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13.(教材P77习题T8变式)如图,点P,M关于直线x=1的对称点分别为P',M'.
(1)点P'的坐标为
(2)点P(-2,4)关于直线y=-1的对称点的坐标为
(1)点P'的坐标为
(4,4)
,点M'的坐标为(3,1)
;(2)点P(-2,4)关于直线y=-1的对称点的坐标为
(-2,-6)
,点N(5,-2)关于直线x=2的对称点的坐标为(-1,-2)
.答案
13.(1)$(4,4)$ $(3,1)$ (2)$(-2,-6)$ $(-1,-2)$
解析
【分析】
解决这类关于平行于坐标轴的直线的对称点坐标问题，首先要牢记对应规律：①关于直线x=a对称的两点，纵坐标相等，横坐标满足“两点横坐标的平均数等于a”，即对称点横坐标=2a - 原横坐标；②关于直线y=b对称的两点，横坐标相等，纵坐标满足“两点纵坐标的平均数等于b”，即对称点纵坐标=2b - 原纵坐标，解题时对应代入规律计算即可。
【解析】
(1) 点P、M关于直线x=1对称，纵坐标保持不变，按规律计算横坐标：
点P(-2,4)的对称点P'的横坐标为$2×1 - (-2)=4$，纵坐标为4，因此$P'(4,4)$；
点M(-1,1)的对称点M'的横坐标为$2×1 - (-1)=3$，纵坐标为1，因此$M'(3,1)$。
(2) 点P(-2,4)关于直线y=-1对称，横坐标保持不变，纵坐标为$2×(-1) - 4=-6$，因此对称点坐标为$(-2,-6)$；
点N(5,-2)关于直线x=2对称，纵坐标保持不变，横坐标为$2×2 -5=-1$，因此对称点坐标为$(-1,-2)$。
【答案】
(1)$(4,4)$；$(3,1)$ (2)$(-2,-6)$；$(-1,-2)$
【知识点】
用坐标表示轴对称；关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标规律
【点评】
本题是坐标轴对称的延伸题型，核心是掌握关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标变化规律，找准对称轴数值后套用规律即可计算，是巩固轴对称坐标变换的典型基础题。
【难度系数】
0.8
解决这类关于平行于坐标轴的直线的对称点坐标问题，首先要牢记对应规律：①关于直线x=a对称的两点，纵坐标相等，横坐标满足“两点横坐标的平均数等于a”，即对称点横坐标=2a - 原横坐标；②关于直线y=b对称的两点，横坐标相等，纵坐标满足“两点纵坐标的平均数等于b”，即对称点纵坐标=2b - 原纵坐标，解题时对应代入规律计算即可。
【解析】
(1) 点P、M关于直线x=1对称，纵坐标保持不变，按规律计算横坐标：
点P(-2,4)的对称点P'的横坐标为$2×1 - (-2)=4$，纵坐标为4，因此$P'(4,4)$；
点M(-1,1)的对称点M'的横坐标为$2×1 - (-1)=3$，纵坐标为1，因此$M'(3,1)$。
(2) 点P(-2,4)关于直线y=-1对称，横坐标保持不变，纵坐标为$2×(-1) - 4=-6$，因此对称点坐标为$(-2,-6)$；
点N(5,-2)关于直线x=2对称，纵坐标保持不变，横坐标为$2×2 -5=-1$，因此对称点坐标为$(-1,-2)$。
【答案】
(1)$(4,4)$；$(3,1)$ (2)$(-2,-6)$；$(-1,-2)$
【知识点】
用坐标表示轴对称；关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标规律
【点评】
本题是坐标轴对称的延伸题型，核心是掌握关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标变化规律，找准对称轴数值后套用规律即可计算，是巩固轴对称坐标变换的典型基础题。
【难度系数】
0.8
14.△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)作出△ABC 关于 y 轴对称的△A₁B₁C₁,并写出△A₁B₁C₁各顶点的坐标.
(2)将△ABC 向右平移6个单位长度,作出平移后的△A₂B₂C₂,并写出△A₂B₂C₂各顶点的坐标.
(3)观察△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂,它们是否关于某条直线对称?若是,请在图中画出这条对称轴.
