痕迹，所得$△ ABC$即为所求作的三角形。
1. 作线段$AD = a$；
2. 过点$D$作直线$BC ⊥ AD$，垂足为$D$；
3. 以$A$为顶点，$AD$为公共边，在$AD$两侧分别作$∠ DAB = ∠ DAC = \frac{1}{2}∠α$，$AB$、$AC$分别交直线$BC$于点$B$、$C$。
保留所有尺规作图的圆弧、辅助线痕迹，所得$△ ABC$即为所求作的三角形。
解析
【分析】
要构造满足条件的等腰$△ ABC$，可结合等腰三角形“三线合一”的性质推导作图顺序：等腰三角形底边的高同时是顶角的角平分线和底边的中线，因此我们可以先作出长度为$a$的高$AD$，再作出$BC$所在的垂直于$AD$的直线，最后将顶角$∠α$平分，在$AD$两侧分别作出等于$\frac{1}{2}∠α$的角，与$BC$的交点即为$B$、$C$，即可得到所求三角形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作线段$AD = a$；
2. 过点$D$作直线$BC ⊥ AD$，垂足为$D$，确定底边$BC$所在的直线；
3. 利用尺规作角的方法，以$A$为顶点，$AD$为公共边，在$AD$两侧分别作$∠ DAB = ∠ DAC = \frac{1}{2}∠α$，两个角的另一边$AB$、$AC$分别交直线$BC$于点$B$、$C$，即可得到符合要求的$△ ABC$，作图时需保留所有圆弧、辅助线痕迹。
【答案】
1. 作线段$AD = a$；
2. 过点$D$作直线$BC ⊥ AD$，垂足为$D$；
3. 以$A$为顶点，$AD$为公共边，在$AD$两侧分别作$∠ DAB = ∠ DAC = \frac{1}{2}∠α$，$AB$、$AC$分别交直线$BC$于点$B$、$C$。
保留所有尺规作图的圆弧、辅助线痕迹，所得$△ ABC$即为所求作的三角形。
【知识点】
等腰三角形三线合一；尺规基本作图；作一个角等于已知角
【点评】
本题是等腰三角形性质与尺规作图结合的基础题型，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质理清作图的先后顺序，作图时需注意保留完整的作图痕迹，避免遗漏步骤。
【难度系数】
0.8
要构造满足条件的等腰$△ ABC$，可结合等腰三角形“三线合一”的性质推导作图顺序：等腰三角形底边的高同时是顶角的角平分线和底边的中线，因此我们可以先作出长度为$a$的高$AD$，再作出$BC$所在的垂直于$AD$的直线，最后将顶角$∠α$平分，在$AD$两侧分别作出等于$\frac{1}{2}∠α$的角，与$BC$的交点即为$B$、$C$，即可得到所求三角形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作线段$AD = a$；
2. 过点$D$作直线$BC ⊥ AD$，垂足为$D$，确定底边$BC$所在的直线；
3. 利用尺规作角的方法，以$A$为顶点，$AD$为公共边，在$AD$两侧分别作$∠ DAB = ∠ DAC = \frac{1}{2}∠α$，两个角的另一边$AB$、$AC$分别交直线$BC$于点$B$、$C$，即可得到符合要求的$△ ABC$，作图时需保留所有圆弧、辅助线痕迹。
【答案】
1. 作线段$AD = a$；
2. 过点$D$作直线$BC ⊥ AD$，垂足为$D$；
3. 以$A$为顶点，$AD$为公共边，在$AD$两侧分别作$∠ DAB = ∠ DAC = \frac{1}{2}∠α$，$AB$、$AC$分别交直线$BC$于点$B$、$C$。
保留所有尺规作图的圆弧、辅助线痕迹，所得$△ ABC$即为所求作的三角形。
【知识点】
等腰三角形三线合一；尺规基本作图；作一个角等于已知角
【点评】
本题是等腰三角形性质与尺规作图结合的基础题型，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质理清作图的先后顺序，作图时需注意保留完整的作图痕迹，避免遗漏步骤。
【难度系数】
0.8
8.如图,在$△ ABC$中,$AB=7\ \mathrm{cm},BC=5\ \mathrm{cm},AC=6\ \mathrm{cm},∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$O$,过点$O$作$DE // BC$,分别交$AB,AC$于点$D,E$,则$△ ADE$的周长为$\quad (\quad)$
A.$13\ \mathrm{cm}$
B.$14\ \mathrm{cm}$
C.$15\ \mathrm{cm}$
D.$16\ \mathrm{cm}$
[变式] 如图,$△ ABC$的内角$∠ ABC$和外角$∠ ACD$的平分线交于点$O$,过点$O$作$EF // BC$,交$AB$于点$E$,交$AC$于点$F$.已知$BE=5,CF=3$,则$EF$的长为$\quad \_\_\_\_\_\_$.
