10.如果等腰三角形有一内角为$50°$，那么它的顶角的度数为。

10.50°或 80°

【分析】
解题时首先回忆等腰三角形“两底角相等”的性质以及三角形内角和为180°的定理。由于题目未明确50°的内角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：一是该角为顶角，二是该角为底角，分别计算顶角度数后验证是否符合三角形内角要求，最终得到所有符合条件的结果。
【解析】
已知等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为180°，分两种情况讨论：
1. 当50°的内角为顶角时，顶角的度数即为50°；
2. 当50°的内角为底角时，顶角的度数为：$180° - 50° × 2 = 80°$。
两种情况均满足三角形内角和定理，均成立。
【答案】
50°或80°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型易错题，解题关键在于明确未指明类型的内角既可能是顶角也可能是底角，要分情况讨论，同时需验证每种情况是否符合三角形的基本性质，避免漏解。
【难度系数】
0.7

11.(2024·铁岭期末)如图,在$△ ABE$中,AE的垂直平分线MN交BE于点C,连接AC,$∠ E=30°$,且$AB=CE$,则$∠ BAE$的度数是 ()


A.$80°$
B.$85°$
C.$90°$
D.$105°$

11.C

【分析】
解题时首先观察题目条件，看到MN是AE的垂直平分线，优先想到线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得CE=CA；再结合已知AB=CE，可推出CA=AB，得到两个等腰三角形△ACE和△ACB。接下来利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角的性质求出∠ACB的度数，再得到∠B的度数，最后在△ABE中用三角形内角和即可求出∠BAE的度数。
【解析】
∵MN是AE的垂直平分线，点C在MN上，
∴根据线段垂直平分线的性质，得$CE=CA$，
∴$△ ACE$为等腰三角形，$∠ CAE=∠ E=30°$。
根据三角形外角的性质，$∠ ACB$是$△ ACE$的外角，
∴$∠ ACB=∠ E+∠ CAE=30°+30°=60°$。
又
∵$AB=CE$，且$CE=CA$，
∴$AB=AC$，即$△ ACB$为等腰三角形，
∴$∠ B=∠ ACB=60°$。
在$△ ABE$中，由三角形内角和为$180°$，得：
$∠ BAE=180°-∠ E-∠ B=180°-30°-60°=90°$。
【答案】
C
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 等腰三角形的性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是通过线段垂直平分线的性质完成相等线段的转化，再结合等腰三角形和三角形角的性质逐步推导角的度数，要求学生熟练掌握基础几何性质并能灵活运用。
【难度系数】
0.7

12.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$36°$,则它的顶角的度数为.

12.54°或 126°

【分析】
本题需结合等腰三角形的特点分类讨论求解，解题思路如下：首先明确等腰三角形按角分类可分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形（直角等腰三角形腰上的高与另一腰夹角为0°，不符合题意可排除），两种情况下腰上的高分别在三角形内部和外部，对应的角度关系不同，再结合直角三角形两锐角互余的性质分别计算顶角的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部：
高与腰的夹角为90°，已知高与另一腰的夹角为36°，在高和两腰组成的直角三角形中，两个锐角互余，因此顶角为$90° - 36° = 54°$。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部：
此时高与另一腰的延长线形成直角三角形，该直角三角形中36°角与顶角的邻补角互余，可得顶角的邻补角为$90° - 36° = 54°$，因此顶角为$180° - 54° = 126°$。
综上，该等腰三角形顶角的度数为54°或126°。
【答案】
$54°$或$126°$
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，仅考虑腰上的高在三角形内部的情况，导致漏解。解题时遇到等腰三角形的高相关问题，若未明确三角形类型，需先判断高的位置，分情况计算。
【难度系数】
0.6

13.(2025·大连高新区期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D在BC边上运动(不与点B,C重合),点E在AB边上,在点D的运动过程中,始终保持∠ADE=30°.
(1)当点D运动到BD=AB时,求证:BE=CD;
(2)当△ADE是等腰三角形时,求∠CAD的度数.

