登录
1.若等腰三角形的两条边的长分别为5和8，则此等腰三角形的周长为（
A.18或21
B.21
C.24或18
D.18
A
）A.18或21
B.21
C.24或18
D.18
答案
1.A
解析
【分析】
本题已知等腰三角形两条边长分别为5和8，未明确说明哪条是腰、哪条是底，因此解题时需要先分类讨论两种边长情况，再结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
解：等腰三角形两腰长度相等，分两种情况讨论：
① 当腰长为5，底边长为8时：
三角形三边长为5、5、8，验证三边关系：5+5=10＞8，满足三角形构成条件，
此时周长=5+5+8=18；
② 当腰长为8，底边长为5时：
三角形三边长为8、8、5，验证三边关系：8+5=13＞8，满足三角形构成条件，
此时周长=8+8+5=21；
综上，该等腰三角形的周长为18或21，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形边长问题的常见题型，解题的易错点是忽略分类讨论，或者未通过三边关系验证边长组合是否合法，本题两种情况均满足三边要求，因此存在两个符合条件的周长结果。
【难度系数】
0.8
本题已知等腰三角形两条边长分别为5和8，未明确说明哪条是腰、哪条是底，因此解题时需要先分类讨论两种边长情况，再结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
解：等腰三角形两腰长度相等，分两种情况讨论：
① 当腰长为5，底边长为8时：
三角形三边长为5、5、8，验证三边关系：5+5=10＞8，满足三角形构成条件，
此时周长=5+5+8=18；
② 当腰长为8，底边长为5时：
三角形三边长为8、8、5，验证三边关系：8+5=13＞8，满足三角形构成条件，
此时周长=8+8+5=21；
综上，该等腰三角形的周长为18或21，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形边长问题的常见题型，解题的易错点是忽略分类讨论，或者未通过三边关系验证边长组合是否合法，本题两种情况均满足三边要求，因此存在两个符合条件的周长结果。
【难度系数】
0.8
[变式] 若等腰三角形一边的长为5 cm，另一边的长为2 cm，则该三角形的周长为
12 cm
。答案
12 cm
解析
【分析】
本题需要结合等腰三角形的性质和三角形三边关系求解：首先等腰三角形两条腰长度相等，题干未明确5cm和2cm哪个是腰哪个是底边，因此要分两种情况讨论；其次所有三角形都需要满足“任意两边之和大于第三边”，因此每种情况需先验证是否能构成三角形，符合条件的再计算周长，不符合的直接舍去。
【解析】
已知等腰三角形两边长分别为5cm和2cm，分两种情况讨论：
1. 当腰长为5cm时，三角形三边长分别为5cm、5cm、2cm。
验证三边关系：$5+2＞5$，$5+5＞2$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
此时周长为：$5+5+2=12\mathrm{cm}$。
2. 当腰长为2cm时，三角形三边长分别为2cm、2cm、5cm。
验证三边关系：$2+2=4＜5$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，该情况舍去。
综上，该三角形的周长为12cm。
【答案】
12 cm
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形周长计算的基础易错题，易错点是仅按等腰边的性质分类讨论，忽略验证三角形的三边关系，导致得出9cm的错误结果，解题时需牢记分类后要先判断三边能否构成三角形再计算。
【难度系数】
0.7
本题需要结合等腰三角形的性质和三角形三边关系求解：首先等腰三角形两条腰长度相等，题干未明确5cm和2cm哪个是腰哪个是底边，因此要分两种情况讨论；其次所有三角形都需要满足“任意两边之和大于第三边”，因此每种情况需先验证是否能构成三角形，符合条件的再计算周长，不符合的直接舍去。
【解析】
已知等腰三角形两边长分别为5cm和2cm，分两种情况讨论：
1. 当腰长为5cm时，三角形三边长分别为5cm、5cm、2cm。
验证三边关系：$5+2＞5$，$5+5＞2$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
此时周长为：$5+5+2=12\mathrm{cm}$。
2. 当腰长为2cm时，三角形三边长分别为2cm、2cm、5cm。
验证三边关系：$2+2=4＜5$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，该情况舍去。
综上，该三角形的周长为12cm。
【答案】
12 cm
