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1.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=35°$,$AB=AC$,则$∠ B$的度数为 （
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
D
）A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先观察题目给出的边的关系：AB=AC，可判定△ABC是等腰三角形，接下来回忆等腰三角形“等边对等角”的性质，找到相等的两条边对应的角，即可推出∠B和∠C的度数相等，结合已知∠C的度数就能求出∠B的度数。
【解析】
∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得∠B=∠C，
又
∵已知∠C=35°，
∴∠B=35°，故本题选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定；等边对等角
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题关键是熟练掌握等边对等角的性质，找准相等边对应的内角，即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察题目给出的边的关系：AB=AC，可判定△ABC是等腰三角形，接下来回忆等腰三角形“等边对等角”的性质，找到相等的两条边对应的角，即可推出∠B和∠C的度数相等，结合已知∠C的度数就能求出∠B的度数。
【解析】
∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得∠B=∠C，
又
∵已知∠C=35°，
∴∠B=35°，故本题选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定；等边对等角
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题关键是熟练掌握等边对等角的性质，找准相等边对应的内角，即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
2.(2025·抚顺新宾期末)如果等腰三角形的一个内角是$100°$,那么它的另外两个内角分别是 (
A.$80°$和$40°$
B.$40°$和$40°$
C.$100°$和$100°$
D.$100°$和$40°$
B
)A.$80°$和$40°$
B.$40°$和$40°$
C.$100°$和$100°$
D.$100°$和$40°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先结合等腰三角形“两个底角相等”的性质以及三角形内角和为180°的定理分析已知的100°内角的类型：由于等腰三角形的底角必须为锐角（若底角为100°，两个底角之和就会超过180°，不符合内角和要求），因此100°只能是该等腰三角形的顶角，剩下两个内角为相等的底角，通过内角和公式计算即可得到结果。
【解析】
已知等腰三角形的一个内角为100°，分两种情况讨论：
1. 若100°为底角：等腰三角形两底角相等，则两个底角的和为$100° + 100° = 200°$，大于三角形内角和$180°$，不符合三角形内角和定理，该情况不成立；
2. 若100°为顶角：则另外两个内角是等腰三角形的底角，两个底角度数相等，因此每个底角的度数为$(180° - 100°) ÷ 2 = 40°$，即另外两个内角均为40°。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型基础题，解题关键在于先判断已知钝角只能为等腰三角形的顶角，避免错误假设已知角为底角导致计算出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合等腰三角形“两个底角相等”的性质以及三角形内角和为180°的定理分析已知的100°内角的类型：由于等腰三角形的底角必须为锐角（若底角为100°，两个底角之和就会超过180°，不符合内角和要求），因此100°只能是该等腰三角形的顶角，剩下两个内角为相等的底角，通过内角和公式计算即可得到结果。
【解析】
已知等腰三角形的一个内角为100°，分两种情况讨论：
1. 若100°为底角：等腰三角形两底角相等，则两个底角的和为$100° + 100° = 200°$，大于三角形内角和$180°$，不符合三角形内角和定理，该情况不成立；
2. 若100°为顶角：则另外两个内角是等腰三角形的底角，两个底角度数相等，因此每个底角的度数为$(180° - 100°) ÷ 2 = 40°$，即另外两个内角均为40°。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型基础题，解题关键在于先判断已知钝角只能为等腰三角形的顶角，避免错误假设已知角为底角导致计算出错。
【难度系数】
0.8
3.(2024·兰州)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=130°$,$DA⊥ AC$,则$∠ ADB=$ (
A.$100°$
B.$115°$
C.$130°$
D.$145°$
B
)A.$100°$
B.$115°$
C.$130°$
D.$145°$
答案
3.B
解析
【分析】
解题首先从已知条件AB=AC入手，可判断△ABC为等腰三角形，结合等腰三角形“两底角相等”的性质以及三角形内角和为180°，先算出底角∠C的度数；再根据DA⊥AC得到∠DAC=90°，最后通过邻补角的性质或者三角形外角的性质，即可求出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=130°，
∴∠B=∠C（等腰三角形两底角相等），
由三角形内角和为180°可得：
$∠ C=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-130°}{2}=25°$，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∵∠ADB是△ADC的外角，三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=90°+25°=115°。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算问题，解题的核心是先利用等腰三角形的性质求出底角度数，再结合垂直条件和角度相关定理推导所求角的度数，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85
解题首先从已知条件AB=AC入手，可判断△ABC为等腰三角形，结合等腰三角形“两底角相等”的性质以及三角形内角和为180°，先算出底角∠C的度数；再根据DA⊥AC得到∠DAC=90°，最后通过邻补角的性质或者三角形外角的性质，即可求出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=130°，
∴∠B=∠C（等腰三角形两底角相等），
由三角形内角和为180°可得：
