9.如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD。若BD=1 cm，BC=3 cm，则AC=cm.

9.5

【分析】
首先考虑添加辅助线构造全等和等腰三角形：延长BD交AC于点E。第一步，结合CD平分∠ACB、BD⊥CD的条件，可通过角边角证明△CDB与△CDE全等，得到CE=BC、DE=BD的结论；第二步，由∠A=∠ABD，根据等角对等边可知△ABE是等腰三角形，即AE=BE，而BE长度可由BD长度求出；最后将AC拆分为AE+CE，代入对应数值即可求出结果。
【解析】
解：延长BD交AC于点E。
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠BCD=∠ECD。
∵ BD⊥CD，
∴ ∠CDB=∠CDE=90°。
在△CDB和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}∠BCD=∠ECD \\CD=CD \\∠CDB=∠CDE\end{array} $
∴ △CDB≌△CDE（ASA），
∴ CE=BC=3cm，DE=BD=1cm，
∴ BE=BD+DE=1+1=2cm。
又
∵ ∠A=∠ABD，
∴ AE=BE=2cm（等角对等边），
∴ AC=AE+CE=2+3=5cm。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题的核心突破口是合理添加辅助线，将角平分线+垂直的条件转化为全等三角形，再结合等腰三角形的性质将未知线段拆分求解，考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6

10.如图，在$△ ABC$中，$AC ＞ BC$，$∠ A = 45°$，D是边AB上的一点，且$CD = CB$，过点B作$BF ⊥ CD$于点E，与AC交于点F，过点C作$CG ⊥ BD$，垂足为G。
(1)求证：$∠ BCD = 2∠ ABF$；
(2)判断$△ BCF$的形状，并说明理由。

10.解:(1)证明:$\because CD=CB,CG⊥BD$,
$\therefore ∠BCD=2∠BCG=2∠DCG$.
$\because BF⊥CD,CG⊥AB,\therefore ∠BED=∠DGC=90°$,
$\therefore ∠DCG+∠CDG=90°,∠ABF+∠CDG=90°$,
$\therefore ∠ABF=∠DCG$,
$\therefore ∠BCD=2∠ABF$.
(2)$△BCF$是等腰三角形.理由略

【分析】
(1)要证明∠BCD=2∠ABF，首先结合已知CD=CB、CG⊥BD，根据等腰三角形三线合一的性质，可得∠BCD=2∠DCG，接下来只需证明∠DCG=∠ABF即可：已知BF⊥CD、CG⊥AB，可得∠DCG和∠ABF都与∠CDG互余，根据同角的余角相等即可得这两个角相等，代入即可证出结论。
(2)判断△BCF的形状，可通过推导角的关系得到两条边相等：先由∠A=45°、CG⊥AB求出∠ACG=45°，再结合三角形外角的性质表示出∠CFB，结合第一问的角度等量关系，可推出∠CFB=∠FCB，即可得到△BCF是等腰三角形。
【解析】
(1)证明：
$\because CD=CB,CG⊥BD$，
$\therefore$ 根据等腰三角形三线合一的性质，CG平分$∠ BCD$，即$∠ BCD=2∠ BCG=2∠ DCG$。
$\because BF⊥CD,CG⊥AB$，
$\therefore ∠BED=∠DGC=90°$，
$\therefore \mathrm{在}\mathrm{Rt}△ DGC\mathrm{中},∠DCG+∠CDG=90°,\mathrm{在}\mathrm{Rt}△ BED\mathrm{中},∠ABF+∠CDG=90°$，
$\therefore ∠ABF=∠DCG$（同角的余角相等），
$\therefore ∠BCD=2∠ABF$。
(2)$△BCF$是等腰三角形，理由如下：
$\because CG⊥AB,∠A=45°$，
$\therefore \mathrm{在}\mathrm{Rt}△ AGC\mathrm{中},∠ACG=90°-∠A=45°$。
$\because ∠CFB$是$△ AFB$的外角，
$\therefore ∠CFB=∠A+∠ABF=45°+∠ABF$。
又$\because ∠FCB=∠ACG+∠BCG=45°+∠BCG$，且由(1)可知$∠BCG=∠ABF$，
$\therefore ∠CFB=∠FCB$，
$\therefore CF=CB$，即$△ BCF$是等腰三角形。
【答案】
(1)证明过程见上述解析；
(2)$△BCF$是等腰三角形，理由见上述解析。
【知识点】
等腰三角形的性质；同角的余角相等；等腰三角形的判定
【点评】
本题围绕等腰三角形的性质和判定设计，需要结合直角三角形的角度关系、外角性质完成角度的等量代换，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质建立角度之间的倍数关系，能有效巩固等腰三角形相关的核心知识点。
【难度系数】
0.7

11.在平面直角坐标系中,已知点$A(-5,0)$,$B(0,5)$,点$C$为$x$轴正半轴上的一个动点,过点$A$作$AD⊥BC$交$y$轴于点$E$.
(1)如图1,若点$C$的坐标为$(3,0)$,求证:$△ AOE≌△ BOC$,并直接写出点$E$的坐标;
(2)如图2,若点$C$在$x$轴正半轴上运动,且$OC＜5$,其他条件不变,连接$DO$,求证:$DO$平分$∠ ADC$;
(3)在(2)的条件下,当$∠ OCB=2∠ DAO$时,试探究线段$AD$,$OC$,$CD$之间的数量关系,并证明.