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形周长计算的基础易错题，易错点是仅按等腰边的性质分类讨论，忽略验证三角形的三边关系，导致得出9cm的错误结果，解题时需牢记分类后要先判断三边能否构成三角形再计算。
【难度系数】
0.7
2.已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，$DB$为$△ ABC$的中线，且$DB$将$△ ABC$的周长分为12与15两部分，则三角形的各边长为
8,8,11 或 10,10,7
。答案
8,8,11 或 10,10,7
解析
【分析】
本题是等腰三角形中结合中线的周长计算问题，需采用分类讨论思想求解：首先明确等腰三角形腰长相等，中线分腰为等长的两段；其次要注意DB分的是△ABC的周长（不含中线DB的长度），因此分两种情况：①腰长与半腰长的和为12，底边长与半腰长的和为15；②腰长与半腰长的和为15，底边长与半腰长的和为12。最后求出边长后必须验证是否满足三角形三边关系，排除不符合的情况。
【解析】
解：
∵AB=AC，DB是△ABC的中线，
∴D为AC中点，即AD=DC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB。
设AB=AC=x，BC=y，则AD=DC=$\frac{1}{2}x$，分两种情况讨论：
情况1：当AB+AD=12，BC+CD=15时，
列方程：$x+\frac{1}{2}x=12$，解得$x=8$，
则CD=$\frac{1}{2}×8=4$，$BC=15-4=11$。
此时三角形三边长为8，8，11，验证：$8+8＞11$，满足三角形三边关系，成立。
情况2：当AB+AD=15，BC+CD=12时，
列方程：$x+\frac{1}{2}x=15$，解得$x=10$，
则CD=$\frac{1}{2}×10=5$，$BC=12-5=7$。
此时三角形三边长为10，10，7，验证：$10+10＞7$，满足三角形三边关系，成立。
【答案】
8,8,11 或 10,10,7
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点有两个：一是忽略分类讨论，只计算其中一种情况；二是误将中线长度算入分的周长中，或者计算出边长后忘记验证三角形三边关系，导致出现错误结果。解题时要严谨考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
本题是等腰三角形中结合中线的周长计算问题，需采用分类讨论思想求解：首先明确等腰三角形腰长相等，中线分腰为等长的两段；其次要注意DB分的是△ABC的周长（不含中线DB的长度），因此分两种情况：①腰长与半腰长的和为12，底边长与半腰长的和为15；②腰长与半腰长的和为15，底边长与半腰长的和为12。最后求出边长后必须验证是否满足三角形三边关系，排除不符合的情况。
【解析】
解：
∵AB=AC，DB是△ABC的中线，
∴D为AC中点，即AD=DC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB。
设AB=AC=x，BC=y，则AD=DC=$\frac{1}{2}x$，分两种情况讨论：
情况1：当AB+AD=12，BC+CD=15时，
列方程：$x+\frac{1}{2}x=12$，解得$x=8$，
则CD=$\frac{1}{2}×8=4$，$BC=15-4=11$。
此时三角形三边长为8，8，11，验证：$8+8＞11$，满足三角形三边关系，成立。
情况2：当AB+AD=15，BC+CD=12时，
列方程：$x+\frac{1}{2}x=15$，解得$x=10$，
则CD=$\frac{1}{2}×10=5$，$BC=12-5=7$。
此时三角形三边长为10，10，7，验证：$10+10＞7$，满足三角形三边关系，成立。
【答案】
8,8,11 或 10,10,7
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点有两个：一是忽略分类讨论，只计算其中一种情况；二是误将中线长度算入分的周长中，或者计算出边长后忘记验证三角形三边关系，导致出现错误结果。解题时要严谨考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
3.等腰三角形的一个内角是$70°$,则它的顶角的度数是
70°或40°
.答案
3.70°或40°
解析
【分析】解答本题需要结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理分析：等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°，题目未说明70°的内角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，最后验证两种情况是否都符合三角形内角的取值要求。