13.(1)略
(2)45°或 90°

【分析】
(1) 要证BE=CD，可通过证明△BED和△CDA全等实现。首先根据等腰△ABC的顶角求出底角∠B、∠C均为30°，结合BD=AB推出BD=AC，再通过角度计算得到两组对应角相等，即可利用AAS证明全等，得到对应边相等。
(2) △ADE为等腰三角形需分三种情况讨论：AD=AE、AD=DE、AE=DE，分别根据等腰三角形等角对等边的性质列等式计算角度，再结合点D不与B、C重合的条件排除不符合的情况，最终得到∠CAD的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°-120°)÷2=30°。
∵BD=AB，AB=AC，
∴BD=AC。
在△ABD中，BD=AB，∠B=30°，
∴∠BAD=∠BDA=(180°-30°)÷2=75°。
∵∠ADE=30°，
∴∠BDE=∠BDA-∠ADE=75°-30°=45°，
∠ADC=180°-∠BDA=180°-75°=105°。
在△BED中，∠BED=180°-∠B-∠BDE=180°-30°-45°=105°，
∴∠BED=∠ADC。
在△BED和△CDA中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ C\\∠ BED=∠ CDA\\BD=AC\end{array} $
∴△BED≌△CDA(AAS)，
∴BE=CD。
(2) 解：设∠BAD=x，则∠CAD=120°-x，
在△ADE中，∠ADE=30°，
∴∠AED=180°-x-30°=150°-x，
分三种情况讨论：
① 当AD=AE时，∠ADE=∠AED，
即30°=150°-x，解得x=120°，
此时∠CAD=120°-120°=0°，点D与点C重合，不符合题意，舍去；
② 当AD=DE时，∠DAE=∠AED，
即x=150°-x，解得x=75°，
此时∠CAD=120°-75°=45°，符合题意；
③ 当AE=DE时，∠DAE=∠ADE，
即x=30°，此时∠CAD=120°-30°=90°，符合题意。
综上，∠CAD的度数为45°或90°。
【答案】
(1) 证明见解析；(2)45°或90°
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查等腰三角形性质的综合应用，第二问需要对等腰三角形的腰和底进行分类讨论，同时要结合动点的取值范围排除不符合要求的解，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6

14.如图,在△ABC中,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,MN垂直平分AC,分别交AC,BC于点M,N,连接AE,AN.
(1)如图1,若∠BAC=103°,求∠EAN的度数;
(2)如图2,若∠BAC=70°,求∠EAN的度数;
(3)若∠BAC=α(α≠90°),直接写出用α表示∠EAN的度数的代数式.

14.(1)26°
(2)40°
(3)当$0°＜α＜90°$时,$∠EAN=180°−2α$;当$90°＜α＜180°$时,$∠EAN=2α−180°$

【分析】
解题思路：首先利用线段垂直平分线的性质可得AE=BE、AN=CN，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质，推出∠B=∠BAE、∠C=∠CAN，进而得到∠BAE+∠CAN=∠B+∠C。接下来结合三角形内角和定理求出∠B+∠C=180°-∠BAC，最后根据∠BAC是钝角还是锐角，判断∠EAN与已知角的数量关系：当∠BAC为钝角时，∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)；当∠BAC为锐角时，∠EAN=(∠BAE+∠CAN)-∠BAC，代入数值或代数式计算即可。
【解析】
(1)
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE。
∵MN垂直平分AC，
∴AN=CN，
∴∠C=∠CAN。
∴∠BAE + ∠CAN = ∠B + ∠C。
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-103°=77°，
∴∠EAN=∠BAC - (∠BAE+∠CAN)=103°-77°=26°。
(2) 同理可得∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，
∴∠BAE + ∠CAN = ∠B + ∠C=180°-∠BAC=180°-70°=110°，
此时∠BAE+∠CAN=∠BAC + ∠EAN，
∴∠EAN=(∠BAE+∠CAN)-∠BAC=110°-70°=40°。
(3) 分两种情况：
当0°＜α＜90°时，∠EAN=(180°-α)-α=180°−2α；
当90°＜α＜180°时，∠EAN=α-(180°-α)=2α−180°。
【答案】
(1)26°；(2)40°；(3)当$0°＜α＜90°$时,$∠EAN=180°−2α$;当$90°＜α＜180°$时,$∠EAN=2α−180°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质与垂直平分线性质的综合应用题，解题核心是通过等边对等角完成角的等量转化，需要注意根据∠BAC的大小分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7