(4)若 P(x,y)为△ABC 内任意一点,经过(2)中的变换后,点 P 的对应点为 P₂,则点 P₂的坐标为
(1)作出△ABC 关于 y 轴对称的△A₁B₁C₁,并写出△A₁B₁C₁各顶点的坐标.
(2)将△ABC 向右平移6个单位长度,作出平移后的△A₂B₂C₂,并写出△A₂B₂C₂各顶点的坐标.
(3)观察△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂,它们是否关于某条直线对称?若是,请在图中画出这条对称轴.
(4)若 P(x,y)为△ABC 内任意一点,经过(2)中的变换后,点 P 的对应点为 P₂,则点 P₂的坐标为
$(x+6,y)$
.答案
14.(1)图略,$A_1(0,4),B_1(2,2),C_1(1,1)$
(2)图略,$A_2(6,4),B_2(4,2),C_2(5,1)$
(3)略 (4)$(x+6,y)$
(2)图略,$A_2(6,4),B_2(4,2),C_2(5,1)$
(3)略 (4)$(x+6,y)$
解析
【分析】
解决本题需结合坐标变换规律分步求解：
1. 第(1)问：先确定原△ABC各顶点坐标，根据“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律得到对称点坐标，再描点连线即可得到△A₁B₁C₁；
2. 第(2)问：根据“点向右平移n个单位，横坐标加n，纵坐标不变”的平移规律，将原三角形各点横坐标加6得到平移后点的坐标，描点连线得到△A₂B₂C₂；
3. 第(3)问：观察两个三角形对应点的坐标，计算对应点连线的中点，若所有中点在同一条直线上，该直线即为对称轴；
4. 第(4)问：直接套用向右平移的坐标变换规律即可得到P₂的坐标。
【解析】
首先确定原△ABC各顶点坐标：A(0,4)，B(-2,2)，C(-1,1)。
(1) 关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数，因此：
A₁坐标为(0,4)，B₁坐标为(2,2)，C₁坐标为(1,1)，在坐标系中描出三点顺次连接即可得到△A₁B₁C₁；
(2) 点向右平移6个单位时横坐标加6，纵坐标不变，因此：
A₂坐标为$0+6=6$，即(6,4)；B₂坐标为$-2+6=4$，即(4,2)；C₂坐标为$-1+6=5$，即(5,1)，描出三点顺次连接即可得到△A₂B₂C₂；
(3) 观察对应点坐标可知，每组对应点连线的中点横坐标均为3，因此两个三角形关于直线$x=3$对称，在图中画出直线$x=3$即可；
(4) 根据向右平移6个单位的坐标变换规律，横坐标加6、纵坐标不变，因此P(x,y)的对应点P₂坐标为$(x+6,y)$。
【答案】
(1) 图略，$A_1(0,4),B_1(2,2),C_1(1,1)$
(2) 图略，$A_2(6,4),B_2(4,2),C_2(5,1)$
(3) 是，对称轴为直线$x=3$，图略
(4) $(x+6,y)$
【知识点】
用坐标表示轴对称；用坐标表示平移；轴对称的性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的图形变换，核心是掌握轴对称和平移对应的坐标变化规律，属于基础题型，熟练掌握规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题需结合坐标变换规律分步求解：
1. 第(1)问：先确定原△ABC各顶点坐标，根据“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律得到对称点坐标，再描点连线即可得到△A₁B₁C₁；
2. 第(2)问：根据“点向右平移n个单位，横坐标加n，纵坐标不变”的平移规律，将原三角形各点横坐标加6得到平移后点的坐标，描点连线得到△A₂B₂C₂；
3. 第(3)问：观察两个三角形对应点的坐标，计算对应点连线的中点，若所有中点在同一条直线上，该直线即为对称轴；
4. 第(4)问：直接套用向右平移的坐标变换规律即可得到P₂的坐标。
【解析】
首先确定原△ABC各顶点坐标：A(0,4)，B(-2,2)，C(-1,1)。
(1) 关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数，因此：
A₁坐标为(0,4)，B₁坐标为(2,2)，C₁坐标为(1,1)，在坐标系中描出三点顺次连接即可得到△A₁B₁C₁；
(2) 点向右平移6个单位时横坐标加6，纵坐标不变，因此：
A₂坐标为$0+6=6$，即(6,4)；B₂坐标为$-2+6=4$，即(4,2)；C₂坐标为$-1+6=5$，即(5,1)，描出三点顺次连接即可得到△A₂B₂C₂；
(3) 观察对应点坐标可知，每组对应点连线的中点横坐标均为3，因此两个三角形关于直线$x=3$对称，在图中画出直线$x=3$即可；
(4) 根据向右平移6个单位的坐标变换规律，横坐标加6、纵坐标不变，因此P(x,y)的对应点P₂坐标为$(x+6,y)$。
【答案】
(1) 图略，$A_1(0,4),B_1(2,2),C_1(1,1)$
(2) 图略，$A_2(6,4),B_2(4,2),C_2(5,1)$
(3) 是，对称轴为直线$x=3$，图略
(4) $(x+6,y)$
【知识点】
用坐标表示轴对称；用坐标表示平移；轴对称的性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的图形变换，核心是掌握轴对称和平移对应的坐标变化规律，属于基础题型，熟练掌握规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
15.【新考法·新定义】(2025·沈阳沈河区期末)如图所示,在平面直角坐标系中,已知$A(0,1)$,$B(2,0)$,$C(4,3)$.