【解析】分两种情况计算：
1. 若70°的角是顶角，此时顶角度数直接为70°，两个底角均为(180°-70°)÷2=55°，符合三角形内角和规律；
2. 若70°的角是底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，另一个底角也为70°，则顶角的度数为180°-70°×2=40°，该情况也成立。
综上，该等腰三角形顶角的度数为70°或40°。
【答案】70°或40°
【知识点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】本题是等腰三角形角度计算的基础易错题，核心考察分类讨论的思维，解题时注意未明确类型的内角既可能是顶角也可能是底角，不要漏解，同时要验证所得结果是否符合三角形内角的取值要求。
【难度系数】
0.7
【解析】分两种情况计算：
1. 若70°的角是顶角，此时顶角度数直接为70°，两个底角均为(180°-70°)÷2=55°，符合三角形内角和规律；
2. 若70°的角是底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，另一个底角也为70°，则顶角的度数为180°-70°×2=40°，该情况也成立。
综上，该等腰三角形顶角的度数为70°或40°。
【答案】70°或40°
【知识点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】本题是等腰三角形角度计算的基础易错题，核心考察分类讨论的思维，解题时注意未明确类型的内角既可能是顶角也可能是底角，不要漏解，同时要验证所得结果是否符合三角形内角的取值要求。
【难度系数】
0.7
4.等腰三角形的一个外角是$70°$,则它的顶角的度数是
110°
.答案
4.110°
解析
【分析】
解题时首先根据三角形外角与相邻内角互补的性质，求出和70°外角相邻的内角度数为110°，再结合等腰三角形两底角相等的性质分类讨论：分别判断110°的内角是顶角还是底角，再用三角形内角和定理验证两种情况是否成立，排除不符合要求的情况即可得到顶角的度数。
【解析】
解：
∵三角形的一个外角和相邻内角互补，
∴与70°外角相邻的内角度数为：$180° - 70° = 110°$，
分两种情况讨论：
①若该内角是等腰三角形的顶角：
此时底角度数为$(180° - 110°)÷2 = 35°$，符合三角形内角和为$180°$，情况成立；
②若该内角是等腰三角形的底角：
此时两个底角的和为$110°×2 = 220° ＞ 180°$，不符合三角形内角和定理，情况不成立，舍去。
综上，该等腰三角形顶角的度数为$110°$。
【答案】
$110°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在等腰三角形角度计算中的应用，解题时要注意结合三角形内角和定理对分类结果进行验证，避免忽略隐含条件导致错解。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据三角形外角与相邻内角互补的性质，求出和70°外角相邻的内角度数为110°，再结合等腰三角形两底角相等的性质分类讨论：分别判断110°的内角是顶角还是底角，再用三角形内角和定理验证两种情况是否成立，排除不符合要求的情况即可得到顶角的度数。
【解析】
解：
∵三角形的一个外角和相邻内角互补，
∴与70°外角相邻的内角度数为：$180° - 70° = 110°$，
分两种情况讨论：
①若该内角是等腰三角形的顶角：
此时底角度数为$(180° - 110°)÷2 = 35°$，符合三角形内角和为$180°$，情况成立；
②若该内角是等腰三角形的底角：
此时两个底角的和为$110°×2 = 220° ＞ 180°$，不符合三角形内角和定理，情况不成立，舍去。
综上，该等腰三角形顶角的度数为$110°$。
【答案】
$110°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在等腰三角形角度计算中的应用，解题时要注意结合三角形内角和定理对分类结果进行验证，避免忽略隐含条件导致错解。
【难度系数】
0.7
5.若等腰三角形的一个角的度数是另一个角的度数的2倍,则它的底角的度数是
72°或45°
.答案
5.72°或45°
解析
【分析】
首先回忆等腰三角形的核心性质：等腰三角形的两个底角相等，同时三角形内角和固定为180°。题目仅说明一个角的度数是另一个角的2倍，没有明确这两个角分别是顶角还是底角，因此需要分两类讨论：①顶角是底角的2倍；②底角是顶角的2倍。分别列方程求解后，要验证结果是否符合三角形内角的取值要求，避免出现无效解。
【解析】
解：分两种情况讨论：
情况1：设等腰三角形的底角为$ x $，顶角为底角的2倍，即顶角为$ 2x $。
根据三角形内角和为180°，列方程：