$∠ C=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-130°}{2}=25°$，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∵∠ADB是△ADC的外角，三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=90°+25°=115°。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算问题，解题的核心是先利用等腰三角形的性质求出底角度数，再结合垂直条件和角度相关定理推导所求角的度数，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85
4.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$CD ⊥ AB$于点$D$，$∠ A=50°$，则$∠ BCD$的度数为
25°
。答案
4.25°
解析
【分析】首先根据AB=AC判断△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质结合三角形内角和定理，先计算出底角∠B的度数；再根据CD⊥AB可知△CDB是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠B的度数即可得到∠BCD的度数。
【解析】
解：
∵ AB=AC，∠A=50°，
∴ △ABC是等腰三角形，∠B=∠ACB，
由三角形内角和为180°可得：
$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-50°)÷2=65°$，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=90°，即△CDB为直角三角形，
在Rt△CDB中，∠BCD+∠B=90°，
∴ $∠ BCD=90°-∠ B=90°-65°=25°$。
【答案】25°
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】本题属于基础题型，解题关键是先利用等腰三角形的性质求出底角的度数，再结合直角三角形的锐角关系计算待求角，熟练掌握相关几何性质即可快速作答。
【难度系数】0.8
【解析】
解：
∵ AB=AC，∠A=50°，
∴ △ABC是等腰三角形，∠B=∠ACB，
由三角形内角和为180°可得：
$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-50°)÷2=65°$，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=90°，即△CDB为直角三角形，
在Rt△CDB中，∠BCD+∠B=90°，
∴ $∠ BCD=90°-∠ B=90°-65°=25°$。
【答案】25°
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】本题属于基础题型，解题关键是先利用等腰三角形的性质求出底角的度数，再结合直角三角形的锐角关系计算待求角，熟练掌握相关几何性质即可快速作答。
【难度系数】0.8
5.(教材P80练习T2变式)如图，D为$△ ABC$的边BC上的一点，$AC=AD=BD$，$∠ BAD=34°$.求$∠ CAB$的度数.
答案
5.78°
解析
【分析】
解题时先从题目给出的等边条件入手，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，先求出∠B的度数；再借助三角形外角的性质，得到△ACD的底角∠ADC的度数；再次利用等边对等角得到∠C的度数，最后根据三角形内角和定理计算出∠CAB的度数即可。
【解析】
解：
∵ $AD = BD$，$∠BAD = 34°$，
∴ $∠B = ∠BAD = 34°$（等腰三角形等边对等角）。
∵ $∠ADC$是$△ABD$的外角，
∴ $∠ADC = ∠B + ∠BAD = 34° + 34° = 68°$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
又
∵ $AC = AD$，
∴ $∠C = ∠ADC = 68°$（等边对等角）。
在$△ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，
∴ $∠CAB = 180° - ∠C - ∠B = 180° - 68° - 34° = 78°$。
【答案】
$78°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题的核心是利用“等边对等角”建立角的等量关系，结合三角形内外角的相关定理逐步推导未知角，是等腰三角形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先从题目给出的等边条件入手，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，先求出∠B的度数；再借助三角形外角的性质，得到△ACD的底角∠ADC的度数；再次利用等边对等角得到∠C的度数，最后根据三角形内角和定理计算出∠CAB的度数即可。
【解析】
解：
∵ $AD = BD$，$∠BAD = 34°$，
∴ $∠B = ∠BAD = 34°$（等腰三角形等边对等角）。
∵ $∠ADC$是$△ABD$的外角，
∴ $∠ADC = ∠B + ∠BAD = 34° + 34° = 68°$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
又
∵ $AC = AD$，
∴ $∠C = ∠ADC = 68°$（等边对等角）。
在$△ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，
∴ $∠CAB = 180° - ∠C - ∠B = 180° - 68° - 34° = 78°$。
【答案】
$78°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题的核心是利用“等边对等角”建立角的等量关系，结合三角形内外角的相关定理逐步推导未知角，是等腰三角形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
6.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是$△ ABC$的角平分线，则下列结论不一定成立的是（
A.$∠ B=∠ C$
B.$BD=CD$
C.$AD⊥ BC$
D.$AD=BD$
D
）A.$∠ B=∠ C$
B.$BD=CD$
C.$AD⊥ BC$
D.$AD=BD$
答案
6.D
解析
【分析】
首先由已知AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，结合AD是角平分线的条件，调用等腰三角形的相关性质逐一验证选项即可。先回忆等腰三角形的核心性质：①等边对等角，即两底角相等；②三线合一，即顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，再对应每个选项判断是否一定成立，最终选出不一定成立的选项。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠B=∠C，故A选项一定成立，不符合题意；
已知AD是△ABC的角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD是底边BC上的中线，也是底边BC上的高，因此BD=CD，AD⊥BC，故B、C选项一定成立，不符合题意；
D选项AD=BD只有在特殊的等腰三角形（如等腰直角三角形）中才成立，题干没有给出额外角度条件，因此该结论不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形等边对等角；等腰三角形三线合一
【点评】