(1)画出与$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_1B_1C_1$,点$C$的对应点$C_1$的坐标为
(2)在平面直角坐标系$xOy$中,已知点$M(a,b)$,$N(c,d)$,若$c-a=d-b≠0$,则称点$M$与点$N$互为“等差点”.例如,点$(-1,3)$,$(2,6)$,因为$2-(-1)=6-3≠0$,所以这两个点互为“等差点”.
①若点$C(4,3)$的“等差点”$C'$在坐标轴上,则点$C'$的坐标为
②若点$P(2m,-\sqrt{5})$与点$Q(-n,2\sqrt{5})$互为“等差点”,且$m,n$互为相反数,求点$Q$的坐标.
(1)画出与$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_1B_1C_1$,点$C$的对应点$C_1$的坐标为
(-4,3)
.(2)在平面直角坐标系$xOy$中,已知点$M(a,b)$,$N(c,d)$,若$c-a=d-b≠0$,则称点$M$与点$N$互为“等差点”.例如,点$(-1,3)$,$(2,6)$,因为$2-(-1)=6-3≠0$,所以这两个点互为“等差点”.
①若点$C(4,3)$的“等差点”$C'$在坐标轴上,则点$C'$的坐标为
(1,0)或(0,-1)
;②若点$P(2m,-\sqrt{5})$与点$Q(-n,2\sqrt{5})$互为“等差点”,且$m,n$互为相反数,求点$Q$的坐标.
答案
15.解:(1)如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求.
点$C$的对应点$C_1$的坐标为$(-4,3)$.
(2)①$(1,0)$或$(0,-1)$
②因为点$P(2m,-\sqrt{5})$与点$Q(-n,2\sqrt{5})$互为“等差点”,且$m,n$互为相反数,
所以$\begin{cases}-n-2m=2\sqrt{5}-(-\sqrt{5}),\\m+n=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-3\sqrt{5},\\n=3\sqrt{5},\end{cases}$
所以点$Q$的坐标为$(-3\sqrt{5},2\sqrt{5})$.