$ x + x + 2x = 180° $
合并同类项得：$ 4x = 180° $
解得：$ x = 45° $，该结果符合三角形内角的取值要求。
情况2：设等腰三角形的顶角为$ x $，底角为顶角的2倍，即底角为$ 2x $。
根据三角形内角和为180°，列方程：
$ x + 2x + 2x = 180° $
合并同类项得：$ 5x = 180° $
解得：$ x = 36° $，则底角为$ 2x = 72° $，该结果符合三角形内角的取值要求。
综上，该等腰三角形底角的度数为72°或45°。
【答案】
72°或45°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，易错点是忽略分类讨论，只考虑其中一种情况导致漏解。解题时遇到未明确说明角是顶角还是底角的条件时，要主动分情况讨论，最后注意验证结果是否符合三角形内角的取值规则。
【难度系数】
0.7
首先回忆等腰三角形的核心性质：等腰三角形的两个底角相等，同时三角形内角和固定为180°。题目仅说明一个角的度数是另一个角的2倍，没有明确这两个角分别是顶角还是底角，因此需要分两类讨论：①顶角是底角的2倍；②底角是顶角的2倍。分别列方程求解后，要验证结果是否符合三角形内角的取值要求，避免出现无效解。
【解析】
解：分两种情况讨论：
情况1：设等腰三角形的底角为$ x $，顶角为底角的2倍，即顶角为$ 2x $。
根据三角形内角和为180°，列方程：
$ x + x + 2x = 180° $
合并同类项得：$ 4x = 180° $
解得：$ x = 45° $，该结果符合三角形内角的取值要求。
情况2：设等腰三角形的顶角为$ x $，底角为顶角的2倍，即底角为$ 2x $。
根据三角形内角和为180°，列方程：
$ x + 2x + 2x = 180° $
合并同类项得：$ 5x = 180° $
解得：$ x = 36° $，则底角为$ 2x = 72° $，该结果符合三角形内角的取值要求。
综上，该等腰三角形底角的度数为72°或45°。
【答案】
72°或45°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，易错点是忽略分类讨论，只考虑其中一种情况导致漏解。解题时遇到未明确说明角是顶角还是底角的条件时，要主动分情况讨论，最后注意验证结果是否符合三角形内角的取值规则。
【难度系数】
0.7
6.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为$45°$,则顶角的度数为 （
A.$45°$或$135°$
B.$45°$
C.$135°$
D.$90°$
A
）A.$45°$或$135°$
B.$45°$
C.$135°$
D.$90°$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时首先要注意，题目未明确等腰三角形的形状，而不同形状的等腰三角形腰上的高位置不同：锐角三角形的高在三角形内部，钝角三角形的高在三角形外部，因此需要分两种情况讨论计算顶角度数。第一步先分析高在内部的情况，利用直角三角形两锐角互余求顶角；第二步分析高在外部的情况，先求顶角的邻补角，再计算顶角即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部：
已知高与另一腰的夹角为$45°$，高与腰的夹角为直角$90°$，在由高、腰构成的直角三角形中，两个锐角和为$90°$，因此顶角$=90°-45°=45°$。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部：
此时高与另一腰的夹角为$45°$，在由高、腰的延长线构成的直角三角形中，可得顶角的邻补角$=90°-45°=45°$，因此顶角$=180°-45°=135°$。
综上，顶角的度数为$45°$或$135°$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；分类讨论思想；直角三角形的性质
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型易错题，易错点是仅考虑高在三角形内部的情况，忽略钝角三角形高在外部的情况导致漏解，解题时要结合图形分析所有可能的情况，保证答案的完整性。
【难度系数】
0.6
解题时首先要注意，题目未明确等腰三角形的形状，而不同形状的等腰三角形腰上的高位置不同：锐角三角形的高在三角形内部，钝角三角形的高在三角形外部，因此需要分两种情况讨论计算顶角度数。第一步先分析高在内部的情况，利用直角三角形两锐角互余求顶角；第二步分析高在外部的情况，先求顶角的邻补角，再计算顶角即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部：