A.$13\ \mathrm{cm}$
B.$14\ \mathrm{cm}$
C.$15\ \mathrm{cm}$
D.$16\ \mathrm{cm}$
[变式] 如图,$△ ABC$的内角$∠ ABC$和外角$∠ ACD$的平分线交于点$O$,过点$O$作$EF // BC$,交$AB$于点$E$,交$AC$于点$F$.已知$BE=5,CF=3$,则$EF$的长为$\quad \_\_\_\_\_\_$.
答案
8.A 【变式】2
解析
【分析】
解决这两道题的核心思路是利用“角平分线+平行线”的常见几何模型推导等腰三角形，再通过线段等量代换简化计算：
1. 对于第8题，首先结合角平分线定义和平行线的性质，推导△DBO和△ECO为等腰三角形，得到DO=DB、EO=EC，再将△ADE的周长转化为AB与AC的和即可求解；
2. 对于变式题，同样先推导△EBO为等腰三角形得EO=BE，再结合外角平分线和平行线性质推导△FCO为等腰三角形得FO=CF，最后利用EF=EO-FO计算即可。
【解析】
第8题解答：
∵ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴ ∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO
∵ DE//BC
∴ ∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO（两直线平行，内错角相等）
∴ ∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC
∴ DB=DO，EC=EO（等角对等边）
△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DO+OE+AE
将DO=DB、OE=EC代入得：
周长=AD+DB+EC+AE=AB+AC=7+6=13cm，故选A。
变式题解答：
∵ BO平分∠ABC，
∴ ∠EBO=∠CBO
∵ EF//BC，
∴ ∠EOB=∠CBO（两直线平行，内错角相等）
∴ ∠EBO=∠EOB，
∴ EO=BE=5（等角对等边）
∵ CO平分∠ACD，
∴ ∠FCO=∠OCD
∵ EF//BC，
∴ ∠FOC=∠OCD（两直线平行，内错角相等）
∴ ∠FCO=∠FOC，
∴ FO=CF=3（等角对等边）
∴ EF=EO-FO=5-3=2
【答案】
8.A 【变式】2
【知识点】
等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
这组题是“角平分线+平行线”几何模型的典型应用，解题关键是通过角的等量关系识别出等腰三角形，实现未知线段向已知线段的转化，大大简化计算过程，该模型在等腰三角形相关计算中十分常见，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解决这两道题的核心思路是利用“角平分线+平行线”的常见几何模型推导等腰三角形，再通过线段等量代换简化计算：
1. 对于第8题，首先结合角平分线定义和平行线的性质，推导△DBO和△ECO为等腰三角形，得到DO=DB、EO=EC，再将△ADE的周长转化为AB与AC的和即可求解；
2. 对于变式题，同样先推导△EBO为等腰三角形得EO=BE，再结合外角平分线和平行线性质推导△FCO为等腰三角形得FO=CF，最后利用EF=EO-FO计算即可。
【解析】
第8题解答：
∵ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴ ∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO
∵ DE//BC
∴ ∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO（两直线平行，内错角相等）
∴ ∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC
∴ DB=DO，EC=EO（等角对等边）
△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DO+OE+AE
将DO=DB、OE=EC代入得：
周长=AD+DB+EC+AE=AB+AC=7+6=13cm，故选A。
变式题解答：
∵ BO平分∠ABC，
∴ ∠EBO=∠CBO
∵ EF//BC，
∴ ∠EOB=∠CBO（两直线平行，内错角相等）
∴ ∠EBO=∠EOB，
∴ EO=BE=5（等角对等边）
∵ CO平分∠ACD，
∴ ∠FCO=∠OCD
∵ EF//BC，
∴ ∠FOC=∠OCD（两直线平行，内错角相等）
∴ ∠FCO=∠FOC，
∴ FO=CF=3（等角对等边）
∴ EF=EO-FO=5-3=2
【答案】
8.A 【变式】2
【知识点】
等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
这组题是“角平分线+平行线”几何模型的典型应用，解题关键是通过角的等量关系识别出等腰三角形，实现未知线段向已知线段的转化，大大简化计算过程，该模型在等腰三角形相关计算中十分常见，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