解析
【分析】
(1) 要画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁，需先利用关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数，找到A、B、C三点的对称点，再顺次连接即可，根据规律可直接写出C₁的坐标。
(2) ①先理解“等差点”的定义：若两点M(a,b)、N(c,d)满足c-a=d-b≠0，则互为等差点。设C'(x,y)，根据定义列出x与y的关系式，再结合C'在坐标轴上（x=0或y=0）分情况求解即可。
②先根据“等差点”的定义列出关于m、n的第一个方程，再结合m、n互为相反数（即m+n=0）联立得到二元一次方程组，解出m、n后代入Q的坐标表达式即可得到结果。
【解析】
(1) 关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数：
点A(0,1)的对称点A₁(0,1)，点B(2,0)的对称点B₁(-2,0)，点C(4,3)的对称点C₁(-4,3)，顺次连接A₁、B₁、C₁，所得△A₁B₁C₁即为所求。
(2) ①设点C的“等差点”C'的坐标为(x,y)，根据“等差点”定义可得：
$x - 4 = y - 3$，整理得$y = x - 1$。
若C'在x轴上，则$y=0$，代入得$0=x-1$，解得$x=1$，即$C'(1,0)$；
若C'在y轴上，则$x=0$，代入得$y=0-1=-1$，即$C'(0,-1)$。
②由“等差点”的定义可得：$-n - 2m = 2\sqrt{5} - (-\sqrt{5}) = 3\sqrt{5}$，
又因为m、n互为相反数，所以$m + n = 0$，即$n = -m$，
将$n=-m$代入$-n - 2m = 3\sqrt{5}$，得$m - 2m = 3\sqrt{5}$，解得$m=-3\sqrt{5}$，
则$n = -m = 3\sqrt{5}$，
所以点Q的横坐标为$-n = -3\sqrt{5}$，纵坐标为$2\sqrt{5}$，即$Q(-3\sqrt{5},2\sqrt{5})$。
【答案】
(1) 如图，△A₁B₁C₁即为所求。
点C的对应点C₁的坐标为$\boldsymbol{(-4,3)}$。
(2) ①$\boldsymbol{(1,0)}$或$\boldsymbol{(0,-1)}$；
②点Q的坐标为$\boldsymbol{(-3\sqrt{5},2\sqrt{5})}$。
【知识点】
关于y轴对称的坐标特征，新定义运算，二元一次方程组的应用
【点评】
本题结合新定义考查了坐标变化与轴对称的性质，以及二元一次方程组的求解，解题的核心是准确理解新定义的规则，熟练掌握轴对称的坐标变化规律，侧重考查学生对新知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁，需先利用关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数，找到A、B、C三点的对称点，再顺次连接即可，根据规律可直接写出C₁的坐标。
(2) ①先理解“等差点”的定义：若两点M(a,b)、N(c,d)满足c-a=d-b≠0，则互为等差点。设C'(x,y)，根据定义列出x与y的关系式，再结合C'在坐标轴上（x=0或y=0）分情况求解即可。
②先根据“等差点”的定义列出关于m、n的第一个方程，再结合m、n互为相反数（即m+n=0）联立得到二元一次方程组，解出m、n后代入Q的坐标表达式即可得到结果。
【解析】
(1) 关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数：
点A(0,1)的对称点A₁(0,1)，点B(2,0)的对称点B₁(-2,0)，点C(4,3)的对称点C₁(-4,3)，顺次连接A₁、B₁、C₁，所得△A₁B₁C₁即为所求。
(2) ①设点C的“等差点”C'的坐标为(x,y)，根据“等差点”定义可得：
$x - 4 = y - 3$，整理得$y = x - 1$。
若C'在x轴上，则$y=0$，代入得$0=x-1$，解得$x=1$，即$C'(1,0)$；
若C'在y轴上，则$x=0$，代入得$y=0-1=-1$，即$C'(0,-1)$。
②由“等差点”的定义可得：$-n - 2m = 2\sqrt{5} - (-\sqrt{5}) = 3\sqrt{5}$，
又因为m、n互为相反数，所以$m + n = 0$，即$n = -m$，
将$n=-m$代入$-n - 2m = 3\sqrt{5}$，得$m - 2m = 3\sqrt{5}$，解得$m=-3\sqrt{5}$，
则$n = -m = 3\sqrt{5}$，
所以点Q的横坐标为$-n = -3\sqrt{5}$，纵坐标为$2\sqrt{5}$，即$Q(-3\sqrt{5},2\sqrt{5})$。
【答案】
(1) 如图，△A₁B₁C₁即为所求。
点C的对应点C₁的坐标为$\boldsymbol{(-4,3)}$。
(2) ①$\boldsymbol{(1,0)}$或$\boldsymbol{(0,-1)}$；
②点Q的坐标为$\boldsymbol{(-3\sqrt{5},2\sqrt{5})}$。
【知识点】
关于y轴对称的坐标特征，新定义运算，二元一次方程组的应用
【点评】
本题结合新定义考查了坐标变化与轴对称的性质，以及二元一次方程组的求解，解题的核心是准确理解新定义的规则，熟练掌握轴对称的坐标变化规律，侧重考查学生对新知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