已知高与另一腰的夹角为$45°$，高与腰的夹角为直角$90°$，在由高、腰构成的直角三角形中，两个锐角和为$90°$，因此顶角$=90°-45°=45°$。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部：
此时高与另一腰的夹角为$45°$，在由高、腰的延长线构成的直角三角形中，可得顶角的邻补角$=90°-45°=45°$，因此顶角$=180°-45°=135°$。
综上，顶角的度数为$45°$或$135°$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；分类讨论思想；直角三角形的性质
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型易错题，易错点是仅考虑高在三角形内部的情况，忽略钝角三角形高在外部的情况导致漏解，解题时要结合图形分析所有可能的情况，保证答案的完整性。
【难度系数】
0.6
[变式] 若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角的度数为
75°或15°
。答案
75°或15°
解析
【分析】
解决本题的关键是要分类讨论等腰三角形腰上高的位置：等腰三角形的腰上的高可能在三角形内部（对应锐角等腰三角形），也可能在三角形外部（对应钝角等腰三角形），直角等腰三角形腰上的高等于腰长，不符合“高等于腰长的一半”的条件，故排除。每种情况结合直角三角形的性质先求顶角度数，再根据等腰三角形内角和及两底角相等的性质计算底角即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部：
设等腰三角形腰长为$a$，腰上的高为$\frac{a}{2}$。在高、腰组成的直角三角形中，高所对的角是等腰三角形的顶角，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得顶角为$30°$。
因为等腰三角形两底角相等，三角形内角和为$180°$，所以底角为$\frac{180° - 30°}{2}=75°$。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部：
此时高落在腰的延长线上，在高、腰的延长线组成的直角三角形中，高所对的角是顶角的邻补角，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得该邻补角为$30°$，因此顶角为$180° - 30°=150°$。
同理可得底角为$\frac{180° - 150°}{2}=15°$。
综上，底角的度数为$75°$或$15°$。
【答案】
$75°$或$15°$
【知识点】
等腰三角形性质；直角三角形性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略高在三角形外部的情况，导致漏解。解题时要考虑等腰三角形的不同形状对高的位置的影响，全面分类讨论才能得到完整的答案。
【难度系数】
0.6
解决本题的关键是要分类讨论等腰三角形腰上高的位置：等腰三角形的腰上的高可能在三角形内部（对应锐角等腰三角形），也可能在三角形外部（对应钝角等腰三角形），直角等腰三角形腰上的高等于腰长，不符合“高等于腰长的一半”的条件，故排除。每种情况结合直角三角形的性质先求顶角度数，再根据等腰三角形内角和及两底角相等的性质计算底角即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部：
设等腰三角形腰长为$a$，腰上的高为$\frac{a}{2}$。在高、腰组成的直角三角形中，高所对的角是等腰三角形的顶角，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得顶角为$30°$。
因为等腰三角形两底角相等，三角形内角和为$180°$，所以底角为$\frac{180° - 30°}{2}=75°$。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部：
此时高落在腰的延长线上，在高、腰的延长线组成的直角三角形中，高所对的角是顶角的邻补角，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得该邻补角为$30°$，因此顶角为$180° - 30°=150°$。
同理可得底角为$\frac{180° - 150°}{2}=15°$。
综上，底角的度数为$75°$或$15°$。
【答案】
$75°$或$15°$
【知识点】
等腰三角形性质；直角三角形性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略高在三角形外部的情况，导致漏解。解题时要考虑等腰三角形的不同形状对高的位置的影响，全面分类讨论才能得到完整的答案。
【难度系数】
0.6