本题重点考查等腰三角形性质的直接应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形"等边对等角"和"三线合一"的性质，注意三线合一的适用前提是等腰三角形中，顶角平分线对应底边的中线和高，不要随意推导无关线段的相等关系。
【难度系数】
0.8
首先由已知AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，结合AD是角平分线的条件，调用等腰三角形的相关性质逐一验证选项即可。先回忆等腰三角形的核心性质：①等边对等角，即两底角相等；②三线合一，即顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，再对应每个选项判断是否一定成立，最终选出不一定成立的选项。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠B=∠C，故A选项一定成立，不符合题意；
已知AD是△ABC的角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD是底边BC上的中线，也是底边BC上的高，因此BD=CD，AD⊥BC，故B、C选项一定成立，不符合题意；
D选项AD=BD只有在特殊的等腰三角形（如等腰直角三角形）中才成立，题干没有给出额外角度条件，因此该结论不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形等边对等角；等腰三角形三线合一
【点评】
本题重点考查等腰三角形性质的直接应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形"等边对等角"和"三线合一"的性质，注意三线合一的适用前提是等腰三角形中，顶角平分线对应底边的中线和高，不要随意推导无关线段的相等关系。
【难度系数】
0.8
7.(2024·云南)已知AF是等腰三角形ABC的底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（
A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.3
D.$\frac{7}{2}$
C
）A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.3
D.$\frac{7}{2}$
答案
7.C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先AF是等腰三角形ABC底边上的高，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，推导出AF同时是∠BAC的角平分线；再结合已知“点F到直线AB的距离为3”，要求点F到AC的距离，可关联角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可直接得出结果。
【解析】
∵AF是等腰△ABC底边BC上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质，
∴AF平分∠BAC，即点F在∠BAC的角平分线上。
又
∵角平分线上的点到角两边的距离相等，已知点F到直线AB的距离为3，
∴点F到直线AC的距离等于点F到直线AB的距离，即为3。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的性质
【点评】
本题是基础性质应用题，将等腰三角形三线合一与角平分线的性质结合考查，熟练掌握相关性质即可快速得出答案，无需复杂计算。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先AF是等腰三角形ABC底边上的高，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，推导出AF同时是∠BAC的角平分线；再结合已知“点F到直线AB的距离为3”，要求点F到AC的距离，可关联角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可直接得出结果。
【解析】
∵AF是等腰△ABC底边BC上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质，
∴AF平分∠BAC，即点F在∠BAC的角平分线上。
又
∵角平分线上的点到角两边的距离相等，已知点F到直线AB的距离为3，
∴点F到直线AC的距离等于点F到直线AB的距离，即为3。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的性质
【点评】
本题是基础性质应用题，将等腰三角形三线合一与角平分线的性质结合考查，熟练掌握相关性质即可快速得出答案，无需复杂计算。
【难度系数】
0.8
8.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD⊥ BC$于点D.若$AB=6$，$CD=4$，则$△ ABC$的周长是
20
。答案
8.20
解析
【分析】
首先由AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，结合AD⊥BC的条件，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD是底边BC的中线，因此BC的长度是CD的2倍，先求出BC的长度，再将三角形三边长度相加即可得到周长。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD⊥BC，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，D是BC的中点，即BC=2CD，
∵CD=4，
∴BC=2×4=8，
又
∵AB=AC=6，
∴△ABC的周长 = AB + AC + BC = 6 + 6 + 8 = 20。
【答案】
20
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质快速求出底边长度，掌握等腰三角形的相关性质就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
首先由AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，结合AD⊥BC的条件，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD是底边BC的中线，因此BC的长度是CD的2倍，先求出BC的长度，再将三角形三边长度相加即可得到周长。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD⊥BC，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，D是BC的中点，即BC=2CD，
∵CD=4，
∴BC=2×4=8，
又
∵AB=AC=6，
∴△ABC的周长 = AB + AC + BC = 6 + 6 + 8 = 20。
【答案】
20
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质快速求出底边长度，掌握等腰三角形的相关性质就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
9.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是边$BC$上的中线，$BE ⊥ AC$于点$E$.求证：$∠ CBE = ∠ BAD$. 