11.解:(1)证明:$\because AD⊥BC,BO⊥AO$,
$\therefore ∠AOE=∠BOC=∠BDE=90°$.
$\because ∠AEO=∠BED,\therefore ∠OAE=∠OBC$.
$\because A(-5,0),B(0,5),\therefore OA=OB=5$.
在$△AOE$和$△BOC$中,$\begin{cases} ∠AOE=∠BOC,\\ OA=OB,\\ ∠OAE=∠OBC, \end{cases}$
$\therefore △AOE≌△BOC(\mathrm{ASA}),\therefore OE=OC$.
$\because$ 点$C$的坐标为$(3,0),\therefore OC=3=OE$,
$\therefore$ 点$E$的坐标为$(0,3)$.
(2)略
(3)结论:$AD=CD+OC$.证明略

【分析】
(1) 要证△AOE≌△BOC，先根据垂直关系得到直角相等，再利用同角的余角相等推导一组对应角相等，结合A、B坐标可得OA=OB，即可用ASA判定全等；再根据全等对应边相等得OE=OC，结合C点坐标直接写出E点坐标。
(2) 要证DO平分∠ADC，根据角平分线的判定定理，只需证明点O到AD、BC的距离相等即可，可通过全等三角形面积相等、对应底相等推导对应高相等，得到两个距离相等，进而证明角平分线。
(3) 先结合已知角的数量关系推导对应角度，再用截长补短法，在AD上截取与CD相等的线段构造全等三角形，结合等角对等边推导线段关系，即可得到AD、OC、CD的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
$\because AD⊥ BC,BO⊥ AO$，
$\therefore ∠ AOE=∠ BOC=∠ BDE=90°$，
$\therefore ∠ OAE+∠ AEO=90°,∠ OBC+∠ BED=90°$，
又$\because ∠ AEO=∠ BED$（对顶角相等），
$\therefore ∠ OAE=∠ OBC$。
$\because A(-5,0),B(0,5),\therefore OA=OB=5$。
在$△ AOE$和$△ BOC$中：
$\begin{cases}∠ AOE=∠ BOC \\OA=OB \\∠ OAE=∠ OBC\end{cases}$
$\therefore △ AOE≌△ BOC(\mathrm{ASA})$，
$\therefore OE=OC$。
$\because$ 点$C$坐标为$(3,0)$，$\therefore OC=3$，即$OE=3$，
$\therefore$ 点$E$的坐标为$(0,3)$。
(2) 证明：
过点$O$作$OM⊥ AD$于$M$，$ON⊥ BC$于$N$。
$\because △ AOE≌△ BOC$，
$\therefore S_{△ AOE}=S_{△ BOC},AE=BC$，
$\because S_{△ AOE}=\frac{1}{2}· AE· OM$，$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}· BC· ON$，
$\therefore OM=ON$。
又$\because OM⊥ AD,ON⊥ BC$，
$\therefore$ 点$O$在$∠ ADC$的角平分线上，即$DO$平分$∠ ADC$。
(3) 结论：$AD=CD+OC$，证明如下：
在$AD$上截取$DH=CD$，连接$OH$。
$\because DO$平分$∠ ADC$，$\therefore ∠ ODH=∠ ODC$。
在$△ ODH$和$△ ODC$中：
$\begin{cases}DH=CD \\∠ ODH=∠ ODC \\OD=OD\end{cases}$
$\therefore △ ODH≌△ ODC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore OC=OH,∠ OCB=∠ OHD$。
$\because ∠ OAE=∠ OBC,∠ OCB+∠ OBC=90°$，且$∠ OCB=2∠ DAO$，
$\therefore 2∠ DAO+∠ DAO=90°$，解得$∠ DAO=30°,∠ OCB=60°$，
$\therefore ∠ OHD=60°$。
$\because ∠ OHD$是$△ AOH$的外角，
$\therefore ∠ OHD=∠ DAO+∠ AOH$，即$60°=30°+∠ AOH$，
$\therefore ∠ AOH=30°=∠ DAO$，
$\therefore AH=OH=OC$。
$\because AD=AH+HD,HD=CD$，
$\therefore AD=CD+OC$。
【答案】
(1) 证明见解析，点$E$坐标为$\boldsymbol{(0,3)}$；
(2) 证明见解析；
(3) 线段数量关系为$\boldsymbol{AD=CD+OC}$，证明见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，等腰三角形的判定
【点评】
本题是坐标系与几何证明的综合题，围绕三角形的核心考点设计问题，解题时需要熟练掌握全等三角形、角平分线、等腰三角形的相关性质，灵活运用构造辅助线的方法推导结论，对几何综合分析能力有一定的考查价值。
【难度系数】
0.65