7.如图,在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中,点A,B在格点(网格线的交点)上.若要在格点上确定一点C,连接AC和BC,使△ABC是等腰三角形,则满足条件的点C有（
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
B
）A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
答案
7.B
解析
【分析】
要找到使△ABC为等腰三角形的格点C，需运用分类讨论思想，分三类讨论：①AB为腰，A是顶角顶点；②AB为腰，B是顶角顶点；③AB为底边。先利用勾股定理算出AB的长度，再结合网格特点，逐类排查符合条件的格点，排除网格外、三点共线的点，最后汇总总数即可。
【解析】
设每个小正方形边长为1，建立平面直角坐标系，令A(1,1)，B(4,4)，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{(4-1)^2+(4-1)^2}=3\sqrt{2}$
分三种情况讨论：
1. 若AB为腰，A为顶角顶点：此时$AC=AB=3\sqrt{2}$，即$(x-1)^2+(y-1)^2=18$。18仅能拆分为$9+9$，整数解仅(4,4)即点B，其余解均在5×5网格外，无符合条件的点C。
2. 若AB为腰，B为顶角顶点：此时$BC=AB=3\sqrt{2}$，即$(x-4)^2+(y-4)^2=18$，整数解仅(1,1)即点A，其余解均在网格外，无符合条件的点C。
3. 若AB为底边：此时$AC=BC$，点C在AB的垂直平分线上。AB中点为$(2.5,2.5)$，AB斜率为1，故垂直平分线斜率为$-1$，方程为$y=-x+5$，即$x+y=5$。
网格中满足$x+y=5$的格点有：(0,5)、(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)、(5,0)，共6个，且均不与A、B共线，可构成等腰三角形。
综上，满足条件的点C共6个。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题解题核心是对等腰三角形的边进行合理分类，结合网格和勾股定理排查点的位置，注意不要漏解，也不要计入网格外或三点共线的无效点。
【难度系数】
0.6
要找到使△ABC为等腰三角形的格点C，需运用分类讨论思想，分三类讨论：①AB为腰，A是顶角顶点；②AB为腰，B是顶角顶点；③AB为底边。先利用勾股定理算出AB的长度，再结合网格特点，逐类排查符合条件的格点，排除网格外、三点共线的点，最后汇总总数即可。
【解析】
设每个小正方形边长为1，建立平面直角坐标系，令A(1,1)，B(4,4)，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{(4-1)^2+(4-1)^2}=3\sqrt{2}$
分三种情况讨论：
1. 若AB为腰，A为顶角顶点：此时$AC=AB=3\sqrt{2}$，即$(x-1)^2+(y-1)^2=18$。18仅能拆分为$9+9$，整数解仅(4,4)即点B，其余解均在5×5网格外，无符合条件的点C。
2. 若AB为腰，B为顶角顶点：此时$BC=AB=3\sqrt{2}$，即$(x-4)^2+(y-4)^2=18$，整数解仅(1,1)即点A，其余解均在网格外，无符合条件的点C。
3. 若AB为底边：此时$AC=BC$，点C在AB的垂直平分线上。AB中点为$(2.5,2.5)$，AB斜率为1，故垂直平分线斜率为$-1$，方程为$y=-x+5$，即$x+y=5$。
网格中满足$x+y=5$的格点有：(0,5)、(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)、(5,0)，共6个，且均不与A、B共线，可构成等腰三角形。
综上，满足条件的点C共6个。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题解题核心是对等腰三角形的边进行合理分类，结合网格和勾股定理排查点的位置，注意不要漏解，也不要计入网格外或三点共线的无效点。
【难度系数】
0.6
8.在平面直角坐标系中,等腰三角形ABC的顶点A,B的坐标分别为(0,0),(2,2).若顶点C在坐标轴上,则符合条件的点C有（
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
D
）A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
答案
8.D
解析
【分析】
要解决这道题，需结合等腰三角形“两腰相等”的性质，运用分类讨论思想，分三类情况寻找符合条件的点C：①以A为顶角顶点，AB为腰；②以B为顶角顶点，AB为腰；③以C为顶角顶点，AB为底边。同时注意点C在坐标轴（x轴、y轴）上，最后统计所有不重复、能构成三角形的点C的个数即可。