答案
证明：
∵ AB=AC，AD是边BC上的中线，
∴ AD⊥BC，∠BAD=∠CAD（等腰三角形三线合一），
∴ ∠CAD + ∠C = 90°，
∵ BE⊥AC，
∴ ∠CBE + ∠C = 90°，
∴ ∠CBE = ∠CAD（同角的余角相等），
又∵ ∠BAD=∠CAD，
∴ ∠CBE = ∠BAD。
∵ AB=AC，AD是边BC上的中线，
∴ AD⊥BC，∠BAD=∠CAD（等腰三角形三线合一），
∴ ∠CAD + ∠C = 90°，
∵ BE⊥AC，
∴ ∠CBE + ∠C = 90°，
∴ ∠CBE = ∠CAD（同角的余角相等），
又∵ ∠BAD=∠CAD，
∴ ∠CBE = ∠BAD。
解析
【分析】
要证明∠CBE=∠BAD，可通过等量代换思路推导：首先根据已知的等腰三角形和BC边上的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质，得到AD⊥BC且AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD；再结合BE⊥AC的条件，可知△ADC和△BEC都是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，可得∠CAD与∠C互余、∠CBE也与∠C互余；之后根据“同角的余角相等”得到∠CBE=∠CAD，最后结合∠BAD=∠CAD等量代换即可得证。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，AD是边BC上的中线，
∴ AD⊥BC，∠BAD=∠CAD（等腰三角形三线合一），
∴ ∠CAD + ∠C = 90°，
∵ BE⊥AC，
∴ ∠CBE + ∠C = 90°，
∴ ∠CBE = ∠CAD（同角的余角相等），
又
∵ ∠BAD=∠CAD，
∴ ∠CBE = ∠BAD。
【答案】
证明：
∵ AB=AC，AD是边BC上的中线，
∴ AD⊥BC，∠BAD=∠CAD（等腰三角形三线合一），
∴ ∠CAD + ∠C = 90°，
∵ BE⊥AC，
∴ ∠CBE + ∠C = 90°，
∴ ∠CBE = ∠CAD（同角的余角相等），
又
∵ ∠BAD=∠CAD，
∴ ∠CBE = ∠BAD。
【知识点】
等腰三角形三线合一；直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题时需要结合已知条件逐步推导，每一步推导都要有对应的几何性质作为依据，能够训练学生几何证明的逻辑思维能力，熟练掌握等腰三角形的性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.75
要证明∠CBE=∠BAD，可通过等量代换思路推导：首先根据已知的等腰三角形和BC边上的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质，得到AD⊥BC且AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD；再结合BE⊥AC的条件，可知△ADC和△BEC都是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，可得∠CAD与∠C互余、∠CBE也与∠C互余；之后根据“同角的余角相等”得到∠CBE=∠CAD，最后结合∠BAD=∠CAD等量代换即可得证。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，AD是边BC上的中线，
∴ AD⊥BC，∠BAD=∠CAD（等腰三角形三线合一），
∴ ∠CAD + ∠C = 90°，
∵ BE⊥AC，
∴ ∠CBE + ∠C = 90°，
∴ ∠CBE = ∠CAD（同角的余角相等），
又
∵ ∠BAD=∠CAD，
∴ ∠CBE = ∠BAD。
【答案】
证明：
∵ AB=AC，AD是边BC上的中线，
∴ AD⊥BC，∠BAD=∠CAD（等腰三角形三线合一），
∴ ∠CAD + ∠C = 90°，
∵ BE⊥AC，
∴ ∠CBE + ∠C = 90°，
∴ ∠CBE = ∠CAD（同角的余角相等），
又
∵ ∠BAD=∠CAD，
∴ ∠CBE = ∠BAD。
【知识点】
等腰三角形三线合一；直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题时需要结合已知条件逐步推导，每一步推导都要有对应的几何性质作为依据，能够训练学生几何证明的逻辑思维能力，熟练掌握等腰三角形的性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.75