【解析】
先计算AB的长度：已知A(0,0)，B(2,2)，由两点间距离公式得$AB=\sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2}=2\sqrt{2}$。
分三类讨论：
1. 当$AB=AC$，A为顶角顶点时：
$AC=2\sqrt{2}$，点C在坐标轴上：
在x轴上时，C的坐标为$(2\sqrt{2},0)$或$(-2\sqrt{2},0)$，共2个点；
在y轴上时，C的坐标为$(0,2\sqrt{2})$或$(0,-2\sqrt{2})$，共2个点；
此类共4个符合条件的点。
2. 当$AB=BC$，B为顶角顶点时：
$BC=2\sqrt{2}$，点C在坐标轴上：
设$C(x,0)$，则$\sqrt{(x-2)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{2}$，解得$x=4$或$x=0$，$x=0$对应点A，不能构成三角形，舍去，得点$(4,0)$；
设$C(0,y)$，则$\sqrt{(0-2)^2+(y-2)^2}=2\sqrt{2}$，解得$y=4$或$y=0$，$y=0$对应点A，舍去，得点$(0,4)$；
此类共2个符合条件的点。
3. 当$AC=BC$，C为顶角顶点时：
点C在AB的垂直平分线上，AB中点为$(1,1)$，AB的斜率为1，故垂直平分线斜率为$-1$，解析式为$y=-x+2$：
与x轴交点：令$y=0$，得$x=2$，即$(2,0)$；
与y轴交点：令$x=0$，得$y=2$，即$(0,2)$；
此类共2个符合条件的点。
综上，所有符合条件的点C共有$4+2+2=8$个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定；坐标与图形性质；分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是明确分类讨论的标准，按照等腰三角形顶角顶点的不同分情况枚举，同时注意排除三点共线无法构成三角形的情况，避免漏解和多解。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需结合等腰三角形“两腰相等”的性质，运用分类讨论思想，分三类情况寻找符合条件的点C：①以A为顶角顶点，AB为腰；②以B为顶角顶点，AB为腰；③以C为顶角顶点，AB为底边。同时注意点C在坐标轴（x轴、y轴）上，最后统计所有不重复、能构成三角形的点C的个数即可。
【解析】
先计算AB的长度：已知A(0,0)，B(2,2)，由两点间距离公式得$AB=\sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2}=2\sqrt{2}$。
分三类讨论：
1. 当$AB=AC$，A为顶角顶点时：
$AC=2\sqrt{2}$，点C在坐标轴上：
在x轴上时，C的坐标为$(2\sqrt{2},0)$或$(-2\sqrt{2},0)$，共2个点；
在y轴上时，C的坐标为$(0,2\sqrt{2})$或$(0,-2\sqrt{2})$，共2个点；
此类共4个符合条件的点。
2. 当$AB=BC$，B为顶角顶点时：
$BC=2\sqrt{2}$，点C在坐标轴上：
设$C(x,0)$，则$\sqrt{(x-2)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{2}$，解得$x=4$或$x=0$，$x=0$对应点A，不能构成三角形，舍去，得点$(4,0)$；
设$C(0,y)$，则$\sqrt{(0-2)^2+(y-2)^2}=2\sqrt{2}$，解得$y=4$或$y=0$，$y=0$对应点A，舍去，得点$(0,4)$；
此类共2个符合条件的点。
3. 当$AC=BC$，C为顶角顶点时：
点C在AB的垂直平分线上，AB中点为$(1,1)$，AB的斜率为1，故垂直平分线斜率为$-1$，解析式为$y=-x+2$：
与x轴交点：令$y=0$，得$x=2$，即$(2,0)$；
与y轴交点：令$x=0$，得$y=2$，即$(0,2)$；
此类共2个符合条件的点。
综上，所有符合条件的点C共有$4+2+2=8$个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定；坐标与图形性质；分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是明确分类讨论的标准，按照等腰三角形顶角顶点的不同分情况枚举，同时注意排除三点共线无法构成三角形的情况，避免漏解和多解。
【难度系数】
0.6
9.已知 O 是等边三角形 ABD 的边 BD 的中点，$AB=4$，$E,F$ 分别为射线 $AB,DA$ 上的动点，且 $∠ EOF=120°$.若 $AF=1$，求 $BE$ 的长.
答案
9.1或3
解析
【分析】
本题是动点结合等边三角形的问题，首先明确E、F在射线上，位置不唯一，需分F在线段DA上和F在DA延长线上两种情况讨论。解题时可通过作平行线构造等边三角形和全等三角形，利用角的等量代换证明△OMF≌△OBE，将待求的BE转化为易求的MF，再结合分类计算即可得到结果。
【解析】
过点O作OM//AB，交AD于点M。
∵△ABD是等边三角形，AB=4，
∴AD=BD=AB=4，∠A=∠ABD=∠ADB=60°。
∵O是BD的中点，
∴OB=OD=2。
∵OM//AB，
∴∠OMD=∠A=60°，∠DOM=∠ABD=60°，
∴△OMD是等边三角形，
∴OM=OD=DM=2，
∴OM=OB，$AM=AD-DM=4-2=2$。
∴$∠OMF=180°-∠OMD=120°$，
又
∵$∠OBE=180°-∠ABD=120°$，
∴∠OMF=∠OBE。
∵$∠MOB=180°-∠ABD=120°$，$∠EOF=120°$，
∴∠MOB=∠EOF，即$∠MOF + ∠FOB = ∠BOE + ∠FOB$，
∴∠MOF=∠BOE。
在△OMF和△OBE中：
$\{\begin{array}{l}∠OMF=∠OBE \\OM=OB \\∠MOF=∠BOE\end{array} $
∴△OMF≌△OBE（ASA），
∴BE=MF。
分两种情况讨论：
① 当F在线段DA上时，AF=1＜AM=2，F在AM之间，
∴$MF=AM - AF=2 - 1=1$，
∴BE=1；
② 当F在DA的延长线上时，F在A点外侧，
∴$MF=AM + AF=2 + 1=3$，
∴BE=3。
综上，BE的长为1或3。
【答案】
1或3
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，分类讨论思想
【点评】
本题解题关键是注意动点在射线上的位置多样性，需分类讨论避免漏解，通过作平行线构造全等三角形将未知边转化为易求的线段，体现了转化思想的应用，是等腰（等边）三角形动点问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
本题是动点结合等边三角形的问题，首先明确E、F在射线上，位置不唯一，需分F在线段DA上和F在DA延长线上两种情况讨论。解题时可通过作平行线构造等边三角形和全等三角形，利用角的等量代换证明△OMF≌△OBE，将待求的BE转化为易求的MF，再结合分类计算即可得到结果。
【解析】
过点O作OM//AB，交AD于点M。
∵△ABD是等边三角形，AB=4，
∴AD=BD=AB=4，∠A=∠ABD=∠ADB=60°。
∵O是BD的中点，
∴OB=OD=2。
∵OM//AB，
∴∠OMD=∠A=60°，∠DOM=∠ABD=60°，
∴△OMD是等边三角形，
∴OM=OD=DM=2，
∴OM=OB，$AM=AD-DM=4-2=2$。
∴$∠OMF=180°-∠OMD=120°$，
又
∵$∠OBE=180°-∠ABD=120°$，
∴∠OMF=∠OBE。
∵$∠MOB=180°-∠ABD=120°$，$∠EOF=120°$，
∴∠MOB=∠EOF，即$∠MOF + ∠FOB = ∠BOE + ∠FOB$，
∴∠MOF=∠BOE。
在△OMF和△OBE中：
$\{\begin{array}{l}∠OMF=∠OBE \\OM=OB \\∠MOF=∠BOE\end{array} $
∴△OMF≌△OBE（ASA），
∴BE=MF。
分两种情况讨论：
① 当F在线段DA上时，AF=1＜AM=2，F在AM之间，
∴$MF=AM - AF=2 - 1=1$，
∴BE=1；
② 当F在DA的延长线上时，F在A点外侧，
∴$MF=AM + AF=2 + 1=3$，
∴BE=3。
综上，BE的长为1或3。
【答案】
1或3
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，分类讨论思想
【点评】
本题解题关键是注意动点在射线上的位置多样性，需分类讨论避免漏解，通过作平行线构造全等三角形将未知边转化为易求的线段，体现了转化思想的应用，是等腰（等边）三角形动点问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
